SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH TỈNH KIÊN GIANG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN HỌC Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 01/11/2011 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 (5 điểm). 1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực : 2 2 2 3 6 11 4 x x x x x x − + + > − + + − . 2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực : 2 2 2 2 2 7 2 ( )( ) 13 6 13 x y y xy x y x y y x + + = + − − + + =      Bài 2 (5 điểm). Chứng minh rằng 2 sin x x π > đúng với mọi (0; ) 2 x π ∈ . Từ đó chứng minh rằng 2 2 4 cos 1 x x π ≤ − đúng với mọi ( ; ) 2 2 x π π − ∈ . Bài 3 (5 điểm). Cho hình chóp . S ABC có    0 90 SAC SCB ABC = = = và 25 , 4 , 3 4 SA cm AB cm BC cm = = = . Tính thể tích khối chóp . S ABC . Bài 4 (5 điểm). Giải phương trình sau trên tập số thực : 2 2 3cot 2 2 sin (2 3 2)cos x x x + = + . − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − HẾT − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − Trang 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Ngày thi 01/11/2011 (Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang) BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM Bài 1.1 (2,5 điểm) Điều kiện : 0 4 x ≤ ≤ . BPT đã cho tương đương với BPT 2 2 2 3 6 11 4 x x x x x x − + − − + > − − 2 2 4( 2) 2( 2) 4 2 3 6 11 x x x x x x x x − − − ⇔ > − + − + + − + 2 2 4 2 ( 2) 0 2 4 2 3 6 11 x x x x x x x x   ⇔ − + > ⇔ >   − + − + + − +   Kết hợp với điều kiện, nghiệm của BPT đã cho là 2 4 x < ≤ . 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài 1.2 (2,5 điểm) Hệ đã cho được viết lại : 2 2 ( ) ( ) ( ) 7 ( )( ) 6 13( ) x y x y x y x y x y x y + + − − = + − + = −  −     Đặt , u x y v x y = + = − ta được hệ 2 2 4 3 2 2 7 6 13 7 13 6 0 (1) ( 7 2) u v vv u v uv v v v v v   = − + ++ − = + = − − + − =   ⇔       2 1 (2) 0( 3)( 2)( 1) 2 3 v v v v v v =   ⇔ =+ − = − − ⇔ =    Hệ (1) và (2) có 3 cặp nghiệm : (7 ; 1), (5 ; 2), ( − 5 ; − 3). Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm : 7 3 (4;3), ( ; ), ( 4; 1) 2 2 − − . 1,0đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ Bài 2 (5 điểm) Xét hàm số 2 ( ) sin x f x x π = − . Ta có / 2 ( ) cosf x x π = − và / ( ) 0 f x = có duy nhất nghiệm 0 (0; ) 2 x x π = ∈ . . Dựa vào BBT ta có ngay 2 ( ) sin 0, (0; ) 2 x f x x x π π = − > ∀ ∈ . 1,0đ 1,0đ x / ( ) f x ( ) f x 0 0 x 2 π 0 − + 0 0 Trang 2 Vì hàm số cos y x = và hàm số 2 2 4 1 x y π = − là các hàm số chẵn nên ta chỉ cần chứng minh 2 2 4 cos 1 x x π ≤ − đúng với mọi [0; ) 2 x π ∈ . Theo trên, [0; ) 2 x π ∀ ∈ ta có 2 sin 0 x x π ≥ ≥ . Do đó, 2 2 2 2 2 2 4 4 sin cos 1 x x x x π π ≥ ⇔ ≤ − . Mặt khác, cos 0, [0; ) 2 x x π > ∀ ∈ nên ta được 2 2 4 cos 1 x x π ≤ − đúng với mọi [0; ) 2 x π ∈ . 1,0đ 1,0đ 1,0đ Bài 3 (5 điểm) ∆ABC vuông tại B nên 2 2 5 AC AB BC = + = . Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC). Vì AC vuông góc đoạn xiên SA nên AC vuông góc hình chiếu HA. Tương tự, BC ⊥ HC. Suy ra HC song song AB. Do đó,   HCA CAB = . Vì vậy, ACH BAC ∆ ∆ ∼ . Vì AH AC BC BA = nên 15 4 AH = . Suy ra, 2 2 5 SH SA AH = − = . Ta có 3 1 1 1 . . . . 10 3 3 2 SABC ABC V S SH AB BC SH cm = = = . H C S A B 0,5đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ Bài 4 (5 điểm) ĐK sin 0 x x k π ≠ ⇔ ≠ . Đặt cos t x = , −1 < t < 1 PT đã cho trở thành : 4 3 2 2 2 (2 3 2) (4 2 3) (2 3 2) 2 2 0 t t t t + + − − − + + = Vì t = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho 2 t ta được 2 2 1 1 2 2( ) (2 3 2)( ) 3 4 2 0 t t t t + + + − + − = (1) 0,5đ 1,0đ 0,5đ Trang 3 Đặt 1 y t t = − ta được 2 2 2 1 2 t y t + = + (1) trở thành 2 3 2 2 2 (2 3 2) 3 0 2 2 y y y y  = −   + + + = ⇔  = −   Với 3 2 y = − ta được 2 t = − (loại ) và 1 2 2 3 t x k π π = ⇔ = ± + Với 2 2 y = − ta được 2 t = − ( loại ) và 2 2 2 4 t x m π π = ⇔ = ± + Vậy nghiệm PT là 2 3 x k π π = ± + và 2 4 x m π π = ± + . 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH TỈNH KIÊN GIANG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN HỌC Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 02/11/2011 (Đề thi có 01 trang) Bài 5 (7 điểm). Cho hai số thực , x y thỏa mãn đẳng thức 2 2 3 x y xy + + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 3 ( ) M x y xy x y = − + . Bài 6 (6 điểm). Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không bằng nhau ( ; ) O R và / / ( ; ) O R , tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Điểm B di động trên đường tròn (O). Đường thẳng vuông góc với BA tại A cắt đường tròn (O’) tại C (khác A) . 1. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC luôn thuộc một đường tròn cố định, khi B thay đổi. Bài 7 (7 điểm). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n , phương trình 2 2 2 x y z n + = + có vô số nghiệm nguyên dương , , x y z . − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − HẾT − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− − Trang 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Ngày thi 02/11/2011 (Hướng dẫn chấm này gồm có 02 trang) Bài 1 (7 điểm) Đặt , S x y P xy = + = . ĐK : 2 4 S P ≥ . Ta có 2 2 2 2 3 3 3 0 3 x y xy S P S P P + + = ⇔ − = ⇔ = + ≥ ⇒ ≥ − . Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi 3 x y = = − . Vì 2 4 S P ≥ và 2 3 S P = + nên 3 4 1 P P P + ≥ ⇔ ≤ . Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x = y = 1. Tóm lại, tập giá trị của P là [−3 ; 1]. Ta có, 3 3 2 2 3 3 2 3 ( ) 3 (3 ) 3 9 M x y xy x y xy xy P P P P P P = − + + + = − + = − − . Và / 2 / 3 [ 3;1] 3 6 9 ; 0 1 [ 3;1] P M P P M P = ∉ −  = − − = ⇔  = − ∈ −  . ( 3) 27, ( 1) 5, (1) 11 M M M − = − − = = − [ 3;1] min min{ ( 3), ( 1), (1)} ( 3) 27 M M M M M − = − − = − = − [ 3;1] max min{ ( 3), ( 1), (1)} ( 1) 5 M M M M M − = − − = − = . 0,5đ 1,5đ 1,0đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 2 (6 điểm) 1. Ta có ∆ AOB cân đỉnh O nên   0 180 2 AOB BAO = − Ta có ∆ AO’C cân đỉnh O’ nên   0 ’ 180 2 ’ AO C CAO = − Do đó,     ( ) 0 0 ’ 360 2 ’ 180 AOB AO C BAO CAO+ = − + = Suy ra OB // O’C . Gọi I là giao điểm của BC và OO’ ta có ' ' ' IC O C R R IC IB IB OB R R = = ⇒ =   Vậy I là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’). Vì vậy, BC luôn luôn đi qua điểm I cố định ( đpcm ). 2. Gọi M là trung điểm của BC ta có 2 3 AG AM =   . Gọi K là trung điểm của OO’. Vì MK là đường trung bình của hình thang CO’OB nên ' 2 R R KM + = . 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ Trang 2 Do đó M thuộc đường tròn tâm K bán kính bằng ' 2 R R + . * Ta có 2 ( , ) 3 ( ) A V M G = và M thuộc đường tròn (K , ' 2 R R + ) cố định nên G chạy trên đường tròn cố định, là ảnh của đường tròn ( K , ' 2 R R + ) qua phép vị tự tâm A tỷ số k = 2 3 . K M I C O A O' B 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3 (7 điểm) * Xây dựng được các bộ nghiệm. * Chứng được tính nguyên dương của các bộ nghiệm đã xây dựng. * Chứng được tính “vô số” của các bộ nghiệm đã xây dựng. Chẳng hạn, Ta xây dựng các bộ nghiệm nguyên dương ( , , ) x y z như sau : Đặt 1 z y = + ta có 2 2 (2 1) y z y − = − + . Khi đó ta có 2 2 2 2 1 2 x n x y z n y − − + − = ⇔ = . Ta có tập * { 2 | | 1: } k A x n k= = + + ∈ ℕ gồm vô số phần tử x là số nguyên dương, khác tính chẵn−lẻ với . n và thỏa điều kiện 2 1 0 x n − − > . Vì vậy, 2 1 2 x n y − − = là số nguyên dương với mọi x thuộc A. Rõ ràng mỗi bộ 2 2 1 1 ( , , ) ( , , ) 2 2 x n x n x y z x − − − + = , với x A ∈ , đều là nghiệm của phương trình đã cho. 4đ 2đ 1đ HẾT . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2 012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Ngày thi 01/11/2011 (Hướng dẫn. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2 012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Ngày thi 02/11/2011 (Hướng dẫn. 0,5đ 0,5đ 0,5đ HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH TỈNH KIÊN GIANG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2 012 − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −