Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 1 Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Môn: Toán; ĐỀ SỐ 49/50 Ngày thi : 8/05/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = mx − x 3 (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 1 . 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định. Câu 2 (1,0 điểm). a) Tính A = 2 3 sin a −8cos 3 a , biết cos3a = −1 và − π 2 < a < 0 . b) Tìm 2 nhiệm phức của phương trình z 2 − 2z +5 = 0 và tính tổng 2 môđun của 2 nghiệm đó. Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 3 2 x+1 + 9 x − 40.3 x−1 + 4 = 0 . Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình (x − 4) 2 ( x + 4− x 2 )+ (x 2 − 2x) 2 3 = 2x 2 −14x + 28 . Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = x 2x +1 3 +1 2x +1 dx 0 13 ∫ . Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA = 8a và vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC đều cạnh bằng 4a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN). Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;1). Gọi D(-1;-1) là điểm trên đường thẳng BC thoả mãn AD = DC , và đường thẳng AC đi qua điểm M(-1;4). Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết điểm H(0;-2) là trực tâm tam giác ABC. Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) , và mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là (P) : 2x − 2 y + z − 3 = 0 ; (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4 y − 6z + 5 = 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Câu 9 (0,5 điểm). Một đợt tuyển nhân viên mới của công ty X, sau khi sơ loại hồ sơ và qua vòng thi viết phòng Nhân sự của công ty X đã tổng hợp được 200 ứng viên đủ điều kiện để vào vòng phỏng vấn. Biết rằng nếu có bao nhiêu ứng viên được lựa chọn phỏng vấn thì phòng Nhân sự sẽ chuẩn bị bấy nhiêu câu hỏi khác nhau và các câu hỏi được đựng trong một hòm đựng phiếu. Phòng Nhân sự đang phân vân giữa việc lựa chọn tất cả 200 ứng viên đã qua vòng thi viết để vào vòng phỏng vấn hay loại bớt 50 ứng viên và chỉ lấy 150 ứng viên trong số đó. Vậy nếu bạn là Người quyết định của phòng Nhân sự của công ty X thì bạn sẽ lựa chọn 150 ứng viên hay 200 ứng viên, biết rằng tất cả các ứng viên vào phỏng vấn sẽ bốc thăm ngẫu nhiên một câu hỏi từ hòm đựng phiếu để trả lời và sau đó trả lại hòm đựng phiếu, và tiêu chí của công ty là xác suất để các ứng viên bốc được các câu hỏi đôi một khác nhau là cao nhất. Câu 10 (1,0 điểm). Cho biết a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện (a − b) 2 + (b− c) 2 + (c − a) 2 ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2 a 2 + b 2 2 −c ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 3 + 3 a + 3 b + 3 c − 1 16 (a + b + c) 4 . HẾT Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 2 PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = mx − x 3 (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 1 . 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên tập xác định. 1. Học sinh tự giải. 2. Hàm số xác định với mọi x. Ta có: y ' = m− 3x 2 . Hàm số nghịch biến trên ! ⇔ y' ≤ 0,∀x ∈ ! ⇔ m ≤ 3x 2 ,∀x ∈ ! ⇔ m ≤ 0 . Vậy m ≤ 0 là giá trị cần tìm. Câu 2 (1,0 điểm). a) Tính A = 2 3 sin a −8cos 3 a , biết cos3a = −1 và − π 2 < a < 0 . b) Tìm 2 nhiệm phức của phương trình z 2 − 2z +5 = 0 và tính tổng 2 môđun của 2 nghiệm đó. a) Ta có: cos3a = −1⇔ 4cos 3 a −3cos a +1= 0 ⇔ (cos a +1)(2cos a −1) 2 = 0 ⇔ cos a = −1 cos a = 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ . Vì − π 2 < a < 0 ⇒ cos a = 1 2 , và sin a = − 1− cos 2 a = − 3 2 . Vì vậy A = 2 3. − 3 2 −8. 1 2 3 = −4 . b) Ta có: (z −1) 2 = −4 = 4i 2 ⇔ z = 1+ 2i;z = 1− 2i . Tổng 2 môđun của 2 nghiệm là 1 2 + 2 2 + 1 2 + (−2) 2 = 2 5 . Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 3 2 x+1 + 9 x − 40.3 x−1 + 4 = 0 . Phương trình tương đương với: 4.3 2 x − 40 3 .3 x + 4 = 0 . Đặt t = 3 x > 0 , phương trình trở thành: 4t 2 − 40 3 t + 4 = 0 ⇔ t = 3 t = 1 3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ 3 x = 3 3 x = 1 3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇔ x = ±1 . Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình (x − 4) 2 ( x + 4− x 2 )+ (x 2 − 2x) 2 3 = 2x 2 −14x + 28 . Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2 . Phương trình tương đương với: Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 3 (x −4) 2 ( x + 4− x 2 −2) + (x 2 −2x) 2 3 = 2x −4 ⇔ (x −4) 2 4 + 2 x 2 (4− x 2 ) −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − 2(x −2)− (x 2 −2x) 2 3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 0 ⇔ (x −4) 2 4 + 2 x 2 (4− x 2 ) −2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + (x −2) 2 (x −4) 2 4(x −2) 2 + 2(x −2) (x 2 −2x) 2 3 + (x 2 −2x) 4 3 = 0 ⇔ (x −4) 2 4 + 2 x 2 (4− x 2 ) −2+ (x −2) 2 4(x −2) 2 + 2(x −2) (x 2 −2x) 2 3 + (x 2 −2x) 4 3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 (*) . Ta có: 4 + 2 x 2 (4− x 2 ) −2+ (x − 2) 2 4(x − 2) 2 + 2(x − 2) (x 2 −2x) 2 3 + (x 2 −2x) 4 3 ≥ 0,∀x ∈ −2;2 ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2 . Vì vậy (*) ⇔ x = 2 (x − 4) 2 = 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⇔ x = 2 x = 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ . Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm x = 2 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . Cách 2: Ta có, x + 4− x 2 = 4 + 2 x 2 (4− x 2 ) ≥ 2; (x 2 −2x) 2 3 ≥ 0,∀x ∈ −2;2 ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⇒VT ≥ 2(x −4) 2 = (2x 2 −14x + 28) + (4−2x) ≥ 2x 2 −14x + 28 = VP,∀x ∈ −2;2 ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 2 (4− x 2 ) = 0 (x 2 − 2x) 2 = 0 4− 2x = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = 2 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = x 2x +1 3 +1 2x +1 dx 0 13 ∫ . Đặt t = 2x +1 3 ⇒ x = t 3 −1 2 ⇒ dx = 3t 2 2 dt . Vì vậy, I = t 3 −1 2 .t +1 t 3 . 3t 2 2 dt 1 3 ∫ = 3 4 (t 3 −1+ 2 t ) dt 1 3 ∫ = 3 4 ( t 4 4 −t + 2ln t ) 3 1 = . Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 4 Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA = 8a và vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC đều cạnh bằng 4a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN). Ta có: 22 2a 3AN AB BN=−= Và 2 1 .4a3 2 ABC SBCAN Δ == . Vì vậy, 2 . 11 .4a3.8a 33 SABC ABC VSSA Δ == 3 32a 3 3 = (đvtt). Ta có: . . 1 4 BAMN SABC V BA BM BN VBABSBC == , nên 3 18a3 43 BAMN SABC VV== . Mặt khác, 1 45a 25a 2 SB SC MN SC== ⇒ = = ; 1 25a 2 AM SB== . Gọi H là trung điểm AN thì MH AN⊥ , 22 a17MH AM AH⇒= − = . Diện tích tam giác AMN là 2 11 .2a3.a17a51 22 AMN SANMH Δ == = . Vì vậy: 3 . 2 3 8a 3 8a 8a 17 (,( )) 17 a 51 17 BAMN AMN V d B AMN S Δ ==== . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;1). Gọi D(-1;-1) là điểm trên đường thẳng BC thoả mãn AD = DC , và đường thẳng AC đi qua điểm M(-1;4). Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết điểm H(0;-2) là trực tâm tam giác ABC. S A B N C M H Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 5 Ta có: DA = DC, IA = IC ⇒ DI là đường trung trực của AC, vì vậy DI ⊥ AC . Phương trình đường thẳng AC qua M(-1;4) vuông góc DI là x − 2 y + 9 = 0 . Gọi E là trung điểm của AC, ta có IE qua I vuông góc AC là 2x + y + 3 = 0 . Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ x − 2 y + 9 = 0 2x + y + 3 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ E(−3;3) . Suy ra, BH ! "!! = 2IE ! "! = 2(−1;2) = (−2;4) ⇒ B(2;−2) . Đường thẳng BC qua B,D có phương trình là x + 3y + 4 = 0 . Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ x − 2 y + 9 = 0 x + 3y + 4 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ C(−7;1) . Vì E là trung điểm của AC nên A(1;5). Vậy A(1;5), B(2;-2) và C(-7;1). Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) , và mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là (P) : 2x − 2 y + z − 3 = 0 ; (S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4 y − 6z + 5 = 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Tâm mặt cầu (S) là điểm I(1;-2;3). Bán kính mặt cầu (S) : r = 3. Vì (Q) // (P) nên ta gọi phương trình (Q) : 2x – 2y + z + D = 0 Vì (Q) tiếp xúc với (S) nên ta có d(I, (Q)) = r ⇔ | 2.1− 2.(−2) + 3+ D | 3 = 3 . ⇔| 9 + D |= 9 ⇔ D = 0 D = −18 ⎡ ⎣ ⎢ . Vậy (Q): 2x – 2y + z = 0 hoặc (Q): 2x – 2y + z -18 = 0. Câu 9 (0,5 điểm). Một đợt tuyển nhân viên mới của công ty X, sau khi sơ loại hồ sơ và qua vòng thi viết phòng Nhân sự của công ty X đã tổng hợp được 200 ứng viên đủ điều kiện để vào vòng phỏng vấn. Biết rằng nếu có bao nhiêu ứng viên được lựa chọn phỏng vấn thì phòng Nhân sự sẽ chuẩn bị bấy nhiêu câu hỏi khác nhau và các câu hỏi được đựng trong một hòm đựng phiếu. Phòng Nhân sự đang phân vân giữa việc lựa chọn tất cả 200 ứng viên đã qua vòng thi viết để vào vòng phỏng vấn hay loại bớt 50 ứng viên và chỉ lấy 150 ứng viên trong số đó. Vậy nếu bạn là Người quyết định của phòng Nhân sự của công ty X thì bạn sẽ lựa chọn 150 ứng viên hay 200 ứng viên, biết rằng tất cả các ứng viên vào phỏng vấn sẽ bốc thăm ngẫu nhiên một câu hỏi từ hòm đựng phiếu để trả lời và sau đó trả lại hòm đựng phiếu, và tiêu chí của công ty là xác suất để các ứng viên bốc được các câu hỏi đôi một khác nhau là cao nhất. Giả sử có n ứng viên được gọi vào vòng phỏng vấn, Không gian mẫu là số cách lựa chọn câu hỏi của n ứng viên, mỗi ứng viên có n cách lựa chọn câu hỏi nên có n(Ω) = n n . Gọi A là biến cố các ứng viên bốc được các câu hỏi đôi một khác nhau. Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm 3 học sinh nhận ưu đãi học phí Chi tiết: Mathlinks.vn 6 Có n câu hỏi khác nhau và n ứng viên, nên số cách để n ứng viên bốc được các câu hỏi đôi một khác nhau là n! cách, vậy n( A) = n! . Xác suất cần tính, P( A) = n! n n . Vì vậy, với 150 ứng viên thì xác suất là 150! 150 150 ; 200 ứng viên thì xác suất là 200! 200 200 . Ta cần so sánh 150! 150 150 và 200! 200 200 . Ta có, (n +1)! (n +1) n+1 = n n +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n n! n n < n! n n , vì n n +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ n <1 . Vậy: 150! 150 150 < 200! 200 200 , tức xác suất để các ứng viên bốc đươc các câu hỏi đôi một khác nhau của 150 ứng viên lớn hơn của 200 ứng viên. Vì vậy nếu là người quyết định Phòng nhân sự của công ty X sẽ lựa chọn 150 ứng viên vào vòng phỏng vấn. Lời giải câu 10 các em xem trực tiếp tại Box đề . Mathlinks.vn 1 Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Môn: Toán; ĐỀ SỐ 49/ 50 Ngày thi : 8/05/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học. (2,0 điểm). Cho hàm số y = mx − x 3 (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 1 . 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến. (2,0 điểm). Cho hàm số y = mx − x 3 (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 1 . 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến