PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Năm học: 2012-2013 Môn: Toán Thời gian làm bài:120 phút Đề thi này gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh dự thi không được dùng máy tính cầm tay! Câu 1.(2.0 điểm) Thực hiện phép tính: a) S = 2 2 2 3 5 61 (1.2) (2.3) (30.31) + + + b) B= 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 19 37 53 15 4 2013 1 . : . 3 3 3 5 5 5 41 237373735 3 5 19 37 53 15 4 2013   + − − + + +  ÷  ÷  ÷ + − − + + +   . Câu 2. (2.0 điểm) a) Cho 1 1 1 1 1 2 3 4 2012 A = − + − + − ; 1 1 1 1007 1008 2012 B = + + + . Tính 2013 A B    ÷   b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 1! + 2! + 3! + + n! là số chính phương. Câu 3 (2.0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: 5 4111 =++ cba b) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p 2 + q 2 + r 2 cũng là số nguyên tố. Câu 4 (2.0 điểm) Cho · 0 100xOy = . Vẽ tia phân giác Oz của · xOy ; vẽ tia Ot sao cho · 0 25yOt = . a) Tính số đo các góc: · · ,zOt xOt b) Ot có phải là tia phân giác của góc zOy không? Vì sao? Câu 5 (2.0 điểm) a) Cho A = 2012 2012 + 2 2012 và B = 2012 2012 . Chứng tỏ rằng khi biểu diễn A, B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của A và số chữ số của B là bằng nhau. b) Ký hiệu S (n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n Tìm n sao cho S (n) = n 2 – 2013n + 6. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh SBD: ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, 8 NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6 (HDC này gồm 04 trang) Câu 1: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày Điểm a (1.0 điểm) Ta có : [ ] 2 2 2 2 1 1 1 ; ( 1) ( 1) n n n n n + = − + + với n ∈N * Do đó: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 (1 ) 2 2 3 30 31 S     = − + − + + −  ÷  ÷     2 2 2 2 1 31 1 30.32 1 31 31 31 − = − = = . 0.25 0.5 0.25 b (1.0 điểm) Ta có: B = 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 19 37 53 15 4 2013 1 . : . 3 3 3 5 5 5 41 237373735 3 5 19 37 53 15 4 2013   + − − + + +  ÷  ÷  ÷ + − − + + +   = 1 1 1 1 1 1 12. 1 4 1 47 41.3.1010101 19 37 53 15 4 2013 . : . 1 1 1 1 1 1 41 47.5.1010101 3 1 5 1 19 37 53 15 4 2013       + − − + + +  ÷  ÷  ÷      ÷      ÷ + − − + + +  ÷  ÷  ÷       = 5.47 3.41 ). 4 5 .4.( 41 47 = 3 0.5 0.5 Câu 2: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày Điểm a (1.0 điểm) Ta có 1 1 1 1 1 2 3 4 2012 A = − + − + − ; = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2 3 4 2012 2 4 6 2012 + + + + + − + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 4 2012 2 3 4 1006 + + + + + − + + + + 1 1 1 1007 1008 2012 = + + + = B Suy ra: 2013 2013 1 1 1 A A B B   = => = =  ÷   Vậy 2013 1 A B   =  ÷   0.25 0.25 0.25 0.25 b (1.0 điểm) Xét : n = 1 ⇒ 1! = 1 2 n = 2 ⇒ 1! +2! = 3 n=3 ⇒ 1! + 2! + 3! = 9 =3 2 ĐỀ CHÍNH THỨC n = 4 ⇒ 1!+ 2! +3! + 4! =33 - Với n >4 thì n! = 1.2.3 n là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0. Nên 1!+2!+ +n! = 33 cộng với một số có chữ số tận cùng bằng 0 Suy ra : 1!+2!+ +n! có chữ số tận cùng là 3, nên nó không phải là số chính phương. - Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + +n! là số chính phương 0.25 0.5 0.25 Câu 3: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày Điểm a (1.0 điểm) Ta thấy: a, b, c là các số tự nhiên khác 0 Do a, b, c có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử: 0 < a ≤ b ≤ c Ta có: 1 1 1 3 a b c a + + ≤ 3 4 5a => ≥ => a ≤ 15 4 => a ∈ {1;2;3} + Với a = 1 thì 1 1 4 1 5b c + = − . Không tồn tại b, c ∈N thỏa mãn. + Với a = 2: Ta có: 1 1 1 4 2 5b c + + = => 1 1 3 10b c + = Do b ≤ c nên 1 1 2 b c b + ≤ 2 3 10b => ≥ 2 3 10b => ≥ => b ≤ 20 3 => b∈ {1;2;3;4;5;6} Kiểm tra các trường hợp ta thấy b = 5 thì c = 10; b=4 thì c=20 (thỏa mãn). Các trường hợp còn lại của b không thỏa mãn. + Với a = 3: Ta có 1 1 4 1 7 5 3 15b c + = − = Do b ≤ c nên 1 1 2 b c b + ≤ 0.25 0.25 0.25 2 7 15b => ≥ b ≤ 30 4 => b∈ {1;2;3;4;5;6;7} Kiểm tra các trường hợp của b ta thấy các giá trị của c đều không thỏa mãn c∈ N Vậy các bộ số (a;b;c) thỏa mãn đề bài là: (2;5;10) , (2;4;20) và các hoán vị của chúng 0.25 b (1.0 điểm) - Vì p > q > r nên: p 2 + q 2 > 2 Do vậy p 2 + q 2 + r 2 là số nguyên tố thì p 2 + q 2 + r 2 phải là số lẻ => p 2 , q 2 , r 2 là các số lẻ => p, q, r là các số nguyên tố lẻ. - Trong ba số p,q,r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết cho 3 thì p 2 , q 2 , r 2 chia 3 đều dư 1, khi đó p 2 + q 2 + r 2 chia hết cho 3 (mâu thuẫn) => p = 3 ( p là số nguyên tố lẻ và nhỏ nhất trong 3 số) => q = 5, r = 7 Kiểm tra: p 2 + q 2 + r 2 = 3 2 + 5 2 + 7 2 = 83 là số nguyên tố (thỏa mãn) 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 4: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày Điểm a (1.0 điểm) Tia Oz là phân giác góc xOy nên · 0 50yOz = Xét hai trường hợp: * Trường hợp 1: Ot nằm giữa Oz và Oy Mà · 0 25yOt = và Ot nằm giữa Oz, Oy nên · 0 25zOt = Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Ot nằm giữa Oy, Oz nên Oz nằm giữa Ox, Ot => · 0 75xOt = * Trường hợp 2: Oy nằm giữa Oz, Ot Tia Oy nằm giữa Oz, Ot nên · 0 75zOt = Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Oy nằm giữa Ot, Oz nên Oz, Oy nằm giữa Ox, Ot => · 0 125xOt = 0.25 0.25 0.25 0.25 O x y z t 50 0 50 0 25 0 50 0 50 0 25 0 O x y z t b (1.0 điểm) - Trường hợp Oy nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của góc zOy - Trường hợp Ot nằm giữa Oz và Oy ta có: · 0 25yOt = và · 0 25zOt = nên Ot là phân giác của góc zOy. 0.5 0.5 Câu 5: (2,0 điểm) Phần Nội dung trình bày Điểm a (1.0 điểm) Giả sử số B=2012 2012 khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có: 1000 2012 < 2012 2012 < 10 n => 10 n > 10 6036 => n > 6036 Giả sử khi số A=2012 2012 + 2 2012 biểu diễn dưới dạng số tự nhiên thì số A có nhiều hơn n chữ số, tức là A ít nhất có n + 1 chữ số, suy ra: 2012 2012 +2 2012 ≥ 10 n => 2012 2012 < 10 n < 2012 2012 + 2 2012 => 2 2012 .1006 2012 < 2 2012 . 2 n – 2012 .5 n ≤ 2 2012 .(1006 2012 +1) Do n > 6036 => 1006 2012 < 2 n-2012 .5 n ≤ 1006 2012 +1. => 2 n-2012 .5 n = 1006 2012 +1. Điều này là vô lý vì 1006 2012 +1 là số lẻ, còn 2 n-2012 .5 n là số chẵn. Do đó số chữ số của A không nhiều hơn số chữ số của B => ĐPCM 0.25 0.25 0.25 0.25 b (1.0 điểm) Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân ta có: n = 1 1 1 0 .10 .10 .10 m m m m a a a a − − + + + + ( với a i là các chữ số, i = 0,1,2, ,m ; m ∈N) => n ≥ 1 1 0 m m a a a a − + + + + => n ≥ S (n) => n 2 – 2013n + 6 ≤ n => n 2 + 6 ≤ 2014n => 6 2014n n + ≤ => n< 2014 (1) Mà S (n) ≥ 0 => n 2 – 2013n + 6 ≥ 0 => n 2 + 6 ≥ 2013n => 6 2013n n + ≥ => n ≥ 2013 (2) Từ (1) và (2) suy ra n = 2013 Thử với n = 2013 ta có: S (2013) = 2013 2 – 2013.2013 +6 = 6 (thỏa mãn) Vậy số tự nhiên n cần tìm là 2013. 0.25 0.25 0.25 0.25 Giám khảo chú ý: - HDC chỉ là một cách giải. HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào bài làm cụ thể của HS để cho điểm. - Điểm các phần, các câu không làm tròn. Điểm toàn là tổng điểm của các câu thành phần. ………. . + 6. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh SBD: ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, 8 NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6 (HDC. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Năm học: 2012-2013 Môn: Toán Thời gian làm bài:120 phút Đề thi này gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh dự thi không được dùng máy. => 2 2012 .10 06 2012 < 2 2012 . 2 n – 2012 .5 n ≤ 2 2012 .(10 06 2012 +1) Do n > 60 36 => 10 06 2012 < 2 n-2012 .5 n ≤ 10 06 2012 +1. => 2 n-2012 .5 n = 10 06 2012 +1. Điều