DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH-THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2 Môn: TOÁN; Thời gian làm bài 180 phút Câu Đáp án Điểm Câu 1: ( 2,0 điểm) a) (1,0 điểm) 1 0 . Tập xác định: { } \ 1D R = . 2 0 .Sự biến thiên: * Giới hạn, tiệm cận: Ta có 1 lim x y - ® = +¥ và 1 lim x y + ® = -¥ . Do đó đường thẳng 1x = là tiệm cận đứng của đồ thị (H). Vì lim lim 1 x x y y ®-¥ ®+¥ = = nên đường thẳng 1y = là tiệm cận ngang của đồ thị (H). * Chiều biến thiên: Ta có 2 1 ' 0 ( 1) y x = > - , với mọi 1x ¹ . Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;1) -¥ , (1; ) +¥ . * Bảng biến thiên: x -¥ 1 +¥ y’ + + y +¥ 1 1 -¥ 3 0 Đồ thị: 0,5 0,5 b) (1,0 điểm) Ta có: ( ) 2 1 ' 1 y x = - , với mọi 1x ¹ . Vì tiếp tuyến có hệ số góc 1k = nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình ( ) 2 1 1 1x = - hay ( ) 2 1 1x - = Û 0 2 x x = é ê = ë *) Với 0x = ta có phương trình tiếp tuyến 2y x = + . *) Với 2x = ta có phương trình tiếp tuyến 2y x = - . Vậy có hai tiếp tuyến là: 2y x = + và 2y x = - . 0,5 0,5 Câu 2: ( 1,0 điểm) a) (0,5 điểm) Rõ ràng cos 0 a ¹ , chia cả tử số và mẫu số của A cho 3 cos a ta được ( ) 2 2 3 tan 1 tan 2 2.5 2 4 1 tan 2 tan 5 16 7 A a a a a + + + = = = + + + 0,5 b) (0,5 điểm) Giả sử z a bi = + ( , )a b Î ¡ . Suy ra ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 i z a bi a b i i - + = + + = + + - + . Từ giả thiết 2 1 z i + + là số thực nên ta có 1b = . Khi đó 2 2 2 1 2 3z a i a a = Û + = Û + = Û = ± . 0,5 Đồ thị (H) cắt trục Ox tại (2 ; 0), cắt Oy tại (0 ; 2), nhận giao điểm I(1 ; 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Vậy số phức cần tìm là 3z i = + và 3z i = - + Câu 3: ( 0,5 điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với 2 3 1 2 .2 2 x x x - > 2 3 1 2 2 2 3 1 x x x x x x + - Û > Û + - > 2 2 1 0 1 2 1 2x x x Û - - < Û - < < + 0,5 Câu 4: ( 1,0 điểm) *) Điều kiện 2 4 0 2 2.x x - ³ Û - £ £ Phương trình đã cho tương đương với ( ) 2 2 2 2 3 4 2 2 2 2x x x x x x + - = - - - + (1) Ta có ( ) 2 2 2 4 4 2 4 4x x x x + - = + - ³ , với mọi [ ] 2; 2x Î - . Suy ra 2 4 2x x + - ³ , với mọi [ ] 2; 2x Î - . (2) Dấu đẳng thức ở (2) xảy ra khi và chỉ khi 0x = , 2x = ± . Đặt ( ) 2 2 3 2x x t - = . Dễ dàng có được [ ] 1; 2t Î - , với mọi [ ] 2; 2x Î - . Khi đó vế phải của (1) chính là 3 2 ( ) 2 2f t t t = - + , [ ] 1; 2t Î - Ta có 2 0 '( ) 3 4 0 4 3 t f t t t t = é ê = - = Û ê = ë Hơn nữa, ta lại có ( 1) 1f - = - , (0) 2f = , 4 22 f 3 27 æ ö = ç ÷ è ø , ( ) 2 2f = . Suy ra ( ) 2f t £ với mọi [ ] 1; 2t Î - . Do đó ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2x x x x - - - + £ với mọi [ ] 2; 2x Î - . (3) Dấu đẳng thức ở (3) xảy ra khi và chỉ khi 0x = , 2x = ± . Từ (2) và (3) ta có nghiệm của phương trình (1) là 0x = , 2x = ± . Vậy phương trình đã cho có nghiệm 0x = , 2x = ± . 0,5 0,5 Câu 5: ( 1,0 điểm) Chú ý rằng ( ) ln 3 1 0x x + ³ , với mọi 0 1x £ £ . Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là ( ) 1 0 ln 3 1S x x dx = + ò . Đặt ( ) u ln 3 1x = + , dv xdx = . Suy ra 3 du 3 1 dx x = + , 2 1 2 v x = . Theo công thức tích phân từng phần ta có ( ) 1 1 2 1 2 0 0 0 1 3 1 1 ln 3 1 ln 2 3 1 2 2 3 1 6 3 1 x S x x dx x dx x x æ ö = + - = - - + ç ÷ + + è ø ò ò 1 2 0 1 3 1 8 1 ln 2 ln 3 1 ln 2 . 6 2 3 9 12 x x æ x ö = - - + + = - ç ÷ è ø 0,5 0,5 Câu 6: ( 1,0 điểm) Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra ' ( )C H AB C ^ . Trong DABC ta có 2 0 1 3 . .sin120 2 2 ABC a S AB AC = = . 2 2 2 0 2 2 . .cos120 7BC AC AB AC AB a = + - = Þ 7BC a = Þ 7 2 a CH = 0,5 DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Þ 2 2 3 ' 'C 2 a C H C CH = - = Thể tích khối lăng trụ 3 3 ' . 4 ABC a V C H S = = . Hạ HK AC ^ , Vì ( ) 'C H ABC ^ Þ đường xiên 'C K AC ^ Þ ( ) ( ) ( ) · , ' ' 'ABC ACC A C KH = (1) ( 'C HK D vuông tại H nên · 0 ' 90C HK < ). Trong tam giác HAC ta có 2 3 2 HAC ABC S S a HK AC AC = = = Þ · ' tan ' 1 C H C KH HK = = Þ · 0 ' 45C KH = . (2) Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( ) ( ) 0 , ' ' 45ABC AC C A = . Ghi chú: Thí sinh có thể tính độ dài AH và suy ra DAH C vuông tại A để suy ra K A º . 0,5 Câu 7 (1,0 điểm) Gọi M là trung điểm BC. Phương trình GE hay AM là 4 7 0x y - = Û 3 7 2 4 x t y t = + ì í = + î Gọi ( ) 3 7 ;2 4M m m + + . Ta có ( ) 7 2; 4 4IM m m = + + uuur ; ( ) 7 6;4 3FM m m = - + uuuur Vì IM FM ^ nên . 0IM FM = uuur uuuur Û ( )( ) ( )( ) 7 2 7 6 4 4 4 3 0m m m m + - + + + = Û 0m = . Suy ra ( ) 3; 2M . Giả sử ( ) 3 7 ;2 4A a a + + . Vì 2GA GM = - uuur uuuur ta được 1a = - , suy ra ( ) 4; 2A - - . Suy ra phương trình : 2 7 0BC x y + - = Þ ( ) 2 7;B b b BC - + Î ( điều kiện 2b < ). Vì IB IA = nên ( ) ( ) 2 2 2 6 2 25b b - + + + = Û 1 3 (loai) b b = é ê = ë Suy ra ( ) 5;1B Þ ( ) 1; 3C (Vì M là trung điểm BC). 0,5 0,5 Câu 8 (1,0 điểm) Đường thẳng D có vtcp ( ) 1; 1; 2u D = - uur và ( ) 2;1;1A Î D Þ ( ) 4;0;1MA = uuur Þ vtpt ( ) , 1; 7; 4 P n u MA D é ù = = - ë û uur uur uuur . Suy ra ( ) ( ) ( ) : 1 2 7 1 4 0P x y z - + + - + = Û 7 4 9 0x y z - - + = N Î D Þ ( ) 2; 1; 2 1N t t t + - + + . Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 4 ( ) 2 1 11MN t t t = + + - + + = Û 2 6 12 6 0 1t t t + + = Û = - . Suy ra ( ) 1; 2 1N - 0,5 0,5 Câu 9 (0,5 điểm) Số cách lấy hai viên từ hộp là 2 C 12 66= Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu đỏ và khác số là 4.4 =16 Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu vàng và khác số là 3.4=12 Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu đỏ, 1 viên màu vàng và khác số là 3.3 = 9 Như vậy số cách lấy ra hai viên từ hộp vừa khác màu vừa khác số là 16 + 12 + 9 = 37. Suy ra xác suất cần tính là: 37 0,5606 66 P = » 0,5 DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Câu 10 1,0 đi ểm) Giả sử { } min , ,z x y z = . Đặt 0 2 z x u + = ³ , 0 2 z y v + = ³ . Khi đó ta có 2 2 2 2 2 z x z x u æ ö + £ + = ç ÷ è ø , 2 2 2 2 2 z y z y v æ ö + £ + = ç ÷ è ø (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 z z x y x y u v æ ö æ ö + £ + + + = + ç ÷ ç ÷ è ø è ø Chú ý rằng với hai số thực dương ,u v ta luôn có 1 1 4 u v u v + ³ + và ( ) 2 2 2 1 1 8 u v u v + ³ + (2) Từ (1) và áp dụng (2) ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y y z z x u v u v + + ³ + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 1 4 4u v u v u v æ ö æ ö = + + + + ç ÷ ç ÷ + è ø è ø ( ) 2 2 2 1 1 6 2u v uv u v = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 6 10 10 u v u v u v x y z ³ + = = + + + + + (3) Mặt khác ta có ( )( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1x y z xyz xy yz zx x y z + + + = + + + + + + + 2xyz x y z = + + + + 2x y z ³ + + + (4) Từ (3) và (4) suy ra ( ) ( ) 2 10 5 5 2 P x y z x y z ³ + + + + + + . (5) Đặt 0x y z t + + = > . Xét hàm số 2 10 5 ( ) , 0 2 f t t t t = + > . Ta có 3 20 5 '( ) , 0 2 f t t t = - + > Suy ra '( ) 0 2f t t = Û = , '( ) 0 2f t t > Û > , '( ) 0 0 2f t t < Û < < . Suy ra 15 ( ) (2) 2 f t f ³ = với mọi 0t > . (6) Từ (5) và (6) ta được 25 2 P ³ . Dấu đẳng thức xảy ra khi 1, 0x y z = = = hoặc các hoán vị. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 25 2 . 0,5 0,5 DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày! Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Truy c󰖮p ngay http://dethithu.net đ󰗄 download thêm các đ󰗂 thi th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia đ󰖨y đ󰗨 các môn c󰗨a các trư󰗞ng THPT và trung tâm luy󰗈n thi đ󰖢i h󰗎c trên c󰖤 nư󰗜c đư󰗤c DeThiThu.Net sưu t󰖨m và c󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày t󰖢i website . VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 20 15 – LẦN 2 Môn: TOÁN; Thời gian làm bài 180 phút Câu Đáp án Điểm Câu 1: ( 2, 0 điểm) a) (1,0 điểm) 1 0 . Tập xác định: { } 1D R = . 2 0 .Sự. 4 u v u v + ³ + và ( ) 2 2 2 1 1 8 u v u v + ³ + (2) Từ (1) và áp dụng (2) ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y y z z x u v u v + + ³ + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 1 4 4u. x y z = . Đặt 0 2 z x u + = ³ , 0 2 z y v + = ³ . Khi đó ta có 2 2 2 2 2 z x z x u æ ö + £ + = ç ÷ è ø , 2 2 2 2 2 z y z y v æ ö + £ + = ç ÷ è ø (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 z z x y x y u v