SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG Ngày thi: 30/3/2013 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,0 điểm) 1) Rút gọn: 3 2 1 3 2 1 : 2 5 10 2 3 12 A     = − + − +  ÷  ÷     . 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2012 2013P x x= − + − với x là số tự nhiên. Câu 2. (5,0 điểm) 1) Tìm x biết 2 1 2 .3 .5 10800 x x x+ + = . 2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 2 2012p + là hợp số. 2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết 4n + và 2n đều là các số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn. 1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC = . Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI CE ⊥ . 2) Phân giác của các góc · · ,ABC BDC cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của góc · BDA cắt BC tại N. Chứng minh rằng: 1 . 2 BD MN= Câu 5. (1,0 điểm) Cho 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2011 2012 2013 S = − + − + + − + và 1 1 1 1 1007 1008 2012 2013 P = + + + + . Tính ( ) 2013 S P− . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG Ngày thi: 30/3/2013 Bản hướng dẫn có 03 trang Câu Phương pháp-Kết quả Điểm Câu 1 ( 4 điểm) 1 (2điểm) 15 4 1 18 8 1 : 10 10 10 12 12 12 A     = − + − +  ÷  ÷     0.5đ 12 11 : 10 12 = 0.5đ 6 12 72 . 5 11 55 = = 0.5đ Vậy 72 55 A = . 0.5 2 (2điểm) 2012 2013P x x= − + − + Nếu 2012x = hoặc 2013x = thì 1P = 0.5 đ + Nếu 2013x > thì 2012 2013 1 2013 1P x x x= − + − > + − > 0.5đ + Nếu 2012x < thì 2012 2013 2012 1 1P x x x= − + − > − + > 0.5 + Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi 2012x = hoặc 2013x = . 0.5 đ Câu 2 (4điểm) 1 (2.5điểm) Ta có 2 1 2 2 .3 .5 10800 2 .2 .3 .3.5 10800 x x x x x x+ + = ⇔ = 1.0 đ ( ) 2.3.5 900 x ⇔ = 0.5 đ 2 30 30 2 x x⇔ = ⇔ = 0.5 Vậy 2x = là kết quả cần tìm. 0.5 đ 2 (2.5điểm) + Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là , ,a b c . Vì tổng số viên bi của ba bạn là 74 nên 74a b c+ + = 0.5 đ + Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên 5 6 10 12 a b a b = ⇒ = 0.5 đ + Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên 4 5 12 15 b c b c = ⇒ = 0.5 + Từ đó ta có 74 2 10 12 15 10 12 15 37 a b c a b c+ + = = = = = + + 0.5đ + Suy ra 20; 24; 30a b c= = = 0.5đ Câu 3 (4điểm) 1 (2điểm) + Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng ( ) 3 1 , 1p k k k= ± ∈ ≥¥ 0.5 +Với 3 1p k= + suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3p k k k p+ = + + = + + ⇒ + M 0.5 +Với 3 1p k= − suy ra ( ) ( ) 2 2 2 2 2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3p k k k p+ = − + = − + ⇒ + M 0.5 Vậy 2 2012p + là hợp số. 0.5 2 (2điểm) + Vì n là số có hai chữ số nên 9 100 18 2 200n n < < ⇒ < < 0.5đ + Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị: 36; 64; 100; 144; 196. 0.5đ + Với 2 36 18 4 22n n n = ⇒ = ⇒ + = không là số chính phương 2 64 32 4 36n n n= ⇒ = ⇒ + = là số chính phương 2 100 50 4 54n n n = ⇒ = ⇒ + = không là số chính phương 2 144 72 4 76n n n= ⇒ = ⇒ + = không là số chính phương 2 196 98 4 102n n n = ⇒ = ⇒ + = không là số chính phương 0.5 đ + Vậy số cần tìm là 32n = . 0.5đ Câu 4 (6 điểm) 1 (3điểm) + Xét hai tam giác AIB và BCE Có AI=BC (gt) BE=BA( gt) 0.5 + Góc ¼ IAB là góc ngoài của tam giác ABH nên ¼ ¼ ¼ ¼ 0 90IAB ABH AHB ABH= + = + 0.5 + Ta có · · · · 0 90EBC EBA ABC ABC= + = + . Do đó · · IAB EBC= . + Do đó ( )ABI BEC c g c= − −V V 0.5 đ + Do ( )ABI BEC c g c= − −V V nên · · AIB BCE= . 0.5 đ + Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có · · 0 90AIB IBH+ = . Do đó · · 0 90BCE IBH+ = . 0.5đ KL: CE vuông góc với BI. 0.5đ 2 (3điểm) + Do tính chất của đường phân giác, ta có DM DN⊥ . 0.5 đ + Gọi F là trung điểm của MN. Ta có FM FD FN = = . 0.5 đ + Tam giác FDM cân tại F nên · · FMD MDF= . · · · ( óc ngoài tam giác)FMD MBD BDM g= + · · MBD CDM= + 0.5 đ Suy ra · · MBD CDF= (1) 0.5 đ Ta có · · · MCD CDF CFD= + (2) Do tam giác ABC cân tại A nên · · 2MCD MBD= (3) 0.5 đ Từ (1), (2), (3) suy ra · · MBD DFC= hay tam giác DBF cân tại D. Do đó 1 2 BD DF MN= = 0.5 đ Câu 5 (1 điểm) Cho 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2011 2012 2013 S = − + − + + − + và 1 1 1 1 1007 1008 2012 2013 P = + + + + . Tính ( ) 2013 S P− . (1 điểm) + Ta có: 1 1 1 1 1007 1008 2012 2013 P = + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013   = + + + + + + + + +  ÷   1 1 1 1 2 3 1006   − + + + +  ÷   0.5 đ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007 1008 2012 2013   = + + + + + + + + +  ÷   1 1 1 1 2 2 4 6 2012   − + + + +  ÷   1 1 1 1 1 1 2 3 4 2012 2013 = − + − + − + =S. Do đó ( ) 2013 S P− =0 0.5 đ Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng. . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 201 2- 2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG Ngày thi: 30/3 /2013 Thời gian làm. ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG Ngày thi: 30/3 /2013 Bản hướng dẫn có 03 trang Câu Phương pháp-Kết quả Điểm Câu. 2011 2012 2013 S = − + − + + − + và 1 1 1 1 10 07 1008 2012 2013 P = + + + + . Tính ( ) 2013 S P− . (1 điểm) + Ta có: 1 1 1 1 10 07 1008 2012 2013 P = + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1006 1007