SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (4,0 điểm). Cho hàm số 322 (1) (4 )12yx m x mx m=−+ −− −− ( m là tham số thực), có đồ thị là (). m C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1.m = − 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị () m C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II . (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: cos 2 cos3 sin cos 4 sin 6 . x xx x x + −− = 2) Giải bất phương trình: 242 6( 3 1) 1 0xx xx − ++ + +≤ ().x ∈  3) Tìm số thực a để phương trình: 99 3cos() xx ax π += , chỉ có duy nhất một nghiệm thực .Câu III . (2,0 điểm). Tính tích phân: () 2 3 0 sin . sin 3cos x Idx xx π = + ∫ Câu IV . (6,0 điểm). 1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt , A Mx= AN y= . Tìm , x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2) Trên mặt phẳng toạ độ ,Oxy cho đường thẳng :50 x y Δ −+= và hai elíp 22 1 (): 1 25 16 xy E += , 22 2 22 (): 1( 0) xy Eab ab + =>> có cùng tiêu điểm. Biết rằng 2 ()E đi qua điểm M thuộc đường thẳng . Δ Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp 2 ()E có độ dài trục lớn nhỏ nhất. 3) Trong không gian ,Oxyz cho điểm (0;2;0)M và hai đường thẳng 12 12 32 :22(); : 12() 1, , xt x s ytt y ss zt zs =+ =+ ⎧⎧ ⎪⎪ Δ=− ∈ Δ=−− ∈ ⎨⎨ ⎪⎪ =− + = ⎩⎩   . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục Ox, sao cho (P) cắt hai đường thẳng 12 , Δ Δ lần lượt tại A, B thoả mãn 1AB = . Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực ,,abc thoả mãn: 222 6 3. abc ab bc ca ⎧ ++= ⎨ + +=− ⎩ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 666 .Pabc = ++ HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm . SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điêm Với 1,m =− ta được hàm số 3 31.yx x = −+ Tập xác định: . Giới hạn tại vô cực: lim , lim . xx yy →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ Sự biến thiên: 2 '3 30 1.yx x=−=⇔=± 0,5 '0 ( ;1)(1; ).yx>⇔∈−∞−∪ +∞ Hàm số đồng biến trên các khoảng (1)−∞ − và (1; )+∞ . '0 (1;1).yx<⇔∈− Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1). − Điểm cực đại của đồ thị (1;3), − điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).− 0,5 Bảng biến thiên: 0,5 1) 2,0đ Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3). Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng 0,5 Ta có 22 '3 2( 1) 4 , y xmx m=− +−+ là tam thức bậc hai của x. y' có biệt số 2 ' 2 2 13.mmΔ=− + + Nếu '0Δ≤ thì '0,yx≥∀, suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn. 0,5 Nếu 133133 '0 ; 22 m ⎛⎞ −+ Δ> ⇔ ∈ ⎜⎟ ⎝⎠ , thì '0y = có hai nghiện 12 1 2 ,( ). x xxx< Dấu của y': 0,5 Câu I 4,0 đ 2) 2,0đ Chọn 012 0 (; ) '() 0.xxx yx∈⇒< Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao cho 0 '( ). '( ) 1yxyx =− ⇔ pt: 22 0 1 32(1)4 0 '( ) xmxm yx − +−++ = (1) có 0,75 -2 -1 -1 1 1 3 2 x y O x y' y − ∞ − ∞ +∞ +∞ 1 − 1 − 1 3 0 0 − + + x - ∞ + ∞ ' y 1 x 2 x 0 0 − + + nghiệm . Pt (1) có: 2 1 0 3133133 '2 213 0, ; . '( ) 2 2 mm m yx ⎛⎞ −+ Δ=− + + − > ∀∈ ⎜⎟ ⎝⎠ Vậy giá trị cần tìm của m là 133133 ; 22 m ⎛⎞ −+ ∈ ⎜⎟ ⎝⎠ . 0,25 PT 0)3cos.3sin23(cossin)4cos2(cos = − + − −⇔ xxxxxx 0)3cos3cos3sin2()sin3sinsin2( = − − −⇔ xxxxxx 0,5 0)3cos)(sin13sin2( = − −⇔ xxx 0,5 1) 2,0đ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−= += += += ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= = ⇔ π π ππ ππ ππ π kx kx kx kx xx x 4 28 3 2 18 5 3 2 18 2 cos3cos 2 1 3sin ().k ∈  0,5 0,5 Tập xác định:  BPT () 22 22 62( 1) ( 1) 6( 1)( 1) 0xx xx xx xx⇔−+−+++−+++≤ 0,5 22 22 16( 1) 12. 6 0 11 xx xx xx xx −+ −+ ⇔+ −≤ ++ ++ (vì 2 10, x xx + +> ∀ ) 0,5 Đặt: 2 2 6( 1) 1 xx t xx −+ = ++ (t > 0), ta được 2 260tt + −≤ 3 0 2 t ⇔ <≤ . 0,5 Câu II 6,0 đ 2) 2,0đ BPT đã cho tương đương với 2 2 2 6( 1) 9 11 21 11 21 51150 ; . 1 4 10 10 xx xx x xx ⎛⎞ −+ − + ≤⇔ − +≤⇔∈ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ 0,5 2 9 9 3 cos( ) 3 3 .cos( ) (2). xx xx ax ax ππ − += ⇔ + = Nhận xét: Nếu 0 x là nghiệm của (2) thì 0 2 x − cũng là nghiệm của (2), 0,5 suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất là 000 21.xxx = −⇔= Với 0 1x = , thì từ (2) suy ra 6.a = − 0,5 3) 2,0đ Với 6,a =− thì phương trình (2) trở thành 2 3 3 6cos( ) (3). xx x π − +=− Ta có (3) 6, (3) 6.VT VP≥≤ Vậy 2 33 6 (3) 1. 6cos( ) 6 xx x x π − ⎧ += ⇔ ⇔= ⎨ −= ⎩ Vậy 6.a =− 1,0 Ta có: 13 sin (sin 3cos ) (cos 3sin ) 44 x xx xx=+ − − 13 (sin 3 cos ) (sin 3 cos )'. 44 x xxx=+−+ 0,5 Câu III 2,0đ Suy ra 22 23 00 11 3(sin3cos)' 44 (sin 3 cos ) (sin 3 cos ) xx Idx dx xx xx ππ + =− ++ ∫∫ 0,25 2 2 2 2 0 0 11 3 16 8(sin 3 cos ) cos 6 dx xx x π π π =+ + ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 0,75 2 0 13 tan 16 6 12 x π π ⎛⎞ =−+ ⎜⎟ ⎝⎠ 333 . 12 12 6 =+= 0,5 Kẻ DH ⊥ MN , do (DMN) ⊥ (ABC) suy ra DH ⊥ (ABC). Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. 0,5 Ta có: S AMN = 2 1 .AM.AN.sin60 0 = xy 4 3 ; S AMN = S AMH + S ANH = 2 1 .AM.AH.sin30 0 + 2 1 .AN.AH.sin30 0 = 3 3 . 4 1 (x+y). Suy ra xy 4 3 = 3 3 . 4 1 (x+y) ⇒ x+y= 3xy (0 ≤ x,y ≤ 1 ). 0,5 1) 2,0đ Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN: S = S AMD + S AND + S DMN + S AMN = 2 1 AD.AM.sin60 0 + 2 1 AD.AN.sin60 0 + 2 1 DH.MN + 2 1 AM.AN.sin60 0. = 3xy + )1xy3(xy3 6 6 − . Từ 24 32 . 39 xy x y xy xy xy=+≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Suy ra 3(4 2) min , 9 S + = khi 2 . 3 xy = = 0,5 0,5 Hai elíp có các tiêu điểm 12 ( 3;0), (3;0).FF − 0,5 Điểm 212 () 2 M EMFMFa∈⇒+ = . Vậy 2 ()E có độ dài trục lớn nhỏ nhất khi và chỉ khi 12 M FMF + nhỏ nhất. 0,5 Gọi (;)Nxy là điểm đối xứng với 1 F qua Δ , suy ra (5;2).N − Ta có: 12 22 M FMF NMMF NF+=+≥ (không đổi). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 MNF = ∩Δ 0,5 2) 2,0đ Toạ độ điểm 17 430 17 8 5 :;. 50 8 55 5 x xy MM xy y ⎧ =− ⎪ +−= ⎧ ⎪ ⎛⎞ ⇔⇒− ⎨⎨ ⎜⎟ −+= ⎝⎠ ⎩ ⎪ = ⎪ ⎩ 0,5 Câu IV 6,0đ 3) 2,0đ Giả sử đã xác định được (P) thỏa mãn ycbt. 12 (1 2 ;2 2 ; 1 ); (3 2 ; 1 2 ; ).AAtttB Bsss∈Δ ⇒ + − − + ∈Δ ⇒ + − − Suy ra () 22( );32( );1( )AB st st st=+ −−− − +− uuur 0,5 H A B C D M N GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 22 1 9( ) 22( ) 14 1 13 . 9 st AB s t s t st −=− ⎡ ⎢ ⇒=−+−+=⇒ ⎢ −=− ⎣ 0,5 Với 1(0;1;0)st AB−=−⇒ = − ⇒ uuur (P) có một vtpt 1 ; (0;0;1)nABi ⎡⎤ == ⎣⎦ u ruuurr , suy ra (): 0Pz= (loại do (P) chứa trục Ox ). 0,5 Với 13 8 1 4 ;; 9999 st AB − −− ⎛⎞ −=− ⇒ = ⎜⎟ ⎝⎠ uuur , suy ra ()P có một vtpt 2 41 ;(0;;) 99 nABi − ⎡⎤ == ⎣⎦ u ur uuurr , suy ra ():4 8 0Pyz−−= (thỏa mãn bài toán). 0,5 Từ giả thiết suy ra : 0abc + += 0,25 Ta có: ,,abc là ba nghiệm thực của phương trình ()()()0xaxbxc − −−= 33 30311 x x abc x x abc⇔−− =⇔−+= + (3) 0,5 Từ đồ thị hàm số 3 31,yx x = −+ suy ra pt (3) có ba nghiệm thực ,,abc khi và chỉ khi 1132 2.abc abc−≤ +≤ ⇔−≤ ≤ 2abc = − , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2. 2abc = , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2. 0,5 666 2 3( )P a b c P abc=++⇒− 222444222222 ()( )a b c a b c ab bc ca=++ ++− − − . 2223 222222222 ( ) 3( )( ) 216 18.9 54a b c a b c ab bc ca=++ − ++ + + = − =. 0,5 Câu V 2,0đ 2 3( ) 54 max 66,P abc P=+⇒= khi có hai số bằng -1 và một số bằng 2, hoặc hai số bằng 1 và một số bằng -2. 0,25 . THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 201 0- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: . THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điêm Với 1,m =− ta được hàm số 3 31.yx. sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm . SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM