BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN CHÍ HẢI ƯỚC LƯỢNG SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG ÂM CỦA TOÁN TỬ SCHR ¨ ODINGER TRONG MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí. Em xin được chân thành cảm ơn TS. Tạ Ngọc Trí. Sự tận tình chỉ bảo của Thầy trong suốt quá trình học tập và làm luận văn đã giúp em trưởng thành hơn rất nhiều về cách tiếp cận một vấn đề mới. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp em nâng cao trình độ tư duy, hoàn thành tốt quá trình học tập và làm luận văn. Tôi cũng xin được cảm ơn Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, trường Cao đẳng Kinh tế-Kỹ thuật Trung ương, đã luôn quan tâm giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên kịp thời để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Nguyễn Chí Hải LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí. Trong khi thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Nguyễn Chí Hải Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Không gian Lebesgue L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Không gian L p yếu . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Bất đẳng thức Sobolev . . . . . . . . . . . 13 1.5. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7. Toán tử Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . 20 1.8. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . 21 Chương 2. Điều kiện Rollnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Quan hệ với không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Dạng p-không gian . . . . . . . . . 26 2.3. Quan hệ với chuỗi Born . . . . . . . . . 30 2.4. Hạch tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Thế năng miền hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . 40 Chương 3. Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr ¨ odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1. Phương trình tích phân cho trạng thái tới hạn . . . . . . 42 3.2. Cận trên của số các giá trị riêng âm . . . . . . . . . . 46 3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . 49 3 4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 BẢNG KÝ HIỆU inf M cận dưới đúng của tập số thực M R đường thẳng thực R n không gian Euclid n - chiều C trường số phức H không gian Hilbert x, y tích vô hướng x và y  chuẩn trong không gian |x| giá trị tuyệt đối của số x z liên hợp của số phức z |x| =  n  i=1 x i 2 chuẩn Euclid của x V 1 2 || (x) = |V (x)| 1 2 V 1 2 (x) = V 1 2 || (x)[sgnV (x)] căn của toán tử năng lượng T −1 nghịch đảo của toán tử T D(A) miền xác định của toán tử A ∂f(x) ∂x i đạo hàm riêng của f tại theo x i ∇f(x) gradient của f tại x ∆ = n  i=1 ∂ 2 ∂x 2 i toán tử Laplace H = H o + V toán tử Schr¨odinger A ∗ toán tử liên hợp của toán tử A f : X → Y ánh xạ từ X vào Y suppf giá của hàm f f ∗ g tích chập của f và g L p (X) 1 ≤ p < ∞ các hàm đo được p - khả tích f L p = f p = [  X |f(x)| p dµ] 1/p chuẩn trong L p (X) f L ∞ = f ∞ f ∞ = inf{C : |f(x)| ≤ C h.k.n} chuẩn trong L ∞ (X) L ∞ (X) 1 ≤ p < ∞ các hàm đo được bị chặn h.k.n h.k.n hầu khắp nơi ρ(T ) tập giải thưc của toán tử T σ(T ) phổ của toán tử T MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết phổ của toán tử Schr¨odinger đã thu hút được sự quan tâm và nghiên cứu của nhiều nhà toán học. Nó là sự kết hợp chặt chẽ của giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier, và có vai trò quan trọng trong vật lý. Trong cơ học lượng tử chúng ta gặp toán tử Schr¨odinger −∆ + V . Trong rất nhiều các trường hợp của V , phổ của toán tử −∆ + V có một phần giống như phổ của toán tử Schr¨odinger "tự do" −∆, tức là [0, ∞) và một số các giá trị riêng âm. Một số trường hợp ta có thể ước lượng được số các giá trị riêng âm đó. Việc làm này có ý nghĩa trong vật lý (xem [4], [8], [12] và những tài liệu trích dẫn trong đó). Luận văn này nghiên cứu một số ước lượng về số giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger khi toán tử thế năng V được xét trong một số lớp hàm đặc biệt. Sau khi được học những kiến thức về giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier, cùng với sự định hướng của thầy TS.Tạ Ngọc Trí, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp” để làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Nắm được các khái niệm và ứng dụng của “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp” để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về toán giải tích , lý thuyết toán tử. 7 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp”. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Nghiên cứu về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp”. • Phạm vi: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước nghiên cứu về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp”. 5. Phương pháp nghiên cứu • Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu; • Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết toán tử. • Tham khảo ý kiến của chuyên gia. 6. Những đóng góp của đề tài • Trình bày được một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odingertrong một số trường hợp” và các tính chất của nó. • Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp”. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cần thiết về những không gian và những toán tử mà chúng ta cần dùng đến trong các chương sau. Những kiến thức trình bày trong chương này được chọn từ các tài liệu [1], [2], [5], [12]. 1.1. Không gian Banach Cho X là một không gian vectơ trên trường số phức C . Định nghĩa 1.1.1. Một chuẩn, kí hiệu ||· ||, trong X là một ánh xạ đi từ X vào R thỏa mãn các điều kiện: 1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X ; 2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); 3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ C và mọi x ∈ X; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X. Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian định chuẩn. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X, đặt ρ(x, y) = ||x −y|| Khi đó, ρ là một metric trên X. Định nghĩa 1.1.3. Dãy (x n ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x 0 ∈ X nếu lim n→∞ ||x n − x 0 || = 0. 8 9 Khi đó, ta kí hiệu lim n→∞ x n = x 0 hoặc x n → x 0 , khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.4. Dãy (x n ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản, hay dãy Cauchy, nếu lim m,n→∞ ||x m − x n || = 0. Định nghĩa 1.1.5. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric đầy đủ (với khoảng cách ρ(x, y) = ||x−y||). Khi đó X được gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.6. Cho X và Y là hai không gian véc tơ trên trường C. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn: 1) A(x + y) = Ax + Ay ∀x, y ∈ X; 2) A(αx) = αAx ∀x ∈ X, α ∈ C. Khi X = Y thì A gọi là toán tử trên X. Khi Y = C thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.1.7. Cho X và Y là hai không gian Banach. Cho toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y xác định trên không gian véc tơ con D(A) của X vào không gian Y . Tập D(A) gọi là miền xác định của A. Tập KerA = N(A) = {x ∈ D(A) : Ax = 0} ⊂ X gọi là hạch của A. Ta nói A bị chặn trên X nếu D(A) = X và tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho: ||Ax|| ≤ c||x|| ∀x ∈ X. [...]... là toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.6.3 Ta nói rằng A là toán tử Hermit nếu φ, Aψ = Aφ, ψ với mọi φ, ψ ∈ D(A) Định nghĩa 1.6.4 Cho A là một toán tử Ta nói A là tự liên hợp nếu A = A∗ 19 Định nghĩa 1.6.5 Cho A là một toán tử tự liên hợp Tập giải thức của A, kí hiệu là ρ(A), gồm tất cả những số phức z sao cho { (A − z) φ, φ : φ ∈ D(A)} là đồ thị của một toán tử bị chặn, nghĩa là: tồn tại toán tử ˜ bị... V , H0 là toán tử nhân với V và Schr¨dinger tự o do trên L2 (Rn ) Toán tử H = H0 +V trên không gian Hilbert L2 (Rn ) cho bởi Hψ = H0 ψ + V ψ với ψ ∈ L2 (Rn ), được gọi là toán tử Schr¨dinger o hoặc toán tử Hamilton Lưu ý rằng, trong vật lý học toán tử H0 được cho dưới dạng H0 = −∆, trong đó ∆ = 2 n = i=1 ∂2 ∂x2 i có tên là toán tử Laplace; V : Rn → R là một hàm số Về miền xác định của toán tử H và tính... liên hợp của nó được khẳng định trong định lý sau: Định lý 1.7.2 (Kato-Rellich, [11], Theorem 1) Cho H0 là toán tử tự liên hợp và giả sử rằng V là một toán tử đối xứng với D(H0 ) ⊂ D(V ) sao cho có a < 1 và số b để V (φ) ≤ a H0 φ + b φ với mọi φ ∈ D(H0 ) Khi đó H0 +V xác định trên D(H0 )∩D(V ) ≡ D(H0 ) là tự liên hợp Toán tử H0 thường được goị là toán tử động năng, hàm số V thường được gọi là toán tử. .. tiếp của định lý trên ta có định nghĩa toán tử liên hợp bị chặn: Nếu A là toán tử bị chặn, B(ψ, φ) = Aψ, φ thoả mãn |B(ψ, φ)| A ψ φ , thì ta có thể: 18 Định nghĩa 1.5.7 Cho toán tử bị chặn A, ta định nghĩa toán tử A∗ , gọi là liên hợp của A, bởi đẳng thức sau ψ, A∗ φ = Aψ, φ Định nghĩa 1.5.8 Ta nói rằng trong không gian Hilbert H, ψn hội tụ đến ψ theo chuẩn khi và chỉ khi ψn − ψ → 0 1.6 Toán tử tự... (X, S, µ) là một không gian đo được, nghĩa là X là một tập và (i) S là một σ−đại số trong X, nghĩa là S là một họ những tập con của X sao cho: (a) ∅ ∈ S, (b) A ∈ S ⇒ Ac ∈ S, ∞ An ∈ S, (c) Nếu An ∈ S ∀n thì n=1 (ii) µ là một độ đo xác định trên S, nghĩa là µ : S → [0, ∞] thỏa mãn: (a) µ(∅) = 0, (b) Nếu (An ) là một họ đếm được các phần tử rời nhau của S, thì ∞ ∞ µ µ(An ) An = n=1 n=1 Phần tử của S gọi... toán tử, kí hiệu A + B, xác định bởi biểu thức (A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X; • Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA, được xác định bởi biểu thức (αA)(x) = α(Ax) Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian véc tơ Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian véc tơ trên trường C Trong trường hợp. .. hợp Không phải tất cả các toán tử vật lý đều bị chặn Những toán tử không bị chặn không thể xác định khắp nơi trên toàn bộ không gian Ta có Định lý 1.6.1 (Hellinger-Toeplitz, [7], p 203) Toán tử A xác định khắp nơi thỏa mãn φ, Aψ = Aφ, ψ thì bị chặn Như vậy, kết quả trên nói rằng, ngay cả với toán tử đối xứng A, D(A) không thể là cả không gian Hilbert H Tuy vậy, tồn tại một lớp quan trọng các toán tử. .. Rollnik Tập hợp các thế năng thỏa mãn (2.1) được kí hiệu là R Mỗi phần tử của R được gọi là thế năng Rollnik Ta định nghĩa chuẩn Rollnik trong R như sau: V 2 R = |V (x)| |V (y)| 3 3 d xd y < ∞ |x − y|2 Trong phần 2.2, chúng ta sẽ chỉ ra rằng R với R (2.2) là một không gian định chuẩn đủ Lưu ý rằng, ý nghĩa của (2.1) là nó đảm bảo cho ta rằng 1 toán tử giới hạn của V||2 (E − H0 )−1 V 2 là một toán tử Hilbert... hàm sẽ dùng đến trong các chương sau Chương 2 Điều kiện Rollnik Nhiều tác giả đã nghiên cứu toán tử Schr¨dinger H = H0 + V dưới o những khía cạnh khác nhau Trong mỗi trường hợp người ta thường đặt một số điều kiện lên toán tử V Chương này dành cho việc nghiên cứu một cách chi tiết các tính chất khác nhau của hàm đo được V (x) thỏa mãn điều kiện Rollnik: |V (x)| |V (y)| 3 3 d xd y < ∞ |x − y|2 (2.1)... là toán tử compact (z ∈ D ), giải tích trên miền D của mặt phẳng phức (miền được hiểu là tập mở, liên thông) Khi đó, một trong các khẳng định sau thỏa mãn: (a) (1 − A(z))−1 không tồn tại với bất kỳ z ∈ D (b) Tồn tại một tập rời rạc S trong D sao cho (1 − A(z))−1 tồn tại nếu z ∈ S và A(z)φ = φ có một nghiệm z ∈ S Hơn thế, (1 − A(z))−1 là / giải tích trong D\S và có cực tại những điểm của S 1.7 Toán tử . về Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp . 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Nghiên cứu về Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán. của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp . • Phạm vi: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước nghiên cứu về Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường. kiến thức cơ bản về Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odingertrong một số trường hợp và các tính chất của nó. • Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu