LỜI CẢM ƠN Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích, khoa toán trường ĐHSPHN 2, gia đình, bạn bè, các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt 2, những người đã động viên tôi trong suốt quá trình học và làm luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thu Thùy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan các tài liệu nghiên cứu trong luận văn là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên bất kì tạp chí nào. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thu Thùy MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1. Kiến thức bổ trợ. 3 1.1 Phương trình vi phân Riccati. 3 1.2 Phương pháp tuyến tính hóa. 1.3 Phương pháp Newton. 1.4 Trong không gian n . 1.5 Phương pháp Newton – Katorovich. 1.6 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính. 1.7 Phương pháp Galerkin. 1.8 Môt số kiến thức cơ bản về giải tích hàm. 1.9 Đạo hàm Frechét trong không gian định chuẩn. 1.10 Phương trình Sturm – Liouville. 1.11 Định lý Tchaplygin về bất đẳng thức vi phân. 3 5 8 9 10 13 15 16 17 18 Chương 2. Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến. 2.1. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán biên đối với phương trình vi phân thường phi tuyến. 2.1.1.Tính chất đơn điệu. 2.1.2. Phương pháp tiếp cận cơ bản. 2.1.3. Mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số. 2.1.4. Phép nhân tử hóa đối với toán tử vi phân tuyến tính cấp 2. 2.1.5. Tính chất dương của nghiệm của phương trình vi phân. 2.1.6. Xét quan hệ với phương trình đạo hàm riêng parabolic. 2.1.7. Bàn về các giá trị riêng. 19 19 19 20 21 23 25 26 28 2.1.8. Sự hoàn thiện của việc đánh giá sự hội tụ. 2.2. Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ. 2.2.1. Áp dụng tuyến tính hóa đối với hệ. 2.2.2. Giải hệ phương trình tuyến tính. 2.2.3. Một số ví dụ. 2.2.4. Tính toán đồng thời các xấp xỉ. 2.2.5. Thảo luận. 2.2.6. Tính chất đơn điệu đối với hệ. 2.2.7. Tính chất đơn điệu đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp N. 2.2.8. Phương trình parabolic. 29 31 31 33 34 35 37 38 39 40 Chương 3. Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải một số bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến cấp một. 3.1. Đặt vấn đề. 3.2. Môt số ví dụ. 42 42 43 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cho X và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và :P X Y là toán tử phi tuyến. Xét phương trình toán tử Pu = 0 (1) Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử phi tuyến trong không gian định chuẩn. Giả sử phương trình toán tử dạng Pu = 0 là có một nghiệm duy nhất u = u * . Vấn đề tìm nghiệm của phương trình là vấn đề cơ bản trong việc giải phương trình. Trong trường hợp tìm nghiệm chính xác của phương trình (1) là rất khó hoặc không thể tìm được thì người ta nghiên cứu để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình đó. Nhà toán học L. Kantorovich đã khái quát phương pháp Newton giải phương trình vô hướng f(x) = 0 trong không gian để giải phương trình (1). Trong đó tư tưởng tuyến tính hoá đã được ông phát triển và khái quát rất thành công cho phương trình toán tử. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến. Phương pháp nghiên cứu ở đây là áp dụng sự tuyến tính hóa và bất đẳng thức vi phân. Thông qua bất đẳng thức vi phân để xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ (x n ) đơn điệu tăng hội tụ tới nghiệm u * của (1). Đề tài chúng tôi nghiên cứu là “Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính hóa và bất đẳng thức vi phân vào giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi 2 phân thường phi tuyến. Nêu một số ví dụ về giải số bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về phương pháp tựa tuyến tính hóa, nghiên cứu về bất đẳng thức vi phân. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đơn điệu tới nghiệm của của bài toán biên. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập. 6. Những đóng góp mới của đề tài Luận văn trình bầy một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương pháp tựa tuyến tính hóa. Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính trong việc giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến . 3 Chương 1 Kiến thức bổ trợ 1.1 Phương trình vi phân Riccati Phương trình vi phân Riccati là phương trình vi phân phi tuyến bậc 1 dạng 2 ( ) ( ) 0v v p t v q t      . (1.1) Nói chung phương trình Riccati không giải được bằng cầu phương và các hàm cơ bản của giải tích với các hệ số tùy ý p(t) và q(t). Phương trình (1.1) có mối quan hệ với phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. Ta bắt đầu với phương trình ( ) ( ) 0v p t v q t v      , (1.2) ta đặt : vdt ue   , khi đó, vdt u ve    , 2 vdt vdt u v e v e     , thay u , u  , u  vào phương trình (1.2) thì ta đưa (1.2) về dạng (1.1) 1.2 Phương pháp tuyến tính hóa a. Xét hàm một biến Xét phương trình ( ) 0fx trong đó hàm f xác định trên ( , )ab , 0 ( , )x a b Giả sử hàm số f có đạo hàm tại 0 x . Khi đó , 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim xx f x f x fx xx      . Đặt: 0 0 0 0 ( ) ( ) '( )( ) ( , )f x f x f x x x x x      . (1.3) Thì 0 0 0 ( , ) lim 0 xx xx xx     . Từ (1.3) ta có 0 0 0 0 ( ) ( ) '( )( ) ( , )f x f x f x x x x x      . 4 Khi x gần x 0 thì 0 0 0 ( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x   . (1.4) Từ (1.4) ta nhận thấy vế trái của (1.4) là biểu thức phi tuyến và vế phải là biểu thức bậc nhất đối với x. Dựa vào (1.4) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất đối với x. Ý tưởng của phương pháp tiếp tuyến của Newton là giải xấp xỉ phương trình phi tuyến thông qua việc giải một dãy những phương trình tuyến tính. b. Xét hàm hai biến Xét phương trình: ( , ) 0f x y  (1.5) trong đó f xác định trên tập mở 2 U  , 00 ( , )x y U Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm 00 ( , )x y U . Khi đó, 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) ( ) xy f x y f x y f x y x x f x y y y h        Trong đó, 00 ( , )h x x y y   , vì thế nếu h đủ nhỏ, khi đó ta có 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) xy f x y f x y f x y x x f x y y y      (1.6) Từ (1.6) nhận thấy vế trái của (1.6) là biểu thức phi tuyến vế phải là biểu thức bậc nhất đối với x, y. Dựa vào (1.6) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất đối với x, y. c. Xét hàm n biến Xét phương trình ( ) 0fx trong đó f xác định trên tập n U  , và 12 ( , , , ) n x x x x , 5 Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm (0) (0) (0) (0) 12 ( , , , ) n x x x x U . Khi đó:   12 (0) (0) (0) (0) (0) 1 1 2 2 (0) (0) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) n xx x n n f x f x f x x x f x x x f x x x h              trong đó, (0) (0) (0) 1 1 2 2 ( , , , ) nn h x x x x x x    . Nếu h đủ nhỏ khi ta có 1 2 (0) (0) (0) 11 (0) (0) (0) (0) 22 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) n x x x n n f x f x f x x x f x x x f x x x           . (1.7) Từ (1.7) nhận thấy vế trái của (1.7) là biểu thức phi tuyến vế phải là biểu thức bậc nhất đối với các ẩn , 1,2, , i x i n . Dựa vào (1.7) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất đối với các ẩn , 1,2, , i x i n . 1.3 Phương pháp Newton Giải phương trình đại số một biến số ( ) 0fx , trong đó ()fx là hàm xác định trên , ta giả thiết hàm ()fx thỏa mãn các điều kiện sau: i) Phương trình ( ) 0fx có nghiệm duy nhất  trên [a,b]. ii) 2 [a,b]fC và ()fx  , ()fx  không đổi dấu trên [a,b]. Định nghĩa: Điểm [ , ]x a b được gọi là điểm Fourier, nếu ( ) ( ) 0f x f x   . Không giảm tính tổng quát ta giả sử ()fx có đạo hàm ( ) 0fx   , nếu không ta xét phương trình ( ) 0gx với :gf . Chọn xấp xỉ ban đầu 0 x là điểm Fourier, nếu 00 ( ) ( ) 0f x f x   . Phương trình tiếp tuyến của đường cong ()y f x tại điểm M 00 ( , ( ))x f x 0 0 0 ( )( ) ( )y f x x x f x     6 Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là: 0 0 0 ( ) ( )( ) 0f x f x x x     , (1.8) Gọi x 1 là nghiệm của phương trình (1.8), khi đó, 0 10 0 () () fx xx fx   . Tiếp tục như vậy, tổng quát ta được 1 () () n nn n fx xx fx    . Giả thiết rằng ( ) 0fx   , ta chỉ xét trường hợp 0 ( ) 0fx   (trường hợp 0 ( ) 0fx   hoàn toàn tương tự). Khai triển () n fx tại điểm 1n x  theo công thức Taylor, ta có: 2 1 1 1 1 1 ''( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 n n n n n n n n f f x f x f x x x x x             Từ (1.8) ta suy ra 2 1 1 ''( ) ( ) ( ) 2 n n n n f f x x x     Mặt khác, 2 1 11 ( ) ''( ) () ( ) 2 '( ) nn n n n n nn f x f x x x x f x f x           ≥ 0 Do đó, dãy n x là đơn điệu không giảm, nếu có n x   thì do f (x)<0  nên ( ) ( ) n f x f   Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức ( ) 0 n fx  . Như vậy suy ra tồn tại giới hạn lim n n x    . Ta có 11 ( ) '( ) n n n n n n f x f x x x M x x      , [...]... thuẫn với bất dx đẳng thức (1.25) Định lý được chứng minh 19 Chương 2 Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến 2.1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán biên đối với phương trình vi phân thường phi tuyến 2.1.1 Tính chất đơn điệu Bây giờ chúng ta hãy nghiên cứu các tính chất đơn điệu của dãy các xấp xỉ thu được bằng cách sử dụng tuyến tính. .. hệ (1.19) tương đương với phương trình: p12 ( x) p22 ( x) pn 2 ( x) p1n ( x)  p2 n ( x)     pnn ( x)  dY  p( x)Y dx *> Toán tử vi phân tuyến tính của hệ (1.19) Để đơn giản cách vi t và thuận lợi cho nghiên cứu ta đưa ra toán tử vi phân tuyến tính sau: L[Y ]  dY  p( x)Y dx Khi đó hệ (1.19) vi t được dưới dạng: L[ y]  0 12 b Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất *> Hệ phương. .. điệu của các xấp xỉ đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp 2 thì tương đương với vi c nghiên cứu bất đẳng thức vi phân dạng u  p(t )u  q(t )u  0 (2.1) Ta sẽ nghiên cứu các điều kiện để từ đó suy ra được u ≥ 0 hoặc u ≤ 0 Trong quá trình áp dụng tuyến tính hóa đối với phương trình Riccati chúng ta đã áp dụng nhiều lần giả thiết sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 u... 0 2 4 Sau đây ta sẽ trình bày một số phương pháp nghiên cứu (2.1) 2.1.2 Phương pháp tiếp cận cơ bản Trước khi đưa vào phương pháp nghiên cứu hữu hiệu hơn, thì ta hãy trình bầy một phương pháp cơ bản đối với vi c nghiên cứu bất đẳng thức u  a(t )u  0 , 0  t  b , (2.5) mà có thể áp dụng để nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến, phương trình đạo hàm riêng eliptic, phương trình parabolic và các... tiến tốc độ hội tụ của dãy thông qua phương pháp tuyến tính hóa và xây dựng dãy hội tụ đơn điệu 31 2.2 Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ 2.2.1 Áp dụng tuyến tính hóa đối với hệ Xét phương trình vi phân phi tuyến dạng u ( N )  g (u, u, , u ( N 1) ) (2.48) Để tuyến tính hóa phương trình này ta gặp phải một sự cồng kềnh khó khăn Như vậy ta nghĩ đến vi c thiết lập một hệ bằng cách đưa vào các biến mới:... Kantorovich đã chứng minh được công thức đánh giá tốc độ hội tụ xn  x*  cq 2 , (c là hằng số, 0 < q < 1) n 1.6 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính : a Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình có dạng: 11  dy1  dx  p11 y1  p12 y2   p1n yn   dy2  p y  p y   p y  21 1 22 2 2n n  dx    dyn... tính hóa Vi c nghiên cứu này rất có ý nghĩa, vì vài lý do sau: Thứ nhất, theo quan điểm giải tích là quan trọng, vì chúng cho ta những phương pháp mới cho vi c thiết lập tính bị chặn và hội tụ của dãy các xấp xỉ Thứ hai, đối với tính toán thì vi c hội tụ đơn điệu thì khá hữu hiệu trong tính toán vì nó cho phép chứng minh sự chặn trên của nghiệm và kiểm soát kết quả tính toán Vi c nghiên cứu tính chất... nghiệm và các hệ số của phương trình đa thức Cho u1 và u2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình u  p(t )u  q(t )u  0 , (2.6) 22 và xét phương trình định thức u '' u' u w(u, u1 , u2 )  u1 '' u1 ' u1  0 (2.7) u2 '' u2 ' u2 Vì đây là phương trình vi phân tuyến tính bậc 2 có hai nghiệm độc lập tuyến tính là u  u1 và u  u2 do đó, nó phải tương đương với phương trình ban đầu Ta đưa vào... chúng ta sẽ chi ra kết quả tương tự đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp N 2.1.5 Tính chất dương của nghiệm của phương trình vi phân Từ kết quả cuối cùng đã nói trong phần trước (2.23) , chúng ta dễ dàng chứng minh rằng điều kiện đủ để hệ thức u  p(t )u  q(t )u  0 , u(0)  c1 , u(0)  c2 (2.24) Với 0  t  b , kéo theo u  v ở v thỏa mãn phương trình vi phân v  p(t )v  q(t )v  0 ,... khi t   , với mọi hàm cưỡng bức f(x) cho nên chỉ dưới sự hạn chế này vào các giá trị riêng ta có thể kết luận rằng, tính không âm của u ( x, t ) kéo theo tính không âm của u ( x) 2.1.8 Sự hoàn thiện của vi c đánh giá sự hội tụ Trong lý thuyết phương trình vi phân nói chung và phương trình phi m hàm người ta thường dùng phương pháp xấp xỉ liên tiếp tức là xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đến . trong vi c giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến . 3 Chương 1 Kiến thức bổ trợ 1.1 Phương trình vi phân Riccati Phương trình vi phân. trình vi phân thường phi tuyến . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính hóa và bất đẳng thức vi phân vào giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương. phương trình vi 2 phân thường phi tuyến. Nêu một số ví dụ về giải số bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về phương pháp tựa tuyến tính