Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực vật lý

63 456 0
Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực vật lý

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Biên Giới Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Biên Giới Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH TIỆM CẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Các khái niệm về bậc và một số ví dụ . . . . 5 1.1.1. Lời dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Các khái niệm về “không” bậc . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4. Một số ví dụ về bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận . . 10 1.2.1. Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Khái niệm về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Một số ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân . . . . . . 13 1.2.4. Một số tính chất của khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . 15 1.3. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . 19 1.4. Hàm Gamma không hoàn chỉnh . 23 Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1. Ý tưởng khai triển tiệm cận đối với tích phân loại Laplace 25 2.1.1. Ý tưởng chung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2. Ý tưởng của phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Phương pháp tích phân từng phần . . . . 27 2.2.1. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Định lý (Bổ đề tích phân từng phần) . . . . . . . . . . . . 29 1 2.3. Bổ đề Watson . . . . 32 2.3.1. Ví dụ phản chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.2. Định lý (Bổ đề Watson) . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Phương pháp Laplace . . . . . . 37 2.4.1. Ý tưởng của phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2. Định lý (Phương pháp Laplace). . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 3. ÁP DỤNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VẬT LÝ – TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1. Phương trình Sch¨otdinger. . . 50 3.2. Bài toán Burgers . . . . . 53 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Chương 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vực Vật lý dẫn đến việc giải một số các phương trình Toán học mà nghiệm của nó được biểu diễn dưới dạng các tích phân. Có khá nhiều các tích phân như vậy được gắn với những hàm đặc biệt như hàm Bessel, các hàm siêu hình học, . . Ngoài ra, cũng phải kể đến một công cụ rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là các phép biến đổi tích phân. Chẳng hạn, nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình Sch¨otdinger iΦ t + Φ xx =0 được cho bởi công thức Φ(x, t) = 1 2π +∞  −∞ ˆ Φ 0 (k)e ikx−ik 2 t dk, ở đó ˆ Φ 0 (k) là biến đổi Fourier của dữ kiện đầu Φ(x, 0). Mặc dù, các tích phân như vậy cho ta nghiệm chính xác của bài toán, nhưng về mặt định lượng của chúng là không hẳn được rõ ràng. Để giải thích được ý nghĩa cơ bản về khía cạnh Vật lý, cũng như về mặt Toán học đối với những nghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dáng điệu của chúng khi 3 các biến x và t khá lớn. Thông thường, như đối với các bài toán về chuyển động sóng, quá trình giới hạn được quan tâm đến là khi t → ∞ mà c = x t vẫn được giữ cố định. Như trường hợp của phương trình trên, người ta cần nghiên cứu phương trình Φ(x, t) = +∞  −∞ ˆ Φ 0 (k)e itφ(k) dk; t → ∞ ở đó φ(k) = kc −k 2 . Một trong những phương pháp xử lý các bài toán thuộc về lĩnh vực này phải kể đến đó là lý thuyết xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân. Điểm khởi đầu mang tính trực giác, người ta có thể thấy ngay đó là việc dùng phương pháp tích phân từng phần. Tuy nhiên, từ sự hạn chế nhất định của phương pháp này, các nhà toán học đã tìm ra một số các phương pháp để khắc phục các nhược điểmở đây. Một trong những điểm nổi bật đó, ta phải kể đến phương pháp Laplace trong việc xử lý các tích phân dạng này. Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ khoa học Toán học, em chọn đề tài “Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý”. Luận văn được cấu trúc thành 03 chương. Chương 1 được dành để đưa ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết tiệm cận. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một cách có hệ thống một số phương pháp ước lượng xấp xỉ tích phân loại Laplace. Ở chương cuối của luận văn, chúng tôi minh họa một số áp dụng của các phương pháp xấp xỉ trên đây trong việc giải quyết một số bài toán liên quan đến lĩnh vực Vật lý. 4 2. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận; trình bày một số phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại Laplace và ứng dụng của các phương pháp này trong việc giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 4. Dự kiến đóng góp của đề tài Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về lý thuyết khai triển tiệm cận. Trình bày một số phương pháp xấp xỉ tích phân loại Laplace. Minh họa một số ứng dụng của phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại Laplace qua việc giải quyết hai bài toán xảy ra trong lĩnh vực Vật lý. 5 Chương 2 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH TIỆM CẬN Giải tích tiệm cận được hình thành khởi nguồn từ một số các công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới được xây dựng một cách hệ thống bởi Stieltjes [6] và Poincaré [5]. Ở đây, người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm cận. Thông thường các hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày với mức độ cần thiết và căn bản nhất về lý thuyết giải tích tiệm cận. 2.1. Các khái niệm về bậc và một số ví dụ 2.1.1. Lời dẫn Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B. Reymond. Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xét đến một bài toán thường gặp trong thực tế. Tính giá trị của tích phân I(ε) = ∞  0 e −t 1 + εt dt; với ε > 0đủ nhỏ. 6 Như đã trình bày trong phần mở đầu, chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp xấp xỉ của tích phân I(ε) bằng phương pháp dễ tiếp cận nhất (phương pháp tích phân từng phân). Lấy tích phân từng phần lần thứ nhất ta thu được I(ε) = 1 −ε ∞  0 e −t (1 + εt) 2 dt. Lặp lại quá trình này N lần, ta nhận được I(ε) = 1 −ε + 2!ε 2 − 3!ε 3 + + (−1) N N!ε N + (−1) N+1 (N + 1)!ε N+1 ∞  0 e −t (1 + εt) N+2 dt. (2.1) Vế phải của phương trình này, được gọi là một khai triể tiệm cận của I(ε) tới số hạng (N + 1). Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so với số hạng thứ N. Điều này cũng đương nhiên đúng đối với tất cả n = 0, 1, 2, , N −1. Ta chỉ ngay ra điều đó với n = N. Bởi vì ε là số dương đủ nhỏ, nên 1 + εt ≥ 1 và ta có đánh giá ∞  0 e −t (1 + εt) N+2 dt ≤ ∞  0 e −t dt = 1. Từ điều này suy ra rằng       (−1) N+1 (N + 1)!ε N+1 ∞  0 e −t (1 + εt) N+2 dt       ≤    (−1) N+1 (N + 1)!ε N+1    ≤    (−1) N+1 N!ε N    . Điều quan trọng là ta thấy rằng khai triển chuỗi dưới dạng phương trình (1.1) là không hội tụ. Ta có thể thấy ngay nhận xét này rằng khi ε cố 7 định thì số hạng (−1) N+1 N!ε N → ∞; khi N → ∞. Thế nhưng, với N cố định thì (−1) N+1 N!ε N → 0; khi ε → 0. Đây chính là nguyên nhân cho thấy rằng khai triển trên là một xấp xỉ tốt đối với tích phân I(ε) khi ε → 0. Một cách tự nhiên xuất phát từ sự nhận xét có tích trực giác trên đây, phương trình (1.1) đưa đến việc giới thiệu một số khía niệm quan trọng trong lý thuyết Giải tích tiệm cận. Giả sử ε là số dương nhỏ tùy ý, chúng ta sử dụng một số thuật ngữ (i) −ε có cùng bậc với ε và 4!ε 4 có cùng bậc với ε 4 . Các phát biểu này được ký hiệu tương ứng bởi −ε = O(ε) và 4!ε 4 = O  ε 4  ; (ii) 2!ε 2 là có bậc nhỏ hơn ε, nó được ký hiệu bởi 2!ε 2 = o(ε) hoặc 2!ε 2  ε; (iii) Nếu xấp xỉ I(ε) bởi I(ε) = 1 − ε + 2!ε 2 , thì xấp xỉ này có độ chính xác đến bậc ε 2 . Tiếp theo, chúng ta sẽ chính xác hóa các khái niệm đã nói trên đây. Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B. Reymond. 2.1.2. Các khái niệm về “không” bậc Cho f(z) và g(z) là hai hàm số xác định trên một tập D trong mặt phẳng phức C và cho z 0 là một điểm giới hạn của D (có thể là điểm vô cùng). Ta nói 8 [...]... ưu" của N để với k cố định, thì phần dư là nhỏ nhất (xấp xỉ tốt nhất) Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi không đề cập chi tiết về vấn đề này Trong hầu hết những áp dụng trong luận văn, việc thu được một vài số hạng đầu tiên của khai triển tiệm cận là đủ cho việc trìn bày vấn đề đặt ra 2.2.4 Một số tính chất của khai triển tiệm cận Tính duy nhất Cho một dãy tiệm cận {φn (x)}, dãy khai triển tiệm cận. .. hơn một chuỗi lũy thừa tiệm cận, chuỗi lũy thừa tiệm cận của g(x) có thể là ∞ 0 · (x − x0 )n g(x) ∼ n=0 Vì vậy một khai triển tiệm cận là tiệm cận của một lớp các hàm, chúng khác nhau bởi các hàm trôi nhỏ Chẳng hạn, hàm e−x là trội nhỏ so với một chuỗi tiệm cận có dạng ∞ an x−n ; khi x → +∞ n=0 và vì vậy nếu f (x) có một khai triển tiệm cận thì f (x) + e−x cũng vậy, nghĩa là f (x) có một khai triển. .. pháp tích phân từng phần Một trong những phương pháp đơn giản nhất để tìm ra khai triển tiệm cận của một hàm xác định bởi tích phân xác định là lấy tích phân từng phần.Các số hạng liên tiếp của chuỗi tiệm cận thu được bằng cách lấy lặp tích phân từng phần Đặc tính tiệm cận của chuỗi được xác định bằng cách kiểm tra phần dư, nó có dạng một tích phân xác định Tuy nhiên, phương pháp này có nhiều hạn chế và. .. định Trong phần này chúng tôi chỉ muốn minh họa phương pháp này bằng việc xem xét một số các tích phân loại Laplace cụ thể Điểm quan trọng nhất trong việc thực hiện phương pháp tích phân từng phần đối với tích phân loại Laplace là sự phân tích dáng điệu của hàm f (t) trong tích phân b f (t)e−kφ(t) dt; khi k → ∞ I(k) = a tại lân cận của các điểm biên 3.2.1 Một số ví dụ Ví dụ 3.1 Đánh giá tích phân ∞... là một biểu diễn chính xác Khi k → ∞ dãy hàm 1 1! 2! , , , k k2 k3 chính là dãy tiệm cận và phương trình (1.2) cho ta một khai triển tiệm cận của I(k) với k nhận giá trị lớn Một lần nữa nhắc lại rằng, khai triển trên không hội tụ khi N → ∞ và k cố định chuỗi không hội tụ; nhưng khi k → ∞ và N cố định RN → 0 14 Ví dụ 2.2 Tìm khai triển tiệm cận của tích phân ∞ I(k) = e−t dt; khi k → ∞ t k Lấy tích phân. .. thành một dãy tiệm cận k k k Chúng ta cũng dễ dàng thấy rằng Khi k → ∞ các số hạng ∞ N! |RN (k)| < N +1 k e−t dt = N !e−k k N +1 e−k kN k Như vậy, phương trình (1.3) là một khai triển tiệm cận của tích phân đã cho khi k → ∞ Khi N → ∞ với mỗi k cố định thì |RN | → ∞, nên chuỗi phân kỳ Khi k → ∞ và N cố định, thì RN → 0 (chúng ta nhận được một khai triển tiệm cận của tích phân đó) Chuỗi tiệm cận thường... có số mũ rất nhỏ với mọi giá trị của t, trừ khi t gần 0 (vì khi k → ∞ và t → 0 thì kt có thể vẫn nhận giá trị hữu hạn) Điều đó, cho ta thấy rằng giá trị chính của tích phân được phân bố chủ yếu trong lân cận của điểm t = 0 Như vậy, tính toàn cục của bài toán được thay thế bởi một vấn đề mang tính địa phương trong lân cận của điểm t = 0 Điều đó, lý giải cho việc thu được đánh giá tiệm cận của những tích. .. xn = O(n2 ) và xn ∼ 5n2 ; khi n → ∞ (ii) Người ta cũng thường sử dụng ký hiệu f (k) g(k); khi k → k0 đồng nghĩa với f (k) = o(g(k)); khi k → k0 2.2 Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận 2.2.1 Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận Một dãy hàm {φn (k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k0 nếu có một lân cận của k0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt tiêu (ngoại trừ tại k0 ) và với mọi n... thể coi là một khoảng vô hạn x > a và x → −∞, trong trường hợp này R có thể coi là x < b Có một số trường hợp khi R là một tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều kiện cần để tìm một khai triển tiệm cận của tổng riêng thứ n của một chuỗi vô hạn khi n là đủ lớn, sao cho những bài toán này tồn tại, theo nghĩa bên ngoài của miền này nó không hội tụ Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách... an bn−m và nếu b0 = 0, d0 = m=0 f (x) ∼ g(x) a0 thì b0 ∞ dn (x − x0 )n ; n=0 trong đó n−1 an − dn = dm bn−m m=0 b0 Tích phân của khai triển tiệm cận Một chuỗi lũy thừa tiệm cận có thể lấy tích phân từng số hạng (nếu f (x) khả tích gần x = x0 ) Vì vậy, nếu ∞ an (x − x0 )n ; khi x → x0 f (x) ∼ n=0 18 thì x ∞ f (t)dt ∼ n=0 x0 an (x − x0 )n+1 ; khi x → x0 n+1 Tính khả vi của khai triển tiệm cận Trong trường . tích với đề tài Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình. trình bậc đào tạo Thạc sĩ khoa học Toán học, em chọn đề tài Khai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và ứng dụng giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý . Luận văn được cấu trúc thành. về lý thuyết khai triển tiệm cận. Trình bày một số phương pháp xấp xỉ tích phân loại Laplace. Minh họa một số ứng dụng của phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân loại Laplace qua việc giải

Ngày đăng: 23/07/2015, 23:44

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Mở đầu

  • MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH TIỆM CẬN

    • Các khái niệm về bậc và một số ví dụ

      • Lời dẫn

      • Các khái niệm về “không” bậc

      • Chú ý

      • Một số ví dụ về bậc

      • Nhận xét

    • Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận

      • Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận

      • Khái niệm về khai triển tiệm cận

      • Một số ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân

      • Một số tính chất của khai triển tiệm cận

    • Hàm Gamma

    • Hàm Gamma không hoàn chỉnh

  • PHƯƠNG PHÁP LAPLACE

    • Ý tưởng khai triển tiệm cận đối với tích phân loại Laplace

      • Ý tưởng chung

      • Ý tưởng của phương pháp Laplace

    • Phương pháp tích phân từng phần

      • Một số ví dụ

      • Định lý (Bổ đề tích phân từng phần)

    • Bổ đề Watson

      • Ví dụ phản chứng

      • Định lý (Bổ đề Watson)

      • Ví dụ

    • Phương pháp Laplace

      • Ý tưởng của phương pháp Laplace

      • Định lý (Phương pháp Laplace)

      • Một số ví dụ

  • ÁP DỤNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VẬT LÝ – TOÁN

    • Phương trình Schtdinger

    • Bài toán Burgers

  • Kết luận

  • Tài liệu tham khảo

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan