LỜI CẢM ƠN Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Bình Sơn huyện Sông Lô tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn. Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luận văn được hoàn thành như hiện nay. Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2012 Tác giả Hà Văn Thận LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn tốt nghiệp “Biến đổi Laplace và một số ứng dụng” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2012 Tác giả Hà Văn Thận Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức 6 1.2 Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Một số định lý về hàm chỉnh hình . . . . . . . . . 9 1.4 Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Các tính chất cơ bản của tích phân phức . . . . . 12 1.5 Các công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2 Tích phân loại Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.1 Mối liên hệ giữa hệ số và tổng của chuỗi lũy thừa 20 1.6.2 Định lý Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Chuỗi Laurentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.1 Định nghĩa và miền hội tụ . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.2 Định lý Laurentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ii MỤC LỤC MỤC LỤC 1.7.3 Các điểm bất thường cô lập . . . . . . . . . . . . 26 1.8 Thặng dư của hàm và ứng dụng của nó . . . . . . . . . . 26 1.8.1 Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8.2 Các định lý cơ bản về thặng dư . . . . . . . . . . 29 2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 31 2.1 Biến đổi Laplace và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Đòi hỏi tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Lớp L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.4 Các tính chất cơ bản của biến đổi laplace . . . . . 37 2.1.5 Hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Một số khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Một số phương pháp tìm hàm gốc . . . . . . . . . 42 2.3 Các định lý biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51 3.1 Tính giá trị hàm Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Phương phương trình vi phân với hệ số là hằng số. . . . 53 3.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu . . . . . . 54 3.2.2 Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.3 Phương trình vi phân với điều kiện biên . . . . . 59 3.3 Bài toán tìm cường độ dòng điện . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Phương trình vi phân với hệ số đa thức . . . . . . . . . . 62 3.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số . . . . 66 3.6 Tích chập của biến đổi Laplace và ứng dụng . . . . . . . 68 3.6.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . 68 3.6.2 Ảnh của tích chập qua biến đổi Laplace . . . . . 70 iii MỤC LỤC MỤC LỤC KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong viêc giải các bài toán trong lĩnh vực vật lý. Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong việc giải các phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình tích phân, đó là những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học. Bởi vì qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian s, chúng ta dùng biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t. Về lịch sử của phép biến đổi Laplace đưa ta trở lại các công trình của Leonard Euler (1763-1769), ông xét chúng chủ yếu dưới dạng của các phép biến đổi ngược trong lời giải của các phương trình vi phân tuyến tính thường bậc hai. Cùng thời đó, Laplace đã gửi tới Euler công trình xuất bản năm 1812 “Théorie analytique des probabilités” giới thiệu về biến đổi tích phân. Năm 1878, Spitzer là người đã gắn tên của Laplace cho biểu diễn y = b  a e sx φ(s)ds. Sau đó, biểu diễn này đã được Euler sử dụng trong một số công trình nghiên cứu của ông,dưới dạng biểu diễn này nó trở thành phương trình vi phân với y là hàm chưa biết của x. Trong thế kỷ 19, biến đổi Laplace được mở rộng tới dạng phức bởi Poincare và Pincherle, và được Picard mở rộng tới trường hợp hàm hai biến. Ta có thể kể thêm nữa là các nghiên cứu được tiến hành bởi Abel và nhiều nhà toán học khác. Năm 1910, áp dụng trước tiên của biến đổi Laplace được xuất hiện trong các công trình của Bateman, ông biến đổi các phương trình về sự phân dã phóng xạ của Rutherford dp dt = −λ i P bằng cách đặt p(x) = ∞  0 e −xt P (t)dt và thu được một số phương trình biến đổi hạt nhân. Năm 1920, trong trong các công trình nghiên cứu về hàm theta, Bernstain sử dụng biểu diễn f(s) = ∞  0 e −su φ(u)du và gọi nó là biến đổi Laplace. Phương pháp hiện đại được đưa ra từ sự thúc đẩy của Doetch và những năm 1920-1930, ông đã áp dụng biến đổi Laplace tới các phương trình vi phân, tích phân. Không có sự giải thích hoàn hảo về biến đổi Laplace nếu không kể đến công trình của Oliver Heaviside (chủ yếu trong lĩnh vực kỹ thuật điện), ông tạo ra một vấn đề rộng lớn với tên gọi "phép tính toán tử" và đưa ra nhiều vấn đề tương tự phương pháp của Laplace. Các tính toán của Heaviside chưa thật chặt chẽ, nhưng nó đã mang lại nhiều hữu ích cho các lĩnh vực về kỹ thuật điện. Để tiếp cận với lý thuyết biến đổi Laplace và áp dụng những lý thuyết đó, được sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG” để thực hiện luận văn khóa đào tạo Thạc sỹ Toán học chuyên ngành giải tích. Luận văn được cấu trúc thành 03 chương. Trong chương 1 của luận văn, chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản nhất về lý thuyết hàm biến phức, cần thiết cho mục đích nghiên cứu về biến đổi Laplace. Chương 2 của luận văn được giành cho việc trình bày một cách hệ thống về khái niệm biến đổi Laplace, các tính chât cơ bản và một số phép toán giải tích cơ bản của phép biến đổi này. Điểm cốt yếu và cũng chính là mục đích chính của luận văn là minh họa tầm quan trọng của biến đổi Laplace được trình bày trong chương 3. Ở đây, chúng tôi trình bày một số áp dụng của biến đổi Laplace qua việc giải quyết các bài toán trong lĩnh vực toán học thuần túy như: Giải phương trình vi phân với điều kiện đầu; giải phương trình vi phân với điều kiện biên; phương pháp xác định giá trị hàm Gamma; ứng dụng về tích chập của biến đổi Laplace, cũng như trong việc giải quyết các bài toán thuộc lĩnh vực vật lý như: Áp dụng trong việc tính toán cường độ dòng điện. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về lý thuyết biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó như: Tính giá trị hàm Gama, giải bài toán phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. 3. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 4. Dự kiến đóng góp của đề tài. Trình bày một cách hệ thống về phép biến đổi Laplace. Cùng một số áp dụng của phép biến đổi này. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số phức và mặt phẳng phức 1.1.1 Số phức Định nghĩa 1.1.1. Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i 2 = −1 . Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ký hiệu x = Rez, y = Imz Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu bởi C. Tập hợp các số phức được đồng nhất với mặt phẳng R 2 bởi phép tương ứng C → R 2 z = x + iy → (x, y). Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i 2 = −1. Ta có z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) 5 [...]... đẳng trên ta nhận được điều cần chứng minh 30 Chương 2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 2.1.1 Biến đổi Laplace và các ví dụ Biến đổi Laplace Định nghĩa 2.1.1 Giả sử f là hàm biến thực hoặc biến phức của biến t > 0 và s là tham số thực hoặc hoặc phức Biến đổi Laplace của hàm f được xác định và ký hiệu bởi ∞ e−st f (t)dt F (s) = L (f (t)) = 0 τ e−st f (t)dt = lim τ →∞ (2.1) 0 Biến đổi Laplace của hàm f (t) được gọi... phân (2.1) hội tụ trong một miền nào đó Trong trường hợp tích phân (2.1) phân kì thì ta nói không tồn tại biến đổi Laplace xác định đối với hàm f Ký hiệu L(f ) được sử dụng cho biến đổi Laplace của hàm f, và tích phân trên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận Hàm F (s) được gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace được gọi là thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh F (s)... vuông góc trùng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ trùng nhau và tung độ trùng nhau Do đó ta có thể xác lập một phép tương ứng đơn trị 6 một- một giữa các điểm của mặt phẳng R2 với các số phức của C; trong đó mỗi số phức z = x + iy ∈ C sẽ tương ứng với một điểm xác định M (x, y) ∈ R2 và ngược lại mỗi điểm M (x, y) ∈ R2 sẽ tương ứng với số phức xác định z = x + iy ∈ C 1.2 Hàm biến phức Định nghĩa 1.2.1... được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π ) và eiθ = cosθ + i sin θ Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) 1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức... hàm và ứng dụng của nó Định nghĩa và cách tính Định nghĩa 1.8.1 Giả sử hàm f chỉnh hình trong vành khăn 0 < |z − z0 | < r nhưng không chỉnh hình tại điểm z0 Xét tích phân 1 2πi f (z)dz, (1.30) γ trong đó γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z0 nằm trong vành khăn nói trên Bởi vì tích phân trên không phụ thuộc chu tuyến γ mà chỉ phụ thuộc vào hàm f và điểm z0 nên gọi là thăng dư của hàm f tại điểm z0 và. . .và z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ) Với mỗi số phức z = x + iy , ta xác định modul của số phức z là |z| = x2 + y 2 Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu là z = x − iy ¯ Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được Rez = z+z ¯ z−z ¯ ; Imz = 2 2i và |z|2 = z.¯; z z ¯ 1 = 2 với z = 0 z |z| Số phức khác 0... mọi z ∈ D được gọi là chỉnh hình trên D 1.3.2 Một số định lý về hàm chỉnh hình ∞ cn z n có bán kính hội tụ là R > 0 Khi Định lí 1.3.1 Giả sử chuỗi n=0 đó tổng f (z) của chuỗi là một hàm chỉnh hình trên D và ∞ ncn z n f (z) = n=1 ∞ ncn z n−1 = S(z) cũng có Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ chuỗi ∞ bán kính hội tụ là R Thật vậy, chuỗi n=1 ncn z n−1 hội tụ nếu và chỉ nếu n=1 chuỗi ∞ ∞ z ncn z n−1 ncn z n... n+1 |γ| = 2π r rn Định lí 1.5.6 (Liouville) Nếu f là một hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng (z) và |f (z)| ≤ M với mọi z, thì f (z) = const Chứng minh Giả sử z là một hàm tuỳ ý Theo bất đẳng thức Cauchy ta có M R ở đây R là số dương lớn tuỳ ý Cho R → +∞ ta suy ra |f (z)| ≤ f (z) = 0 ↔ f (z) = const 19 1.6 1.6.1 Chuỗi Taylor Mối liên hệ giữa hệ số và tổng của chuỗi lũy thừa Xét chuỗi lũy thừa ∞ 2 cn... n |cn | (1.25) thì miền hội tụ của chuỗi (1.24) là hình vành khăn r < |z − z0 | < R (1.26) và tổng f (z) của chuỗi (1.24) là một hàm chỉnh hình trong hình vành khăn (1.26), thì các hệ số của chuỗi (1.24) được xác định bởi công thức cn = 1 2πi γ r0 f (η) dη; n = 0, ±1, ±2, , (η − z0 )n+1 ở đó γr0 là đường tròn |η − z0 | = r0 với r < r0 < R 22 Chứng minh Ta viết ∞ −1 ∞ n cn (z − z0 ) n n=−∞ − n=−∞ cn... mọi cấp và các đạo hàm của nó là những hàm chỉnh hình trên miền D Các đạo hàm của hàm f được biểu diễn bằng công thứ f (n) (x) = n! 2πi γ f (η) dη; n = 1, 2, , (η − z)n+1 (1.14) trong đó γ là một chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z sao cho Dγ ⊂ D Định lí 1.5.4 (Morera) Giả sử f là một hàm liên tục trong một miền đơn liên D và tích phân của nó theo mọi chu tuyến đóng nằm trong D bằng 0 Khi đó, f là một hàm . chập qua biến đổi Laplace . . . . . 70 iii MỤC LỤC MỤC LỤC KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là. điện. Để tiếp cận với lý thuyết biến đổi Laplace và áp dụng những lý thuyết đó, được sự định hướng của người hướng dẫn tôi đã chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG” để thực hiện luận văn. . . . . . 40 2.2.2 Một số phương pháp tìm hàm gốc . . . . . . . . . 42 2.3 Các định lý biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51 3.1 Tính