i LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Tạ Duy Phượng. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Tạ Duy Phượng, người luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Th ơm ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm. Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thơm iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Chương 1. Giải tích trên thang thời gian 3 1.1 Thang thời gian 3 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian 3 1.1.2 Các khái niệm cơ bản 3 1.2 Phép toán vi phân 4 1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui 4 1.2.2 Định nghĩa hàm rd-liên tục 5 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm 6 1.2.4 Các tính chất của đạo hàm 6 1.3 Phép toán tích phân 8 1.3.1 Tồn tại tiền-nguyên hàm 8 1.3.2 Nguyên hàm 8 1.3.3 Bảng tổng kết và so sánh 9 Chương 2 Bất đẳng thức trên thang thời gian 10 2.1 Bất đẳng thức Hölder, Cauchy- Schwarz và Minkowski 10 2.2 Bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli và Bihari 15 2.3 Bất đẳng thức Opial và Wirtinger 23 2.4 Bất đẳng thức Jensen 31 2.5 Bất đẳng thức Lyapunov 32 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian. Từ đó tới nay, đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về giải tích (phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian. Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục và tính rời rạc. Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhất nhiều mô hình khác nhau (liên tục và rời rạc) dưới cùng một khái niệm và công cụ. Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian đang được nhiều nhóm các nhà toán học trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và các học trò, PGS Đặng Đình Châu, ) và ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) quan tâm nghiên cứu. Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu kinh tế vĩ mô, áp dụng vào bài toán trò chơi, hệ sinh thái, bài toán tối ưu và phép tính biến phân, Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc. Hầu hết các bất đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian. Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và cơ bản của giải tích, đồng thời so sánh các bất đẳng thức vi phân và sai phân với bất đẳng thức trên thang 2 thời gian, tôi đã chọn Bất đẳng thức trên thang thời gian làm đề tài luận văn cao học của mình. .2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và trình bày chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian trong khuôn khổ một luận văn cao học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu và trình bày chi tiết chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian trong một luận văn cao học. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức trên thang thời gian. Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu tiếng Anh viết về bất đẳng thức trên thang thời gian. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích hàm để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới tiếng Anh về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Đóng đóng góp của luận văn Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về bất đẳng thức trên thang thời gian. 3 Chương 1 Giải tích trên thang thời gian 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Thang thời gian là một tập con đóng T khác rỗng bất kì trong tập hợp các số thực . ℝ Ví dụ: Các tập 0 , , , ℝ ℤ ℕ ℕ , T [ ] k 0 2k,2k 1 ∞ = = + ∪ là những thang thời gian; Các tập [ ) , \ , , 0;1 ℚ ℝ ℚ ℂ không phải là thang thời gian. Ta luôn giả thiết rằng thang thời gian T được trang bị một tôpô cảm sinh từ tôpô của không gian các số thực, nghĩa là các tập mở của T là giao của các tập mở trong ℝ với T . Các khái niệm lân cận , giới hạn , được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô cảm sinh. 1.1.2 Các khái niệm cơ bản Cho T là một thang thời gian, với mỗi t ∈ T ta có các định nghĩa sau. 1.1.2.1 Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử : σ T → T được xác định bởi: (t): inf σ = { s ∈ T, s t > }. 4 Hàm : µ T → T xác định bởi (t) (t) t, µ = σ − t ∈ T được gọi là hàm hạt (graininess) của thang thời gian T . Toán tử nhảy lùi (backward jump) là toán tử : ρ T → T được xác định bởi: (t): sup ρ = { s ∈ T, s t < }. 1.1.2.2 Một số thuật ngữ và định nghĩa quan trọng t là điểm phân tán phải t (t) < σ t right-scattered t là điểm trù mật phải t (t) = σ T right-dense t là điểm phân tán trái (t) t ρ < T left-scattered t là điểm trù mật trái (t) t ρ = T left-dense t là điểm cô lập (t) t (t) ρ < < σ T isolated t là điểm trù mật (t) t (t) ρ = = σ T dense 1.2 Phép toán vi phân 1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui 5 Hàm f : T → ℝ được gọi là chính qui nếu giới hạn phải của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải trong T và giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật trái của T . 1.2.2 Định nghĩa hàm rd-liên tục Hàm f : T → ℝ được gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm trù mật phải trong T và giới hạn trái tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật trái trong T. Không gian các hàm rd-liên tục được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu sau: rd rd C C = (T)= rd C (T, ℝ ). Thí dụ: Hàm σ là rd-liên tục. Kí hiệu T { } T \ supT , supT ; : T, supT κ  < +∞ =  = +∞  Hàm rd-liên tục f : T → ℝ được gọi là hồi qui (regressive) nếu 1 (t)f (t) 0 + µ ≠ với mọi t ∈ T. Tập tất cả các hàm rd-liên tục thỏa mãn 1 (t)f (t) 0 + µ > với mọi t ∈ T được kí hiệu là . + ℜ Với hai hàm hồi qui p,q : T → ℝ ta xác định phép toán : ; p q p q pq µ ⊕ = + + Θ : ; 1 p p p µ = − + p Θ : q p = ⊕ ( Θ q ) 6 Nhận xét rằng tập tất cả các hàm rd-liên tục và hồi qui cùng với phép toán cộng ⊕ ở trên tạo thành một nhóm Abel. 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm Giả sử f : T → ℝ và t ∈ T . κ Delta đạo hàm (đạo hàm Hilger) của hàm f tại điểm t ∈ T κ là một số (nếu nó tồn tại), kí hiệu là f (t) ∆ , nếu với mỗi 0 ε > cho trước tồn tại một lân cận U của t (nghĩa là, ( ) U t ,t = − δ + δ ∩ T với một δ nào đó) sao cho: ( ) ( ) [ ] f t f (s) f (t) (t) s (t) s ∆   σ − − σ − ≤ ε σ −   với mọi s U. ∈ Hàm f được gọi là ∆ -khả vi (ngắn gọn, khả vi) trên T κ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm t ∈ T . κ 1.2.4 Các tính chất của đạo hàm Định lí 1.1. Xét hàm số f : T → ℝ và t ∈ T . κ Khi đó ta có: 1) Nếu f ∆ -khả vi tại t ∈ T κ thì f liên tục tại t. 2) Nếu f liên tục tại t ∈ T κ và t là điểm cô lập phải thì f là ∆ -khả vi tại t ∈ T κ và f ( (t)) f (t) f (t) . (t) ∆ σ − = µ 7 3) Nếu t ∈ T κ là điểm trù mật phải thì f là ∆ -khả vi tại t ∈ T κ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn s t f (t) f (s) lim t s → − − và khi ấy s t f (t) f(s) f (t) lim t s ∆ → − = − . 4) Nếu f là ∆ -khả vi tại t ∈ T κ thì f ( (t)) f (t) (t)f (t) ∆ σ = + µ . Nhận xét 2.1. Từ Định lí 1.1 ta có 1) Nếu T = ℝ thì mọi điểm t ∈ ℝ là điểm trù mật phải. Do đó f là ∆ -khả vi tại t ∈ ℝ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn s t f (t) f (s) lim t s → − − và khi ấy s t f (t) f (s) f (t) lim f (t) t s ∆ → − ′ = = − , tức là ∆ -đạo hàm trùng với đạo hàm thông thường. 2) Nếu T = ℤ thì mọi điểm t ∈ ℤ là điểm cô lập. Do đó f là ∆ -khả vi tại mọi điểm t ∈ ℤ và f (t) f (t 1) f (t) ∆ = + − , tức là ∆ -đạo hàm trùng với sai phân của f tại t . Định lí 1.2. Cho các hàm số f : T → ℝ và g : T → ℝ là các hàm ∆ -khả vi tại t ∈ T . κ Khi đó ta có : 1) Hàm f g + là ∆ -khả vi tại t ∈ T κ và ( ) f g (t) f (t) g (t) ∆ ∆ ∆ + = + . 2) Hàm fg là ∆ -khả vi tại t ∈ T κ và ( ) fg (t) f (t)g(t) f( (t))g (t) f (t)g (t) f (t))g( (t )) ∆ ∆ ∆ ∆ = + σ = + ∆ σ . [...]... 0 B Giải phương trình trên với C ≥ 0 ta được: ( A = C2 ≤ α + α 2 + β B ) = Ψ 2 Thay trở lại ta được điều phải chứng minh 2.4 Bất đẳng thức Jensen Chứng minh bất đẳng thức Jensen trên thang thời gian rất gần với chứng minh bất đẳng thức Jensen cổ điển Nếu T= ℝ thì bất đẳng thức Jensen trình bày ở đây chính là bất đẳng thức Jensen cổ điển Nhưng nếu T= ℤ thì nó trở thành bất đẳng thức quen thuộc giữa trung... a   a   1 q   p Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho  ∫ ( f + g )( t ) ∆t  ta được ngay bất a  b đẳng thức Minkowski 2.2 Bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli và Bihari Bất đẳng thức Gronwall (đóng vai trò quan trọng trong phương trình vi phân và phương trình sai phân) có thể được mở rộng sang thang thời gian như sau 16 Định lí 2.2.1 (Bất đẳng thức Gronwall, xem [7], trang 256) Giả sử... lực tuyến tính không thuần nhất trên thang thời gian y ∆ (t) = p ( t ) y + f (t), y(t 0 ) = y 0 được cho bởi công thức t y ( t ) = y0e p ( t, t 0 ) + ∫ e p ( t, σ ( τ ) )f ( τ ) ∆τ t0 Định lí dưới đây được gọi là Định lí so sánh, đóng vai trò quan trọng trong chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian Định lí này cũng là mở rộng Định lí về nghiệm của bất đẳng thức vi phân Định lí 2.1.3 (Định... (t)g(σ(t))∆ (t) a b − ∫ f ′(t)g(t))d(t) a ∑ f (t)∆g(t) t =a = (fg)(b) − (fg)a b −1 −∑ g(t)∆f (t) t =a Chương 2 Bất đẳng thức trên thang thời gian 2.1 Bất đẳng thức Hölder, Cauchy- Schwarz và Minkowski Ta bắt đầu bằng một định lí tồn tại duy nhất nghiệm hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian, một mở rộng của định lí tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân, được chứng minh bởi Hilger dưới... số ứng dụng của bất đẳng thức Lyapunov trên thang thời gian Trong suốt quá trình ta luôn giả sử có a, b ∈T và a < b Giả sử T là một thang thời gian bất kỳ, hàm q : T → ℝ là rd-liên tục có q(t) > 0 với mọi t ∈ T, và xét phương trình động lực Sturm- Liouville, 33 x ∆∆ q ( t ) x σ = 0 (2.5.1) Cùng với hàm bậc hai { b F( x ) = ∫ ( x∆ ) − q ( xσ ) a 2 2 }( t ) ∆t, để chứng minh bất đẳng thức Lyapunov cho... phân và phương trình sai phân Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một vài bất đẳng thức Opial mà vẫn còn đúng cho thang thời gian Ta luôn giả thiết 0 ∈T và 0 ∈T với h > 0 Cho T là thang thời gian và hàm f : T → ℝ Ta kí hiệu hàm hợp của f và σ là f σ : T → ℝ được xác định theo công thức f σ (t ) = f (σ (t )) Định lí 2.3.1 (Bất đẳng thức Opial, xem [1], trang 547-548) Cho toán tử khả vi x : [ 0; h ] ∩ T... (đpcm) Để minh họa một số khả năng mở rộng các bất đẳng thức ở trên, dưới đây trình bày một số định lí, mà dạng liên tục (T= ℝ ) và dạng rời rạc (T= ℤ ) đã được biết trong các sách chuyên khảo Rất nhiều các bất đẳng thức dạng liên tục hoặc rời rạc cũng có thể mở rộng theo hướng này cho thang thời gian Định lí 2.3.4 Cho p, q là các hàm xác định dương và liên tục trên [ 0, h ] mà h ∆t ∫ p(t) < ∞ và q không...  a  a  Trường hợp đặc biệt, p = q = 2 ta có : Định lí 2.1.5 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, xem [1], trang 538) Cho a,b ∈T và p > 1 Với f , g :[ a,b ] → ℝ là các hàm rd- liên tục ta có b  b  2 2 ∫ f ( t ) g ( t ) ∆t ≤ ∫ f ( t ) ∆t ∫ g ( t ) ∆t  a a  a  b Từ Bất đẳng thức Hölder ta cũng suy ra : Định lí 2.1.6 (Bất đẳng thức Minkowski, xem [1], trang 538-539) Cho a,b ∈T và p > 1 Với f... f ( τ ) ∆τ Ở đây eΘp ( s, t ) = 1 = e p ( t,s ) theo tính chất của hàm e p ( t,s ) e p ( s, t ) Suy ra điều phải chứng minh Định lí dưới đây mở rộng Bất đẳng thức Hölder quen thuộc trong giải tích sang cho thang thời gian 13 Định lí 2.1.4 (Bất đẳng thức Hölder, xem [1], trang 537-538) Cho a,b ∈T Với f , g :[ a, b ]T → ℝ là các hàm rd- liên tục ta có 1 1 b p  b q p q ∫ f ( t ) g ( t ) ∆t ≤ ∫... + α ( t − s ) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.2.2 a) Áp dụng Định lí 2.2.2 (bất đẳng thức Bernoulli) với T= [ 0; ∞ ) , ta có: 20 Với mọi α ∈ ℝ thì eαt ≥ 1 + αt với mọi t ≥ 0 b) Áp dụng Định lí 2.2.2 (bất đẳng thức Bernoulli) với T= ℕ, ta có: Với mọi α > −1, thì (1 + α ) ≥ 1 + αn với mọi n ∈ ℕ n Để mở rộng bất đẳng thức Bihari (quan trọng trong phương trình vi phân), ta cần một định lí sau Định . bất đẳng thức trên thang thời gian. 3 Chương 1 Giải tích trên thang thời gian 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Thang thời gian là một tập con đóng T khác rỗng bất. sánh 9 Chương 2 Bất đẳng thức trên thang thời gian 10 2.1 Bất đẳng thức Hölder, Cauchy- Schwarz và Minkowski 10 2.2 Bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli và Bihari 15 2.3 Bất đẳng thức Opial và. minh các bất đẳng thức trên thang thời gian trong khuôn khổ một luận văn cao học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu và trình bày chi tiết chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian trong