BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRƯƠNG THỊ HƯỜNG BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI I VÀ LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRƯƠNG THỊ HƯỜNG BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI I VÀ LOẠI II Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội, 2012 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 09 năm 2012 Trương Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán cân bằng tổng quát loại I và loại II” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 09 năm 2012 Trương Thị Hường Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu 5 Chương 1. Các kiến thức cơ bản 8 1.1 Các không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I 26 2.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 3. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II 41 3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Các bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 BẢNG KÍ HIỆU F : X → Y ánh xạ đa trị từ Xvào Y dom F miền định nghĩa của ánh xạ F epi F trên đồ thị của F Gr F đồ thị của F R tập các số thực R n không gian Euclid n - chiều X ∗ không gian đối ngẫu của X A ⊂ B A là tập con của B A  B A không là tập con của B A ∩ B A giao B A ∪ B A hợp B A\B hiệu của hai tập hợp A và B A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B clA bao đóng tôpô củaA intA phần trong tôpô của A (GQEP) I bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I (GQEP) II bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các nghành khoa học và kỹ thuật cũng như thực tế. Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Nhưng sau những công trình của H. W. Kuhn và A. W. Tucker về các điều kiện cần và đủ cho một véctơ thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, thì tối ưu véctơ mới thực sự là một nghành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Arrow-Debreu [2], Nash [6] sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) và Browder-Minty (1987) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của Browder-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm x ∈ K sao cho f(x, x)  0, với mọi x ∈ K, trong đó K là tập con cho trước của một không gian nào đó, f : K × K → R là hàm số thực thỏa mãn f(x, x)  0. Đây là dạng suy rộng trực tiếp của các bài toán cổ 6 điển trong lý thuyết tối ưu véctơ. Ban đầu người ta nghiên cứu những bài toán tối ưu liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởi nón Orthant dương. Sau đó, mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó, người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị. Đối với ánh xạ đơn trị, bài toán điểm cân bằng đã được xây dựng một cách tổng quát do Blum và Oettli đặt ra. Có rất nhiều sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với hàm véctơ và ánh xạ đa trị. Tuy nhiên các kết quả đạt được cho đến nay vẫn chưa cho ta được cái nhìn thống nhất giữa các bài toán tối ưu liên quan đến ánh xạ đa trị như trường hợp của đơn trị. Chính vì điều đó, trong những năm gần đây bài toán điểm cân bằng đang được nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt quan tâm. Với những lý do nêu trên và sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn đề tài "Bài toán cân bằng tổng quát loại I và loại II" để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Đưa ra các mô hình bài toán tựa cân bằng tổng quát và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và loại II, sự tồn tại nghiệm của chúng và ứng dụng . 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng loại I và loại II và một số bài toán liên quan với bài toán cân bằng trong lý thuyết 7 tối ưu. 5. Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán đặt ra ta sử dụng các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và bổ đề Fan - KKM. 6. Những đóng góp mới của đề tài Trình bày được một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về bài toán cân bằng tổng quát loại I và loại II, sự tồn tại nghiệm của chúng và các bài toán liên quan. Nghiên cứu một số ứng dụng của định lý tồn tại nghiệm. [...]... đó i= 1 Bổ đề 1.6.2 (Bổ đề Fan-KKM) Giả sử D là một tập con l i khác rỗng trong không gian véctơ tôpô X, F : D → 2X là ánh xạ KKM Nếu F có giá trị đóng, đồng th i có ít nhất một i m x ∈ D sao cho F (x ) là tập compact thì x∈D F (x) = ∅ Chương 2 B i toán tựa cân bằng tổng quát lo i I 2.1 B i toán tựa cân bằng tổng quát lo i I và các b i toán liên quan 2.1.1 B i toán tựa cân bằng tổng quát lo i I Ta... v i m i y ∈ A (ii) i m x ∈ A được g i là i m hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đ i v i nón C, nếu không tồn t i y ∈ A để x − y ∈ C \ l(C) Tập các i m hữu hiệu Pareto của A đ i v i nón C được kí hiệu là M in(A|C) (iii) i m x ∈ A được g i là i m hữu hiệu yếu (khi intC = ∅ và C = Y ) của A đ i v i nón C, nếu x ∈ M in(A|({0} ∪ intC)) Tức là x là i m hữu hiệu Pareto đ i v i nón C0 = {0} ∪ intC... l i compact Giả sử rằng: i) S là ánh xạ liên tục v i giá trị l i, đóng; ii) T là ánh xạ nửa liên tục trên v i giá trị l i, đóng khác rỗng; iii) V i m i (x, y) ∈ D × K cố định, tồn t i t ∈ S(x, y) sao cho 0 ∈ F (y, x, t, z), v i m i z ∈ S(x, y); iv) V i m i (x, y) ∈ D × K, tập A = {t ∈ S(x, y)|0 ∈ F (y, x, t, z), v i m i z ∈ S(x, y)} là tập l i; v) F là ánh xạ đóng Khi đó b i toán (GQEP )I có nghiệm... các b i toán, việc 30 chứng minh sự tồn t i nghiệm thường dựa vào việc sử dụng định lý i m bất động hoặc bổ đề KKM Mục đích chính của chương này là tìm các i u kiện trên các tập D, K và các ánh xạ S, T, F để b i toán tựa cân bằng tổng quát lo i I có nghiệm Từ đó ta suy ra sự tồn t i nghiệm của các b i toán liên quan trong lý thuyết t i ưu v i sự tham gia của các ánh xạ đa trị Ta chứng minh định lý sau... (ii) (∀x, y ∈ M ) d(x, y) = d(y, x); (iii) (∀x, y, z ∈ M ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Không gian metric ký hiệu là (M, d), (viết tắt là M ) Ánh xạ d g i là metric trên M , số d(x, y) g i là khoảng cách giữa hai phần tử x và y Ví dụ: (i) Một tập con M bất kỳ của tập số thực R, v i khoảng cách d(x, y) = |x − y| (độ d i đoạn n i x v i y), là một không gian met- 9 ric (ii) Tổng quát hơn, trong không gian... : i m x g i là i m trong của tập A, nếu tồn t i lân cận của i m x bao hàm trong tập A; i m x g i là i m ngo i của tập A, nếu tồn t i lân cận của i m x không chứa i m nào của tập A; i m x g i là i m biên của tập A, nếu m i lân cận của i m x đều chứa những i m thuộc tập A, và những i m không thuộc tập A Tập tất cả các i m biên của tập A ký hiệu là ∂A; i m x g i là i m gi i hạn (hay i m... thỏa mãn: i) T là ánh xạ nửa liên tục trên v i giá trị l i, đóng khác rỗng; ii) V i m i i m (x, y) ∈ D × K cố định, ánh xạ G(y, x, ) : D → 2D là KKM; iii) G là ánh xạ đóng v i giá trị khác rỗng, v i m i i m (x, y) ∈ D×K cố định tập A = {t ∈ D| t ∈ G(y, x, z), v i m i z ∈ D} là l i Khi đó, tồn t i i m (¯, y ) ∈ D × K thoả mãn x ¯ y ∈ T (¯, y ); x ∈ G(¯, x, z), v i m i z ∈ D ¯ x ¯ ¯ y ¯ Chứng minh Định... v i giá trị khác rỗng B i toán: Tìm (¯, y ) ∈ D × K sao cho x ¯ 27 x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); 0 ∈ F (y, x, x, z) v i m i z ∈ S(x, y) được g i là b i toán tựa cân bằng tổng quát lo i I, ký hiệu là (GQEP )I Các ánh xạ S, T được g i là ánh xạ ràng buộc, F được g i là ánh xạ mục tiêu, F có thể là đẳng thức, bất đẳng thức, hoặc là bao hàm thức hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị 2.1.2 Các b i toán liên... trình bày kh i niệm C-hemi liên tục trên (dư i) và kh i niệm hemi liên tục trên (dư i) Định nghĩa 1.4.4 a) F được g i là C-hemi liên tục trên nếu v i m i x, y ∈ D thỏa mãn F (αx + (1 − α)y) ∩ C(αx + (1 − α)y) = ∅, v i m i α ∈ (0, 1), thì F (y) ∩ C(y) = ∅ b) F được g i là C-hemi liên tục dư i nếu v i m i x, y ∈ D thỏa mãn F (αx + (1 − α)y) F (y) −intC(αx + (1 − α)y), v i m i α ∈ (0, 1), thì −intC(y) c)... đầu chương bằng b i toán thực tế sau: Nhà máy sản xuất sơn A và đ i lý tiêu thụ B có quan hệ hợp tác v i nhau Nhà máy A có tập chiến lược sản xuất D, đ i lý tiêu thụ B có tập chiến lược tiêu thụ K Sự thành hay b i của nhà máy sản xuất và đ i lý tiêu thụ phụ thuộc rất nhiều vào chiến lược của ngư i lãnh đạo V i m i chiến lược x ∈ D và y ∈ K, lãnh đạo nhà máy A có tập chỉ đạo S(x, y), đ i lý tiêu thụ B . nghiên cứu Tìm hiểu về b i toán tựa cân bằng tổng quát lo i I và lo i II, sự tồn t i nghiệm của chúng và ứng dụng . 4. Đ i tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn t i nghiệm của b i toán. " ;B i toán cân bằng tổng quát lo i I và lo i II& quot; để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Đưa ra các mô hình b i toán tựa cân bằng tổng quát và nghiên cứu sự tồn t i nghiệm của chúng. 3. Nhiệm. Các b i toán cơ bản trong lý thuyết t i ưu véctơ bao gồm: b i toán t i ưu, b i toán cân bằng Nash, b i toán bù, b i toán bất đẳng thức biến phân, b i toán i m yên ngựa, B i toán i m cân bằng