Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, các thầy cô phòng Sau Đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Đặc biệt tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Văn Hùng đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên lớp K12 Toán Giải tích, bạn bè, đồng nghiệp đã ủng hộ, giúp đỡ tôi và có những đóng góp quý báu trong suốt quá trình viết luận văn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010. Tác gi ả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Hùng. Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010. Tác giả Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số khái niệm mở đầu 5 1.1 Nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Dạng chính tắc NF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Dạng chính tắc trên mặt bất biến NFIS . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn trong mặt phẳng 18 2.1 Mặt phẳng pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Phân loại điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Khảo sát các loại điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Bài toán tâm và tiêu điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Phép biến đổi hữu hạn các lũy thừa . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Tiêu điểm trong trường hợp đại số . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Phương trình rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2 Nghiệm tuần hoàn và rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 3. Một số ứng dụng 42 3.1 Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn PTVP tuyến tính . . . . . . . . . 42 3.2 Vẽ bản đồ POINCARÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Vẽ bản đồ bài toán EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết rẽ nhánh có nguồn gốc từ các bài toán cơ. Lần đầu tiên xuất hiện trong các công trình nghiên cứu của Lagrange, của Euler, của Poincare’, của Liapunov… Hiện tượng rẽ nhánh xảy ra khi có mặt của các tham số trong bài toán phi tuyến. Khi các tham số thay đổi sẽ làm xuất hiện thêm một số nghiệm khác của hệ cạnh các nghiệm tầm thường. Bài toán rẽ nhánh được khảo sát trong phương trình hàm   ,0Fx  (1) hoặc các phương trình toán tử. Nghiệm x sẽ phụ thuộc vào tham số  . Giả sử họ nghiệm đã biết là     xx khi đó với mỗi lân cận của 0  đủ nhỏ cho trước 0   sẽ làm xuất hiện một nghiệm mới   0 x  . Khi đó tham số  được gọi là rẽ nhánh của hàm (hoặc toán tử). Rẽ nhánh trong phương trình vi phân là một phần của lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Bắt đầu từ bài toán đơn giản.     ,x x ftA    (2) trong đó     ,,,x ft ft   với 0  cho trước, chúng ta tìm những nghiệm   0 ,xt của phương trình (2). Nghiệm mới   ,xt với 0  là vấn đề rẽ nhánh của nghiệm tuần hoàn trong phương trình vi phân (2). Đề tài này trình bày sự rẽ nhánh đối với các loại phương trình vi phân thường, phương trình chính tắc trong bài toán cục bộ, trong mặt phẳng. Tuy nhiên vấn đề rẽ nhánh trong phương trình vi phân là rất rộng lớn và sâu rộng được nhiều nhà khoa học quan tâm. Với mong muốn 2 được tìm hiểu rõ ràng và sâu rộng hơn về vấn đề rẽ nhánh trong phương trình vi phân nên tôi chọn đề tài này. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về rẽ nhánh trong phương trình vi phân trong mặt phẳng và ứng dụng của nó trong thực tiễn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏ nội dung của rẽ nhánh trong phương trình vi phân và một số ứng dụng của nó. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các kết quả về rẽ nhánh trong phương trình vi phân và một số ứng dụng của nó cụ thể luận văn gồm 3 chương. Chương 1: Một số khái niệm mở đầu. Chương 2: Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn trong mặt phẳng. Chương 3: Một số ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Áp dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học, phương pháp số đặc biệt là các phương pháp nghiên cứu trong giải tích hàm. 6. Đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về lý thuyết rẽ nhánh trong phương trình vi phân cùng với một số bài toán ứng dụng. Chương 1. Một số khái niệm mở đầu 1.1. Nghiệm của phương trình vi phân Xét phương trình vi phân   ,x f xt  (1.1) với ,: nn xf      là hàm vectơ giá trị thực. Định nghĩa 1.1.1. Điểm n x   được gọi là điểm cân bằng của phương trình (1.1), nếu   ,0f xt  , t   . Định lý 1.1.1. Hệ phương trình vi phân   x Ax g t  (1.2) với     , n A gt gt t      . Có nghiệm tuần hoàn duy nhất nếu và chỉ nếu các giá trị riêng j  của ma trận A thỏa mãn:   2 j i AK      - chu kỳ của   gt , K - hệ số lặp của các giá trị riêng. Chứng minh. Chúng ta sử dụng công thức   0 ! k At k At e k     và viết nghiệm tổng quát của hệ (1.2)       0 0 t At s At t x t e x e g s ds    . (1.3) 4 Giả sử     xt xt , ta có thể viết       0 0 As A x e x e g s ds        . Chuyển 0 A ex  về phía trái của biểu thức       0 0 As A e E x e g s ds       . (1.4) Ta thấy trong (1.4), E là ma trận đơn vị thuộc n  , 0 x trở thành nghiệm của phương trình đại số (1.4), vì 0 x cho trước duy nhất, nên công thức   det 0 A eE   (1.5) suy ra   2 j i AK     . (1.6) Nhận xét. • Nếu   0 0xx là điều kiện ban đầu của nghiệm, thì nghiệm tuần hoàn   xt sẽ cho     0 0x xx  . • Mở rộng hệ phương trình vi phân   x Ax g t  với dạng     ,,x Ax g t h x t   (1.7) với 0  cho trước     , , ,,h xt h xt  . Bài toán đặt ra: Tìm nghiệm   0 ,,xt x của hệ phương trình (1.7) thỏa mãn     00 ,, ,, ,xt x xt x t      . Định lý 1.1.2. Hệ phương trình (1.7) với các hàm   gt và   ,,h xt tuần hoàn theo t sẽ có nghiệm tuần hoàn   0 ,,x tx  duy nhất nếu và chỉ nếu 5 các giá trị riêng   j A thỏa mãn:   2 j i AK     . Chứng minh. Theo nhận xét về nghiệm tuần hoàn, theo điều kiện ban đầu ta luôn có   00 ,, 0xx x . (1.8) Đặt hàm     0 00 , ,,x xx x   . (1.9) Nếu 0  hiển nhiên   0 ,0 0x  và ta có định lý vừa khảo sát ở trên. Nếu 0  . Hàm   0 ,x trong (1.9) cho phép tìm hàm ẩn 0 n x   . Muốn có hàm ẩn điều kiện đủ là: 0 0 det 0 x       . (1.10) Hay   det 0 A eE   . (1.11) Suy ra   2 j i AK     (đpcm). 1.2. Bổ đề bổ trợ Định nghĩa 1.2.1 (Đa thức đồng nhất thức VHP). Vectơ hàm   Xx được gọi là đa thức đồng nhất thức (VHP: Vector Homogeneous Polynom) bậc 6 l , nếu có thể chỉ ra một lân cận gốc tọa độ, tại đó mỗi chuỗi   k Xx hội tụ. Nếu chuỗi   k Xx không hội tụ, hoặc không khẳng định được sự hội tụ thì chuỗi   k Xx được gọi là chuỗi hình thức. Vi phân một chuỗi hình thức có thể tiến hành tương tự vi phân một chuỗi hội tụ. (Một cách hình thức). Một chuỗi   k Xx trong đề tài này là thường bắt đầu bởi số hạng có bậc lớn hơn hoặc bằng 2. Định nghĩa 1.2.2 (Sắp xếp thứ tự). Chúng ta nói cặp   ** ,kq vượt quá cặp   ** ,kq nếu có: ** * * * 11* 22* * 0, 0, 0, , 0 nn kk qq qq qq  . (1.12) Xét toán tử :L VHP VHP biến bộ hệ số l X vào bộ hệ số mới l LX với định nghĩa sau: l ll X LX Ax BX x    (1.13) trong đó , nm ANBN . Mỗi toán tử L sẽ tương ứng với một ma trận  biến bộ hệ số l X vào bộ hệ số mới l LX . Định lý 1.2.1. Giá trị riêng   q k  của ma trận  ứng với toán tử L trong công thức (1.13) sẽ có dạng     , q kk qk   (1.14) với 1, ,k mq l và   12 , , , n k kk k - giá trị riêng của n N  12 , , , m   - giá trị riêng của m BN  ; còn   11 22 , nn qk qk qk q k   . Chứng minh. 7 Thực hiện phép biến đổi không suy biến     ,x Sy h x Tg y (1.15) với ,, n xy h  - đa thức VHP khác không sao cho 1 1 S AS J   - Jordan của A 1 2 T BT J   - Jordan của B h là đa thức riêng của toán tử L với Lh h . (1.15) Còn g dưới tác động của L sẽ có     11 g S ASy T BTg y Ag y y     . (1.17) Với chuỗi l X ta có * 11 l ll X L X S ASx T BTX x     . (1.18) Giả sử 12 ,JJ là ma trận dạng Jordan – tam giác dưới các phần tử không nằm trên đường chéo chính sẽ tương ứng   2, k kn  và   2, k km  . Ta xét ma trận nn ZN   của toán tử * L . Đặt * Lh f và xét     11 1 n k k ii ii kk kk i i h f x kx x h h x           khi đó các hệ số của k f là:             1 1 2 ,1 ii n q q qe e q k k k i ik kk i f qk h q h h              trong đó i e là đơn vị. Chúng ta sẽ có Z cũng là dạng tam giác dưới với các chỉ số [...]... 1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng V Ax  U x  x (1.19) với x  C n , A  N n , U x  là dạng toàn phương sẽ có nghiệm duy nhất V x  - dạng toàn phương nếu kk  k j  0, k, j  1, n 1.3 Dạng chính tắc NF Xét hai hệ phương trình vi phân:  x  Ax  X x  (1.20)  y  Ay  Y y  (1.21) với X x ,Y y  là các đa thức đồng nhất VHP Định nghĩa 1.3.1 (Tương đương hình thức) Hai hệ phương trình vi phân. .. Chương 2 Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn trong mặt phẳng 2.1 Mặt phẳng pha 2.1.1 Một số khái niệm 2.1.1.1 Dáng điệu của nghiệm Xét hệ hai phương trình vi phân dx    f x , y    dt  dy   g x , y    dt  (2.1) Trong mặt phẳng  2 nghiệm của hệ phương trình (2.1) có thể là • Một điểm (điểm cân bằng, điểm kỳ dị…) • Một đường cong kín (tuần hoàn…) • Một đường cong hở 2.1.1.2 Quỹ đạo của nghiệm trong. .. giới hạn này cũng nằm trong lân cận nói trên Nhận xét: Thông thường quỹ đạo của các nghiệm tuần hoàn sẽ là xích giới hạn 2.1.3 Khảo sát các loại điểm cân bằng 2.1.3.1 Hệ tuyến tính Trong mặt phẳng pha vi c chúng ta nghiên cứu điểm cân bằng của hệ tuyến tính đóng một vai trò quan trọng để tiếp tục khảo sát dáng điệu, sự rẽ nhánh của nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình vi phân Xét hệ tuyến tính... Hệ phương trình (2.14) có phương trình thứ 2 là liên hợp của phương trình thứ nhất Tiếp tục biến đổi x  y  h y , y   1  1 1 1 2  x 2  y2  h2 y1, y2     (2.15) và nhận được dạng chính tắc NF y  i y  y P y y   1  1 1 1 1 2  y2  i y1  y2 P2 y1y2     (2.16) trong đó P1 y1y2  , P2 y1y2  là các chuỗi cộng hưởng và trong hệ (2.16) có   y1  y2 Theo quan điểm đã trình. .. cộng hưởng Còn (*) được gọi là phương trình cộng hưởng Các hệ số bất kỳ của một chuỗi lũy thừa có cặp k, q  thỏa mãn q, k   kk  0 được gọi là hệ số không cộng hưởng, còn các số hạng tương ứng là số hạng không cộng hưởng Định nghĩa 1.3.4 (Hệ có dạng chính tắc) Hệ phương trình vi phân  x  Jx  X x  (1.26) được gọi là hệ có dạng chính tắc (NF – normal form), nếu trong đó tất cả các hệ số không... (1.21) Định nghĩa 1.3.2 (Tương đương giải tích) Hai hệ phương trình vi phân (1.20) và (1.21) được gọi là tương đương giải tích (AE – Analytical Equivalent), nếu các chuỗi X x ,Y y  và h y  hội tụ Định lý 1.3.1 Nếu q, k   kk  0, k  1, m thì hai hệ (1.20) và (1.21) 9 tương đương hình thức PE và biến đổi (1.22) là duy nhất Chứng minh Lấy vi phân hai vế của (1.22) có tính đến các hệ (1.20) và...  Từ hệ (2.27) ta vi t lại dr g  r 2N 1  Q r ,  r 2N 2 d  (2.28) Giả sử r , r0  là nghiệm của phương trình vi phân (2.28) với r 0, r0   r0 Và vì r  0 cũng là nghiệm riêng của (2.28) nên r , r0  giải tích đối với r0 khi r  r *,    Đặt g r0   r 2, r0  và gọi là hàm nối, khi đó g r0  cũng giải tích theo r0 khi r0  r * và g 0  0 Như vậy có thể vi t dưới dạng hình...   kk  hk  gk Yk ta có định lý sau:   Định lý 1.3.3 Hệ phương trình bất kỳ dạng  x  A  x  X x ,  với A  là ma trận đường chéo, nghĩa là   A   diag k1 , k2 , , kn  với phép biến đổi x  y  h y  (1.22) có hệ số giải tích đối với  đủ nhỏ, sẽ biến thành hệ số có dạng chính tắc NF Ví dụ 1.3.3 Xét hệ phương trình  x  Ax  X x  (1.20) với n  2 , ma trận A có các giá...  dy   dt  (2.2) Điểm cân bằng là x , y  sao cho: ax  by  0 cx  dy  0 nếu   ad  bc  0 thì tồn tại một điểm cân bằng duy nhất Với hệ (2.2) ta có phương trình đặc trưng  2  a  d    ad  bc  0 (2.3) Dáng điệu của nghiệm phương trình (2.2) phụ thuộc vào dấu của các giá trị riêng 21 Trường hợp 1 Nếu 1, 2 là nghiệm thực và cùng dấu, nghĩa là cùng tích 12  0 thì điểm cân bằng là... 2.1.3.3 Một vài ví dụ Ví dụ 2.1.1 Xác định điểm cân bằng và phân loại bức tranh pha của hệ: x  2y    y  x  3y   Phương trình đặc trưng của hệ là  2  0 2 3  Có nghiệm 1  1, 2  4 Vì tích 12  4  0 nên điểm cân bằng 0, 0 là yên điểm (2.5) 25   Xác định dáng điệu của đường cong pha x t , y t  của hệ (2.5) như sau Phân giác góc vuông y  kx Khi đó k  2  3k 2k 1 Suy ra . nghiệm tuần hoàn trong phương trình vi phân (2). Đề tài này trình bày sự rẽ nhánh đối với các loại phương trình vi phân thường, phương trình chính tắc trong bài toán cục bộ, trong mặt phẳng thuyết rẽ nhánh trong phương trình vi phân cùng với một số bài toán ứng dụng. Chương 1. Một số khái niệm mở đầu 1.1. Nghiệm của phương trình vi phân Xét phương trình vi phân . Khi đó tham số  được gọi là rẽ nhánh của hàm (hoặc toán tử). Rẽ nhánh trong phương trình vi phân là một phần của lý thuyết định tính của phương trình vi phân. Bắt đầu từ bài toán đơn giản.