phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 0 bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học s phạm hà nội 2 **************** trần trung thành phép biến đổi laplace và ứng dụng chuyên ngành : toán giải tích Mã số: 60 46 01 Ngời hớng dẫn khoa học : pgs. Ts nguyễn huy lợi Hà Nội - 2008 phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 1 Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới pgs.ts nguyễn huy lợi, đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn phòng sau đại học, các thầy, cô trong tổ giải tích của khoa toán trờng đại học s phạm hà nội 2, các bạn học viên lớp cao học giải tích khoá 9 và ban giám hiệu, các thầy, cô trong tổ toán trờng trung học phổ thông hiệp hoà số 2- bắc giang đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trờng. Trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn mặc dù tôi hết sức nghiêm túc và cố gắng tìm tòi, song do còn hạn chế về thời gian và kiến thức, nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong sự đóng góp của các thầy, cô cùng các bạn nhận xét và đóng góp ý kiến để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 09 năm 2008 Tác giả Trần trung thành phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 2 Lời cam đoan Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn: phép biến đổi laplace và ứng dụng đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giải tích phức đặc biệt là những khái niệm quan trọng của phép biến đổi laplace. Qua đó cũng giúp tác giả bớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Tác giả xin cam đoan luận văn đợc hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm tòi , nghiên cứu bản thân dói sự hớng dẫn chỉ bảo của pgs. Ts nguyễn huy lợi cũng nh các thầy, cô phòng sau đại học, tổ giải tích của khoa toán trờng đại học s phạm hà nội 2. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô cùng các bạn để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 09 năm 2008 Tác giả Trần trung thành phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 3 Mục lục Trang Mở đầu 5 Chơng 1: một số kiến thức bổ trợ 7 1.1.hàm giải tích 7 1.1.1. đạo hàm 7 1.1.2. hàm giải tích 8 1.2. tích phân của hàm số biến số phức 8 1.2.1. các khái niệm cơ bản 8 1.2.2. các định lý Cauchy 11 1.2.3. công thức tích phân Cauchy 11 1.2.4. tích phân loại Cauchy 12 1.2.5. nguyên hàm của hàm số biến số phức 13 1.3. lý thuyết chuỗi 15 1.3.1. chuỗi Taylor 15 1.3.2. chuỗi Laurent 17 1.4. lý thuyết thặng d 21 1.4.1. định nghĩa 21 1.4.2. các định lý cơ bản về thặng d 23 Chơng 2: phép biến đổi laplace 25 2.1. mở đầu 25 2.2. các khái niệm cơ bản 25 2.2.1. hàm gốc 25 phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 4 2.2.2. tính giải tích của phép biến đổi laplace 26 2.3. mối liên hệ của hàm gốc và hàm ảnh 28 2.4. các tính chất cơ bản của ảnh 36 2.5. Các định lý liên quan 41 2.6. Bảng đối chiếu các biến đổi laplace thông dụng 44 Chơng 3: một số ứng dụng của phép biến đổi laplace 46 3.1. ứng dụng phép biến đổi laplace về mặt lý thuyết 46 3.2. ứng dụng phép biến đổi laplace giải một số bài toán cụ thể 53 3.2.1. ứng dụng phép biến đổi laplace giải phơng trình vi phân thờng 53 3.2.2. ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phơng trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang 60 3.2.3. ứng dụng phép biến đổi laplace giải hệ phơng trình vi phân 62 3.2.4. ứng dụng phép biến đổi laplace giải phơng trình đạo hàm riêng đặc biệt 67 3.3. ứng dụng phép biến đổi laplace giải một số bài toán vật lý 72 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 5 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có một vai trò quan trọng trong giải tích phức mà mục tiêu nghiên cứu là biến các phép tính giải tích nh đạo hàm, tích phân thành phép tính đại số. Nh vậy qua phép biến đổi Laplace ta có thể biết đợc cơ sở của phép tính toán tử và sử dụng phơng pháp tính toán tử để giải các phơng trình vi phân, các phơng trình đạo hàm riêng và phơng trình tích phân và nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phơng trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang Heaviside. Những hàm này thờng xuất hiện trong cơ học và các mạch điện tử. Ngoài ra, phép biến đổi Laplace còn đợc nghiên cứu trong vật lý và nhiều môn học khác mà còn là công cụ tính toán hữu ích cho việc tính toán. Với mong muốn nh thế, nên tác giả đi sâu nghiên cứu và tìm hiểu sâu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong lý thuyết, trong thực tiễn, vì vậy mà tác giả đã chọn đề tài "Phép biến đổi Laplace và ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace sau đó nêu ra một số ứng dụng trong lý thuyết và thực tiễn của nó. 3. Đối tợng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu chủ yếu phép biến đổi Laplace và ứng dụng, để tiếp thu và thực hành đối với hàm một biến, phơng trình vi phân thờng, phơng trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang, hệ phơng trình vi phân hệ số hằng, phơng trình đạo hàm riêng. Luận văn gồm phần mở đầu, ba chơng, kết luận và tài liệu tham khảo. Trong đó: Chơng 1. một số kiến thức bổ trợ phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 6 chơng 2. Phép biến đổi Laplace chơng 3. Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace 4. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Nghiên cứu sâu khái niệm phép biến đổi laplace đối với bộ môn giải tích phức nâng nó thành đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó để giải một số bài toán. Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học và ngời yêu thích toán, đặc biệt sinh viên ngành toán, vật lí lý thuyết, kĩ thuật điện - điện tử về phép biến đổi laplace. phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 7 Chơng 1: MộT Số KIếN thức Bổ TRợ 1.1. Hàm giải tích 1.1.1. Đạo hàm Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f z xác định trong miền D, f z đợc gọi là khả vi tại 0 z D, nếu tồn tại giới hạn 0 0 0 lim z f z z f z z (1.1) và ta nói rằng hàm f có đạo hàm tại 0 z . Kí hiệu: ' 0 f z 0 0 0 lim z f z z f z z (1.2) là đạo hàm của f tại điểm 0 z . Hàm f đợc gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm z D. Nhận xét : Mọi hàm khả vi tại điểm 0 z thì liên tục tại điểm đó. Do định nghĩa đạo hàm hoàn toàn tơng tự với hàm số biến số thực nên một cách tơng tự ta cũng có các tính chất. Định lý 1.2. Nếu các hàm số f z và g z khả vi theo nghĩa phức tại điểm z thì các hàm , . , , 0 f z f z g z f z g z g z g z cũng khả vi tại z và ' ' ' ' ' ' , ' ' 2 . . . . i f z g z f z g z ii f z g z f z g z f z g z f z f z g z f z g z iii g z g z Nếu hàm f z khả vi tại 0 z và g z khả vi tại 0 0 v f z thì hàm g( f z ) khả vi tại và phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 8 iiii. (g( ' 0 f z ) = , , 0 g f z . Ta đã biết rằng hàm số biến số phức số và hàm số biến số thực có liên hệ với nhau. Tuy nhiên khi xét về tính khả vi thì sự liên hệ đó đợc hiểu nh, thế nào? Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó. định lý 1.2. ( cauchy - riemann). Cho hàm số , ,f z u x y iv x y xác định trong lân cận của điểm 0 0 0 z x iy . Giả sử ,u v khả vi theo nghĩa thực tại điểm 0 z , khi đó điều kiện cần và đủ để hàm f khả vi tại điểm 0 z là 0 z u v x y u v y x (Điều kiện khả vi phức ) 1.1.2. Hàm giải tích Định nghĩa 1.2. (Hàm giải tích ). Hàm f xác định trên miền D đợc gọi là giả tích tại 0 z D nếu tồn tại lận cận của 0 z chứa trong D sao cho f khả vi trong lân cận đó. Nhận xét: 1. Hàm f z giải tích tại điểm 0 z thì khả vi tại điểm đó. Tuy nhiên điều ngợc nói chung không đúng. Ví dụ: Hàm .f z z z khả vi tại điểm z = 0 nhng giải tích tại điểm đó. 2. Trên miền D mở hàm f z giải tích trên D khi và chỉ khi f khả vi trên đó. 1.2. Tích phân của hàm số biến số phức 1.2.1. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.3. Cho là đờng cong Jordan, trơn từng khúc và hai đầu mút a và b. Trên cho hàm số f z , chia thành n phần bởi các điểm chia a = phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 9 1, 2 1 , , n z z z = b ( Các điểm chia đợc cho theo chiều tăng của tham số), trên mỗi cung 1k k z z lấy điểm k bất kì ( k = 1, 2, 3, ,n+1) Lập tổng 1 1 n n k k k k S f z z (1.3) n S gọi là tổng tích phân, tổng trên tồn tại khi d 1 k n max 1 k k z z dần đến 0, không phụ thuộc vào cách chia đờng cong và cách chọn k , thì giới hạn đó đợc gọi tích phân của hàm f z dọc theo đờng cong . Kí hiệu: 1 0 1 lim n k k k d k f z dz f z z (1.4) Sự tồn tại của tích phân trên tơng đơng với sự tồn tại của tích phân của hai hàm số biến số thực. Thật vậy, đặt f z ( , ) ( , )u x y iv x y ; k k z x iy ; ; k k k z i 1k k k z z z x i y . k k k z i ; ; k k k u u ; ; k k k v v . Khi đó (1.3)có thể viết dới dạng: 1 n n k k k k k S u iv x i y 1 1 n n n k k k k k k k k k k S u x v y i u y v x (1.5) Vế trái của (1.5) là tổng các tích phân đờng loại hai tơng đơng với sự tồn tại 0 lim n d S . kéo theo sự tồn tại tích phân ở vế phải và ta có: ( )f z dz udx vdy i udy vdz (1.6) Nếu xét đờng cong cho dới dạng tham số, thì hàm f z đợc biểu diễn dới dạng hàm số phức của biến số thực. [...]... phẳng C và như vậy chứng tỏ tổng toàn phân của các thặng dư của mọi hàm giải tích đều bằng 0 Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 24 phép biến đổi laplace và ứng dụng Chương 2 Phép biến đổi laplace 2.1 mở đầu phép biến đổi laplace là một trong các phép biến đổi có một vai trò quan trọng trong giải tích phức mà mục tiêu nghiên cứu là biến các phép tính giải tích như đạo hàm, tích phân thành phép tính... cho cụm từ "phép biến đổi Laplace của" 2.2.2 Tính giải tích của phép biến đổi Laplace Định lý 2.1 Nếu hàm F s là ảnh của hàm gốc f t với chỉ số tăng p0 , thì tích phân f (t )e st dt hội tụ với mọi s a ib có Res > p0 0 chứng minh : với mọi Res > p0 , mọi s a ib , p > p0 , ta chọn > 0, sao cho: Res > p0 + Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 26 phép biến đổi laplace và ứng dụng Do f... trong hình vành khăn K : r z z0 R, trong đó 0 r , R Ta chọn hai số r1 và R1 sao cho: r r1 R1 R và một số q Trần trung thành ( () < q < 1) khoá9 cao học giảI tích 17 phép biến đổi laplace và ứng dụng r q Xét hình vành khăn K : 1 z z0 q.R1 Lấy một điểm z tùy ý thuộc vành K Theo tích phân Cauchy, ta có: f z f t f t 1 1 t z dt 2 i t z dt 2 i R r 1 (1.38) 1 Trong đó R và r lần... ( hay gọi là ảnh của phép biến đổi laplace của hàm f t ) chú ý: Hàm F s có thể không tồn tại với mọi f t 2.2 Các khái niệm cơ bản Để hàm F s luôn luôn tồn tại, ở đây chỉ xét các hàm f t thuộc một lớp hàm đặc biệt, gọi là hàm gốc Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 25 phép biến đổi laplace và ứng dụng 2.2.1 hàm gốc Hàm gốc là tập hợp tất cả các hàm phức f t của biến số thực t sao cho... đường kính của phép chia 0 n k Với hàm f t xác định trên khoảng 0, , lập tổng tích phân khi đó ơ f t = 1 2 i e st f e s d ds i 0 a a i (2.18) khi t thì hàm F s = f ( )e s d (2.19) 0 Là ảnh của phép biến đổi Laplace của hàm gốc f t , cho nên a i f t = Trần trung thành 1 st e F s ds 2 i a i khoá9 cao học giảI tích (2.20) 30 phép biến đổi laplace và ứng dụng Từ (2.20)... lý 2.3 Mọi hàm ảnh F s tiến dần 0 khi Res tiến dần Tức là: lim F s = 0 p (2.7) Chứng minh: theo định lý 2.1, từ (bđt 2.5) nên tính chất được chứng minh Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 27 phép biến đổi laplace và ứng dụng Tính chất 2.1 f t và f ' t đều là hàm gốc thì lim sF s = f 0 Nếu s Chứng minh: Do f ' t (2.8) sF s - f 0 , nên sF s - f 0 là 1 ảnh Theo định lý trên... từng khúc nối hai điểm z và z0 thì ta có thể dùng kí hiệu z f t dt thay cho kí hiệu f z dz Nếu z0 là điểm cố định và z có thể thay z0 z đổi thì tích phân f t dt là một hàm số của z , ta viết z0 z f t dt = F z (1.16) z0 Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 13 phép biến đổi laplace và ứng dụng Định lý 1.6 Nếu hàm f z là một hàm số liên tục trong miền đơn liên D và tích phân f z dz.. .phép biến đổi laplace và ứng dụng t f z t t i t ; t , (1.7) t dt t dt i t dt (1.8) hoặc f z dz f z t .z ' t dt (1.9) Trong đó: z (t ) t với a và b Ví dụ 1.1 Tính tích phân z dz , trong đó là đoạn thẳng nối z 0 và z 2i Giải: áp dụng cộng thức (1.6) ta có z dz = xdx ydy i (... trung thành khoá9 cao học giảI tích 15 phép biến đổi laplace và ứng dụng Chứng minh: Giả sử r > 0 và r . ứng dụng của phép biến đổi laplace 46 3.1. ứng dụng phép biến đổi laplace về mặt lý thuyết 46 3.2. ứng dụng phép biến đổi laplace giải một số bài toán cụ thể 53 3.2.1. ứng dụng phép biến đổi. phép biến đổi laplace và ứng dụng Trần trung thành khoá9 cao học giảI tích 5 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có một vai. nghiên cứu và tìm hiểu sâu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong lý thuyết, trong thực tiễn, vì vậy mà tác giả đã chọn đề tài " ;Phép biến đổi Laplace và ứng dụng& quot;. 2. Mục đích nghiên