1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn, luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng với các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Lưu Thị Thu Hương 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Lưu Thị Thu Hương BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên R Tập số thực Z Tập số nguyên C Tập số phức R k Không gian thực k chiều . Chuẩn ∅ Tập hợp rỗng Z + = {0, 1, 2, } Tập các số nguyên không âm Mục lục Mở Đầu 1 1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Giải tích thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1. Hàm cửa sổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2. Biến đổi Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Cửa sổ thời gian-tần số của Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.4. Cửa sổ thời gian-tần số của biến đổi sóng nhỏ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Khung Gabor 17 2.1. Lý thuyết khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . 17 3 4 2.2. Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Sự hội tụ không điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4. Không gian Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Tính bị chặn của toán tử khung Gabor . . . . . . . . . . 34 2.6. Biểu diễn Walnut của toán tử khung Gabor . . . . . . . 37 2.7. Mở rộng không trực giao Painless . . . . . . . . . . . . . 41 2.8. Tính trù mật của khung Gabor. . . . . . . . . . . . . . 43 3 Giải tích Gabor trong không gian biến điệu 44 3.1. Các lớp cửa sổ của giải tích Gabor . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Tính bị chặn của toán tử khung Gabor trên không gian biến điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3. Cơ sở Wilson trong không gian biến điệu . . . . . . . . 64 3.4. Nén dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Kết luận 79 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích sóng nhỏ tồn tại từ thập niên đầu của thế kỷ XX và đã được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu mà đi đầu là Morlet, Meyer Y.V, Daubechies I., Kỹ thuật sóng nhỏ giúp chúng ta phân chia một hàm số phức tạp thành chuỗi các hàm sơ cấp nhờ phép giãn và phép dịch chuyển, cung cấp một công cụ rất hiệu quả và hấp dẫn trong phân tích và tổng hợp tín hiệu. Các nhà toán học đã có nhiều nỗ lực phát triển lý thuyết mới, thuật toán cho các biểu diễn và tổng hợp các hàm. Biểu diễn sóng nhỏ cùng biểu diễn Gabor là các công cụ toán học hữu hiệu nhất để thực hiện nhiệm vụ này. Cụ thể là đã tìm thấy nhiều ứng dụng trong phân tích tín hiệu và xử lý hình ảnh. Trong lý thuyết Gabor các nhà toán học rất quan tâm tới một đối tượng quan trọng đó là khung Gabor. Thuật toán khung được ca ngợi là một phương pháp tái tạo hiệu quả. Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết khung là một vấn đề rất lý thú. Đến nay, lý thuyết khung Gabor được trình bày trong nhiều tài liệu đi cùng với sóng nhỏ. Với mong muốn nghiên cứu lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian - tần số, một mặt trình bày lý thuyết khung theo hệ thống, mặt khác mong muốn tìm những ứng dụng cụ thể của lý thuyết này, dưới sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Bùi Kiên Cường tôi chọn nghiên cứu đề tài: "Lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian-tần số" 2 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết khung Gabor. - Nghiên cứu về giải tích Gabor trong không gian biến điệu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày các kết quả, tính chất của toán tử khung Gabor. - Tính bị chặn của toán tử khung Gabor trong biểu diễn thời gian tần số và trong không gian biến điệu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán tử khung Gabor trong biểu diễn thời gian tần số và trong không gian biến điệu. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết : Thu thập tài liệu, đọc và, phân tích, tổng hợp để nghiên cứu về khung Gabor, toán tử khung Gabor. 6. Dự kiến đóng góp mới Tìm một số ứng dụng cụ thể của khung Gabor. Chương 1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số không gian hàm Định nghĩa 1.1.1. (Không gian M p,q m  R d  ) Giả sử m (x, ω) là một hàm không âm trên R 2d , 1 ≤ p, q ≤ ∞ là các tham số khả tích, g ∈ S  R d  là một cửa sổ cố định. Khi đó chúng ta xác định chuẩn f M p,q m =     R d    R d |V g f (x, ω)| p m(x, ω) p dx   p/q dω    1/q Không gian con mọi f ∈ S   R d  với chuẩn trên là hữu hạn được gọi là không gian biến điệu M p,q m  R d  . Nếu p = q thì ta viết M p m thay cho M p,q m và nếu m (z) ≡ 1 trên R 2d thì ta viết M p,q và M p thay cho M p,q m và M p,p m . Định nghĩa 1.1.2. (Không gian L p,q m  R 2d  ) Giả sử m là một hàm trọng trên R 2d và 1 ≤ p, q ≤ ∞. Khi đó không gian trọng chuẩn hỗn hợp L p,q m  R 2d  bao gồm trả các hàm đo được (Lebesgue) trên R 2d sao cho 3 4 chuẩn F  L p,q m =     R d    R d |F (x, ω)| p m(x, ω) p dx   p/q dω    1/q là hữu hạn. Nếu p = ∞ với mọi q = ∞ thì p − chuẩn tương ứng thực chất là thay cho supremum. Do đó: F  L ∞,q m =     R d    ess sup x∈R d |F (x, ω)|m (x, ω)    q dω    1/q và F  L p,∞ m = ess sup ω∈R d    R d |F (x, ω)| p m(x, ω) p dx   1/p Từ ω → F (., ω) m (., ω) có giá trị trong L p , không gian chuẩn hỗn hợp L p,q m có thể thấy như một không gian giá trị vectơ L q . Nếu p = q thì L p,q m = L p m là không gian L p trọng thông thường. Hơn nữa L ∞ m  R 2d  bao gồm tất cả các hàm (đo được) f sao cho ess sup |f (z)|m (z) ≤ C hay |f (z)| ≤ Cm(z) −1 , z ∈ R 2d Theo định nghĩa thì f L ∞ m là infimum của tất cả các hằng số C. Định nghĩa 1.1.3. (Lớp S  R d  ) Lớp Schwartz S  R d  bao gồm các hàm f ∈ C ∞  R d  sao cho : sup x∈R d   D α X β f (x)   < ∞ ∀α, β ∈ Z d + với X α f (x) = x α f (x) 5 D α = ∂ α 1 ∂x α 1 1 ∂ α d ∂x α d d Không gian đối ngẫu của S  R d  ký hiệu là S   R d  d . Định nghĩa 1.1.4. Nhóm đơn hình Sp (d) là nhóm của tất cả các ma trận A ∈ GL (2d, R) thỏa mãn: [Az, Az  ] = [z, z  ] với mọi z, z  ∈ R 2d . Định nghĩa 1.1.5. ( Không gian l p,q m  Z 2d  ) Không gian l p,q m  Z 2d  bao gồm tất cả các dãy a = (a kn ) k,n∈Z d ( các hàm từ Z 2d tới C) với chuẩn a l p,q m =    n∈Z d   k∈Z d |a kn | p m(k, n) p  q/p   1/q là hữu hạn. Định nghĩa 1.1.6. ( Không gian S C  R d  ) Không gian của các cửa sổ đặc biệt được định nghĩa S C  R d  =  f ∈ L 2  R d  : f = V ∗ ϕ F =  R 2d F (x, ω) M ω T x ϕdxdω  ở đây F ∈ L ∞  R 2d  và suppF là compact. Định nghĩa 1.1.7. Cho một hàm cửa sổ cố định g = 0. Khi đó STFT của hàm f đối với g được xác định V g f (x, ω) =  R d f (t) g (t −x)e −2πitω dt với x, ω ∈ R d . Định nghĩa 1.1.8. Hàm trọng trên R 2d là một hàm không âm, khả tích địa phương trên R 2d . Cho các hàm trọng m, v trên R 2d , m được gọi là v − ôn hòa nếu tồn tại hằng số c sao cho m (z 1 + z 2 ) ≤ cv (z 1 ) m (z 2 ) , ∀z 1 , z 2 ∈ R 2d . [...]... cửa sổ thời gian- tần số Dễ dàng thấy cửa sổ, ω ∗ = 0 và ∆φ = ∞ Cửa sổ này là cửa sổ thời gian tốt nhất nhưng là cửa sổ tần số tồi nhất Một dấu hiệu của tính năng cửa sổ thời gian- tần số là tích bề rộng -thời gian- tần số ∆φ ∆φ bị chặn dưới theo nguyên lí không chặt và cho bởi: 1 ∆φ ∆φ ≥ 2 Ở đây đẳng thức xảy ra khi φ là kiểu Gauss 1.5.2 Biến đổi Gabor Biến đổi Gabor được phát triển bởi D .Gabor, người đã... sổ tần số ∞ 1 Wψ f (b, a) = √ a √ = f (t) ψ a 2π f (ω)ψ (aω)ejbω dω Từ (1.37) rõ ràng cửa sổ tần số là: 1 ∗ ∗ ω+ − ∆+ , a ω+ + ∆+ ψ ψ Cửa sổ thời gian- tần số là tích : 2 2a∆ψ x a ∆+ = 4∆ψ ∆+ = cons tan t ψ ψ (1.38) −∞ ∞ −∞ 1 a t−b dt a (1.39) Chương 2 Khung Gabor 2.1 Lý thuyết khung trong không gian Hilbert Định nghĩa 2.1.1 (Khung) Một dãy {ej : j ∈ J} trong không gian Hilbert H được gọi là một khung. .. không chặt 14 1.5.3 Cửa sổ thời gian- tần số của Biến đổi Fourier thời gian ngắn Chúng ta có thể định nghĩa Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của hàm f (t) đối với hàm cửa sổ φ (t) biểu thị ở vị trí (b, ξ) trong mặt phẳng thời gian- tần số như sau: ∞ f (t) φb,ξ , (t)dt Gφ f (b, ξ) := (1.28) −∞ Ở đây φb,ξ (t) := φ (t − b) ejξt Chúng ta cùng nghiên cứu hàm cửa sổ φ (t) trong (1.28) Nếu t∗ là tâm... = f, S −1 e S −1 ej j∈J 2.2 Khung Gabor Định nghĩa 2.2.1 Cho một hàm cửa sổ khác không g ∈ L2 Rd và các hệ số α, β > 0, tập các hàm dịch chuyển thời gian- tần số G (g, α, β) = Tαk Mβn g : k, n ∈ Zd được gọi là một hệ Gabor 27 Nếu G (g, α, β) là một khung trong L2 Rd , thì nó được gọi là một khung Gabor hoặc khung Heisenberg Weyl Toán tử khung liên kết, hay toán tử khung Gabor, có dạng : f, Tαk Mβng... sổ thời gian Tương tự chúng ta cũng có một cửa sổ tần số φ (ω) với tâm ω ∗ và bán 13 kính RMS ∆φ định nghĩa tương tự (1.23) và (1.24) như sau: ∗ ω := ∞ 1 2 φ 2 ω φ (ω) dω (1.25) −∞ Như chúng ta đã biết, lí thuyết một hàm số không thể giới hạn trong thời gian và tần số tương thích Tuy nhiên, chúng ta có thể có φ (t), ∆φ và ∆φ là hữu hạn Trong trường hợp đó hàm số φ (t) được gọi là một cửa sổ thời gian- tần. .. tích thời gian - tần số Mặc dù phương pháp giải tích Fourier có nhiều tác dụng trong những lĩnh vực khác nhau, nhưng nó trở nên không thỏa đáng khi liên quan đến khái niệm tần số địa phương của một tín hiệu bởi quang phổ Fourier không cung cấp nhiều thông tin miền thời gian về tín hiệu Để sửa khiếm khuyết này, sự phân tích địa phương là cần thiết và là sự kết hợp cả giải tích miền thời gian và miền tần. .. tích miền thời gian và miền tần số để đạt được giải tích thời gian- tần số, bằng phương pháp mà chúng ta có thể rút ra các nội dung tần số địa phương của một tín hiệu Đây là điều rất quan trong, từ đó mà trong thực hành chúng ta chỉ cần quan tâm đến một vài phần đặc biệt của quang phổ và do đó chúng ta có thể tương tự những điều đã biết về một phần của tín hiệu miền thời gian là nguồn gốc, nguyên nhân... (t) Nếu t biểu diễn không gian, f (ω) được gọi là phổ không gian 1.4 Công thức tổng Poisson Công thức tổng Poisson có ích trong mối liên hệ thông tin miền thời gian của một hàm số với quang phổ của nó Lấy f (t) ∈ L2 (R) Tuần hoàn hóa của f(t), gọi là fp (t), được biểu diễn bởi : ∞ fp (t) := f (t + 2πn) (1.13) n=−∞ Ở đây T = 2π là chu kỳ của fp (t) Từ đó ω0 = 2π T = 1 và chuỗi Fourier biểu diễn fp (t)... giao của f với các vectơ khung ei cùng các hệ số cho trước như các tích vô hướng của f với khung kép Mặt khác, (2.4) là một tái tạo của f từ các hệ số khung với khung kép như các hàm mở rộng Đối với cơ sở trực giao và khung chặt, hai dạng chuỗi mở rộng này đối với một tập các vectơ và tái thiết từ tích trong đồng nhất Tuy nhiên, ngược lại với cơ sở trực giao, các hệ số trong một khung mở rộng (2.4) nói... đến thông tin về hàm f (t) trong cửa sổ thời gian: [t∗ + b − ∆φ , t∗ + b + ∆φ ] (1.29) Để có được các cửa sổ tương ứng trong miền tần số, áp dụng đẳng thức Parseval f (t) , g (t) = 1 f (ω) , g (ω) 2π (1.30) cho (1.28) Ta có : ∞ f (t) φ (t − b)e−jξt dt Gφ f (b, ξ) = −∞ = 1 −jξb 2π e ∞ f (ω)φ (ω − ξ)ejbω dω −∞ = e−jξb f (ω) φ (ω − ξ) V (1.31) 15 1.5.4 Cửa sổ thời gian- tần số của biến đổi sóng nhỏ liên . tài: " ;Lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian- tần số& quot; 2 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tổng quan về lý thuyết khung Gabor. - Nghiên cứu về giải tích Gabor trong không gian biến. cứu lý thuyết khung là một vấn đề rất lý thú. Đến nay, lý thuyết khung Gabor được trình bày trong nhiều tài liệu đi cùng với sóng nhỏ. Với mong muốn nghiên cứu lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn. điệu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày các kết quả, tính chất của toán tử khung Gabor. - Tính bị chặn của toán tử khung Gabor trong biểu diễn thời gian tần số và trong không gian biến điệu. 4. Đối