1 Lời cảm ơn Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của cô giáo PGS .TS Lu Thị Kim Thanh cô đã tận tình hớng dẫn tôi về phơng pháp nghiên cứu khoa học và nội dung của luận văn này. Cô luôn động viên, khích lệ để tôi vơn lên trong học tập và vợt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu chuyên môn. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với Cô. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi hoàn thành chơng trình học và luận văn tốt nghiệp này. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận văn này. Hà nội, ngày tháng năm 2010 Học viên Nguyễn Đình Tuấn Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội 2 Nguyễn đình tuấn Các phân bố thống kê lợng tử biến dạng và ứng dụng Chuyên ngành: Vật lí chất rắn Mã số: 60 44 07 luận văn thạc sĩ vật lí Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS lu thị kim thanh Hà Nội, 2010 2 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dới sự hớng dẫn của cô giáo PGS.TS Lu Thị Kim Thanh. Luận văn này không hề trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác. Hà nội, ngày tháng năm 2010 Học viên Nguyễn Đình Tuấn a. mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: Cùng với sự phát triển của xã hội loài ngời, Vật lý học đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt đợc nhiều thành tựu đáng kể : Thế kỷ XVIII cơ học cổ điển của Niutơn đã trở thành môn khoa học cơ bản , thế kỷ XIX lý thuyết điện từ trờng của Macxoen và Faraday ra đời có nhiều ứng dụng trong đời sống và khoa học , thế kỷ XX là thế kỷ của Vật lý học hiện đại với khuynh hớng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất . Khi đó ngời ta nhận thấy không còn có sự thống nhất giữa các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô với các quy luật đã tìm thấy trong thống kê cổ điển. Trong cơ học lợng tử cũng nh lý thuyết trờng lợng tử, khi có sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, ngời ta thờng dùng các phơng pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên nhiều hiện tợng vật 3 lý lại không dễ dàng thấy đợc trong phơng pháp nhiễu loạn, chẳng hạn nh sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái Điều đó có đòi hỏi phải có những phơng pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ đợc các yếu tố phi tuyến của lý thuyết nh phơng pháp tác dụng hiệu dụng, phơng pháp mô men, phơng pháp nhóm lợng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lợng tử và đại số lợng tử đã thu hút đợc sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết nh thống kê lợng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lợng tử và đại số lợng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức dao động tử điều hòa biến dạng và ứng dụng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng. Xuất phát từ vấn đề nêu trên , tôi lựa chọn đề tài Các phân bố thống kê lợng tử biến dạng và ứng dụng làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu: - Xây dựng phân bố thống kê lợng tử bằng phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử. - Xây dựng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng, tìm đợc hệ thức nhiệt dung C V phụ thuộc vào tham số biến dạng. - ứng dụng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng xác định nhiệt dung mạng tinh thể biến dạng q, nhiệt dung của electron biến dạng q. 3. Đối tợng nghiên cứu Các phân bố thống kê lợng tử và tính chất của một số hệ lợng tử. 4. Phơng pháp nghiên cứu: - Phơng pháp vật lý lý thuyết. - Phơng pháp đại số biến dạng. - Phơng pháp toán giải tích. 5. Nội dung nghiên cứu: 4 Ch¬ng 1: X©y dùng ph©n bè thèng kª lîng tö b»ng ph¬ng ph¸p lý thuyÕt trêng lîng tö 1.1. HÖ lîng tö vµ c¸c tÝnh chÊt cña chóng 1.1.1. HÖ lîng tö. 1.1.2. TÝnh chÊt 1.2. C¸c ph©n bè thèng kª lîng tö 1.2.1. Ph©n bè chÝnh t¾c lîng tö 1.2.2. Ph©n bè chÝnh t¾c lín lîng tö 1.2.2.1. Ph©n bè chÝnh t¾c lín lîng tö 1.2.2.2. ¸p dông ph©n bè chÝnh t¾c lín lîng tö 1.2.2.2.1. Thèng kª Bose- Einstein 1.2.2.2.2. Thèng kª Fermi-Dirac 1.2.2.2.3. Thèng kª Maxwell- Boltzmann 1.3. X©y dùng c¸c ph©n bè thèng kª lîng tö b»ng ph¬ng ph¸p lý thuyÕt trêng lîng tö. 1.3.1. BiÓu diÔn sè h¹t cña dao ®éng tö ®iÒu hßa tuyÕn tÝnh. 1.3.2. C¸c to¸n tö sinh, hñy Boson. 1.3.3. X©y dùng thèng kª Boson - Einstein b»ng ph¬ng ph¸p lý thuyÕt trêng lîng tö. 1.3.4. Ph©n bè thèng kª lîng tö Fermi – Dirac. 1.4. KÕt luËn ch¬ng 1. Ch¬ng 2: C¸c ph©n bè thèng kª lîng tö biÕn d¹ng 2.1. Dao ®éng tö ®iÒu hßa biÕn d¹ng – q. 2.1.1. Dao ®éng tö Boson biÕn d¹ng - q. 2.1.2. Dao ®éng Fermion biÕn d¹ng - q: 2.2. Ph©n bè thèng kª Bose - Einstein biÕn d¹ng q. 2.3. Ph©n bè thèng kª Fermi - Dirac biÕn d¹ng q. 2.4. KÕt luËn ch¬ng 2: 5 Chơng 3: Một số ứng dụng của phân bố thống kê lợng tử 3.1. Nhiệt dung của mạng tinh thể khi áp dụng lý thuyết biến dạng q. 3.1.1. Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Einstein 3.1.2. Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Debye 3.1.3. Nhiệt dung chất rắn theo quan điểm của hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng - q. 3.2. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng q. 3.2.1. Cách tính gần đúng đơn giản. 3.2.2. Cách tính đầy đủ và chính xác hơn. 3.2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng thống kê biến dạng - q. 3.3. Kết luận chơng 3. 6. Những đóng góp mới của đề tài: - Xây dựng phân bố thống kê lợng tử bằng phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử. - Xác định các phân bố thống kê lợng tử biến dạng. - áp dụng các thống kê lợng tử biến dạng nghiên cứu nhiệt dung của mạng tinh thể và của khí điện tử tự do trong kim loại. 6 B. NộI DUNG Chơng 1 Xây dựng phân bố thống kê lợng tử bằng phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử 1.1. Hệ lợng tử và các tính chất của chúng 1.1.1. Hệ lợng tử Hệ lợng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lợng tử - Hạt lợng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lợng tử - Cơ học lợng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của các hạt của thế giới vi mô mà thông thờng chúng ta không giải thích đợc nếu dựa vào quan điểm cổ điển. 1.1.2. Tính chất - Các hạt vi mô mang cả tính chất sóng lẫn tính chất hạt Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độ xác định tuyệt đối chính xác, nó bị nhoè đi trong không gian. Khi có hai hoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển động đợc của mỗi hạt. Đó chính là tính đồng nhất nh nhau của các hạt trong cơ học lợng tử. - Các đại lợng đặc trng cho hạt vi mô có tính gián đoạn Để diễn tả một cách toán học các đặc tính đó của đại lợng vật lý, ta gán cho mỗi đại lợng vật lý một toán tử tơng ứng nhất định. Trong cơ học lợng tử, các đại lợng vật lý đợc biểu diễn bằng các toán tử và các trị số của chúng đợc xác định nh là các trị riêng của các toán tử. - Để diễn tả các tính chất của các đối tợng vi mô, ngoài các tính chất và thông số mà ta đã dùng để diễn tả các hạt vi mô một cách cổ điển nh khối 7 lợng, điện tích ta phải đa vào các thông số và các tính chất mới, thuần tuý lợng tử. Đó là spin của hạt, tơng tác trao đổi, nguyên lý Pauli. 1.2. Xây dựng các phân bố thống kê lợng tử bằng phơng pháp Gibbs Để tìm đợc các định luật phân bố thống kê lợng tử, ngời ta dùng ba phơng pháp: - Phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử - Phơng pháp Gibbs - Phơng pháp các ô Boltzman Trong đó phơng pháp các ô Boltzman ra đời sớm nhất, nhng phơng pháp Gibbs có nhiều u điểm hơn và đợc coi là phơng pháp cơ bản. Bên cạnh đó phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử cho ta khả năng mở rộng các thống kê lợng tử với hy vọng giải quyết gần đúng bài toán khi có sự sai khác lý thuyết và thực nghiệm. Cả ba phơng pháp sẽ hỗ trợ, bổ sung cho nhau, giúp chúng ta có cách nhìn đầy đủ về hệ vĩ mô lợng tử. 1.2.1. Phân bố chính tắc lợng tử Do đặc tính của các hạt vi mô và của hệ lợng tử nên khi áp dụng phơng pháp Gipxơ ta cần có thay đổi thích hợp so với khi áp dụng trong vật lý thống kê cổ điển. Đối với hệ đẳng nhiệt, xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lợng E k là: exp k k E W (1.1) Biểu thức (1) là phân bố chính tắc lợng tử. Trong đó: ( , )a là năng lợng tự do là nhiệt độ thống kê, kT Thật vậy, từ điều kiện chuẩn hoá: 8 0 0 1 exp exp 1 K K k K W E Đặt 0 exp K k E Z là tổng trạng thái, ta đợc nZ Xét: . .exp . . exp 1 .exp k k k k k E Z lnZ Z E E E Hay: E (1.2) Biểu thức (2) là phơng trình Gipxơ Hemhômxơ Xét: exp 1 . exp . .exp k k k k k k E E Z a Z a a E E a Theo cơ học lợng tử ta có: k k k k E H H dq a a a Khi đó: H A a a (1.3) Nhận xét: Ta thấy có ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đối có ý nghĩa năng lợng tự do - Đối với hệ có mức năng lợng hoàn toàn không suy biến ta có phân bố: 9 exp k k E W (1.4) - Đối với hệ có mức năng lợng suy biến (giả sử độ suy biến là g k ) ta có phân bố: exp k k k k E W g E (1.5) * Xét trờng hợp đặc biệt: Hệ lợng tử gồm N hạt không tơng tác. Tơng tự nh trong vật lý thống kê cổ điển, từ phân bố chính tắc lợng tử ta cũng suy ra phân bố Maxwell- Boltzmann lợng tử: exp i i kT W Z Trong đó: i là năng lợng một hạt của hệ i W là xác suất để một hạt bất kỳ của hệ nằm ở trên mức năng lợng i Z là tổng trạng thái đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá 1 i i W 0 exp i i Z kT - Trờng hợp mức năng lợng i bị suy biến, với độ suy biến là g( i ). Khi đó: exp . i i i kT W g Z (1.6) Biểu thức (1.6) là thống kê Maxwell- Boltzmann lợng tử. 1.2.2. Phân bố chính tắc lớn lợng tử 1.2.2.1. Hàm phân bố chính tắc lớn lợng tử Trong khi tìm phân bố chính tắc lợng tử và phân bố Maxwell- Boltzmann lợng tử, ta cha xét đến tính đồng nhất nh nhau của các hạt vi 10 mô cũng nh tính đối xứng của các hàm sóng. Do đó, các thống kê vừa tìm đợc chỉ có thể áp dụng cho một số trờng hợp đặc biệt. Nếu ta chú ý đến toàn bộ đặc tính đó, ta tìm ra hai loại thống kê lợng tử quan trọng: - Thống kê Bose- Einstein - Thống kê Fermi-Dirac Xét hệ số có hạt thay đổi, tơng tự trong vật lý thống kê cổ điển ta cũng suy ra hàm phân bố chính tắc lớn lợng tử nh sau: 1 exp ! k k k k N E W g E N (1.7) 1.2.2.2. áp dụng phân bố chính tắc lớn lợng tử - Xét hệ số có hạt thay đổi, các hạt trong hệ không tơng tác, ta có: 0 k i i i E n Trong đó: i n là số chứa đầy (số hạt có cùng năng lợng i ) i là các mức năng lợng của hạt có trị số từ 0 đến i là năng lợng của một hạt riêng lẻ của hệ Do số hạt trong hệ thay đổi nên tơng tự nh trong vật lý thống kê cổ điển ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lợng tử. 0 0 1 , 1 , exp ! i i i k N n W n n g N Trong đó: 0 i i N n là thế nhiệt động lớn là thế hoá học Ký hiệu: 0 1 , ! k g G n n N [...]... Einstein, thống kê FermiDirac, thống kê Maxwell- Boltzmann Trên cơ sở việc xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử Trong chương 2 sử dụng lý thuyết q- số chúng tôi sẽ xây dựng các đại số biến dạng q và mở rộng các thống kê lượng tử đã xây dựng ở chương 1 30 Chương 2 Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng 2.1 Dao động tử biến dạng q 2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng. .. trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên n cho một... n 2 24 2 6 2.1.2 Dao động Fermion biến dạng - q: (2.12) 34 Điều thú vị đối với việc áp dụng đại số lượng tử vào vật lý lần đầu tiên được đưa vào năm 1989 bằng việc đưa vào dao động tử điều hòa biến dạng q đã nêu ra trên đây Dao động tử Fermion biến dạng q được định nghĩa theo các toán tử sinh, hủy là b , b và toán tử số hạt N thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán: bb qb b q N... Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất E0 , trạng thái 1 có năng lượng E0 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng vào trạng thái 0 Trạng thái 2 ứng với năng lượng E1 E0 2 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng vào trạng thái 0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có... (1.51) và( 1.50) vào (1.49) ta được: N b b Tr e H N Z N e 1 1 e e 1 (1.52) Đây là biểu thức xác định số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng còn gọi là phân bố thống kê Fermi Dirac cho hệ đồng nhất các hạt fermion f F ( ) 1 e ( ) 1 1.4 Kết luận chương 1: Trong chương này chúng tôi đã trình bày hai phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử, đó là thống kê. .. toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử số hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng En sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Ta tính các hệ số tỉ lệ n , n , n trong các hệ thức: a n n n 1 a n n n 1 22 n na n 0 Để cho các véc... mức năng lượng k suy biến, với độ suy biến g k thì: 15 k f M k exp gk (1.14) Biểu thức (14) là biểu thức thống kê Maxwell- Boltzmann * Nhận xét: Số hạt trung bình trên một mức nào đó tỉ lệ với xác suất tìm một hạt trên mức đó 1.3 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử 1.3.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều... biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a , hủy Boson a và toán tử số hạt N : Bằng cách áp dụng liên tiếp (1.33), (1.34) ta có các đẳng thức sau: aa n n 1 n a a n n n 25 Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aa và a a lần lượt bằng n +1 và n Do đó ma trận của các toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những ma trận chéo (aa ) mn (n 1) mn và (aa ) mn n mn Giả... 2 (1.47) thay (1.45) và (1.47) vào (1.46) ta có: e e 2 2 1 e 1 1 e N e e e 1 e 1 e 1 Vậy: N 1 e 1 1 (1.48) e k T 1 Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng được gọi là phân bố thống kê Bose Einstein cho hệ đồng nhất các hạt Boson 1.3.4 Phân bố thống kê lượng tử Fermi Dirac Chúng ta đi tính... 2 1 2 Nên: 0 là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E0 1 1 là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng E1 1 2 1 n là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng En n 2 Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng 1 5 E 2 2 2 2 21 . lợng tử. - Xây dựng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng, tìm đợc hệ thức nhiệt dung C V phụ thuộc vào tham số biến dạng. - ứng dụng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng xác định nhiệt. thuyết trờng lợng tử. - Xác định các phân bố thống kê lợng tử biến dạng. - áp dụng các thống kê lợng tử biến dạng nghiên cứu nhiệt dung của mạng tinh thể và của khí điện tử tự do trong kim. chất rắn Nhóm lợng tử và đại số lợng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức dao động tử điều hòa biến dạng và ứng dụng các phân bố thống kê lợng tử biến dạng. Xuất phát từ