Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 2 LỜI CẢM ƠN Dưới sự hướng dẫn của TS Trần Thái Hoa, khoa Vật Lý - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất, tôi xin chân thành cám ơn những định hướng, quan tâm, hướng dẫn đúng đắn của thầy đã và đang giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cám ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý, phòng Sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi học tập cũng như làm luận văn này. Đồng thời tôi muốn cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học vật lý K13, các bạn trong nhóm vật lý chất rắn trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Người viết Nguyễn Ánh Sáng Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả và đầy trách nhiệm của TS Trần Thái Hoa. Đây là đề tài không trùng với đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Học viên Nguyễn Ánh Sáng Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 4 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa 1 Lời cảm ơn 2 Lời cam đoan 3 Mục lục 4 Mở đầu 5 Nội dung 8 Chương 1. Các biểu diễn trong cơ học lượng tử 8 1.1. Các biểu diễn truyền thống 8 1.2. Biểu diễn trong không gian pha. Hàm Wigner 13 Chương 2: Hàng rào thế bán dẫn 18 2.1. Phương trình sóng của hạt trong hàng rào thế 18 2.2. Sự hình thành hàng rào bán dẫn 20 2.3. Hàm sóng của electron trong hàng rào thế bán dẫn 21 Chương 3. Tương tác giữa hệ hai mức với sóng điện từ cộng hưởng 24 Chương 4. Các hàm Wigner của hạt trong hàng rào thế bán dẫn 36 4.1. Hàm Wigner của hạt trong hàng rào thế 36 4.2. Hàm Wigner của hạt trong trong giếng lượng tử bán dẫn hai mức tương tác với sóng điện từ cộng hưởng 42 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học nhưng là một học thuyết khó. Có nhiều phương pháp toán học mô tả cơ học lượng tử: cơ học ma trận Heisenberg, cơ học sóng (Schodinger), lý thuyết biến đổi Pauli Đirac (nhằm thống nhất và khái quát hoá hai phương pháp trên)…. Theo các phương pháp trên: Trạng thái lượng tử của một hệ lượng tử sẽ cho thông tin về xác suất của các tính chất hay còn gọi là các đại lượng quan sát như năng lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), momen động lượng,… các quan sát trên có thể là liên tục (vị trí các hạt) hay rời rạc (năng lượng của điện tử nguyên tử hiđro). Các phương pháp trên không cho ra các quan sát có giá trị xác định mà nó tiên đoán một phân bố xác suất. Vì vậy khi chúng ta quan tâm đến các trạng thái của hệ như thế nào, biến đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác ra sao thì chúng ta thường sử dụng không gian pha (ví dụ hạt trong hàng rào thế hình chữ nhật thông thường khi chưa có sóng điện từ tác dụng và khi chịu tác dụng của sóng điện tử tác dụng,…) Không gian thường là không gian mà hệ di chuyển trong đó. Không gian pha (không gian các trạng thái) là không gian mà trong đó mỗi điểm quy định một trạng thái của hệ. Mô tả cơ học lượng tử trong không gian pha dựa trên khái niệm hàm Wigner (được Wigner đưa ra năm 1932) để tính chất của các trạng thái lượng tử được bộc lộ một cách trực tiếp và rõ ràng hơn so với cơ học lượng tử truyền thống (mô tả hệ vi mô bằng vectơ trạng thái hoặc toán tử mật độ) vào năm 2003. Trong một công trình công bố ở tạp chí Phys.Rev.Let, W.shluch và các đồng tác giả đã đưa ra một cách biểu diễn mới của hàm Wigner - biểu diễn Fresnel. Nhờ đó có thể mô tả tường mình các tính chất của hàm Wigner từ những số liệu thực nghiệm khi đo các đại lượng đặc trưng của hệ hai mức với sóng điện tử cộng hưởng. Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 6 Ngày nay chuyển động của hạt qua hàng rào thế (hiệu ứng đường ngầm) được ứng dụng rất nhiều. Ví dụ như điôt tunnel (điôt hầm), trong đó dòng các electron nhờ hiệu ứng đường ngầm đi qua một dụng cụ có thể bị tắt hoặc mở rất nhanh bằng cách điều chỉnh độ cao của bờ thế. Điều này được làm cực nhanh (trong vòng 5ps). Vì vậy dụng cụ rất thích hợp cho những ứng dụng đòi hỏi phải có sự đáp ứng cực kỳ nhanh. Hoặc ta phải sử dụng hiệu ứng đường ngầm để giải thích một số loại phân rã phóng xạ, sự phân hạch và tổng hợp hạt nhân. Rất nhiều nhà bác học đã nghiên cứu về hiệu ứng đường ngầm và giành giải thưởng cao. Giải thưởng Nobel năm 1973 đã được chìa sẻ bởi ba nhà “đào đường ngầm”, đó là Leo Esaki (xuyên đường ngầm qua chất bán dẫn), Ivar Giaever (xuyên đường ngầm qua chất siêu dẫn). Brian Josephon (tiếp xúc Josephson, một dụng cụ chuyển mạch lượng tử dựa trên hiệu ứng đường ngầm). Năm 1986 giải thưởng Nobel lại được trao cho Gerd Binnig và Heinrich đó là kính hiểu vi quét xuyên đường ngầm. Bằng cách thay đổi các thông số vật liệu và kích thước có thể tạo ra hệ hai mức trong hàng rào thể bán dẫn để cho các đặc trưng của hàm Wiger của electron tương tác với sóng điện từ cộng hưởng bộc lộ một cách dễ quan sát nhất. Để chuẩn bị cho các thí nghiệm đó trong luận văn này chúng tôi đã tính các biểu thức của hàm Wigner trong hàng rào thể bán dẫn. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng biểu thức hàm Wigner cho chuyển động của electron trong hàng rào thế bán dẫn hai mức cả trong trường hợp tương tác và không tương tác với sóng điện từ cộng hưởng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Dựa vào luận văn [17] để xây dựng các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn. Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 7 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các biểu diễn trong cơ học lượng tử: biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg, biểu diễn tương tác. - Bài toán hàm riêng của hạt trong hàng rào thế. - Bài toán tương tác của hệ hai mức không suy biến với sóng điện từ cộng hưởng. - Hàm Wigner. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu lí luận về các phương pháp biểu diễn trong cơ học lượng tử. - Phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng trong vật lí bán dẫn. - Phương pháp hàm Wigner trong cơ học lượng tử. 6. Giả thuyết khoa học - Luận văn sử dụng đơn vị h = 1. - Độ lệch cộng hưởng phải nhỏ hơn rất nhiều khoảng cách giữa hai mức năng lượng. - Sử dụng gần đúng cộng hưởng, tức bỏ qua những số hạng tần số cao chỉ giữ lại những số hạng tần số thấp. Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 8 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CÁC BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1. Các biểu diễn truyền thống Trạng thái của một hệ lượng tử được mô tả bởi vectơ két y . Nếu 1 y và 2 y là các trạng thái có thể thì trạng thái chồng chập 1 1 2 2 a a y = y + y (1.1.1) cũng là trạng thái có thể của hệ, ở đây biên độ 1 a và 2 a là các số phức. Nguyên lý chồng chập trạng thái là cơ bản nhất trong lượng tử. Bra y là biểu diễn tương đương của trạng thái trên được viết: 1 1 2 2 a a * * y = y + y (1.1.2) ở đây 1 a * , 2 a * là kí hiệu liên hợp phức của 1 a và 2 a . Sự phủ nhau (hay tích trong) của hai trạng thái 1 y và 2 y là số phức 1 2 y y hoặc liên hợp phức của nó 2 1 y y tương đương một đại lượng vô hướng hay tích vô hướng của hai vectơ. Nếu sự phủ này bằng không thì những trạng thái đó gọi là trực giao với nhau. Tích trong của một trạng thái y với chính nó là thực và luôn dương do đó 0 y y > (1.1.3) Nếu tích trong đó là đơn vị, tức là y y = 1 thì trạng thái này được gọi là chuẩn hoá. Nếu trạng thái 1 y và 2 y của (1.1.1) là trực chuẩn (gồm cả trực giao và chuẩn hoá) thì biên độ 1 a và 2 a được cho bởi: 1 1 1 a * y y = = y y (1.1.4) 2 2 2 a * y y = = y y (1.1.5) Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 9 Nếu chính y đã chuẩn hoá thì 2 2 1 2 a a 1 + = và ta đoán nhận 2 1 a và 2 2 a tương ứng là các xác xuất mà hệ sẽ ở trạng thái 1 y và 2 y . Khái quát hoá của (1.1.1) cho trạng thái chồng chập của nhiều trạng thái có thể n y là: n n a y = y å (1.1.6) Nếu y đã chuẩn hoá và các trạng thái n y là trực chuẩn thì 2 n a 1 = å (1.1.7) Xác suất chuyển mức từ trạng thái 1 y đến trạng thái 2 y là 2 1 2 y y (1.1.8) Việc mô tả một hệ đủ được thực hiện bởi các toán tử. Khi toán tử  tác dụng lên trạng thái bất kỳ nào của hệ thì biến nó thành một trạng thái khác. Trạng thái này thông thường sẽ không được chuẩn hoá liên hợp Hermite A ˆ + của toán tử A ˆ được định nghĩa bởi các yêu cầu sau: ( ) A A ˆ ˆ + + = (1.1.9) A B A B ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) + + + + = + (1.1.10) AB B A ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) + + + = (1.1.11) A A * ˆ ˆ ( ) + + l = l (1.1.12) B ˆ là một toán tử bất kỳ và l là một số phức, khi toán tử  thoả mãn A A ˆ ˆ + = thì nó được gọi là toán tử Hermite A ˆ . Các giá trị riêng n l của A ˆ thoả mãn phương trình trị riêng: n n n A ˆ l =l l (1.1.13) Phương trình liên hợp của (1.1.12) khi n l được thay bởi m l là: Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 10 m m m m A A * ˆ ˆ + l = l =l l (1.1.14) Thực hiện sử phủ của (1.1.13) với n l được m n m m n A * ˆ l l =l l l (1.1.15) Tương tự thực hiện sự phủ của (1.1.12) với m l được m n n m n A ˆ l l =l l l (1.1.16) Trừ (1.1.15) cho (1.1.16) ta được ( ) m n m n 0 * l -l l l = (1.1.17) Khi m n = thì theo (1.1.14) suy ra giá trị riêng n l phải là thực. Khi l m ¹ l n thì theo các t.thái m l và n l trực giao và có thể biến đổi thành trực chuẩn với m n mn l l = d (1.1.18) Như vậy các toán tử Hermite có các giá trị riêng thực, ứng với các trạng thái riêng trực chuẩn. Phép đo đại lượng A cho một trong các giá trị thực của  . Nếu trạng thái n n n a y = l å (1.1.19) chuẩn hoá thì xác suất để phép đo đại lượng A cho kết quả n l là 2 n a . Nếu tất cả các trạng thái có thể biểu diễn dưới dạng (1.1.18) thì tập hợp { } n l được gọi là đủ. Nếu hai trạng thái trực chuẩn m l và n l có cùng giá trị riêng l thì các trạng thái đó gọi là suy biến và xác suất thu được kết quả l là 2 2 m n a a + . Giá trị trung bình A của đại lượng A thu được từ phép đo trên một tập hợp của các hệ đồng nhất là giá trị kỳ vọng của  được cho bởi 2 n n n A A a A ˆ ˆ = = l = y y å (1.1.20) Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 11 Phương sai được định nghĩa ( ) ( ) 2 2 2 2 A A A A A ˆ ˆ ˆ ˆ D = y - y = y - y y (1.1.21) Độ bất định là 2 A A D = D . Độ bất định này bằng không khi và chỉ khi y là trạng thái riêng của  . Giao hoán tử của hai toán tử  và B ˆ được định nghĩa là: A B AB BA ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , é ù = - ë û (1.1.22) Nếu A ˆ và B ˆ là Hermite và giao hoán tử trên bằng không, thì các toán tử A ˆ và B ˆ có chung một tập hợp đầy đủ các trạng thái riêng. Giao hoán tử (1.1.21) của hai toán tử Hermite cũng là một toán tử Hermite, trong đó A B A B ˆ ˆ ˆ ˆ , , + é ù é ù =- ë û ë û . Giao hoán tử của toán tử A ˆ với tích hai toán tử BC ˆ ˆ là A BC B A C A B C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , é ù é ù é ù = + ë û ë û ë û hoặc BC A B C A B A C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , é ù é ù é ù = + ë û ë û ë û (1.1.23) Phản giao hoán tử được định nghĩa là { } A B AB BA ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , = + (1.1.24) { } A B ˆ ˆ , là Hermite nếu A ˆ và B ˆ là Hermite. Độ bất định của các đại lượng quan sát được A và B cho tại trạng thái bất kỳ liên hệ với nhau bởi nguyên lý bất định: 1 A B A B 2 ˆ ˆ . , é ù D D ³ ë û (1.1.25) [...]... (2.3.2) Trong ú: K l vect súng ca electron trong mt phng; K = ( K x , K y ) r jK ( r ) l hm súng mụ t chuyn ng t do ca electron trong mt uu r phng ( x , y ) Nguyn nh Sỏng Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 22 r juur ( r ) = K r 1 iKrr e s (2.3.3) Vi S l din tớch chun hoỏ trong mt phng ( x , y ) fa ( z ) l hm súng mụ t chuyn ng ca electron theo phng z Nng lng ca electron l: ur r E = E K + Ea... nhn giỏ tr t iu kin biờn Nguyn nh Sỏng Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 23 Nng lng ca electron trong hng ro th b lng t hoỏ theo trc l: kn2 En = 2m* (2.3.8) Vy hm súng ton phn v nng lng tng cng ca electron trong hng ro th l: đ f( R ) = r 1 iKrr e fn ( z ) s kn2 1 2 2 En = ( K + Ky ) + 2m * x 2m * Nguyn nh Sỏng (2.3.9) (2.3.10) Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 24 CHNG 3 TNG... Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 17 Do c x v p l c-s trong bc tranh khụng gian pha, cú th thc hin cỏc bin i chớnh tc trong khụng gian pha Tuy nhiờn khụng ging nh hm phõn b Liouville trong c hc c in, hm Wigner khụng phi phõn b xỏc sut Nh ó nhn xột tớnh cht 3 hm Wigner cú th tr thnh õm trong khụng gian pha Cỏc tớnh cht 1 v 5 ó nờu trờn cho mt cp n bin chớnh tc cú th c m rng ti hm Wigner. .. xỏc nh h s truyn qua hng ro th: 16n 2 T= D = exp ộ -4a 2m(V - E) ự 2 2 ở ỷ (1 + n ) 2 vi n = (2.1.5) k V-E = k0 E Nguyn nh Sỏng Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 20 Nh vy theo c hc lng t ht cú kh nng di chuyn qua hng ro th cú b cao V ln hn nng lng ca ht Hin tng ny gi l hiu ng ng ngm Nu hng ro th khụng phi l vuụng gúc m cú dng phc tp (hỡnh 2.1.2) thỡ cụng thc cho h s truyn qua T cú dng:... (tip xỳc nhau ta cú s mc nng lng nh sau): DEc AlAs DEv Nguyn nh Sỏng GaAs Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 21 Nu cú mt lp AlAs nm gia hai lp GaAs thỡ hỡnh thnh mt hng ro th bỏn dn i vi electron nm gn ỏy vựng dn ca cht AlAs DEc GaAs DEv AlAs GaAs 2.3 Hm súng ca electron trong hng ro th bỏn dn: Ta xột trng hp electron trong hng ro th c to thnh bi lp mng AlAs cú dy 2a gia 2 lp GaAs dy... ca electron trong hng ro th l: r r uu r ộ 1 uu r 2 ự uu - * D R + U( z )ỳ f ( R ) = E.f ( R ) ờ 2m ở ỷ (2.3.1) r uu r Trong ú R l vect xỏc nh v trớ ca electron trong hng ro th, r r R = ( r ,z ) vi r l vect xỏc nh v trớ ca electron trong mt phng ( x , y ) Hm súng ca electron trong hng ro th c tỡm di dng tớch ca hai hm, mt hm mụ t chuyn ng ca eletron trong mt phng ( x , y ) , mt hm mụ t chuyn ng ca electron. .. xut phỏt l hm chun phõn b do Wigner a ra nm 1932 v t ú c gi l hm Wigner hm ca c hai bin to v xung lng 1.2.1 nh ngha v cỏc tớnh cht c bn ca hm chun phõn b Wigner Nu hm súng ph thuc vo x1 , x 2 , , x n v t , khi ú ma trn mt l: r ( x1 , , x n ; x1' , , x n' ; t ) = ồ wk y k ( x1 , , x n ; t ) y k* ( x1' , , x n' ; t ) (1.2.1) k vi ồw k =1 k Khi ú hm chun Wigner c nh ngha (Wigner 1932 v 1987) nh sau:... ũ exp( ipx )c( p )dp nờn cng cú th vit hm Wigner nh sau: Nguyn nh Sỏng Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 16 1 W( x ,p ) = ũ exp( -2ixz )c* ( p + z )c( p - z )dx p (1.2.9) Ta cú th tỡm li cỏc phõn b xỏc sut ca (1.2.6) v (1.2.7) t cỏc biu thc trờn Tớnh cht 3: Nu h trng thỏi y( x ) v sau khi quan sỏt trng thỏi ca h tr thnh f( x ) thỡ xỏc sut quan sỏt cú kt qu y l y ,f - l bỡnh phng 2... hon, chng hn nh súng ỏnh sỏng c a vo ti thi im t = 0 v tt i ti thi im t n thỡ trng thỏi ca h khụng thay i chỳt no Nguyn nh Sỏng Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 36 CHNG 4 CC HM WIGNER CA HT TRONG HNG RO TH BN DN 4.1 Hm Wigner ca ht trong hng ro th 4.1.1 Hm Wigner ca ht trong hng ro th hai mc Trong bi toỏn hng ro th ny cú th vit li th nng di dng V( x ) = V0 q ộ - ( x - a ) ự q ( x + a )... õy (1.2.2) x i v pi l c-s v hm Wigner c xỏc nh trờn khụng gian pha 2n chiu Nu h trng thỏi sch vi hm súng Nguyn nh Sỏng y( x1 , , x n ; t ) thỡ Cỏc hm Wigner ca electron trong hng ro th bỏn dn 14 ổ1ử W( x1 , , x n ; p1 , ,p n ; t ) = ỗ ữ ốpứ n ũ exp {2i ( p1 y1 + + pn y n )} (1.2.3) y* ( x1 + y1 , , x n + y n ; t ) y( x1 - y1 , , x n - y n ; t )dy1 dy 2 dy n Hm Wigner ca trng thỏi sch ny l n gin . Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 18 CHƯƠNG 2 HÀNG RÀO THẾ BÁN DẪN 2.1. Phương trình sóng của hạt trọng hàng rào thế Hàng rào thế là miền của không gian tại đó thế. xây dựng các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn. Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 7 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các biểu. lượng đặc trưng của hệ hai mức với sóng đi n tử cộng hưởng. Nguyễn Ánh Sáng Các hàm Wigner của electron trong hàng rào thế bán dẫn 6 Ngày nay chuyển động của hạt qua hàng rào thế (hiệu ứng