CẨM NANG CHO MÙA THI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỔ BIẾN NHẤT TRONG THI ĐẠI HỌC (ƠN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Bài 1: Giải phương trình 1 − x− ( ) log x − x + − 3− x +x  7 log  x − +  = 4  Hướng dẫn + Khi gặp phương trình mũ log, trước hết ta biến đổi theo số nhỏ (ở số 3), biến đổi phương trình cho, ta có: 1 − x− ⇔ 34 − 2x −1 ⇔ ⇔3 ( ) log x − x + − 3− x 2x −1 ( ) log x − x + − ( ) log x − x + − x2 −x + ( ) +x  7 log  x − +  = 4  x2 −x x2 −x log x − x + − 7  log  2x − +  = 4  7  log  2x − +  = 4  2x −1 7  log  2x − +  = 4    7 7  2x −1 log  x − x +  +  = log  2x − +  (1)  4 4     1 x − x + =  x −  ≥  7 + Xét hàm số f (t) = 3t.log  t +  , ta thấy  ⇒t≥0  2  4  2x − ≥  ⇔3 x2 −x +  7 ⇒ f '(t) = 3t.ln 3.log  t +  + 3t > 0, ∀t ≥ ⇒ f (t) hàm đồng biến t.ln  4 1  + Từ (1) ⇒ f  x − x +  = f ( 2x − ) ⇒ x − x + = 2x − (2) 4  2 + Xét TH: 2x − ≥ 0; 2x − < để bỏ dấu GTTĐ (2), giải PT (2) ta có ĐS: x = ; Bài 2: Giải phương trình x + x − 19x − 16 = 3x x + Hướng dẫn + ĐK: x ≥ −1 + Nhận thấy biểu thức VP là: x + = ( x + 1) ( x − x + 1) nên sở ta phân tích VT phương trình, thật vậy: ( ) ( − 19x − 16 = ( x + 1) ( x ) − x + 1) + ( x x + x − 19x − 16 = x + + x − x + − 18 ( x + 1) ⇔ x3 + x2 2 ) − x + − 18 ( x + 1) + Phương trình cho trở thành: ( x + 1) ( x − x + 1) + ( x − x + 1) − 18 ( x + 1) = ( x + 1) − 1 ( x + 1) ( x − x + 1) (1)   a = x + ≥  + Đặt ẩn phụ  b = x − x + ≥  thay vào (1) ta được: a b + b − 18a = ( a − 1) ab (2) + Phương trình (2) muốn giải cịn cách phân tích đa thức thành nhân tử, cơng việc phân tích khơng phải dễ dàng, dùng mẹo sau để phân tích: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC - Trước hết ta biến đổi để đưa (2) phương trình bậc biến b: ( ) ( ) ( ) a b + b − 18a = a − ab ⇔ a + b − 3a − 3a b − 18a = (3) - Phương trình (3) tính ∆ = ( 3a − 3a ) + ( a + 1)(18a ) = = 9a ( a + 3)  3a − 3a + 3a a + b = = 3a  b − 3a = a2 +1  ⇒ phương trình (3) có nghiệm ⇔  3a − 3a − 3a a + a b + b + 12a = −12a b = =  a2 +1 a +1  2 2 2 + Vậy (2) : a b + b − 18a = ( a − 1) ab ⇔ ( b − 3a ) ( a b + b + 12a ) = ( ) ( ) x = x = + Do a b + b + 12a = ⇔ a = b = (do a, b ≥ ) ⇒ x + = x − x + ⇔  + Thử lại vào PT cho thấy x = 0; x = không nghiệm (loại) + Vậy khả b = 3a ⇒ x − x + = x + ⇔ x = ± 33 Bài 3: Giải phương trình ( 4x − 13x + 9x + 16 − 2x + 3x )( ) x + + x −1 = Hướng dẫn 4x − 12x + 9x + 16 ≥ + ĐK  x ≥   + Ta biến đổi PT ⇔  ( 2x − 3x ) + 16 − ( 2x − 3x )    a = 2x − 3x  + Đặt  thay vào phương trình ta có: b = x −  ( a + 16 − a )( ) a + 16 − a ⇔ b2 + + b = x −1 =  b2 + + b = ⇔ b2 + + b = ⇔ b2 + + b = ( x − 1) + + ( a + 16 + a ) 16 a + 16 + a ⇔ b + + 2b = a + 16 + a ⇔ ( 2b ) + 16 + 2b = a + 16 + a (1) t + Xét hàm số f (t) = t + 16 + t, t ∈ R ⇒ f '(t) = + > 0, ∀t ∈ R (*) ⇒ f (t) hàm t + 16 đồng biến  2x − 3x ≥  Vậy từ (1) ⇒ f (2b) = f (a) ⇒ 2b = a ⇒ x − = 2x − 3x ⇔  (I)  ( x − 1) = 2x − 3x  + Các bạn tự giải hệ (I) ⇒ x = 2 ( NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ) Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC (Chú ý: Ta giải thích cho f '(t) > phương pháp phản chứng sau: t ≤ Giả sử f '(t) < ⇔ t + t + 16 < ⇔ t + 16 < − t ⇔  2  t + 16 < t (vô lý) ⇒ f '(t) > ) Bài 4: Giải phương trình x + − x = x − + − x + x − + Hướng dẫn: Đk: ≤ x ≤ pt ⇔ x − − x − + − x − ( x − 1)(7 − x) = ⇔ x − 1( x − − 2) − − x ( x − − 2) = ⇔ ( x − − 2)( x − − − x ) =  x −1 = x = ⇔ ⇔ thỏa mãn đk x =  x −1 = − x  x + x + + x = x(1 − x ) Bài 5: Giải phương trình:  x ≤ −1 Hướng dẫn: ĐK:  0 ≤ x ≤ - TH1: Với x = khơng phải nghiệm phương trình - TH2: Với x ≠ * Với < x ≤ Khi pt ⇔ x Đặt t = 1 + x2 + + x = x −x ⇔ x x + x2 + + = x2 −x x 1 − x ⇒ t = + x − Khi ta phương trình : x x t ≥ t2 + +1 = t ⇔  ⇔ t = −1(loai ) t − t + 2t + = * Với x ≤ −1 Ta có − Đặt t = 1 + x2 + + = − −x x x 1 − x ⇒ t = + x − Khi ta x x ⇒ x2 + x − = ⇔ x = t4 + = t +1 ⇔ t = −1 ± So sánh đk ta nghiệm x = −1 − −1 − Vậy pt cho có nghiệm x = 2 ( ) Bài 6: Giải phương trình : 10 − x − x − 37 = 4x − 15 x − 33 ( ) ( ) Hướng dẫn: ĐK: x ≤ Pt ⇔ 4 + x − 37 + − 10 − x + x − 15 x − 81 = NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC ( 27 + x ) ⇔ 16 − x − 37 + ( x − 37 ) + 8(6 + x) + ( x + 3)(4 x − 27) = + 10 − x - TH1 x + = ⇔ x = −3 (TMPT) - TH x ≠ −3 36 ⇔ 16 − x − 37 + ( x − 37 36 ⇔ 12 + + Do x ≤ nên VT ≤ ( x − 37 − ) + ) + 16 + x − 27 = + 10 − x 16 + x − 27 = + 10 − x 36 16 + + 4.5 − 27 = Đẳng thức xảy ⇔ x = 12 Vậy phương trình có nghiệm −3 Bài 7: Giải phương trình log 4x − 2x + = x ( 2.8 x − 3.2 x + 1) (*) x x 2.16 − 2.4 + Hướng dẫn: ⇔ log (4 x − x + 1) − log (2.16 x − 2.4 x + 1) = 2.16 x − 3.4 x + x ⇔ log (4 x − x + 1) + x − x + = log (2.16 x − 2.4 x + 1) + 2.16 x − 2.4 x + 1 + > 0, ∀t > ⇒ f ®ång biÕn trªn ( 0; +∞ ) t ln (* ) ⇔ f (4 x − x + 1) = f (2.16 x − 2.4 x + 1) XÐt f (t ) = log t + t, ∀t > 0, ⇒ f ' (t ) = ⇔ x − x + = 2.16 x − 2.4 x + ⇔ 2 x − x = 2.2 x − 2.2 x ⇔ 2.2 x − 3.2 x + x = ⇔ 2.23 x − 3.2 x + = ⇔ (2 x − 1)(2 x − −1 + x + )(2 + )=0 2  2 x = x =   −1 +   −1 +  ⇔ 2 x = ⇔ x = log          1+  x 2 = − (lo¹i)  Bài 8: Giải phương trình: x + + x − = x − 12 + x − 16 Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ≥ Với điều kiện đó, phương trình cho tương đương với: x + + x − = (x + 4) + (x − 4) − 12 + x − 16 ⇔ x + + x − = NGUYỄN HỮU BIỂN - ( https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien x+4 + x−4 ) − 12 Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC + Đặt t = t = −3 (loaïi) t = x + + x − , t > ta t − t − 12 = ⇔  4 ≤ x ≤ x + + x − = ⇔ x − 16 = − x ⇔  2  x − 16 = 64 − 16 x + x + Với t = , ta 4 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = x = Bài 9: Giải phương trình −2 x3 + 10 x − 17 x + = x x − x3 Hướng dẫn: Nhận xét: x = khơng thỏa phương trình cho 10 17 + Chia hai vế phương trình cho x3, ta được: −2 + x − x + x3 = x − + Đặt t = ( t ≠ ) , phương trình trở thành: −2 + 10t − 17t + 8t = 5t − x ⇔ ( 2t − 1) + ( 2t − 1) = ( ) 5t − + 5t − ⇔ f ( 2t − 1) = f ( 5t − ) + Với f ( t ) = t + 2t , t ∈ R Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R nên f đồng biến R , vậy: f ( 2t − 1) = f ( ) 5t − ⇔ 2t − = 5t −  t = (loaïi)  17 + 97 ⇔ ( 2t − 1) = 5t − ⇔ 8t − 17t + 6t = ⇔ t = (nhaän)  16   17 − 97 (nhaän) t = 16  17 + 97 17 − 97 ⇒x= 16 12 17 + 97 17 + 97 +t= ⇒x= 16 12 +t= Vậy phương trình cho có nghiệm: x = 17 ± 97 12 Bài 10: Giải phương trình: + + 3x = 2x (x ∈ R) (1) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − (*) + Đặt y = 1 + 3x ⇔ + 3x = y (2), (1) trở thành NGUYỄN HỮU BIỂN - + y = x (3) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC  x ≥ 0, y ≥  + 3x = y   + Từ (2) (3) ta có hệ  ⇔ 1 + 3x = y (4)  + y = 2x 1 + y = 4x (5)   + Trừ vế với vế (4) (5) ta có 3( x − y ) = −4( x − y ) ⇔ ( x − y )(3 + x + y ) = ⇔ y = x (vì x =1 x ≥ 0, y ≥ ) Thế y = x vào (5) ta có 4x − 3x − = ⇔  x = −  + Kết hợp với x ≥ , suy phương trình (1) có nghiệm x = Bài 11: Giải phương trình x + x + + x − x + = x + Hướng dẫn: Ta thấy: (2 x + x + 9) − (2 x − x + 1) = 2( x + 4) + x = -4 nghiệm + Xét x ≠ −4 , trục thức ta có: 2x + 2 = x + ⇒ 2x + x + − 2x − x + = 2x + x + − 2x − x +  2x + x + − 2x − x + =  + Vậy ta có hệ  ⇒ 2x + x + = x + ⇔ 2  2x + x + + 2x − x + = x +  x =  x =  + Thử lại vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm: x = 0, x = Bài 12: Giải phương trình Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ x − 1(3 x + x + 1) + x + x − = ⇔ x − + 3x x − + x − + x x − + 3x + x = ⇔ x − 1( x − + x + 1) + x( x − + x + 1) = ( x − + x)( x − + x + 1) =  x −1 + x =   x − + 3x + =  Kết hợp với điều kiện ta thấy phương trình vơ nghiệm Bài 13: Giải phương trình x − + x = x − Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ + Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   ( x − 3)( x + x + 9) x+3 = x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 +  ( x − 1) + 23 x − +  x3 − +   x+3 x+3 x + 3x + + Ta chứng minh : + = 1+ ⇒ = x x +1 t  t= ⇔ − 2t = ⇔ 2t + 3t − = ⇔   t  t = −1 Hướng dẫn: Điều kiện: x < −1 ∪ x > , đặt t = ⇒ + Lấy t = x +1 = ⇔x=− x Bài 15: Giải phương trình x + 15 = 3x − + x + Hướng dẫn: ⇔ x + 15 − = x − + x + − x2 −1 ⇔ x + 15 + ⇔ x =1 = 3( x − 1) + x2 −1 x2 + + ⇔ ( x − 1)( x +1 x + 15 + − x +1 x2 + + − 3) = Bài 16: Giải phương trình : (4 x − 1) x + = x + x + Hướng dẫn: Đặt t = x + 1(t > 0) ⇒ x = t − Phương trình trở thành (4 x − 1)t = 2(t − 1) + x + ⇐ 2t − (4 x − 1)t + x − = Ta có: ∆ = (4 x − 3)  t= ⇒ ⇔  t = x −   x = − ( L) ⇔  2  x = (2 x − 1) −  x =  4⇔x= x = 3  Bài 17: x − + − x − x + 13x − 17 = 0( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: ≤ x ≤ x − + − x = x − 13 x + 17 ⇔ ( x − − 1) + ( − x − 1) − x + 13 x − 15 = ⇔ ( x − − 1)( x − + 1) + ( − x − 1)( − x + 1) − (2 x − 13 x + 15) = ( x − + 1) ( − x + 1) x −5 5−x ⇔ + − (x − 5)(2x − 3) = x − +1 − x +1 1 ⇔ (x − 5)( − − (2x − 3)) = x − +1 − x +1 x = ⇔ 1  − − (2x − 3) =  x − +1 − x +1  1 1 + Ta có: − − (2 x − 3) = ⇔ − = x − 3(1) x − +1 − x +1 x − +1 − x +1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC ⇒ 1 − x − +1 < − x +1 x − +1 ≤ 2x - ≥ 5, ∀x ∈ [4;6] nên phương trình (1) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 18: Giải phương trình: x + = 33 3x − Hướng dẫn: x + = y  + Đặt y = 3x − ⇒ y = x − ⇒ y + = 3x Ta hệ phương trình:   y + = 3x  3 + Đây hệ phương trình đối xứng, trừ vế với vế ta được: ( x − y )( x + y + xy + 3) = ⇔ x = y ⇒ x = 1;−2 1 2   2  x + y + xy + = x + xy + y + y + = ( x + y ) + y + >  4   Bài 19: (4 x − 1) − x + (7 − x) x − = − x + x − + (với x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: ≤x≤ 2  a = − x ( a ≥ 0)  Đặt  ⇒ a + b = 2(1) b = x − 1(b ≥ 0)  + Vì x − = 2b ;7 − x = 2a + 1; − x + x − = x − − x = a.b + Từ phương trình cho ta có (2b + 1)a + (2a + 1)b = 2ab + 4(2) a + b =  (2b + 1)a + (2a + 1)b = 2ab +  + Kết hợp (1) (2) ta có hệ phương trình  + Đây hệ phương trình đối xứng loại I với ẩn a, b + Giải hệ phương trình ta nghiệm : a = b =1  − 2x =  + Với a = b = ta có:   2x − =  ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho x = Bài 20: Giải phương trình: 2( x − 3x + 2) = x + Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2 + Biến đổi phương trình dạng: 2(2 x 2 x + 4) − 2( x + 2) = ( x + 2)( x − x + 4) + Do x = −2 nghiệm phương trình nên chia hai vế cho (x+2) ta + Đặt 2( x − x + 4) x − 2x + −3 −2=0 x+2 x+2  x − 2x + t = − (loại) = t (t ≥ 0) ta có 2t − 3t − =  x+2 t = x − 2x + Với t = ⇒ = ⇔ x − x + = x + ⇔ x − x − = ⇔ x = ± 13 x+2 Bài 21: Giải phương trình NGUYỄN HỮU BIỂN - x + + − x − ( x + 3)(6 − x) = https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Hướng dẫn: Đặt t = x + + − x ⇒ ( x + 3)(6 − x) = t2 −9 t = −1 t2 −9 =3⇔  t = + Với t = -1 ⇔ x + + − x = −1 (vô nghiệm)  x = −3 + Với t = ⇒ x + + − x = ⇔  x = + Phương trình trở thành t − Cách khác: Bài tốn giải cách đưa hệ phương trình với u = x + v = − x Bài 22: Giải phương trình: x − x + 13x + + 6( x − 3) x − x + = 0(1) Hướng dẫn: Điều kiện: x − x + ≥ + Từ (1) ⇒ ( x − 3)( x − x − 2) + 6( x − 3) x − x + =  x = 3(loai ) ⇔ 2  x − x − + x − x + = 0( 2)  x − x + = t , điều kiện t ≥ t = (2) ⇔ t + 6t − = ⇔  , t = -7 (loại), t = (thỏa mãn) t = −7 x = + Với t =1 ⇒ x − x + = ⇔  (thỏa mãn điều kiện) x = + Giải (2): đặt Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài 23: 2 x + + − x = x + 16 Hướng dẫn: Bình phương hai vế, lúc phương trình : ⇔ 4(2 x + 4) + 16 2(4 − x ) + 16(2 − x) = x + 16 ⇔ 8(4 − x ) + 16 2(4 − x ) = x + x + Đặt t = 2(4 − x ) (t ≥ 0) + Phương trình trở thành : 4t + 16t − x − x = x  t1 = + Giải phương trình với ẩn t ta tìm  t = − x − 2  + Do x ≤ nên t < không thỏa mãn điều kiện t ≥ x ≥ x ⇔ ⇔x= (thỏa mãn điều kiện x ≤ 2 2 8(4 − x ) = x Vậy nghiệm phương trình x = x + Với t = 2( − x ) = Bài 24: Giải phương trình ( x + 4) − x + 3x = 13 Hướng dẫn: Điều kiện: x + 3x ≥ ⇔ x ≥ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC + Khi phương trình cho trở thành x + x + − x + 3x = 0(1) 3 −6 x+ = x x t = + Đặt x + = t (t ≥ 12 ) , ta t − 6t + = ⇔  (thỏa mãn) x t = x = + Với t = ⇒  x = + Nhận thấy x = không thỏa mãn nên (1) ⇔ x + +  x = + 61 + Với t = ⇒   x = − 61  Bài 25: x + + x + = 3x + 2 x + x + − 16 Hướng dẫn: Biến đổi phương trình dạng: x + + x + = x + + x + + (2 x + 3)( x + 1) − 20 + Đặt t = x + + x + 1(t ≥ 0) + Khi t = x + + x + + (2 x + 3)( x + 1) + Ta phương trình: t − t − 20 = ⇔ t = −4; t = + Lấy t = thỏa mãn, thay t = x = Bài 26: Giải phương trình 2x + −1 = x 2x + Hướng dẫn: Điều kiện: x ≠ 2x + 2x + Phương trình cho tương đương + −3= x 2x + t = 1 + Đặt t = ≠ Phương trình trở thành + 2t − = ⇔  t = − t 2x +  x < + Với t = − ⇒ −2 x = x + ⇔  ⇔x=− 2 4 x = x + x + Với t = phương trình vơ nghiệm Bài 27: x + 3x + x + = (3x + 2) 3x + Hướng dẫn: ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = [(3 x + 1) + 1] x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) + x + x = x = Đáp số  x = x = + Xét hàm f (a) = a + a ta suy x + = 3x + ⇔ x − x = ⇔  Bài 28: x + x − ( x + 1) x + = Hướng dẫn: ( x ) + x = ( x + 1) + x + ⇔ x = x + ⇔ x − x − = ⇔ x = NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 1+ Trang 10 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Bài 29: Giải phương trình x + 12 + = x + x + Hướng dẫn: Để phương trình có nghiệm x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ + Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình, phương trình phân tích dạng (x-2)A(x) = 0, để thực điều ta phải nhóm, tách sau: x + 12 − = x − + x + − ⇔ ⇔ ( x − 2)( x+2 x + 12 + + Dễ dàng chứng minh được: − x2 − x + 12 + = 3( x − 2) + x2 − x2 + + x+2 − 3) = ⇔ x = x2 + + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > 2 x + 12 + x +5 +3 Bài 30: Giải phương trình x + − − x = − 2x Hướng dẫn: 1 − x ≥  1 − x ≥  − ≤ x ≤ ⇔ − x + − 2x = x + ⇔  ⇔ x + ≥ 2 x + = x − x +  ( − x + − x ) = x +  1   − ≤ x ≤ − ≤ x ≤   ⇔ 2 x + ≥ ⇔ x=0 ⇔  x =   2 (2 x + 1) = x − x +  x = −   Bài 31: Giải phương trình: x − 15 x + 78 x − 141 = 53 x − Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ∈ R + Phương trình ⇔ ( x − 5) + 5( x − 5) = (2 x − 9) + 53 x − + Xét hàm số đặc trưng: f ( x) = t + 5t với t ∈ R + Ta có : f ' (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R , suy hàm số đồng biến R + Mà phương trình (*) có dạng: f ( x − 5) = f (3 x − ) ⇔ ( x − 5) = x − ⇔ x − 15 x + 73 x − 116 = x = ( x − 4)( x − 11x + 29) = ⇔   x = 11 ±   Bài 32: Giải phương trình Hướng dẫn: Điều kiện: x ≤ 12 + Đặt u = x + 24 ; v = 12 − x với v ≥ x + 24 + 12 − x = u + v = u + v = u + v = u + v = ⇔ ⇔ ⇔ 2 u + v = 36 u + (6 − u ) = 36 u + u − 12u = u (u + u − 12) = + Ta có  NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 11 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC u =  v = u = −4 ⇔  ⇔ v = 10  u = v =   x = −24  x = −88 (thỏa mãn)  x =  Bài 33: Giải phương trình 23 x − = 27 x − 27 x + 13x − Hướng dẫn: ⇔ (2 x − 1) + 23 x − = (3 x − 1) + 2(3 x − 1) + Xét hàm f (a) = a + 23 a ta suy x − = (3x − 1) ⇔ 27 x − 27 x + x = ⇔ x = Đáp số: x = Bài 34: Giải phương trình x +1 + x2 = x + x2 + x Hướng dẫn: + Xét x = nghiệm phương trình + Với x ≠ , ta chia hai vế cho x:  x +1  x +1 + x = 1+ x +1 ⇔ 3 − 1( x − 1) = ⇔ x =   x x   (làm tập kết hợp với học ghi) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 12 ...MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Bài 1: Giải phương trình 1 − x− ( ) log x − x + − 3− x +x  7 log  x − +  = 4  Hướng dẫn + Khi gặp phương trình mũ log,... − + Vậy phương trình có nghiệm x = NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Bài 14: Giải phương trình: ... Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC ⇒ 1 − x − +1 < − x +1 x − +1 ≤ 2x - ≥ 5, ∀x ∈ [4;6] nên phương trình (1) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 18: Giải