TÀI LIỆU ÔN TẬP THI KỲ THI QUỐC GIA NĂM 2015 MƠN: TỐN (BỘ 1) I KHUNG CHƯƠNG TRÌNH ƠN TẬP STT Chuyên đề Thời lượng (%) /chuyên đề Khảo sát hàm số toán liên quan 20 - 25 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 10 - 20 Tích phân ứng dụng tích phân 10 - 15 Tổ hợp, xác suất - Số phức - 10 Hình học không gian 10 - 15 Phương pháp toạ độ 10 - 15 Đề ôn tập tổng hợp 10 - 15 II CÁC CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ (Thời lượng 20% - 25%) Chủ đề 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Bài toán dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình Một số kiến thức bổ trợ a) Đưa hệ thống ví dụ ôn lại lý thuyết *Kiến thức cần nhớ + Đạo hàm hàm số luỹ thừa y= x n ⇒ y, = nx n −1 n ∈ N, n >1 (C)' = 0;(x)' = 1; +Đạo hàm tổng hay hiệu hai hàm số (u+v)’=u’+v’ (u-v)’=u’-v’ Nhận xét: Ta mở rộng cho tổng hay hiệu nhiều hàm số có đạo hàm Trên tập xác định D là: ( u ± v ± ± w ) ' = u '± v '± ± w ' +Đạo hàm tích hai hàm số : (u.v)’=u’.v+u.v’ (k.u)’=k.u’ '  k.u ( x )  = k.u ' ( x )   + Đạo hàm thương hai hàm số Đặc biệt k số thì: '  u  u ' v − uv ' v÷ = v2   ' 1 a) Trên (−∞;0) ∪ (0; +∞) ta có  ÷ = − x x ' v' 1 b) Nếu v = v(x) có đạo hàm D v ( x ) ≠ 0; ∀x ∈ D D ta có:  ÷ = − v v + Sơ đồ khảo sát hàm số: Tập xác định Sự biến thiên * Xét chiều biến thiên hàm số + Tính đạo hàm y’ + Tìm điểm đạo hàm y’ không xác định + Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thiên hàm số * Tìm cực trị +Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên (Ghi kết tìm vào bảng biến thiên) Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị Ví dụ Tính đạo hàm hàm số: a) y = x b) y = x + x a) Ta có y / = 5.x b) Ta có y’ = (x +x)’ = (x )’+(x)’ = 3x + Ví dụ Tính đạo hàm hàm số: f ( x ) = x8 − 7x + 9x + 3 f ′(x) = (x8 )′ − 7(x )′ + 9(x)′ + 3′ = 8x − 7.5x + + = 6x − 35x + 4 f(x)= x(x+1)(x+4) điểm x = 1? Ví dụ Tính đạo hàm hàm số: Giải Ta có: f’(x)=(x)’(x+1)(x+4)+x(x+1)’(x+4)+x(x+1)(x+4)’ = (x+1)(x+4) + x(x+4) + x(x+1); Khi đó: f’(1) = 17 3x + Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: y = 4x + Giải y' = (3x + 1)'.(4x + 3) − (3x + 1)(4x + 3)' 3(4x + 3) − 4(3x + 1) = = = 2 (4x + 3) (4x + 3) (4x + 3)2 b) Các dạng tập tương tự cho học sinh tự làm Bài tập: Tìm đạo hàm hàm số: 2x + a) y = 3x − b) y = x3 − 3x + 2 c) y = 5x − 4x − d) y=(x+2)(x+3) Tiến hành giải nội dung chun đề a) Ví dụ ơn lại kiến thức SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Tập xác định D=R Sự biến thiên - Xét chiều biến thiên hàm số + Tính đạo hàm: y ' = 3ax +2bx+c + y ' = ⇔ 3ax +2bx+c=0 ( Bấm máy tính nghiệm chẵn, giải ∆; ∆ ' nghiệm lẻ- không ghi nghiệm gần đúng) Chú ý: Đến buớc cần lập bảng biên thiên nháp, sau dựa vào bảng biến thiên kết luận bước + Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thiên hàm số - Tìm cực trị - Tìm giới hạn vô cực ( x → ±∞ ) (Hàm bậc ba hàm đa thức khơng có TCĐ TCN.) - Lập bảng biến thiên Thể đầy đủ xác giá trị bảng biến thiên Đồ thị - Giao đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d) - Giao đồ thị với trục Ox: y = ⇔ ax +bx +cx+d = ⇔ x = ? - Các điểm CĐ; CT có (Chú ý: Nếu nghiệm bấm máy tính nghiệm OK, cịn nghiệm ngun phải đưa tích hàm bậc hàm bậc hai để giải nghiệm Trường hợp ba nghiệm lẻ ghi giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị) - Lấy thêm số điểm (nếu cần)- (điều làm sau hình dung hình dạng đồ thị Thiếu bên học sinh lấy điểm phía bên đó, khơng lấy tùy tiện thời gian.) Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 6x + 9x (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Dựa vào đồ thị (C) hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm phương trình x − 6x + 9x = m Giải TXĐ: D = R Sự biến thiên a Chiều biến thiên y ' = 3x − 12 x + x =1 y ' = ⇔ 3x − 12 x + = ⇔  x = Trên khoảng ( −∞;1) ( 2;+∞ ) , y' > nên hàm số đồng biến Trên khoảng ( 1;3) , y' < nên hàm số nghịch biến b Cực trị Hàm số đạt cực đại x = 1, yCĐ= y(1)= Hàm số đạt cực tiểu x = 3, yCT= y(3)= c Giới hạn lim y = lim ( x3 − x + x ) = −∞ x →−∞ x →−∞ x →+∞ x →+∞ lim y = lim ( x3 − x + x ) = +∞ d Bảng biến thiên Đồ thị Giao Với trục Oy điểm (0;0) Giao Với trục Ox điểm (0;0), (3;0) b Dựa vào đồ thị (C) hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − x + x = m Ta có: x3 − 6x2 + 9x = m (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số (1) Với đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có: Nếu m > m < phương trình (*) có nghiệm Nếu m = m = phương trình (*) có hai nghiệm Nếu < m < phương trình (*) có nghiệm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y = -x3+3x-2 (2) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (2) b Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x3-3x+2+m=0 Giải: Tập xác định: D = R Sự biến thiên a Chiều biến thiên y' = -3x2+3 = -3(x2-1)  x = −1 y′ = ⇔  x = Trên khoảng ( −1;1) , y’>0 nên hàm số đồng biến Trên khoảng ( −∞; −1) ( 1;+∞ ) , y’ yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x=-1 => yCT = -4 c Giới hạn Lim (− x + 3x − 2) = +∞ x →−∞ lim (− x + x − 2) = −∞ x →+∞ d Bảng biến thiên x −∞ y/ -1 + +∞ - +∞ + y -4 -∞ Đồ thị Giao Với Ox A(1;0) B(-2;0) Giao Với Oy C(0;-2) b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3-3x+2+m=0 Ta có: x3-3x+2+m=0 ⇔ -x3+3x-2 = m (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y=m - < m < phương trình (*) có nghiệm phân biệt m = -4 m= phương trình (*) có nghiệm phân biệt m> m< - phương trình (*) có nghiệm SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) Tập xác định D=R Sự biến thiên - Xét chiều biến thiên hàm số + Tính đạo hàm y ' = 4ax +2bx + Ta có: y ' = ⇔ 4ax3 +2bx=0 ⇔ 2x(2ax +b)=0 x = x = ⇔ ⇔  −b ⇔ x = 2ax +b=0  2a + Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thiên hàm số Chú ý: Đến buớc cần lập bảng biên thiên nháp, sau dựa vào bảng biến thiên kết luận bước Tìm cực trị - Tìm giới hạn vơ cực ( x → ±∞ ) (Hàm trùng phương khơng có TCĐ TCN.) - Lập bảng biến thiên Thể đầy đủ xác giá trị bảng biến thiên Đồ thị - Giao đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c) - Giao đồ thị với trục Ox: y = ⇔ ax +bx +c = ⇔ x = ? ⇒ (?;0) - Các điểm CĐ; CT có (Chú ý: Giải phương trình trùng phương- bạn bấm máy tính giải pt bậc lấy nghiệm khơng âm, sau giải để tìm x) - Lấy thêm số điểm (nếu cần)- (điều làm sau hình dung hình dạng đồ thị Thiếu bên học sinh lấy điểm phía bên đó, khơng lấy tùy tiện thời gian.) Ví dụ Cho hàm số y = x − 8x + 10 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C) biên luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x − 8x2 + 10 − m = (*) Giải: a) 1.Tập xác định: D = ¡ Sự biến thiên: a Chiều biến thiên: y’ = 4x3 -16x = 4x(x − 4)  x=0  y’ =  x = −2  x=2  y’ > với x ∈ ( −2;0) ∪ (2; +∞) , suy hàm số đồng biến khoảng ( -2 ; 0) ( ; +) y’ < với x ∈ ( −∞; −2) ∪ (0;2) , suy hàm số nghịch biến khoảng ( -; -2) ( ; 2) b Cực trị: Hàm số đạt cực đại điểm x = ,yCĐ = 10 Hàm số đạt cực tiêu điểm x = ±2 ; yCT = -6 c Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = + ∞ x →−∞ x →+∞ Hàm số khơng có tiệm cận +) Bảng biến thiên: x - y’ -2 - 0 + + - + + 10 + y -6 -6 Đồ thị (C ) : Đồ thị (C) cắt trục Oy điểm (0; 10), cắt trục Ox điểm (± − ;0) ) (± + ;0) Đồ thị (C) nhận trục Oy trục đối xứng b) Ta có (*) ⇔ x − 8x + 10 = m Do đó, số nghiệm phương trình (*) Với số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y = m Nên dựa vào đồ thị (C), ta có: +) Nếu m < -6 phương trình (*) vơ nghiệm +) Nếu m = -6 phương trình (*) có hai nghiệm kép +) Nếu -6 < m < 10 phương trình (*) có nghiệm phân biết +) Nếu m = 10 phương trình (*) có nghiệm (1 kép đơn) +) Nếu m > 10 phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y = -x + 2x + (C) a Khảo sát vẽ đồ thị hàm sơ (C) b Tìm m để Phương trình x - 2x + m = có nghiệm phân biệt c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = Giải a, Khảo sát Tập xác định: D = ¡ Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: y’ = - 4x3 +4x = -4x(x2 -1)  x=0  y’ =  x = −1  x =1  y’ > với x ∈ (−∞; −1) ∪ (0;1) , suy hàm số đồng biến khoảng (-  ; -1) ( ; 1) y’ < với x ∈ (−1;0) ∪ (1; +∞) , suy hàm số nghịch biến khoảng ( - ; 0) ( ; +) +) Cực trị: Hàm số đạt cực đại hai điểm x = - x =1; yCĐ = Hàm số đạt cực tiêu điểm x = ; yCT = +) Giới hạn: lim y = - ∞ x →−∞ lim y = - ∞ x →+∞ +) Bảng biến thiên: x - y’ -1 + 0 - + + - y - - Đồ thị Cắt Oy điểm (0; 3), cắt Ox điểm ( - ; 0) ( ; 0) Nhận Oy trục đối xứng b, Phương trình cho tương đương với phương trình x -2x +m =  -x + 2x + = m + Do đó, số nghiệm phương trình cho số điểm chung đồ thị (C) Với đường thẳng y = m +3 Căn vào đồ thị để phương trình có nghiệm phân biệt < m + < < m < SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ y = ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d  −d  Tập xác định D = R \    c  Sự biến thiên - Xét chiều biến thiên hàm số ad-bc  ax + b  + Tính đạo hàm y ' =  ÷' =  cx + d  (cx+d)2 + y’ không xác định x = −d −d ; y’ âm (hoặc dương) với x ≠ c c d d + Hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng (−∞; − ) ( ; +∞) c c - Tìm cực trị: Hàm số cho khơng có cực trị - Tiệm cận: ax+b a a = nên y = TCN x →±∞ cx+d c c Ta có: lim y = lim x →±∞ ax+b lim y = lim = ( ± )∞ ; −d − − d − cx+d x→ Do x = c x→ c ax+b lim y = lim = ( ± )∞ −d + − d + cx+d x→ c x→ c −d c - Lập bảng biến thiên Thể đầy đủ xác giá trị bảng biến thiên Đồ thị - Giao đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= - Giao đồ thị với trục Ox: y = ⇔ b b => (0; ) d d ax+b −b −b = ⇒ ax + b = ⇔ x = ⇒ ( ;0) cx+d a a - Lấy thêm số điểm (nếu cần) (điều làm sau hình dung hình dạng đồ thị Thiếu bên học sinh lấy điểm phía bên đó, khơng lấy tùy tiện thời gian.) - Nhận xét đặc trưng đồ thị Đồ thị nhận điểm I( −d a ; ) giao hai đường tiệm cận c c làm tâm đối xứng Ví dụ 5: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x −1 x +1 Giải : Tập xác định : D = R \ {-1} Sự biến thiên: a, Chiều biến thiên: y' = > ,∀ x ≠ - (x + 1)2 Hàm số đồng biến khoảng (-∞;-1) (-1;+∞) b, Cực trị: Hàm số khơng có cực trị c, Tiệm cận : lim y = lim y = ⇒ đường thẳng y = tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞ lim y = −∞; x →−1+ lim y = +∞ x →−1− ⇒ đường thẳng x = - tiệm cận đứng d, Bảng biến thiên: Đồ thị : Giao với trục Oy điểm ( ; - 1) Giao với trục Ox điểm ( ; ) Tâm đối xứng điểm (-1; 1) 10 a1 x + b1y + c1 2 a1 + b1 =± a2 x + b2 y + c2 2 a2 + b2 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC ta thực sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác ngồi (dựa vào tính chất đường phân giác góc tam giác) Cho ∆ABC với đường phân giác AD phân giác AE (D, E ∈ BC) uuu r r uuu AB uuu r r AB uuu ta có: DB = − DC , EB = EC AC AC – Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Cách 2: – Viết phương trình đường phân giác d1, d2 góc tạo hai đường thẳng AB, AC – Kiểm tra vị trí hai điểm B, C d1 (hoặc d2) + Nếu B, C nằm khác phía d1 d1 đường phân giác + Nếu B, C nằm phía d1 d1 đường phân giác ngồi VẤN ĐỀ 4: Góc hai đường thẳng r Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) r ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) r r r r (n , n ) (n1, n2 ) ≤ 900  (·∆1 , ∆2 ) =  r r r r 180 − (n1 , n2 ) (n1, n2 ) > 90  r r a1b1 + a2 b2 r r ·∆ , ∆ ) = cos(·n , n ) = n1.n2 = cos( r r 2 2 n1 n2 a1 + b1 a2 + b2 Chú ý: ( ) • 0 ≤ ·∆1 , ∆2 ≤ 900 • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1 x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 • Cho ∆ABC Để tính góc A ∆ABC, ta sử dụng công thức: uuu uuu r r uuu uuu r r AB AC cos A = cos ( AB, AC ) = uuu uuu r r AB AC b) Bài tập lớp Bài Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;2) đường trung tuyến có phương trình : 2x – y + = x + 3y – = Bài Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 5x – 3y + = có đường cao AA’: 4x – 3y + = BB’: 7x + 2y – 22 = Lập phương trình cạnh lại đường cao thứ tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -1) Phương trình phân giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh khác theo thứ tự : x – 4y + 10 = ; 6x + 10y – 59 = Viết phương trình cạnh tam giác ABC 110 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B, C biết điểm E(1;-3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho (ĐHA - 2010) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x – y – = d: 2x – y – = Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ điểm M thỏa mãn OM.ON = (ĐHB – 2011) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(1/2 ; 1) Đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D(3;1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương (ĐHB – 2011) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1), trọng tâm G(1;1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x – y – = Tìm tọa độ đỉnh A C (ĐHD - 2011) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N  11  ; ÷ đường thẳng AN có PT: 2x – y –  2 điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử M  = Tìm tọa độ điểm A (ĐHA-2012) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có PT     x + 3y = x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M  − ;1÷ Tìm tọa độ đỉnh hcn ABCD (ĐH D-2012) Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x + y +5 = A(- 4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4) (ĐH A-2013) Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vng góc với AD = 3BC Đường thẳng BD có PT x + 2y – = tam giác ABD có trực tâm H(3;2) Tìm tọa độ đỉnh C D (ĐH B-2013) Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A  17  H  ; − ÷, chân đường phân giác góc A D(5;3) trung điểm cạnh AB  5 M(0;1) Tìm tọa độ đỉnh C (ĐH B-2013)  3  2 Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có điểm M  − ; ÷ trung điểm cạnh AB, điểm H(-2;4) điểm I(-1;1) chân đường cao kẻ từ B tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C (ĐH D-2013) c) Bài tập nhà Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB (ĐHA – 2009) Bài 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC (ĐHD – 2009) Bài 16 Cho điểm M(4;1) Đường thẳng (d) qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự A(a;0), B(0;b) với a, b > Lập phương trình đường thẳng (d) cho: a) Diện tích tam giác OAB nhỏ b) OA + OB nhỏ 1 + c) nhỏ OA OB Bài 17 Cho đường thẳng (d1) : 2x – y – = 111 (d2) : 2x + 4y – = Viết phương trình đường phân giác góc tạo (d1) (d2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm P(3; 1) với (d1), (d2) tạo thành tam giác cân có đỉnh giao (d1), (d2) Bài 18 Cho hình vng ABCD có cạnh có phương trình 4x – 3y + = ; 4x – 3y – 17 = đỉnh A(2; -3) Lập phương trình cạnh cịn lại hình vng Bài 19 Cho hình vng ABCD có đỉnh A(5; -1) cạnh nằm đường thẳng d: 4x – 3y – = Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh cịn lại hình vng Bài 20 Cho tam giác ABC có M(-2 ; 2) trung điểm cạnh BC, cạnh AB có phương trình x – 2y – = 0, cạnh AC có phương trình 2x + 5y + = Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 21 Cho tam giác ABC có diện tích 3/2, hai đỉnh A(3; -2), B(2; -3) Trọng tâm tam giác nằm đường thẳng 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C Bài 22 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d1: x – y = d2: 2x + y – = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết A thuộc d1, C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hoành (ĐHA – 2005) Bài 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d1: x + y + = 0, d2: x – y – = 0, d3: x – 2y = Tìm tọa độ điểm M thuộc d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 (ĐHA - 2006) Bài 24 Cho điểm A(2;4), B(3;1), C(1;4) đường thẳng d: x – y – = a) Tìm điểm M ∈ d cho MA + MB nhỏ b) Tìm điểm N ∈ d cho NA + NC nhỏ Bài 25 Cho tam giác ABC có M(0;4) trung điểm cạnh BC cịn cạnh có PT 2x + y – 11 = x + 4y – = a) Xác định đỉnh A b) Gọi C đỉnh nằm đường thẳng x + 4y – = N trung điểm AC Tìm điểm N tính tọa độ B, C II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Một số kiến thức bổ trợ Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x −a)2 +( y −b)2 = R Nhận xét: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = , với a2 + b2 − c > , phương trình đường trịn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 + b2 − c Phương trình tiếp tuyến đường trịn Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , ∆) = R VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm bán kính đường trịn • Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng: ( x − a)2 + ( y − b)2 = R (C) có tâm I(a; b) bán kính R • Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = – Biến đổi đưa dạng ( x − a)2 + ( y − b)2 = R – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 + b2 − c Chú ý: Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = phương trình đường trịn thoả mãn điều kiện: a2 + b2 − c > 112 VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường trịn Để lập phương trình đường trịn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường trịn (C) ( x − a)2 + ( y − b)2 = R Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Bán kính R = d ( I , ∆) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I trung điểm AB AB – Bán kính R = Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d ∆ – Bán kính R = IA Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng ∆ – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB I ∈ d – Tâm I (C) thoả mãn:   d (I , ∆) = IA – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng ∆′ qua B vng góc với ∆ – Xác định tâm I giao điểm d ∆′ – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2  d (I , ∆1 ) = d (I , ∆2 ) (1) – Tâm I (C) thoả mãn:  (2)  d (I , ∆1 ) = IA – Bán kính R = IA Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định ∆1 ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 ∆2 – Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R = d (∆1 , ∆2 ) , (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm nằm đường thẳng d  d (I , ∆1 ) = d (I , ∆2 ) – Tâm I (C) thoả mãn:  I ∈ d – Bán kính R = d ( I , ∆1 ) Dạng 9: (C) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x + y + 2ax + 2by + c = (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c ⇒ phương trình (C)  IA = IB Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn:   IA = IC – Bán kính R = IA = IB = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác – Xác định tâm I giao điểm hai đường phân giác 113 – Bán kính R = d ( I , AB) VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm Tập hợp tâm đường tròn Để tìm tập hợp tâm I đường trịn (C), ta thực sau: a) Tìm giá trị m để tồn tâm I  x = f (m ) b) Tìm toạ độ tâm I Giả sử: I   y = g(m) c) Khử m x y ta phương trình F(x; y) = d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện m a) để giới hạn miền x y e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm F(x; y) = với phần giới hạn d) Tập hợp điểm đường tròn Thực tương tự VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng d đường trịn (C) Để biện luận số giao điểm đường thẳng d: Ax + By + C = đường tròn (C): x + y + 2ax + 2by + c = , ta thực sau: • Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R – Xác định tâm I bán kính R (C) – Tính khoảng cách từ I đến d + d ( I , d ) < R ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt + d ( I , d ) = R ⇔ d tiếp xúc với (C) + d ( I , d ) > R ⇔ d (C) khơng có điểm chung • Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) d (C) nghiệm hệ phương trình:  Ax + By + C = (*)  2  x + y + 2ax + 2by + c = + Hệ (*) có nghiệm ⇔ d cắt (C) hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm ⇔ d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vơ nghiệm ⇔ d (C) khơng có điểm chung VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối hai đường tròn (C1) (C2) Để biện luận số giao điểm hai đường tròn (C1): x + y + 2a1 x + 2b1y + c1 = , (C2): x + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 = ta thực sau: • Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với bán kính R1, R2 R1 − R2 < I1I < R1 + R2 ⇔ (C1) cắt (C2) điểm + + I1I = R1 + R2 ⇔ (C1) tiếp xúc với (C2) + I1I = R1 − R2 ⇔ (C1) tiếp xúc với (C2) + I1I > R1 + R2 ⇔ (C1) (C2) + I1I < R1 − R2 ⇔ (C1) (C2) • Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) (C1) (C2) nghiệm hệ phương trình:  x + y + 2a x + 2b y + c =  1 (*)  2  x + y + 2a2 x + 2b2 y + c2 =  + Hệ (*) có hai nghiệm ⇔ (C1) cắt (C2) điểm + Hệ (*) có nghiệm ⇔ (C1) tiếp xúc với (C2) 114 + Hệ (*) vô nghiệm ⇔ (C1) (C2) khơng có điểm chung VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến đường trịn (C) Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng ∆ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d (I , ∆) = R • Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ (C) uuuu r – ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT IM0 • Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình ∆ có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ∆) = R , ta tìm t Từ suy phương trình ∆ • Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A( x A ; y A ) đường trịn (C) – Viết phương trình ∆ qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ∆) = R , ta tìm tham số Từ suy phương trình ∆ Bài tập b) Bài tập lớp Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x + y + = đường tròn (C): x + y2 – 4x – 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm toạ độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ĐH A 2011) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(1/2 ; 1) Đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D(3;1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm toạ độ đỉnh A, biết A có tung độ dương (ĐH B 2011) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;0) đường tròn (C): x + y2 – 2x + 4y – = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) hai điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A (ĐH D- 2011) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1): x2 + y2 = (C2): x2 + y2 – 12x + 18 = đường thẳng d: x – y – = Viết PT đường trịn có tâm thuộc (C 2), tiếp xúc với d cắt (C 1) hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d (ĐH B - 2012) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết PT đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = (ĐH D - 2012) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x – y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết PT đường tròn (C) (ĐH A - 2013) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = đường thẳng ∆ : y – = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N P thuộc ∆ , đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P (ĐH D- 2013) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y = vµ d : x − y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d A,cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương (ĐH A - 2010) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương (ĐH D 2010) c) Bài tập nhà 115 Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0), phương trình đường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm (ĐH B - 2002) · Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, BAC = 900 Biết M(1;-1) trung điểm cạnh BC G(2/3;0) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C (ĐH B - 2003) Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = đường thẳng d: x – y – = Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với đường trịn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’) (ĐH D - 2003) Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;0), B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B (ĐH B 2005) Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 – 2x – 6y + = điểm M(-3;1) Gọi T1 T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 (ĐH B - 2006) Bài 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + = đường thẳng d: x – y + = Tìm toạ độ điểm M nằm d cho đường trịn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) (ĐH D - 2006) Bài 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) C(4;-2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình đường trịn qua điểm H, M, N (ĐH A - 2007) Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + (y + 2)2 = đường thẳng d: 3x – 4y + m = Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB (ĐH D 2007) III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0) M ∈ E) ⇔ ( MF +MF2 =2a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2 a2 + • Toạ độ tiêu điểm: y2 b2 =1 (a > b > 0, b2 = a2 − c2 ) F1 (−c;0), F2 (c; 0) • Với M(x; y) ∈ (E), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF = a + c c x , MF2 = a − x a a Hình dạng elip • (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) • Toạ độ đỉnh: • Độ dài trục: trục lớn: A1 A2 = 2a , trục nhỏ: B1B2 = 2b c (0 < e < 1) a • Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x = ± a, y = ± b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) • Tâm sai (E): e= 116 • Phương trình đường chuẩn ∆i ứng với tiêu điểm Fi là: x ± • Với M ∈ (E) ta có: MF MF2 = =e d ( M , ∆ ) d ( M , ∆2 ) a =0 e (e < 1) VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (E) x y2 Đưa phương trình (E) dạng tắc: + = Xác định a, b, c a2 b2 Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0) – Toạ độ đỉnh A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) – Tâm sai e = c a – Phương trình đường chuẩn x ± a =0 e Baøi 30 Cho elip (E) Xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, tâm sai, phương trình đường chuẩn (E), với (E) có phương trình: x y2 x y2 x y2 a) b) c) d) + =1 + =1 + =1 16 25 x y2 + =1 e) 16 x + 25y = 400 f) x + y = g) x + y = h) x + 25y = VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (E) Để lập phương trình tắc (E) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (E) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (E): c + b2 = a2 − c + e= + Các tiêu điểm F1 (−c;0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1 (−a; 0), A2 (a; 0), B1(0; −b), B2 (0; b) Bài Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 6, trục nhỏ b) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự c) Độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ tiêu cự d) Tiêu cự qua điểm M ( 15; −1) e) Độ dài trục nhỏ qua điểm M ( −2 5;2 ) e) Một tiêu điểm F1 (−2; 0) độ dài trục lớn 10  3 f) Một tiêu điểm F1 ( − 3;0 ) qua điểm M  1; ÷     g) Đi qua hai điểm M (1; 0), N  ;1 ÷   117 h) Đi qua hai điểm M ( 4; − ) , N ( 2;3 ) VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) ∈ (E): MF = a + c c x , MF2 = a − x a a Bài Cho elip (E) đường thẳng d vng góc với trục lớn tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF1 , MF2 , MN a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 Bài Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) cho: i) MF1 = MF2 ii) MF2 = 3MF1 c) x + 16 y = 112 iii) MF1 = MF2 a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Bài Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng, với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1 + MF2 = 2a ⇒ Tập hợp elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a x2 y2 + = (a > b) ⇒ Tập hợp elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b a2 b2 Bài Cho đường tròn (C): x + y − x − 55 = điểm F1 (−3;0) : Dạng 2: a) Tìm tập hợp tâm M đường tròn (C′) di động qua F1 tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tập hợp Bài Cho hai điểm A, B chạy hai trục Ox Oy cho AB = 12 a) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB b) Tìm tập hợp điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k = − VẤN ĐỀ 5: Một số tốn khác Bài Tìm tâm sai (E) trường hợp sau: a) Mỗi đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vng b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc vng c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc 60 d) Độ dài trục lớn k lần độ dài trục nhỏ (k > 1) e) Khoảng cách từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục nhỏ tiêu cự b) Bài tập lớp Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = Tìm toạ độ điểm A B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn (ĐH A - 2011) 118 Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường trịn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x2 + y2 = Viết PTCT elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi biết A thuộc Ox (ĐH B – 2012) Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = Viết PTCT elip (E) biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) điểm tạo thành đỉnh hình vng (ĐH A-2012) x2 y2 Bài 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A (2; 3) elip (E): + = Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ANF2 (ĐH B - 2010) c) Bài tập nhà Baøi Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 10, tâm sai c) Độ dài trục nhỏ 6, phương trình đường chuẩn x ± 16 = d) Một đỉnh A1 (−8; 0) , tâm sai  5 e) Đi qua điểm M  2; − ÷ có tâm sai  3 2 Bài Cho elip có phương trình x + 4y = b) Một tiêu điểm F1 (−8;0) tâm sai a) Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm tâm sai elip b) Một đường thẳng d qua tiêu điểm elip song song với trục Oy cắt elip điểm M N Tính độ dài đoạn MN c) Tìm giá trị k để đường thẳng y = x + k cắt elip cho Bài Cho elip (E) có phương trình : 9x2 + 25y2 – 225 = a) Tính tọa độ tiêu điểm F1, F2, tọa độ đỉnh tâm sai (E) b) Gọi F2 tiêu điểm có hồnh độ dương Viết phương trình đường thẳng d có hệ số góc − qua F2 c) Tính tọa độ giao điểm M, N d (E) Bài Cho elip(E) : 4x2 + 9y2 = 36 M(1;1) a) Tìm toạ độ tiêu điểm, đỉnh tâm sai elip b) Chứng minh đường thẳng qua M cắt elip hai điểm phân biệt c) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) M1, M2 cho: MM1 = MM2 Bài Tìm tọa độ điểm M elip (E) 9x2 + 25y2 = 225 cho MF1 = 2MF2 F1, F2 tiêu điểm bên trái, bên phải elip Bài Cho elip (E) Tìm điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm góc 60 , với: 119 a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 Bài Cho elip (E) có phương trình c) x + 16 y = 112 x2 y2 + = 25 / 4 a) Tìm điểm thuộc elip có hồnh độ x = tính khoảng cách từ đến hai tiêu điểm b) Tìm giá trị b để đường thẳng (d): y = x + b có điểm chung với elip (E) Bài Cho điểm M(2; -2) elip (E) có phương trình: x2/4 + y2 = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt elip tai hai điểm phân biệt A, B cho AB = 10 32 (hc AB = ) 5 Bài Cho elip (E) đường thẳng (d) có phương trình: (E): x y2 + =1 25 ; (d): 2x + 15y – 10 = a) Chứng minh (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A, B với A thuộc Ox Tính độ dài AB b) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho tam giác ABC cân A Bài 10 Cho elip (E) đường thẳng (d) có phương trình: (E): x2 y2 + =1 ; (d): x – y+2=0 a) Chứng minh (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho tam giác ABC có diện tích lớn Bài 11 Cho elip (E) có phương trình: 4x2 + 9y2 = 36 Tìm điểm M thuộc elip (E) cho: a) M có toạ độ nguyên b) Có tổng hai toạ độ đạt GTLN, GTNN c) Có bán kính qua tiêu điểm lân bán kính qua tiêu điểm Bài 12 Cho elip (E) đường thẳng (d) có phương trình: (E): x2 y2 + =1 16 ; (d): 3x + 4y – 12 = a) Chứng minh (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB b) Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho: - Tam giác ABC có diện tích - Tam giác ABC có diện tích lớn - Tam giác ABC cân - Tam giác ABC vuông x2 y + = có tiêu điểm F1 F2 Lấy A, B 25 16 thuộc (E) cho AF1 + BF1 = Tính AF2 + BF2 Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 120 Chuyên đề ĐỀ KIỂM TRA VÀ ĐỀ ÔN LUYỆN Đề Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 = mặt phẳng (P): 2x + y – 2z +4 = a) ( điểm) : Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu b) ( điểm) : Tính khoảng cách từ I đến (P), từ cho biết vị trí tương đối 121 (S) (P) c) ( điểm) : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1; 2; 3) song song với mặt phẳng (P) d) ( điểm) : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(0; 1; -3) vng góc với hai mặt phẳng (P) : 3x – 2y + 2z + =0 (Q) : 5x – 4y + 3z – = Câu 2: a ( điểm) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-1; 0; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (P) : 2x – y - 2z - = b ( điểm): Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(2; 0; 1), B(1; ;0), C(1; 1; 1), tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x + y + z – = (Q) : x + y + z – =  x =1  Câu Cho mp(P) : x + y - = Và đường thẳng d : (d) :  y = 1, t ∈ R z = + t  a) ( điểm) CMR (d) song song (P) Tính khoảng cách d (P) b) ( điểm) Viết PTMP (Q) chứa d song song (P) Đề Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 2)2 = 36 mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 12 = a) ( điểm) : Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu b) ( điểm) : Tính khoảng cách từ I đến (P), từ cho biết vị trí tương đối (S) (P) c) ( điểm) : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (P) d) ( điểm) : Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm M(0; 1; -3), N(2; -1; -2) vng góc với mặt phẳng (P) Câu 2: a) ( điểm) : Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; -3; 5) qua điểm A(1; -2; 4) b) ( điểm): Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(2; 0; 1), B(1; ;0), C(1; 1; 1), tiếp xúc với hai mặt phẳng (P): x + y + z – = (Q) : x + y + z – = Đề Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 2y + 6z – 14 = mặt phẳng (P): 2x - y + 2z – = a) ( điểm) : Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu b) ( điểm) : Tính khoảng cách từ I đến (P), từ cho biết vị trí tương đối (S) (P) c) ( điểm) : Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1; -1; 0) song song với mặt phẳng (P) d) ( điểm) : Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm M(1; 2; 3), N( -2; 0; 2), P(3 ; ; 2) Câu 2: a) ( điểm) : Viết phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A(2; -3; 5), B(0 ; -1 ; 1) b) ( điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0; 1) Viết PT mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = Đề Câu : Cho hàm số : y = 2x − có đồ thị (C) x−2 122 a (3 điểm) : b (2 điểm) : với ? Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) ? Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến song song đường thẳng y = −3x − ? c (2 điểm) : Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt d (1điểm) : Tìm toạ độ điểm M nằm đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ? ∆ : y = - x + Câu :(2 điểm) : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f ( x ) = x − + − x Đề Câu 1: Cho hàm số y = x3 – 3x – 1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ), biết hệ số góc tiếp tuyến Câu 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x − − x ln x đoạn [1;2] Đề Câu 1: Cho hàm số −2x + x −1 1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết Phương trình tiếp tuyến (C ) giáo điểm (C ) đường thẳng -3 Câu 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(x) = y=x x − x − 4x − x Đề Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;2) đường thẳng: d1: x + y – = 0, d2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B C thuộc d d2 cho tam giác ABC vuông cân A (ĐHB - 2007) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + my – 2m + = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn (ĐH A - 2009) x2 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho A(3;0) elip (E) có PT: + y = Tìm tọa độ điểm B, C thuộc (E) cho tam giác ABC vuông cân A Đề Bài Trong mặt phẳng Oxy, xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC : 3x − y − = , đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC (ĐHA - 2002) 123 hai đường thẳng ∆1 : x – y = 0, ∆ : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường trịn (C 1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng ∆1 , ∆ tâm K thuộc đường tròn (C) (ĐH B - 2009) Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết 2 Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 2) + y = (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 (Đề thi ĐH khối A - 2008) Đề Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x – y – = Xác định tọa độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 (ĐHB - 2009) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + y2 = Gọi I tâm (C) Xác · định toạ độ điểm M thuộc (C) cho IMO = 30 (ĐH D - 2009) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 16x điểm A(1;4) Hai điểm · phân biệt B, C (B C khác A) di động (P) cho góc BAC = 900 Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố định (Đề thi ĐH khối D - 2008) 124 ... sát hàm số: Tập xác định Sự biến thi? ?n * Xét chiều biến thi? ?n hàm số + Tính đạo hàm y’ + Tìm điểm đạo hàm y’ không xác định + Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thi? ?n hàm số * Tìm cực trị +Tìm... hàm đa thức khơng có TCĐ TCN.) - Lập bảng biến thi? ?n Thể đầy đủ xác giá trị bảng biến thi? ?n Đồ thị - Giao đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d) - Giao đồ thị với trục Ox: y = ⇔ ax +bx +cx+d =... )∞ −d + − d + cx+d x→ c x→ c −d c - Lập bảng biến thi? ?n Thể đầy đủ xác giá trị bảng biến thi? ?n Đồ thị - Giao đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= - Giao đồ thị với trục Ox: y = ⇔ b b => (0; ) d d ax+b