BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2  VŨ THỊ THẢO VECTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ   0 ,Ku - LÕM CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VỚI HAI NÓN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC. Nguyễn Phụ Hy HÀ NỘI, 2013 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải tích K15 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Hà Nội, ngày 12 tháng 07 năm 2013 Tác giả Vũ Thị Thảo Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 12 tháng 07 năm 2013 Tác giả Vũ Thị Thảo MỤC LỤC Mở đầu 1 CHƢƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ 3 1.1. Khái niệm không gian Banach thực 3 1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 4 1.2.1. Định nghĩa nón – quan hệ sắp thứ tự - hai phần tử thông ước và tập   0 Ku 4 1.2.2. Một số nón đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng. 6 1.3. Không gian 0 u E 10 1.3.1. Phần tử 0 u - đo được và không gian 0 u E 10 1.3.2. Một số định lý về nón. 13 1.4. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 17 1.4.1. Không gian 1 l : 17 1.4.2. Không gian   ,ab L 29 CHƢƠNG 2: TOÁN TỬ   0 ,Ku - LÕM CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC VỚI HAI NÓN 43 2.1. Các định nghĩa 43 2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact 44 2.3. Toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong các không gian   1 , , ab lL 50 2.3.1. Toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy trong không gian   ,ab L 50 2.3.2. Toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian 1 l 53 CHƢƠNG 3: SỰ TỒN TẠI VECTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ   0 ,Ku - LÕM CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC VỚI HAI NÓN 59 3 3.1. Ứng dụng đạo hàm tiệm cận để xét sự tồn tại vectơ riêng của toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn thực với hai nón. 59 3.2. Ứng dụng 0 u - đạo hàm Fréchet để xét sự tồn tại vectơ riêng của toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn thực với hai nón 65 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động của toán tử là một ngành toán học lý thuyết sâu sắc và có nhiều ứng dụng vào các ngành kế cận. Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipsit, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,… Các nhà toán học đã xét các toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Fréchet hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm… GS - TSKH Kraxnoxelxki đã nghiên cứu toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định (1956), sau đó mở rộng cho lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón còn lại (1962). GS - TSKH Bakhtin nghiên cứu toán tử   0 ,Ku - lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định (1975), sau đó mở rộng cho toán tử   0 ,Ku - lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng (1984). Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki và Bakhtin nghiên cứu đều có tính chất 0 u - đo được. Năm 1987 PGS - TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất 0 u - đo được. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, với sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS – TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Vectơ riêng của toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn với hai nón”. 2 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu vectơ riêng của toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất 0 u - đo được. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Tìm hiểu về toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian Banach thực với hai nón. Tìm hiểu về vectơ riêng của toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian Banach thực với hai nón. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact và vectơ riêng của toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian Banach thực với hai nón. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian Banach thực với hai nón. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp Các đóng góp của luận văn là trình bày một cách hệ thống kiến thức về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, các kết quả chính về nón, định nghĩa và tính chất của toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong các không gian định chuẩn và sự tồn tại vectơ riêng của các toán tử này. Xây dựng các không gian nửa sắp thứ tự   1 , , ab lL và các toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact tác dụng trong các không gian đó. 3 CHƢƠNG 1 KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ 1.1. Khái niệm không gian Banach thực Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường số thực R cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R , ký hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1)   0, 0x X x x x        (ký hiệu phần tử không là  ); 2)    x X R x x         ; 3)   ,x y X x y x y     . Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X . Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề về chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm   1 n n x   của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm xX , nếu lim 0 n n xx   . Ký hiệu: lim n n xx   hay   n x x n   . Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm   1 n n x   trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu: , lim 0 nm mn xx   , hay     * 0 0 nN      sao cho   0 ,n m n ta có nm xx   . Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.5. Không gian Banach X gọi là không gian Banach thực nếu X là không gian con định chuẩn thực. Kí hiệu E . 4 1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự nón  -    0 Ku 1.2.1.1. Định nghĩa nón trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1.1. Cho không gian định chuẩn thực X và tập hợp ,K X K   . Tập K được gọi là nón trong không gian X , nếu K thỏa mãn các điều kiện sau: a) K là tập đóng trong không gian X ; b)   ,x y K x y K ; c)    :0x K R x K          ; d) Nếu ,x K x   , thì xK . +) Nhận xét 1.2.1.1. Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực X , thì K   và K là tập lồi. Thật vậy, *) ,,x K t R t o     ta có tx K , do đó với 0t  ta có 0. .xK   *) , , 0,1x y K t       ta có   ,1tx K t y K   suy ra   1.ytx t K   Vì vậy K là tập lồi. 1.2.1.2. Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn Giả sử X là một không gian định chuẩn thực, K là một nón trong không gian X . Ta xây dựng quan hệ “  ” trong X như sau: Với ,x y X , ta viết xy , khi y x K . Khi đó quan hệ “  ” là một quan hệ thứ tự trên không gian X . Thật vậy, *) ,x X x x K       nên .xx *) ,,x y X x y   và yx thì y x K và .x y K 5 Vì   y x x y    , nên nếu xy   thì mâu thuẫn với điều kiện d) của định nghĩa 1.2.1.1. Do đó .x y x y      *) , , ,x y z X x y   và yz thì y x K và z y K .     z x z y y x K       nên .xz Không gian định chuẩn thực X cùng với quan hệ sắp thứ tự “  ” gọi là không gian nửa sắp thứ tự hay sắp thứ tự bộ phận theo nón K . Nếu X là không gian Banach thực thì ta nói X là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K . Nếu hai phần tử bất kỳ ,x y X mà ta có xy hoặc yx thì ta nói ,xy so sánh được với nhau theo quan hệ “  ”. 1.2.1.3. Hai phần tử thông ước và tập   0 Ku Định nghĩa 1.2.1.3. Giả sử E là không gian nửa sắp thứ tự theo nón K . Với ,x y E ta nói x thông ước với y nếu tồn tại các số dương   c c x và   d d x sao cho: cy x dy . +) Nhận xét 1.2.1.3. Nếu phần tử xE thông ước với phần tử yE thì y thông ước với x . Thật vậy, vì x thông ước với y nên tồn tại số dương     ,c c x d d x sao cho cy x dy do đó 11 x y x dc  hay y thông ước với x . +) Nhận xét 1.2.1.4. Nếu hai phần tử ,x y E cùng thông ước với phần tử zE thì ,xy thông ước với nhau. Thật vậy, giả sử hai phần tử ,x y E cùng thông ước với phần tử zE . Khi đó, tồn tại các số dương ,cd sao cho cz x dz , cz y dz . [...]... công thức (1.1) xác định một chuẩn trên Eu0 , kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng là Eu0  Chuẩn (1.1) thường được gọi là u0 - chuẩn 3 Một số đ n lý về nón Định lý 1.3.2.1 Nếu K là nón chuẩn tắc trong không gian Banach thực E , thì không gian Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn Chứng minh Giả sử  xn n1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu0 theo u0  chuẩn nghĩa là:    0  n0... Do K là nón chuẩn, nên  M  0 n  N * , n  2 xn  x1  M y  x1 , nghĩa là dãy  xn  x1 n1 là hội tụ theo chuẩn của không gian E  Từ tính chất đều hoàn toàn của nón K suy ra dãy  xn  x1 n1 hội tụ trong  không gian E Do đó dãy  xn n1 hội tụ trong không gian E  Vậy K là nón đều  Định lý 1.2.2.3 Nếu K là nón đều và đặc thì K là nón đều hoàn toàn Chứng minh Giả sử K là nón đều và... có giới hạn trong không gian E Định lý 1.2.2.1 Nếu K là nón đều thì K là nón chuẩn tắc Chứng minh Cho E là không gian Banach thực, K là nón đều trong không gian E Giả sử K không là nón chuẩn tắc, nghĩa là: 8 n  N   x  K  y * n Khi đó, chuỗi: x 1 n  K  xn  yn  1 sao cho xn  yn  1 n2  y1    x2  y2     xn  yn   hội tụ tuyệt đối nên chuỗi đó hội tụ trong không gian E ... 0 N Vậy K là nón chuẩn tắc  1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự    1.4.1 Không gian l1 : l1   x   xn  xn  R,  xn    n 1   1.4.1.1 Không gian vectơ thực l1 Định nghĩa 1.4.1.1 Cho hai phần tử tùy ý x   xn n1 , y   yn n1  l1 và     R Ta gọi tổng của hai phần tử x và y , kí hiệu x  y là phần tử x  y   xn  yn n1 và tích của x với  là phần tử  x   xn... trong cả hai trường hợp đều tồn tại số t   t  0 (với   0 ) hoặc t  t     0 (với   0 ) sao cho t.u0   x  t.u0 Lại có  x  E (do E là không gian tuyến tính)   x  Eu0 , do đó Eu0 là không gian tuyến tính con của E Vậy Eu0 là không gian tuyến tính  Định lý 1.3.1.2 Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K , u0  K \   Khi đó không gian Eu0 là một không. ..   x  t   x Vậy La ,b cùng với hai phép toán trên là một không gian vectơ 1.4.2.2 Không gian Banach thực La ,b *) La ,b là một không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x  x  t  cho bởi 31 b x   L   x  t  dt (1.14) a Thật vậy, vì hàm x  t  khả tích trên  a, b nên vế phải của (1.14) xác định Ta đi kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn đối với (1.14) 1 : x  La ,b ta có x  t   0,... Nên không gian l1 là không gian nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K + K là một nón chuẩn tắc Thật vậy, e1, e2  K , e1   xn n1 , e2   yn n1 , xn , yn  0, n  N * :   e1  e2  1   n 1 n 1   xn   yn  1   n 1 n 1 Ta có e1  e2   xn  yn   xn  1   Vậy K là một nón chuẩn tắc 1.4.1.3 Không gian l1,u0 a) Trong không gian Banach thực l1 cùng với nón K xác định. .. đều hoàn toàn  1.3 Không gian Eu0 3 P ần tử u0 - đo được và k ôn i n Eu0 Định nghĩa 1.3.1 Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K , u0  K \   Phần tử x  E gọi là u0 - đo được nếu tồn tại số t  0 sao cho tu0  x  tu0 Tập hợp tất cả phần tử u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu0 Định lý 1.3.1.1 Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K , u0  K \... bởi phần tử u n n Hơn nữa: zn  zn1 , zn   ( x j  y j )  u , nghĩa là dãy ( zn )1 không giảm và bị n j 1 chặn trên bởi phần tử u , nhưng dãy ( zn )1 không hội tụ (điều này mâu thuẫn n với tính chất của nón K ) Vì vậy, nếu K là nón đều thì K là nón chuẩn tắc  Định lý 1.2.2.2 Nếu K là nón đều hoàn toàn thì K là nón đều Chứng minh Trước hết, ta chứng minh mọi nón đều hoàn toàn là nón chuẩn tắc... l1 theo chuẩn của không gian l1 0 Vậy l1 là không gian Banach thực 1.4.1.3 Nón và tính chất của nón trong không gian l1 Kí  K  x   xn n1  l1 : xn  R, xn  0, n  N * hiệu:   (1.10) Khi đó K là một nón trong l1 Thật vậy, Ta có   K  K   1 : K đóng    Giả sử : x k   xnk     x   xn  0 0  n 1  n 1 là một dãy bất kỳ trong l1 , tức là: lim x   x k 0 k  trong K hội . về toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact 44 2.3. Toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong các không gian   1 , , ab lL 50 2.3.1. Toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy trong không. tài: Vectơ riêng của toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian định chuẩn với hai nón . 2 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu vectơ riêng của toán tử   0 ,Ku - lõm. không gian   ,ab L 50 2.3.2. Toán tử   0 ,Ku - lõm chính quy compact trong không gian 1 l 53 CHƢƠNG 3: SỰ TỒN TẠI VECTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ   0 ,Ku - LÕM CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHÔNG