Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b]

89 499 0
Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b]

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên Trần Mạnh Cường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên Trần Mạnh Cường Mục lục Mở đầu 1 Nội dung 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Banach . . . . . 10 1.3. Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert, L 2 [a;b] . . 13 1.4. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz . . . . . . 17 1.4.1. Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz . . 17 1.4.2. Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai . . . . . . 21 1.4.3. Phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai . . . . . . . 24 2 Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L 2 [a;b] 26 ii iii 2.1. Định lý về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Giải xấp xỉ phương trình toán tử loại hai bằng phương pháp thác triển theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1. Hai bước theo tham số (N = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Ba bước theo tham số (N = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Ước lượng tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L 2 [a;b] 39 3.1. Phương trình tích phân Fredholm loại hai trong không gian L 2 [a;b] . . . . 39 3.1.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch không suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.3. Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo 82 BẢNG KÝ HIỆU C Tập số phức C [a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] D k [a;b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a, b] l 2 Tập tất cả những dãy số thực (phức) x = {x n } sao cho chuỗi ∞  n=1 |x n | 2 hội tụ L 2 [a;b] Tập tất cả các hàm đo được, bình phương khả tích trên [a; b] N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực R k Không gian thực k chiều Ø Tập hợp rỗng ∞ Dương vô cùng (tương ứng với +∞) −∞ Âm vô cùng θ Phần tử không . Chuẩn  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Trong đó phần lớn các công trình nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình toán tử loại hai x + Ax = f với toán tử A đơn điệu, liên tục Lipschitz tác dụng trong không gian Banach tùy ý X. Phương pháp này sử dụng quá trình lặp, thông qua một số hữu hạn các bước theo tham số ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co. Trong các bài toán cụ thể thì các yếu tố đã biết không thuận lợi cho việc tìm nghiệm chính xác, nên nhiều công trình tập trung nghiên cứu tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử loại hai. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của phương pháp nói trên vào việc giải gần đúng phương trình toán tử loại hai và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh chúng tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L 2 [a;b] ”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai và ứng dụng của phương pháp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian L 2 [a;b] . - Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L 2 [a;b] . 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp thác triển theo tham số và ứng dụng để giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L 2 [a;b] . 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên lý ánh xạ co 1.1.1. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1. (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K = R hoặc K = C) cùng với một ánh xạ X → R, được gọi là chuẩn và ký hiệu là . thỏa mãn các tiên đề sau: 1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) αx = |α| x; 3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y. Số x gọi là chuẩn của vector x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm {x n } của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu: lim n→∞ x n − x = 0. 3 4 Ký hiệu lim n→∞ x n = x hay x n → x (n → ∞). Định nghĩa 1.1.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {x n } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu: lim m,n→∞ x n − x m  = 0. Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là x n − x m  → 0 (n, m → ∞) kéo theo sự tồn tại x 0 ∈ X sao cho x n → x 0 . Thì X được gọi là không gian đủ. 1.1.2. Không gian Banach Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X được gọi là gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Ví dụ 1.1.1. Xét không gian L 2 [a;b] =  f : [a; b] → R| b  a |f (t)| 2 dt < ∞  , f là hàm đo được, xác định trên [a; b]. Đặt f =  b  a |f (t)| 2 dt  1 2 . Khi đó L 2 [a;b] là không gian Banach. Thật vậy, - L 2 [a;b] là một không gian định chuẩn 1) ∀f ∈ L 2 [a;b] , f =  b  a |f (t)| 2 dt  1 2 ≥ 0, f = 0 ⇔ |f (t)| 2 = 0 h. k. n ⇔ f (t) = 0 h. k. n trên đoạn [a; b]. 2) ∀f ∈ L 2 [a;b] ,∀α ∈ R ta có: αf =  b  a |αf (t)| 2 dt  1 2 = |α|  b  a |f (t)| 2 dt  1 2 = |α| f. 3) ∀f, g ∈ L 2 [a;b] ta có: f + g =  b  a |f (t) + g (t)| 2 dt  1 2 ≤  b  a |f (t)| 2 dt  1 2 +  b  a |g (t)| 2 dt  1 2 Suy ra f + g ≤ f + g. - L 2 [a;b] là một không gian đủ Giả sử {f n } là một dãy cơ bản trong L 2 [a;b] tức là f n − f m  → 0 khi n, m → ∞. Ta 5 chọn từ {f n } một dãy con {f n k } hội tụ hầu khắp nơi về một hàm f nào đó. Vì {f n } là dãy cơ bản, nên khi ta cố định ε > 0 bất kì đối với mọi k và l đủ lớn sẽ có: b  a |f n k (t) − f n l (t)| 2 dt < ε. Chuyển qua giới hạn khi l → ∞ trong bất đẳng thức trên ta nhận được: b  a |f n k (t) − f (t)| 2 dt < ε. Từ đó suy ra f ∈ L 2 [a;b] và f n k → f . Vì dãy cơ bản chứa một dãy con hội tụ thì cả dãy hội tụ về giới hạn ấy. Vậy L 2 [a;b] cùng với chuẩn f =  b  a |f (t)| 2 dt  1 2 là một không gian Banach. Ví dụ 1.1.2. Xét không gian l p =  x = {x i } | ∞  i=1 |x i | p < ∞  với 1 ≤ p < ∞. Khi đó l p cùng với chuẩn được định nghĩa bởi x =  ∞  i=1 |x i | p  1 p trong l p là một không gian Banach. Thật vậy, l p là một không gian vector với phép cộng các dãy số thực và phép nhân dãy số với một số định nghĩa như sau: x = (x 1 , x 2 , , x n , ) ; y = (y 1 , y 2 , , y n , ) ∈ l p , x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n , ) , αx = (αx 1 , αx 2 , , αx n , ) . Từ bất đẳng thức Minkowski’s và đẳng thức: ∞  i=1 |x i | p < ∞, ∞  i=1 |y i | p < ∞, Ta có: ∞  i=1 |x i + y i | p ≤ ∞  i=1 |x i | p + ∞  i=1 |y i | p . Điều này cho thấy: x + y ∈ l p . Từ đẳng thức ∞  i=1 |αx i | p = |α| p ∞  i=1 |x i | p < ∞ với mọi số α, ta suy ra αx ∈ l p . Dễ dàng thử lại các tiên đề của không gian vector. Ta đi kiểm tra các tiên đề của chuẩn, với chuẩn được định nghĩa bởi: x =  ∞  i=1 |x i | p  1 p trong l p . Rõ ràng là x ≥ 0, ∀x ∈ l p . x = 0 ⇔ |x i | p = 0 ∀i ⇔ x i = 0 ∀i ⇔ x = θ. [...]... viết phương trình (1.22) về dạng x + λAx = f với toán tử b K (x, t) F (u (t)) dt với mọi x ∈ [a; b] (Au) (x) = a Toán tử A : L2 → L2 đơn điệu nếu với mọi u (t), v (t) ∈ L2 ta có: [a;b] [a;b] [a;b] b b a a Au − Av, u − v = K (x, t) [F (u (t)) − F (v (t))] dt [u (x) − v (x)] dx ≥ 0 Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2 [a;b] Trong không gian. .. nghĩa 1.4.1 Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz có dạng: x + λAx = f , (1.7) trong đó A là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz từ không gian định chuẩn X vào chính nó, f là phần tử cho trước và f ∈ X, λ là tham số và λ ∈ K (K = R hoặc K = C) Nếu A là toán tử tuyến tính (phi tuyến) thì phương trình (1.7) gọi là phương trình tuyến tính (phi tuyến) loại hai với toán tử đơn điệu,... các toán tử Fk , k = 1, , N − 1 31 được xác định trên toàn không gian và liên tục Lipschitz với hằng số L = 1 Do đó −1 −1 −1 toán tử ε0 AF1 F2 FN −1 trong phương trình (2.11) sẽ là toán tử co với hệ số co q = ε0 L < 1 Vì vậy toán tử FN là toán tử co từ không gian Banach X vào chính nó Do đó theo nguyên lý ánh xạ co phương trình (2.11) có nghiệm duy nhất w với mỗi phần tử cho trước f ∈ X Như vậy phương. .. sự tồn tại nghiệm) Giả sử A là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz tác dụng trong không gian Banach X Khi đó phương trình toán tử loại hai (2.1) có nghiệm duy nhất với mỗi phần tử cho trước, tùy ý f ∈ X Chứng minh Theo giả thiết toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L > 0 1 Ta cố định số tự nhiên N sao cho N > L và đặt ε0 = Phương trình toán tử loại N hai có thể viết dưới dạng sau đây:... phương trình (2.9) cũng giải được duy nhất với phần tử tùy ý f ∈ X Nhận xét 2.2 Tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) là hệ quả trực tiếp từ tính đơn điệu của toán tử A Thật vậy, từ định nghĩa 2.1.1 cho bất kỳ hai nghiệm x1 , x2 của phương trình (2.1) ta có: x1 − x2 ≤ x1 − x2 + Ax1 − Ax2 = f − f = 0 Khi đó ta có: x1 = x2 2.2 Giải xấp xỉ phương trình toán tử loại hai bằng phương pháp thác triển theo. .. f , nghĩa là trong trường hợp này toán tử I + A có toán tử ngược Định lý 1.4.3 (Định lý đảo của định lý 1.4.2 Nếu phương trình x+Ax = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 thì phương trình x+Ax = f có nghiệm với mọi f 21 1.4.2 Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai Định nghĩa 1.4.2 (Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai) Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai có dạng:... Banach X xét một họ các phương trình toán tử: x + εAx = f , 0 ε 1 Với ε = 0 ta có phương trình thường x = f Với ε = 1 ta có phương trình toán tử loại hai x + Ax = f Nếu toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L > 0 thì có thể chỉ ra ε0 1 sao cho ε0 L < 1 bằng cách cố định số tụ nhiên N sao cho N > L và đặt ε0 = Khi N đó phương trình x + εAx = f xác định một toán tử co ε0 A Thật vậy, do... − A (y), và phương trình x + T (x) = f − A (θ) là tương đương với phương trình x + A (x) = f Ngoài ra, toán tử T là đơn điệu và T thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L > 0 Cuối cùng ta lấy f − A (θ) thay cho f Định nghĩa 2.1.1 (Toán tử đơn điệu trong không gian Banach) Toán tử A tác dụng trong không gian Banach X được gọi là đơn điệu nếu đối với các phần tử x1 , x2 ∈ X và đối với số ε > 0 tùy... biến (2.10) phương trình (2.1) có dạng: −1 −1 −1 w + ε0 AF1 F2 FN −1 w ≡ FN w = f (2.11) −1 −1 −1 Ta sẽ chứng minh toán tử ε0 AF1 F2 FN −1 là toán tử co với hệ số co q = ε0 L < 1 Ta có toán tử ε0 A là toán tử co, do đó với y tùy ý thuộc X phương trình F1 x ≡ −1 x + ε0 Ax = y có nghiệm duy nhất Vì vậy toán tử F1 và F2 xác định tại tất cả các −1 điểm của không gian Banach X Ngoài ra toán tử F1 thỏa mãn... chứa trong D (A) và xn → x∗ với tốc độ: O (n − C + 1)−1/2 = O n−1/2 Nếu A là toán tử tuyến tính ta có các tích chất sau: Định lý 1.4.2 Cho A là toán tử hoàn toàn liên tục từ không gian Banach E vào chính nó Nếu phương trình x + Ax = f giải được với f tùy ý thì phương trình x + Ax = 0 không có nghiệm khác với nghiệm tầm thường Hệ quả 1.3 Nếu phương trình x + Ax = f giải được với f tùy ý thì phương trình . Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L 2 [a;b] ”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương. . . . . . 21 1.4.3. Phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai . . . . . . . 24 2 Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L 2 [a;b] 26 ii iii 2.1 giải phương trình toán tử loại hai và ứng dụng của phương pháp. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu,

Ngày đăng: 21/07/2015, 16:22

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Mở đầu

  • Nội dung

  • Một số kiến thức chuẩn bị

    • Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên lý ánh xạ co

      • Không gian định chuẩn

      • Không gian Banach

      • Không gian Hilbert

      • Nguyên lý ánh xạ co

    • Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Banach

    • Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert, L[a;b]2

    • Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz

      • Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz

      • Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai

      • Phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai

  • Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L[a;b]2

    • Định lý về sự tồn tại nghiệm

    • Giải xấp xỉ phương trình toán tử loại hai bằng phương pháp thác triển theo tham số

      • Hai bước theo tham số (N=2)

      • Ba bước theo tham số (N=3)

    • Ước lượng tốc độ hội tụ

  • Ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L[a;b]2

    • Phương trình tích phân Fredholm loại hai trong không gian L[a;b]2

      • Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai

      • Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai

    • Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai

      • Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy biến

      • Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch không suy biến

      • Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến

  • Kết luận

  • Tài liệu tham khảo

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan