BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ———————————– NGUYỄN VĂN XÁ NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ VÀ ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ———————————– NGUYỄN VĂN XÁ NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ VÀ ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN QUANG HUY Hà Nội - 2013 Lời cảm ơn Tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các cá nhân và các tập thể, trong đó có Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Trường Trung học Phổ thông Yên Phong số 2 (huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh). Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS. TS. Nguyễn Quang Huy người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Xá Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung của luận văn này không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Xá Danh mục kí hiệu R : Trường số thực N = {1, 2, , n, } : Tập hợp tất cả các số nguyên dương E : Không gian Banach trên trường số thực E ∗ : Không gian đối ngẫu (liên hợp) của không gian Banach E B X : Hình cầu đơn vị đóng trong không gian X có tâm tại gốc int A, cl A, bd A : Lần lượt là phần trong, bao đóng, biên của tập A u Ω −→ x: Nghĩa là u → x và u, x ∈ Ω x → a + hoặc x ↓ a: Nghĩa là x → a và x > a, với x, a ∈ R x → a − hoặc x ↑ a: Nghĩa là x → a và x < a, với x, a ∈ R x ∗ k w ∗ −→ x ∗ : Dãy {x ∗ k } hội tụ theo tôpô yếu* tới phần tử x ∗ f : X → Y : Ánh xạ đơn trị f từ tập X đến tập Y F : X ⇒ Y : Ánh xạ đa trị F từ tập X đến tập Y : Kết thúc chứng minh Mục lục Danh mục kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. Một số kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến . . . . . . . 9 1.2. Các nguyên lí cực trị . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 2. ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI . 38 2.1. Mô hình không lồi của kinh tế phúc lợi . . . . . 38 2.2. Định lí phúc lợi tổng quát thứ hai . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Mô hình cân bằng Walras cổ điển của kinh tế phúc lợi và mở rộng của nó từ lâu đã được công nhận như là một phần quan trọng của lí thuyết kinh tế và các ứng dụng. Các khái niệm tối ưu Pareto và những biến thể của nó đóng một vai trò quan trọng cho việc nghiên cứu về cân bằng và trợ giúp việc đưa ra các quyết định tốt nhất đối với các nền kinh tế cạnh tranh. Một cách tiếp cận cổ điển để nghiên cứu tối ưu Pareto trong các mô hình kinh tế với dữ liệu trơn là đưa về các bài toán quen thuộc của quy hoạch toán học và sử dụng các điều kiện cần tối ưu bậc nhất với các nhân tử Lagrange. Theo cách này, các kết quả quan trọng đạt được trong thập niên 30, 40 của thế kỉ trước chỉ ra rằng biên của các ước lượng thay thế đối với tiêu dùng và sản xuất là bình đẳng với nhau tại bất kì phân bổ tối ưu Pareto của tài nguyên; xem [14, 21, 12]. Đầu những năm 1950, Arrow [4] và Debreu [8] đạt được bước tiến quan trọng trong lí thuyết kinh tế học phúc lợi với những mô hình kinh tế có thể không lồi trên các dữ liệu lồi. Dựa trên các định lí tách cổ điển cho tập lồi, Arrow, Debreu và những người theo sau đã phát triển thành một lí thuyết đẹp trong toán học; đặc biệt là các điều kiện cần và đủ cho phân bổ tối ưu Pareto, đồng thời chỉ ra rằng mỗi phân bổ như vậy dẫn đến một trạng thái cân bằng trong mô hình kinh tế lồi. Một kết quả 6 quan trọng của lí thuyết này được gọi là định lí cơ bản thứ hai của kinh tế phúc lợi nói rằng bất kì phân bổ tối ưu Pareto đều có thể gắn với một vector giá khác không mà ở đó mỗi người tiêu dùng giảm thiểu chi phí của mình và mỗi công ty tối đa hóa lợi nhuận của họ; xem [9]. Tính lồi của dữ liệu là một đòi hỏi căn bản trong mô hình Arrow-Debreu. Lưu ý rằng các lí thuyết kinh tế của Arrow-Debreu và các kết quả toán học có liên quan đã đóng một vai trò cơ bản trong sự phát triển của giải tích lồi. Chúng ta biết rằng các giả thiết lồi thường là khó đạt được đối với nhiều ứng dụng quan trọng. Đặc biệt, những giả thiết này thường không được thỏa mãn với sự gia tăng theo quy mô trong lĩnh vực sản xuất đã được chỉ ra trong các tài liệu kinh tế. Trong nghiên cứu tiên phong của Guesnerie [11], một phiên bản tổng quát của định lí phúc lợi thứ hai đã được thiết lập theo dạng điều kiện cần cấp một cho phân bổ tối ưu Pareto đối với mô hình kinh tế không lồi. Thay vì giả thiết tính lồi cho các tập sản lượng và ưu đãi ban đầu, Guesnerie chỉ đòi hỏi tính lồi đối với các xấp xỉ tiếp tuyến địa phương của chúng và sau đó sử dụng định lí tách cổ điển cho các nón lồi. Cách tiếp cận này được triển khai dựa trên khái niệm nón chuyển vị phần trong của Dubovitskii và Milyutin [10] trong lí thuyết tối ưu hóa tổng quát. Cách tiếp cận của Guesnerie để nghiên cứu tối ưu Pareto trong mô hình kinh tế không lồi sau đó đã được mở rộng và phát triển trong nhiều ấn phẩm khoa học với không gian hàng hóa cả hữu hạn chiều và vô hạn chiều; xem, chẳng hạn, [5, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó. Hầu 7 hết các ấn phẩm này sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến của Clarke [6] mà như ta đã biết nó luôn là một nón lồi, và do đó ta có thể xử lí bằng cách sử dụng sự tách lồi cổ điển. Với cách tiếp cận này, ta có biên giá là một phần tử nằm trong nón pháp tuyến Clarke. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp nón này có thể là quá lớn đối với các mô hình không lồi như đã được chỉ ra trong [12]. Trong bài báo vừa nêu, Khan [12] đã đạt được một phiên bản đầy đủ hơn của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát cho nền kinh tế không lồi với không gian hàng hóa hữu hạn chiều. Trong phiên bản này, biên giá là một phần tử của nón pháp tuyến không lồi Mordukhovich [16] mà luôn chứa trong nón pháp tuyến Clarke và có thể nhỏ hơn thực sự trong nhiều trường hợp không lồi điển hình. Cách tiếp cận của Khan không sử dụng trực tiếp định lí tách lồi cổ điển nhưng đã được biến đổi đưa về điều kiện cần tối ưu trong quy hoạch không trơn do Mordukhovich xây dựng trong [17]. Kết quả tương tự được thiết lập ở [17] với các mô hình kinh tế khác bằng cách sử dụng một chứng minh trực tiếp các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán cực đại hóa tương ứng. Đề tài Nguyên lí cực trị và áp dụng trong kinh tế phúc lợi nhằm nghiên cứu về tối ưu Pareto trong các mô hình kinh tế không lồi trên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng mà có thể được xem như là một sự thống nhất của cả hai cách tiếp cận đã được thảo luận ở trên. 8 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các dạng khác nhau của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát trên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lí cực trị, áp dụng nguyên lí cực trị để đưa ra dạng xấp xỉ và dạng chính xác của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lí cực trị trong giải tích biến phân và ứng dụng của nó trong mô hình kinh tế phúc lợi có nền kinh tế không lồi với không gian hàng hóa vô hạn chiều. 5. Phương pháp nghiêm cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích, giải tích đa trị, giải tích biến phân và lí thuyết tối ưu. 6. Đóng góp của đề tài Trình bày các kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến và nguyên lí cực trị; trình bày các phiên bản của định lí phúc lợi tổng quát thứ hai cho phân bổ tối ưu Pareto, phân bổ tối ưu Pareto yếu, và phân bổ tối ưu Pareto mạnh của kinh tế phúc lợi trên cơ sở các nguyên lí cực trị. [...]... mãn nguyên lí cực trị chính xác (nguyên ¯ lí cực trị giới hạn) nếu có các pháp tuyến cơ sở x∗ ∈ N (¯; Ωi ), i = 1, , n, x i (1.15) và (1.12), (1.13) được thỏa mãn Ta nói các phiên bản tương ứng của nguyên lí cực trị thỏa mãn trên E nếu nó thỏa mãn với mọi hệ thống cực trị {Ω1 , , Ωn , x} trong E, ở ¯ đó tất cả các tập Ωi là đóng địa phương tại điểm x ¯ Do N (x; Ω) + εBE∗ ⊂ Nε (x; Ω) nên nguyên lí ε− cực. .. ∩ Ω2 , hay x∗ , x2 − ε x − x2 ≤ x∗ , x ≤ x∗ , x1 + ε x − x1 , ∀x ∈ Ω1 ∩ Ω2 Như vậy, cả phiên bản ε− cực trị và phiên bản cực trị xấp xỉ đều cung cấp một tách gần đúng các tập lồi Ω1 , Ω2 gần x: Nếu nguyên lí ε− cực trị ¯ hoặc nguyên lí cực trị xấp xỉ được giữ lại với hệ thống cực trị {Ω1 , Ω2 , x} ¯ và Ω1 , Ω2 là các tập lồi thì ∀ε > 0, ∃xi ∈ Ωi , xi − x ≤ ε, i = 1, 2, ∃x∗ ∈ E∗ , x∗ = ¯ x∗ , x2 − ε... k → ∞ k 30 1.2 Các nguyên lí cực trị Phần đầu mục này trình bày khái niệm điểm cực trị địa phương và các nguyên lí cực trị Định nghĩa 1.2.1 Cho Ω1 , , Ωn (n ≥ 2) là các tập con khác rỗng của một không gian Banach E và giả sử x là một điểm chung của các tập này Chúng ta nói ¯ rằng x là một điểm cực trị địa phương của hệ thống tập {Ω1 , , Ωn } ¯ nếu có n dãy {aik } ⊂ E, i = 1, , n, và có một lân cận U... điểm x ¯ Do N (x; Ω) + εBE∗ ⊂ Nε (x; Ω) nên nguyên lí ε− cực trị có thể được suy ra từ nguyên lí cực trị xấp xỉ với mỗi hệ thống cực trị bất kì trong không gian Banach E Xem xét hai phiên bản mờ (i) và (ii) của nguyên lí cực trị cho trường hợp với hai tập Ω1 , Ω2 , ta có thể quy chúng về: Với mọi ε > 0 tồn tại 1 xi ∈ Ωi ∩ (¯ + εBE ), i = 1, 2, và tồn tại x∗ ∈ E∗ , x∗ = sao cho, x 2 tương ứng, x∗ ∈ Nε... (vi) Áp dụng (v) với lưu ý rằng khi Ω là tập lồi trong E thì Ω là epi-Lipschitz khi và chỉ khi int Ω = ∅ Cũng có thể chứng minh (vi) bằng cách áp dụng Định lí Tách cho hai tập int Ω và {¯} x (vii) Xem, chẳng hạn [18] Từ (1.3) và (1.4) ta thấy rằng, với mọi x ∈ int Ω trong không gian Banach thực E thì N (x; Ω) = N (x; Ω) = {0} Nói cách khác, nếu Ω là tập mở trong E thì N (x; Ω) = N (x; Ω) = {0} và Nε... x} thỏa mãn nguyên lí ε− cực trị nếu với mọi ¯ ε > 0 tồn tại xi ∈ Ωi ∩ (¯ + εBE ) và x∗ ∈ E∗ (i = 1, , n) sao cho x i x∗ ∈ Nε (xi ; Ωi ), i = 1, , n, i (1.11) x∗ + + x∗ = 0, 1 n (1.12) x∗ + + x∗ = 1 1 n (1.13) (ii) {Ω1 , , Ωn , x} thỏa mãn nguyên lí cực trị xấp xỉ nếu với ¯ mọi ε > 0 tồn tại xi ∈ Ωi ∩ (¯ + εBE ) và x∗ ∈ E∗ (i = 1, , n) sao x i cho x∗ ∈ N (xi ; Ωi ) + εBE∗ , i = 1, , n, i và (1.12),...Chương 1 NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ 1.1 Một số kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến Cho E là một không gian Banach Tập K ⊂ E được gọi là một nón trong E nếu với mọi x ∈ K, mọi số λ > 0, ta đều có λx ∈ K Định nghĩa 1.1.1 E∗ Giới hạn trên Painlevé-Kuratowski Cho ánh xạ đa trị F : E của ánh xạ đa trị F đối với cấu trúc tôpô sinh bởi chuẩn trong E và tôpô yếu* trong E∗ được xác định bởi w∗ Limsup... 1.1.3 ta thấy, với mỗi ε ≥ 0, x ∈ Ω ⊂ E, U là một lân cận của x trong E thì Nε (x; Ω) = Nε (x; Ω ∩ U ) = Nε (x; cl Ω), Nε (x; Ω) là tập lồi trong E∗ , N (x; Ω) ⊂ N (x; clΩ) Nhận xét rằng cả nón tiền pháp tuyến N (.; Ω) và nón pháp tuyến N (.; Ω) đều bất biến đối với các chuẩn tương đương trên E, trong khi tập các ε− pháp tuyến lại phụ thuộc vào chuẩn cho trước trên E với ε > 0 Giả sử trên E trang bị hai... sao cho ¯ n aik → 0 khi k → ∞ và (Ωi − aik ) ∩ U = ∅ cho tất cả các k ∈ N đủ i=1 lớn Khi đó ta bảo {Ω1 , , Ωn , x} là một hệ thống cực trị trong E Trong trường hợp n = 2, tính cực trị địa phương của {Ω1 , Ω2 , x} ¯ tương đương với mô tả sau: Tồn tại một lân cận U của x sao cho với ¯ bất kì ε > 0 đều tìm thấy a ∈ εBE để (Ω1 − a) ∩ Ω2 ∩ U = ∅ Thật vậy, giả sử x ∈ Ω1 ∩ Ω2 và tồn tại một lân cận U của x... tại ak ∈ k BE , và xét dãy {˜k } ⊂ E, ak = 0, a ˜ k ∈ N, thì ak → 0, ak → 0 khi k → ∞, và (Ω1 − ak ) ∩ (Ω2 − ak ) ∩ U = ˜ ˜ (Ω1 − a) ∩ Ω2 ∩ U = ∅, ∀k ∈ N đủ lớn Theo định nghĩa suy ra x là một ¯ điểm cực trị địa phương của {Ω1 , Ω2 } Ngược lại, nếu x là một điểm cực ¯ trị địa phương của {Ω1 , Ω2 } thì tồn tại lân cận U của x và tồn tại các ¯ dãy {ak } ⊂ E, {˜k } ⊂ E, sao cho ak → 0 và ak → 0 khi k . bài toán cực đại hóa tương ứng. Đề tài Nguyên lí cực trị và áp dụng trong kinh tế phúc lợi nhằm nghiên cứu về tối ưu Pareto trong các mô hình kinh tế không lồi trên cơ sở nguyên lí cực trị trừu. của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát trên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lí cực trị, áp dụng nguyên lí cực trị để đưa ra dạng xấp xỉ và dạng chính. định lí phúc lợi thứ hai tổng quát. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lí cực trị trong giải tích biến phân và ứng dụng của nó trong mô hình kinh tế phúc lợi có nền kinh tế không