Đang tải... (xem toàn văn)
Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và công thức simpson tổng quát
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ỨNG DỤNG BÀI TẬP LỚN MÔN: LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và công thức Simpson tổng quát. Giáo viên hướng dẫn : TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện : Doãn Thu Anh Phạm Thị Quỳnh Ngân Lớp : Toán Tin 2 – K51 Hà Nội - 11/2009 Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ MỤC LỤC Lời mở đầu 3 Chương I Lý thuyết cơ sở 4 I. Giới thiệu tổng quan về Maple 4 II. Một số lệnh sử dụng trong chương trình 5 1. Vòng lặp while 5 2. Vòng lặp for 6 3. Câu điều kiện If 7 4. Lệnh Break 8 5. Lệnh Next 8 6. Sử dụng hàm Return, Error 9 Chương II Tính gần đúng tích phân xác định nhờ công thức hình thang và Simpson tổng quát 10 I. Giới thiệu chủ đề bài toán 10 1. Mô tả bài toán 10 2. Yêu cầu và mục đích của bài toán 11 3. Giới hạn việc thực hiện bài toán 11 II. Xây dựng công thức hình thang và Simpson tổng quát 12 1. Công thức hình thang và Simpson 12 2 Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ 2. Công thức hình thang và Simpson tổng quát 14 III. Chương trình minh họa 15 IV. Ví dụ cụ thể 18 Chương III Kết luận 35 I. Kết quả đã đạt được của đề tài 35 II. Tài liệu tham khảo 36 II. Kết luận 37 3 Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ LỜI MỞ ĐẦU Ngày nay việc áp dụng các công nghệ khoa học kỹ thuật vào lĩnh vực đời sống của con người ngày càng tăng và không ngừng can thiệp vào hầu hết các công việc trong đời sống. Công nghệ thông tin là một trong số những ngành khoa học đó. Đi đôi với sự phát triển của công nghệ chế tạo các thiết bị máy tính thì việc các sản phẩm phần mềm ứng dụng ra đời có tính chất quyết định đối với việc áp dụng ngành khoa học này. Trên thế giới cũng như ở Việt Nam, công nghệ thông tin đã trở thành một ngành công nghiệp mũi nhọn, đó là một ngành khoa học kỹ thuật không thể thiếu trong việc áp dụng vào các hoạt động xã hội như : quản lý, kinh tế, thông tin …Yêu cầu tin học hóa đang trở nên ngày một cấp thiết hơn đặc biệt là khi nước ta gia nhập WTO (Tổ Chức Thương M ại Thế Giới). Đối với các trường Đại hoc, Cao đẳng hay trung cấp và dạy nghề hay các trường học bậc phổ thông cũng như tiểu học thì việc áp dụng công nghệ thông tin là không thể thiếu. Maple là một chương trình hiện nay được sử dụng rất rộng rãi trong các bộ môn khoa học, nhất là sinh viên các trường Đại học. Sau khi tìm hiểu các thuật toán đã được học trong Giáo trình Giải tích số của thầ y GS Lê Trọng Vinh kết hợp với những kiến thức đã học tại nhà trường chúng em xin được chọn đề tài “ Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và công thức Simpson tổng quát ” với mong muốn có thể nắm bắt và có khả năng tiếp thu các môn khoa học khác phục vụ cho đào tạo ngành, đồng thời hiểu được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn kỹ thuật của các ngành kỹ thuật mà trường đang đào tạo. Chúng em xin chân thành cảm ơn PTS. Nguyễn Hữu Điển đã hướng dẫn và giúp đỡ chúng em trong quá trình thực hiện đề tài. Bên cạnh nhữ ng kiến thức mà thầy truyền thụ cho chúng em thì chính kinh nghiệm và phương pháp làm việc của thầy sẽ trở thành những bài học quý báu cho bản thân chúng em Hà Nội ngày 11 tháng 11 năm 2009 Sinh viên Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân 4 Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ SỞ I. Giới thiệu tổng quan về Maple: Maple là một hệ thống tính toán trên các biểu thức đại số và minh họa toán học mạnh mẽ. Từ khi ra đời đến nay Maple đã phát triển qua rất nhiều phiên bản, Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy được trên nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng một cách tối ưu cấu hình máy và có trình trợ giúp rất dễ sử dụng. Trải qua nhiều phiên bản, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh giúp tính toán toán học phổ thông và đại học. Ưu điểm đó làm cho nhiều người lựa chọn và sử dụng Maple cùng với các phần mềm toán học khác áp dụng trong dạy toán và các công việc tính toán đòi hỏi thực tiễn và sự phát triển của giáo dục. Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiểu động. Cũng giống như các hệ thố ng đại số máy tính, các biểu thức hình thức đuợc lưu trữ trong bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có huớng (DAG). Ngôn ngữ cho phép các biến có phạm vi nhất định (lexical scoping). Ngôn ngữ có hình thức lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh. Các tính năng cơ bản của Maple Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán họ c truyền thống. Có thể dễ dàng tạo ra những giao diện người dùng tùy chọn. Maple hỗ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị. Nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên thư viện số học NAG; trong Maple, các chương trình con NAG đã được mở rộng để cho phép độ chính xác ngẫu nhiên lớn. Cho phép triết xuất ra các định dạng khác nhau như LaTex, Word, HTML,… 5 Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ. Cũng có giao diện cho những ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, và Visual Basic). Cũng có một giao diện dành cho Excel. Đáp ứng nhu cầu tính toán của nhiều đối tuợng: nguời dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống và thực hiện đuợc hầu hết các phép toán cơ bản trong chương trình đại học và sau đại học. Là m ột công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các lớp học tương tác trực tiếp; là một trợ giáo hữu ích cho học sinh sinh viên trong việc tự học. II. Một số lệnh sử dụng trong chương trình 1. Vòng lặp while Cấu trúc cú pháp: While <điều kiện> do <dãy lệnh> od; Chức năng: Vòng lặp while cho phép lặp chuỗi các câu lệnh giữa do và od khi mà điều kiện condition vẫn còn đúng (tức là biểu thức điều kiện cho giá trị true). Điều kiện condition được kiểm tra ngay tại đầu mỗi vòng lặp, nếu nó thỏa mãn (giá trị của nó là đúng) thì các câu lệnh bên trong được thực hiện, sau đó lại tiếp tục kiểm tra điều kiệ n condition cho đến khi điều kiện không còn thỏa mãn nữa. Vòng lặp while thường được sử dụng khi số lần lặp một hay một chuỗi biểu thức là không xác định rõ, đồng thời ta muốn các biểu thức đó cần được lặp trong khi một điều kiện nào đó còn được thỏa mãn. Điều kiện condition trong vòng lặp phải là một biểu thức boolean, tức là giá trị của nó chỉ có thể là đúng hoặc sai, nếu không thì sẽ sinh ra lỗi. Chú ý rằng vòng lặp while- do- od; không bắt buộc phải nằm trên nhiều dòng lệnh nhưng người ta thường viết trên nhiều dòng để câu lệnh dễ đọc và dễ hiểu hơn. Vòng lặp While cho phép lặp chuỗi các câu lệnh nằm giữa do và od khi mà điều kiện vẫn còn đúng. 2. Vòng lặp for 6 Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ Cấu trúc cú pháp: for name from start by change to finish do statement sequence od; Hoặc dạng phát biểu khác: for name in expression do statement sequence od; Chức năng: Vòng lặp for được dùng để lặp một chuỗi các biểu thức được đặt giữa do và od, mỗi lần lặp tương ứng với một giá trị phân biệt của biến chỉ số name đứng sau từ khoá for. Ban đầu, giá trị start được gán cho biến chỉ số. Nếu giá trị của biến name nhỏ hơn hay bằng giá trị finish thì chuỗi l ệnh nằm giữa do và od được thực hiện, sau đó biến name được gán giá trị tiếp theo bằng cách cộng thêm vào nó giá trị change (name:=name+change). Sau đó, biến name được so sánh với finish để quyết định xem việc thực hiện chuỗi lệnh có được tiếp tục nữa không. Quá trình so sánh biến chỉ số name và thực hiện chuỗi lệnh được lặp liên tiếp cho đến khi giá tr ị của biến name lớn hơn giá trị finish. Giá trị cuối cùng của biến name sẽ là giá trị vượt quá finish đầu tiên. Chú ý, nếu các từ khóa from start hoặc by change bị bỏ qua thì mặc định from 1 và by 1 được dùng. Vòng lặp for- in- do- od thực hiện việc lặp với mỗi giá trị mà biến chỉ số name lấy từ biểu thức expression đ ã cho. Chẳng hạn vòng lặp này được sử dụng hiệu quả khi mà giá trị của biến name là một phần tử của một tập hợp hoặc danh sách. 7 Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ 3. Câu điều kiện If Cấu trúc cú pháp: if condition then statement sequence | elif condition then statement sequence | | else statement sequence | fi; Ghi chú: Các câu lệnh trong cặp dấu ngoặc đứng là các lệnh tuỳ chọn. Thí dụ: biểu thức | statement | cho biết rằng statement là một câu lệnh tuỳ chọn. Chức năng: Nếu muốn một dãy biểu thức được thực hiện khi điều kiện nào đó được thoả mãn và một dãy biểu thức khác được thực hiện nếu trái lại thì có thể dùng câu lệnh if- then- else- fi. Trong câu lệnh trên, nếu điều kiện condition là đúng thì chuỗi biểu thức đứng sau then được thực hiện, nếu trái lại thì điều kiện condition sau từ khoá elif s ẽ được kiểm tra, nếu nó đúng thì chuỗi lệnh tương ứng sau then được thực hiện, cứ tiếp tục cho đến khi các điều kiện condition đều không thỏa mãn, thì các biểu thức sau lệnh else được thực hiện. Lưu ý rằng cấu trúc lệnh (tuỳ chọn) elif then được lặp lại với số lần tuỳ ý. Từ khoá elif là dạng viết tắt c ủa else if. Các biểu thức điều kiện condition được sử dụng trong câu lệnh if phải được tạo thành từ các bất đẳng thức, các đẳng thức (các phép toán quan hệ), các biến số, các phép toán logic, các hàm có giá trị trả lại là giá trị logic. Nếu trái lại thì sẽ gây ra lỗi. 4. Lệnh Break Cấu trúc cú pháp: break Chức năng: 8 Trong lúc vòng lặp while/for đang được thực hiện, nếu lệnh break được gọi thì chương trình sẽ thoát ngay lập tức ra khỏi vòng lặp while/for tận trong Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ cùng nhất mà có chứa lệnh break (vì cũng có thể có nhiều vòng lặp while/for được lồng nhau). Một ví dụ khá điển hình trong việc sử dụng lệnh break là trong quá trình tìm kiếm search, rõ ràng là chúng ta sẽ muốn dừng quá trình quét lại ngay khi tìm thấy đối tượng cần tìm. Khi đó, ngay tại thời điểm tìm thấy, dùng lệnh break để nhảy ra khỏi vòng lặp tìm kiếm. Trước lệnh break thường có một câu lệ nh điều kiện if then Nếu lệnh break dùng ngoài các vòng lặp while/for thì sẽ sinh ra lỗi. Chú ý: break không phải là từ khoá (từ dành riêng cho Maple), vì vậy ta có thể gán giá trị cho biến có tên là break mà không hề sinh ra lỗi (mặc dù điều này là không nên). 5. Lệnh Next Cấu trúc cú pháp: next Chức năng: Cũng giống như câu lệnh break, lệnh next được thực hiện trong vòng lặp while/for với mục đích bỏ qua một số lệnh bên trong vòng lặp để nhảy qua lần lặp tiếp theo. Khi gặp lệnh next trong vòng lặp, chương trình bỏ qua các lệnh tiếp theo của vòng lặp tận cùng nhất chứa next cho đến khi gặp từ khoá xác định kết thúc vòng lặp (ở đây là lệnh od). Đến đây vòng lặp tiếp tục nhảy qua lần lặp tiếp theo (nếu có thể) bằng cách tăng chỉ số hoặc kiểm tra điều kiện để quyết định xem có nên thực hiện vòng lặp tiếp theo. Lệnh next sinh ra lỗi nếu nó được gọi ngoài vòng lặp while/for. Tương tự như break, next cũng không phải là từ khóa, do đó ta hoàn toàn có thể gán cho next một giá trị (xem nh ư next là một biến). Ngay trước lệnh next cũng thường là một câu lệnh điều kiện if then 6. Sử dụng các hàm RETURN, ERROR Hàm RETURN được sử dụng để cho giá trị hàm trước khi thoát khỏi chu trình. Nếu không có lệnh RETURN, chu trình tự động cho kết quả của phép tính cuối cùng trong chu trình. Hàm ERROR được sử dụng để đưa thông điệp lỗi ra màn hình từ bên trong chu trình. 9 Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ CHƯƠNG II: TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH NHỜ CÔNG THỨC HÌNH THANG VÀ CÔNG THỨC SIMPSON TỔNG QUÁT I. Giới thiệu chủ đề bài toán 1. Mô tả bài toán Xét tích phân xác định của một hàm số f(x) trong khoảng [a,b] I = (2.1) Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), thì I có thể tính một cách đơn giản thông qua công thức Newton-Leibniz: I = = F(a) - F(b) (2.2) Tuy nhiên trong thực tế thì chúng ta thường gặp trường hợp hàm f(x) không có nguyên hàm hoặc nguyên hàm quá phức tạp không thể xác định được. Trong những trường hợp này người ta phải tính gần đúng (2.1). Có nhiều cách để tính gần đúng tích phân, ví dụ có thể dùng ngay định nghĩa của tích phân I = (2.3) Nhưng tổng Darboux hội tụ rất chậm, do đó để đạt được độ chính xác cao đòi hỏi một khối lượng tính toán rất lớn. Nên trong thực tế người ta hầu như không dùng (2.3) để tính xấp xỉ tích phân. Trường hợp hàm số cho trong dạng bảng số, khái niệm nguyên hàm không còn ý nghĩa gì nữa. 10 Giáo viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân [...]... tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ Có được h nhỏ mà công thức tính toán không phức tạp, thuận lợi cho tính toán và thường sử dụng trong thực tế người ta đã xây dựng nên công thức hình thang và Simpson tổng quát dựa trên công thức hình thang và Simpson II Xây dựng công thức hình thang và Simpson tổng quát 1 Công thức. .. Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ IV Ví dụ cụ thể Ví dụ 1: Bài 3 trang 195 – Giáo trình Giải tích số - Lê Trọng Vinh Tính gần đúng tích phân I = dx bằng công thức hình thang tổng quát, lấy m = 10 Giải: Dùng Maple để tính gần đúng tích phân I = dx bằng công thức hình thang tổng quát rồi so sánh với... là công thức Simpson hay công thức Parabol 2 Công thức hình thang và công thức Simpson tổng quát Việc dùng công thức hình thang và Simpson tổng quát thay vì công thức hình thang và Simpson đơn thuần sẽ đem lại kết quả tính với độ chính xác cao hơn a) Công thức hình thang tổng quát Chia đoạn [a,b] thành m phần bằng nhau có độ dài h = bởi các điểm chia: ≡ a, Ký hiệu đoạn [ , = f( ) = a + ih i= ] i= và. .. 195 – Giáo trình Giải tích số - Lê Trọng Vinh dx Cho I = a) Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức Simpson tổng quát bằng cách chia [2,2 ; 3,4] thành 10 đoạn bằng nhau b) Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức hình thang tổng quát, lấy m = 11 Giải: a) Dùng Maple để tính gần đúng tích phân I= dx bằng công thức Simpson tổng quát rồi so sánh với đáp số trong Giáo trình Giải tích số Sau khi nhập... Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ Kết luận : Kết quả của ví dụ trên hòan toàn đúng với đáp án đã cho 23 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát ... Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ 28 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ Kết luận : Kết quả của ví dụ trên hòan toàn đúng với... Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ Kết luận : Kết quả của ví dụ trên hòan toàn đúng với đáp án đã cho 31 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát ... Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ Kết luận : Kết quả của ví dụ trên hòan toàn đúng với đáp án đã cho 34 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát ... trên hòan toàn đúng với đáp án đã cho 26 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ b) Dùng Maple để tính gần đúng tích phân I= dx bằng công thức hình thang tổng quát rồi so sánh với đáp số trong Giáo trình Giải tích số Sau khi... dụng công thức hình thang (2.8) cho từng = I= , [( + ) + 2( [ + + ] + + [ + + )] + + )] + ] h= ≈ [( + ) + 2( + (2.10) 14 Giáo viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện: Doãn Thu Anh – Phạm Thị Quỳnh Ngân Đề tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _ Công thức (2.10) được gọi là công thức hình thang tổng quát . Giải tích số - Lê Trọng Vinh Tính gần đúng tích phân I = dx bằng công thức hình thang tổng quát, lấy m = 10. Giải: Dùng Maple để tính gần đúng tích phân I = dx bằng công thức hình thang tổng. tài: Tính gần đúng tích phân xác định bằng công thức hình thang và Simpson tổng quát _________________________________________________________________________ 2. Công thức hình thang và Simpson. tính toán và thường sử dụng trong thực tế người ta đã xây dựng nên công thức hình thang và Simpson tổng quát dựa trên công thức hình thang và Simpson. II. Xây dựng công thức hình thang và