BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - ĐỖ MINH TRÍ VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - ĐỖ MINH TRÍ VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC Nghệ An - 2014 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minh họa. . . .4 1.2 Khái niệm chỉnh hóa các bài toá n đặt không chỉnh và ví dụ minh họa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Chương 2. Chỉnh hoá bài toán Cauchy không thuần nhất ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.2 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . .14 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 LỜI NÓI ĐẦU Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh, nên được rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Một trong những đặc trưng cơ bản của các bài toán này là tính không ổn định của nghiệm, tức là một sai số nhỏ trong dữ kiện đo đạc cũng có thể dẫn đến một sai lệch lớn về nghiệm của bài toán. Do đó, để giải quyết bài toán ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu về bài toán ngược, trên cơ sở bài báo "On regularization and error estimates fo r non-homogeneous backward Cauchy problem" của các tác giả M. Denche and A. Abdessemed đăng trên tạp chí Arab Journal of Mathematical Sciences năm 2012, chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Về phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số cho bài toán Cau chy không thuần nhất ngược thời gian". Mục đích của luận văn nhằm tìm hiểu phương pháp chỉnh hóa bài toán Cauchy không thuần nhất ngược thời gian  u t + Au = f, 0 < t < T u(T ) = g (BCP ) trong đó A là một toán tử dương, tự liên hợp không bị chặn trên không gian Hilbert H bằng bài toán  u t + Au = f α , 0 < t < T u(T ) = g α (ABCP ) 2 trong đó f α =  k≥1 e −λ k T αλ p k + e −λ k T f k ϕ k , g α =  k≥1 e −λ k T αλ p k + e −λ k T g k ϕ k , 0 < α < 1. Với mục đích như vậy, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có hai chương: Chương 1 nhằm mục đích trình bày một số kiến thức liên quan đến nội dung chương 2 như: khái niệm về bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ về bài toán đặt không chỉnh, khái niệm về chỉnh hóa các bài toán đặt không chỉnh và một số ví dụ minh họa. Chương 2 nhằm mục đích trình bày kết quả chỉnh hóa cũng như các đánh giá sai số của phương pháp cho bài toán Cauchy không thuần nhất trong bài báo [4]. Luận vă n được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơ n sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, quý thầy cô trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh, phòng tổ chức Trường Đại học Sài Gòn và đặc biệt là các anh chị học viên cao học khóa 20 Toán giải tích tại Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập. Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, năm 2014 Tác giả Đỗ Minh Trí 3 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minh họa Các kết quả trong phần này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [1]. 1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Xét ánh xạ d : X × X −→ R thỏa mãn các tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X. ii) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X. iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Khi đó d được gọi là một mêtric trên X và không gian (X, d) được gọi là một không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f trong đó A là ánh xạ đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y . Phần tử x 0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x 0 ) = f. 1.1.3 Nhận xét. Từ định nghĩa 1.1.2, tồn tại ánh xạ R : Y −→ X xác định bởi công thức f ∈ Y, R(f) = x ∈ X. Do đó, việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trình A(x) = f dựa vào dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạng phương trình x = R(f). 4 1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, d X ), (Y, d Y ) là hai không gian mêtric. Bài toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) ( hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bài toán ) nếu ∀f 1 , f 2 ∈ Y , ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho d Y (f 1 , f 2 ) ≤ δ(ε) thì d X (R(f 1 ), R(f 2 )) ≤ ε. 1.1.5 Định nghĩa. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian mêtric (X, Y ) nếu i) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X; ii) Nghiệm x đó là duy nhất; iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X , Y ). Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìm nghiệm đượ c gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn. 1.1.6 Ví dụ. 1) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I b  a K(t, s)ϕ(s)ds = f 0 (t), t ∈ [c, d], ở đây nghiệm là một hàm ϕ(s), vế phải f 0 (t) là một hàm số cho trước và hạch K(t, s) của tích phân cùng với ∂K ∂t được giả thiết là các hàm liên tục. Ta giả thiết ng hiệm ϕ(s) thuộc lớp các hàm liên tục trên [a, b] với metric ( còn được gọi là độ lệch ) giữa hai hàm ϕ 1 , ϕ 2 là d C[a,b] (ϕ 1 , ϕ 2 ) = max s∈[a,b] |ϕ 1 (s) −ϕ 2 (s)|. Mặt khác sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gia n L 2 [c, d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f 1 (t), f 2 (t) trong L 2 [c, d] được biểu thị bởi 5 d L 2 [c,d] (f 1 , f 2 ) =    d  c |f 1 (t) −f 2 (t)| 2 dt    1 2 . Giả sử phương trình có nghiệm là ϕ 0 (s). Khi đó với vế phải f 1 (t) = f 0 (t) + N b  a K(t, s) sin(ωs)ds, phương trình có nghiệm ϕ 1 (s) = ϕ 0 (s) + N sin(ωs). Với N bất kỳ và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f 0 , f 1 trong L 2 [c, d] d L 2 [c,d] (f 0 , f 1 ) = |N|    d  c [ b  a K(t, s) sin(ωs)ds] 2 dt    1 2 . có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt K max = max s∈[a,b],t∈[c,d] |K(t, s)|, ta tính được d L 2 [c,d] (f 0 , f 1 ) ≤ |N|    d  c [K max 1 ω cos(ωs)| b a ] 2 dt    1 2 ≤ |N|K max c 0 ω , ở đây c 0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tùy ý nhưng N ω lại nhỏ. Khi đó, d C[a,b] (ϕ 0 , ϕ 1 ) = max s∈[a,b] |ϕ 0 (s) −ϕ 1 (s)| = |N| 6 có thể lớn bất kỳ. Khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ 0 , ϕ 1 trong L 2 [c, d] cũng có thể lớn bất kỳ. Thật vậy, d L 2 [c,d] (ϕ 0 , ϕ 1 ) =    b  a |ϕ 0 (s) −ϕ 1 (s)| 2 ds    1 2 = |N|    b  a sin 2 (ωs)ds    1 2 = |N|  b −a 2 − 1 2ω sin(ω(b −a)) cos(ω(b + a)). Dễ dàng nhậ n thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho d L 2 [c,d] (f 0 , f 1 ) rất nhỏ nhưng vẫn cho kết quả d L 2 [c,d] (ϕ 0 , ϕ 1 ) rất lớn. Đây là bài toán không ổn định. 2)Xét chuỗi Fourier f 1 (t) = ∞  n=0 a n cos(nt), với hệ số (a 0 , a 1 , , a n , ) ∈ l 2 được cho xấp xỉ bởi c n = a n + ε n , n ≥ 1 và c 0 = a 0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng f 2 (t) = ∞  n=0 c n cos(nt), cũng có hệ số (c 0 , c 1 , , c n , ) ∈ l 2 . Và khoảng cách giữa chúng là ε 1 =  ∞  n=0 (c n − a n ) 2  1 2 = ε  ∞  n=1 1 n 2  1 2 = ε  π 2 6 . Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có thể lấy nhỏ tùy ý. Trong khi đó, f 2 (t) −f 1 (t) = ε ∞  n=1 1 n cos(nt) 7 có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ tại t = 0 chuỗi phân kỳ. Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f 1 và f 2 được xét trong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toá n tính tổng của chuỗi Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên nếu xét trong không gian L 2 [0, π], thì    π  0 [f 2 (t) −f 1 (t)] 2 dt    1 2 =    π  0 | ∞  n=0 (c n − a n ) cos(nt)| 2 dt    1 2 =  ∞  n=0 π 2 (c n − a n ) 2  1 2 = ε 1  π 2 . Như vậy,bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu a n cho xấp xỉ c n với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau không nhiều trong L 2 [0, π]. 3) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 = 0, u(x, 0) = f(x), ∂u ∂y    y=0 = ϕ(x), −∞ < x < ∞, ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f (x) = f 1 (x) ≡ 0 và ϕ(x) = ϕ 1 (x) = 1 a sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là u 1 (x, y) = 1 a 2 sin(ax)sh(ay), a > 0. Nếu lấy f(x) = f 2 (x) = ϕ(x) = ϕ 2 (x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là u 2 (x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét trong độ đo đều ta có d C (f 1 , f 2 ) = sup x |f 1 (x) −f 2 (x)| = 0 8 [...]... CHƯƠNG 2 CHỈNH HOÁ BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN 2.1 Giới thiệu bài toán Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế trong vật lý, bài toán ngược của phương trình truyền nhiệt và các bài toán Cauchy ngược thời gian đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu từ những năm 1960 (xem [6, 9]) Các bài toán trên không ổn định, một sai số nhỏ trong dữ kiện có thể dẫn đến một sai lệch... lệch lớn về nghiệm Chính vì vậy, để giải quyết bài toán, ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hoá Đối với các bài toán trên, nhiều phương pháp chỉnh hoá đã được đề xuất như: phương pháp chỉnh hóa Tikhonov ([9]), phương pháp tựa-đảo (quasi-reversibility) của Lattes và Lions ([7]), phương pháp tựa giá trị biên ([5, 3]),· · · Trong luận văn này, ta xét bài toán Cauchy không thuần nhất ngược thời gian có... 13 nữa, khi nghiệm của bài toán tồn tại, nó cũng không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán 2.2 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số Trong phần này, chúng ta sẽ chỉnh hóa bài toán Cauchy không thuần nhất ngược thời gian bởi bài toán ut + Au = fα , 0 < t < T (ABCP ) u(T ) = gα trong đó k≥1 e−λk T fk ϕk , αλp + e−λk T k k≥1 e−λk T gk ϕk αλp + e−λk T k fα = gα = và 0 < α < 1 2.2.1 Định... g trong đó A là một toán tử dương, tự liên hợp không bị chặn trên không gian Hilbert H với tích vô hướng , và chuẩn sao cho H có một cơ sở trực chuẩn gồm các hàm riêng {ϕk }k∈N∗ trong H tương ứng với dãy số dương tăng không bị chặn các giá trị riêng {λk }k∈N∗ của toán tử A Dữ kiện g ∈ H và f thuộc không gian L2 ((0, T ), H) Bài toán (BCP) đặt không chỉnh, nghiệm của bài toán không phải khi nào cũng... là : - Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minh họa - Trình bày khái niệm chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh và các ví dụ minh họa - Trình bày kết quả bài báo([4]) - Chứng minh chi tiết định lý 2.2.15, 2.2.16 mà trong bài báo ([4]) không chứng minh - Đề xuất và chứng minh định lý 2.2.7 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài toán đặt không chỉnh, ĐHQG Hà Nội [2] Đậu... khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ Trong khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm dC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y)−u2 (x, y)| = sup | x,y x,y 1 1 sin(ax)sh(ay)| = 2 sh(ay), a2 a với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không ổn định 1.2 Khái niệm chỉnh hóa các bài toán đặt không chỉnh và ví dụ minh họa 1.2.1 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f0 , với A là một toán tử từ không. .. với A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y , nằm trong một tập compact M của X và f0 ∈ Y Gọi x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình A(x) = f0 , nếu i) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi f ∈ Y : dY (f, f0... hiệu chỉnh của phương trình A(x) = f0 , ở đây α = α(fδ , δ) = α(δ) được gọi là tham số hiệu chỉnh Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa 1.2.1, nghiệm hiệu chỉnh ổn 9 định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bước i) Tìm toán tử hiệu chỉnh R(f, α) ii) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán về phần... thức (2.4) và đánh giá cận trên trong Định lý 2.2.4 ta có u1α (t) − u2α (t) 2 = k≥1 e−2λk t 2 p −λk T 2 (g1k − g2k ) (αλk e ) 1 ≤ 2 α T T log pα 2p g1 − g2 2 2.2.6 Nhận xét ([4]) Với bài toán Cauchy ngược thời gian (BCP), theo Định lý 2.2.4, nếu ta chọn f = 0 ta sẽ đạt được một sự mở rộng của phương pháp tựa biên (quasi-boundary method) đã được trình bày trong p các bài báo [3, 5] với đánh giá ổn định... và sai số δ Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương pháp hiệu chỉnh 1.2.3 Ví dụ 1)Tính giá trị z = df (t) dt trong mêtric C, khi f (t) cho xấp xỉ Đạo hàm z tính được dựa vào tỷ sai phân R(f, α) = f (t + α) − f (t) α Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ của nó là fδ (t) = f (t) + g(t), ở đây |g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó, R(fδ , α) = f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t) + α α Cho . cho Luận văn của mình là : " ;Về phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số cho bài toán Cau chy không thuần nhất ngược thời gian& quot;. Mục đích của luận văn nhằm tìm hiểu phương pháp chỉnh. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - ĐỖ MINH TRÍ VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA VÀ CÁC ĐÁNH GIÁ SAI SỐ CHO BÀI TOÁN CAUCHY KHÔNG THUẦN NHẤT NGƯỢC THỜI GIAN LUẬN. của bài toán tồn tại, nó cũng không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán. 2.2 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số Trong phần này, chúng ta sẽ chỉnh hóa bài toán Cauchy không thuần nhất