Giới hạn hàm một biến Giới hạn của phần toán đại cương ở đại học sẽ có thêm nhiều công cụ mạnh mẽ giúp ta giải toán nhanh hơn, tuy nhiên có nhiều bài toán khó nhận dạng và đòi hỏi kết hợp nhiều phương pháp. Giới hạn hàm số là chương cơ bản nhất, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững để dễ dàng học tốt các phần mới hơn đó là tích phân suy rộng, chuỗi số,… Trong tài liệu này, mình sẽ tổng hợp các phương pháp giải toán, các ví dụ, bài tập cơ bản và hướng dẫn chi tiết. Có thể trong tài liệu có nhiều phần sai sót, mong các bạn thông cảm. Mình sẽ tóm tắt phương pháp tính giới hạn mới mẻ đó là qui tắc L’Hospitale để áp dụng vào các bài toán giới hạn. Phần này sẽ học kĩ hơn ở phép tính vi phân. Mục lục 1 Giới hạn hữu hạn 2 2 Giới hạn một phía 2 3 Các qui tắc tính giới hạn 2 3.1 Các phép toán trên giới hạn 2 3.2 Định lí kẹp giữa 4 3.3 Giới hạn của hàm hợp 5 4 Các dạng vô định 5 5 Giới hạn các hàm số sơ cấp 6 5.1 Giới hạn hàm lượng giác 6 5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa: 7 5.3 Giới hạn của hàm số mũ 7 5.4 Giới hạn của hàm số Logarith 8 5.5 Dạng vô định 1 8 ¥ 5.6 Một số dạng vô định mũ: 9 0 0,¥ 0 6 Vô cùng bé và vô cùng lớn 9 6.1 Khái niệm vô cùng bé, vô cùng lớn 9 6.2 Vô cùng bé 10 6.2.1 So sánh các vô cùng bé 10 6.2.2 Các vô cùng bé tương đương 11 6.2.3 Nguyên lí thay vô cùng bé tương đương 11 6.2.4 Nguyên lí ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao 12 7 Hàm số liên tục 12 7.1 Định nghĩa hàm số liên tục 13 7.2 Phân loại điểm gián đoạn 15 7.2.1 Điểm gián đoạn khử được 15 7.2.2 Điểm gián đoạn loại 1 15 7.2.3 Điểm gián đoạn loại 2 16 8 Khử các dạng vô định. Qui tắc Lôpitan (L’Hospitale) 16 8.1 Dạng vô định 0/0 16 8.2 Dạng vô định 16 /¥¥ 8.3 Các dạng vô định khác 16 9 Bài tập cơ bản và lời giải 19 Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 1 1 Giới hạn hữu hạn Trong phần này, ta sẽ không xét cách tính giới hạn bằng định nghĩa.  Sự tồn tại của ( ) lim xx f x  0 và ( ) f x 0 là độc lập với nhau.  Sự tồn tại của ( ) lim xx f x  0 chỉ phụ thuộc vào () f x với những x khá gần x 0 () x ¹ 0  Nếu () () , f xgxx="¹a thì () () lim lim xa x f xg  = 0 x , với cac giới hạn trên đều tồn tại. Ví dụ: xét hàm số Ta có trong khi đó () if 2 . 1 if 2 xx gx x ì ¹ ï ï = í ï = ï î () 22 lim lim 2 xx gx x  == () 21g = 2 Giới hạn một phía Ví dụ: Cho hàm số . Tính các giới hạn: () () 2 2 1if 1 1if 10 if 0 ì ï -£ ï ï ï ï =+ -<£ í ï ï ï +> ï ï î xx fx x xx p 0 - 1. () ( ) ( ) 1 11 lim lim 1 lim 1 2 x xx fx x x - - - =-=-=- 2. () () ( 1 22 1 1 lim 1 l mm ii 1l x x x xxfx ++  -  = += += ) 2 3. () () () 22 2 00 0 lim lim lim + +  =+=+= xx x fx x xppp 4. () () () 0 22 00 lim 1 lim 1 1lim xxx xfx x  - - += +== Định lí: Hàm số () f x có giới hạn L tại x a= nếu và chỉ nếu các giới hạn một phía của nó tại đó cũng bằng L. Tức là: () () () lim lim lim xa xa xa f xL fx fxL +- = = = Ví dụ: Cho hàm số () 4if 4 82 if 4 xx fx xx ì ï -> ï = í ï -< ï î . Tính . () 4 lim x fx  Giải: Hàm số () f x có hai biểu thức khác nhau về hai phía của x=4 do đó để tính giới hạn ta cần tính các giới hạn một phía () lim x f x +4 và () lim x f x -4 . Sau đó áp dụng định lí trên Ta có: () () () ( ) 44 4 44 lim lim 4 lim 4 0 lim lim 8 2 0 xx x xx fx x x fx x + + + - - =-= -= =-= . Do () () () lim lim lim xx x fx fx fx + -  = 44 4 0= 3 Các qui tắc tính giới hạn 3.1 Các phép toán trên giới hạn Nếu lim ( ) ,lim ( ) xa xa f xL gxM   và k là một hằng số, m,n là các số nguyên thì Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 2 a. Phép cộng đại số:    ]lim[ xa f x  gx LM b. Phép nhân:   lim[ . ] xa f xgx  LM   c. Phép chia:  lim xa gx  fx L M  (nếu 0M  )  m m n n d. Lũy thừa: lim xa f xL    nếu n chẵn,  0L  nếu n lẻ 0L  e. Thứ tự: Nếu   f xgx thì LM     44 lim 2,lim 3 xx fx gx   Ví dụ 1: Giả sử rằng  tính các giới hạn sau:   a.   444 3 lim      lim lim 3 3 3 0 xxx gx gx     b.   444 lim )xg x x g x  lim .lim 4.( 3 12 xxx  c.     2 2 2 44 lim lim 3 9 xx gx gx         4 4 44 lim 3 lim 3 1lim lim121 x x xx gx gx fx fx        d.  Ví dụ 2: Cho a.  2 5 lim 3 2 x fx x     tìm   2 lim x f x     2 5 lim 3 2 x fx gx gx x      Giải: Đặt      25gx x f x Vậy ta có     222 2 lim lim lim 2 lim5 3.0 5 5 xxx x fx gx x       2 và   0 lim x f x x  2 fx x  tính   0 lim x f x  b. Cho 0x lim    2 0 lim 2 x fx gx gx x    Giải: Đặt  ó:Vậy ta c      , 2 fx f xxg x x  Do đó: x gx     2 000 000 lim fxlim .lim 0 lim .lim 0 xxx x x gx xgx    Ví dụ 3 c giới hạn: a. l im fx  xx x  : Tính cá   22 2 2 00 0 22 93 1 1 lim lim lim 6 93 93 xx x xx x x xx        Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 3 b.  44 22 lim 2 6 lim 2 6 18 xx xx xx     3.2 Định lí kẹp giữa Giả sử bất đ ới   Px   lim xa Px  vĐể tính giới hạn của hàm số chứa căn thức là một đa thức: - có nghĩa - Áp dụng:  Px      lim lim xa xa Px Px Pa   ẳng thức     f xgxhx thỏa mãn với mọi a (có thể x thuộc một khoảng chứa không thỏa mãn tại x a ). Khi đó:    lim lim lim  xa xa xa  f xhxL gxL T Ví dụ : a. Giả sử  3xux ính 22 3,xx .0   0 lim x ux  Giải: Ta có 22 33,xu xx   x 0 . Mặt khác: iới hạn   22 00 lim 3 lim 3 3 3 xx xx x     0 li m x u   b. Tính g 2 0 1 lim sin x x x  Giải: Ta có 1 1sin 1, 0x x  ác vế của bấ  . Nhân c t đẳng thức với x 2 >0 ta được: 22 1 sin 2 x xx x  . Vì    22 00 lim lim 0 xx xx    2 0 1 lim sin 0 x x x   Để tính giới hạn của hàm số chứa căn thức dạng   lim xa Px A Qx   với ột a 0: một lượng liên hợp :   ,Px Qxlà m đ thức và   ,Pa AQa - Nhân tử và mẫu với   Px A  - Đơn giản các đa thức giống nhau ở tử và mẫu, áp dụng phép thế. Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 4 Áp dụng: Tính giới hạn 2 0 1 lim sin x x x  Giải: Ta có 2 1 sin 1, 0x x  nên: 22 0 sin 11 sin x xx xx   ì  V 00 lim 0 lim 0 xx x   nên: 22 00 11 lim sin 0 lim sin 0 xx xx xx    ạn của hàm hợp Ví dụ: Vì 3.3 Giới h 2 2 2 lim 4 x x     và 2 4 2 11 lim sin lim sin 22 u x ux       4 Các dạng vô định Loại Ví dụ 0 0   0.   0  0 0 0 sin lim x x x   2 0 1 ln lim cot x x x  0 1 lim ln x x x   2 1 lim tan 2 x x x           cos2 2 lim tan x x x   0 lim x x x   Nếu  xa lim f xL thì    lim xa f xL   : Nếu  lim 0 xa fx   thì   lim 0 xa fx   (chỉ đúng duy nhất cho trường hợp này) Hệ quả Nếu và  0 lim o xx ux u     0 lim uu f uL   thì     lim o xx f ux L   Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 5 1 ¥ 1 lim 1 x x x ¥ æö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç èø 5 Giới hạn các hàm 5.1 Giới hạn hàm lượng giác số sơ cấp 0 sin lim 1 x x x   Mở rộng, nếu thì:  lim 0 o xx ux     sin lim 1   o xx ux ux Ví dụ 1: a) Vì 2 2 sin lim 0 lim x x  2 00 1 xx x   b) Vì 222 2 2 0 x x  0 0 sin sin lim 0 lim lim . 1.0 0 xx xxx x xx      c) Vì nên:  2 1 lim 2 0 x xx         22 2 2 2 . xx  22 11 sin 2 sin sin 2 2 lim lim lim . lim 2 3 1212 xx xx xx xx x xxxxxx         11 xx d) Vì  1 lim 1 0 x x   nên:       11 11 sin 1 sin 1 sin 1 11 lim lim lim .lim 12 1 11 1 x x x xx xxx x xx x          : Tính giới hạn 1.  Ví dụ 2 : 2 0 1cos lim x x x   2 1cos2 sin x Giải: Ta có 2 x   , áp dụng: 2 2 22 00 0 2sin sin 1cos 1 1 22 lim lim 2lim .1 22 2. 2 xx x xx x x xx            0 1cos lim x x x   2. Giải: Tương tự ta có: Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 6 2 00 0 2sin sin 1cos 1 22 li xx  m lim 2lim .sin 2. .0 0 22 2. 2 x xx xx x xx      Ta thừa nhận hai kết quả giới hạn trên mà không cần tính lại: 00 2 1cos 1 1cos *lim *lim 0 2 xx xx xx     5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa:  00xx xx 11 11 1 lim lim      n x x n Nếu thì:  0 lim 0   xx ux      0 li m 0 11 11 1 lim      xx ux ux ux n Ví dụ: Tính các giới hạn: 1.  n   xx ux 32 23 0 11 lim    x x x x Giải: 32 32 23 2 00 11 1111 lim li 1 . .1 133 xx xx xx x x      2. m 2 0x 1si lim xxn1 x   i:  2 00 1sin1 1sin1sin 1 1 lim lim . .1 sin 2 2 xx xx xx x xxxx     Giả  5 0 112 x 3. li m x x x    55 5 00 00 00 5 0 112 1 12 1111 lim lim lim lim 112 121 1 lim 2lim 2. 1 22 11216 lim 55 11 1 xx xx xx x 2 x xx xx xxx xx xx xx x                      Giải: x x 5.3 Giới hạn của hàm số mũ 00 11 *lim ln *lim 1 xx xx ae a xx     Nếu thì:  0 lim 0 xx ux   Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 7     00 11 *lim *lim 1 xx xx ux ux ae ux a ux     Ví h các giới hạn: 1. dụ: Tín 2 0 lim x x x ee x    2 Giải: 00x 1 lim lim 1 xx x x ee e e x    2. x x  2 cos x ex 2 0 li m x x  iải: 22 2 G 2 xx 222 00 00 cos lim lim lim lim 1 22 xx xx xx ex xx     5.4 Giới hạn của hàm số Logarith cos 1 1 cos 1 311 x e xe x  0 ln 1 lim 1 x x x    Nếu  li x thì: 0 m 0 x ux     0 ln 1 lim 1 xx ux ux    các giới hạn: 1. Ví dụ: Tính  0 ln 1 4 lim x x x  Giải:         00x ln 1 4 ln 1 4 lim lim 4 . 4 4 x x x      2. x x   0 ln 1 sin lim x x x   Giải:  00 00 ln 1 sin x xx  ln(1 sin ) sin ln(1 sin ) sin lim lim . lim .lim 1 sin sin xx xx xx x x xxx      3.   2 0 ln cos lim ln 1 x x x   Giải:        2 2 2 0 ln cos lim 1x 1cos 11 . . 1.1. 1 2 2 ln 1 1 x x x x x    co s x       5.5 g vô định Nếu và thì:  1 ¥ Dạn  0 lim 1 xx ux   () 0 lim xx vx  =¥ Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 8 () () () () 0 0 1lim . lim xx xx u vx vx x eux ộự - ờỳ ởỷ = Vớ d: Tớnh gii hn: 1 sin 1tan x 1. 0 1s in x li m x x Gii: Ta cú dng vụ nh , ỏp dng cụng thc: 1 Ơ 0 lim 1 1tan 1sin 1 1 sin 1t s . 0 in 1s in x x x an lim x e x x x x Ta cú: 000 1 1 1tan an sin cos lim 1 lim 0 1 sin .sin 1 si xxx xxx x x xx x 1 t . lim sin 1 sinx n 1 sin 0 0 1tan lim x Vy 1 1sin x x e x 2. 1 23 lim 21 x x x Ơ ỗ ữ ỗ ốứ + x ổử + ữ ỗ ữ ng nờn: + Gii: Ta cú d vụ nh 1 Ơ () ( ) 123 m 23 lim 21 x x x + Ơ ổử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ + 21 li 1 . 1 lim 1 21 21 x x xx x x x x ee ee Ơ Ơ ổử + + ữ ỗ -+ ữ ỗ ữ ữ ỗ ốứ + + + ữ == == 5.6 dng vụ nh m: i vi dng ny ta ỏp dng cụng thc: 00 0,Ơ Mt s () () () () 0 0 lim .ln lim xx vx vx u x x x eux = Sau ú ỏp dng cỏc gii hn ó bit. 6 g õy l khỏi nim quan trng giỳp ta gii quyt cỏc bi toỏn gii hn phc tp 6.1 Khỏi nim vụ cựng bộ, vụ cựng ln Vụ cựng bộ v vụ cựn ln nu () 0 lim 0 xx x = Hm s () x c gi l ụ c nv ự g bộ khi 0 x x () Hm s () x c gi l vụ cựng ln khi nu 0 lim xx 0 x x x =+Ơ Nghch o ca mt vụ cựng bộ khỏc 0 l mt vụ cựng ln v nghch o ca mt vụ cựng ln l mt vụ cựng bộ. Vớ d 1. sin x l mt vụ cựng bộ khi vỡ 0 lim sin 0 x x = 0x Phúng to hn hoc dựng Foxit Reader hin th tt cụng thc 9 2. ln cos x là một vô cùng bé khi vì 0x  0x 3. () arctan 2x + là một vô cùng bé khi 2x - vì lim arctan 0x = lim ln cos 0x = 2x- 4. 1 2 x là một vô cùng lớn khi 0x  vì 2 0x x  1 lim =+¥ 1 5. sin x là một vô cùng bé khi 0x  nên sin x là một vô khi 0x cùng lớn Tính 1. 6.2 Vô cùng bé Tích của một vô cùng bé và mộ l ợn bị t đại ư g chặn là một vô cùng bé. Ví dụ: giới hạn: sin lim x x x ¥ Giải: Ta khô ng thể áp dụng giới hạn lượng giác vì không tiến về 0. x  Nhận thấy: 1 lim 0 x x ¥ = nên 1 là vô cùng bé khi ¥ x x  sin x£1, x"Î nên sin x là một đại lượng bị chặn  Do đó, 1 .sin x x là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên 1 .sin x x là một vô cùng bé khi x ¥ Kết luận: si lim n 0 x x ¥ = x 2. 1 0 li m .sin x x x  Giải: Nhận thấy:  m 0x = nên 0 li x x là vô cùng bé khi 0x  1 sin 1  , 0x nên x £"¹ 1 sin là một đại lượng bị chặn x 1 1 sinx x  Do đó, sinx x là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên là cùng bé khi Kết luận: một vô x 0 0 1 lim .sin 0 x x x  = 6.2 sánh các vô cùng bé.1 So Cho () () , x x  là hai vô cùng bé khi . Khi đó: x 0 Phóng to hơn hoặc dùng Foxit Reader để hiển thị tốt công thức 10 . 3.3 Giới hạn của hàm hợp 5 4 Các dạng vô định 5 5 Giới hạn các hàm số sơ cấp 6 5.1 Giới hạn hàm lượng giác 6 5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa: 7 5.3 Giới hạn của hàm số mũ 7 5.4 Giới hạn. các bài toán giới hạn. Phần này sẽ học kĩ hơn ở phép tính vi phân. Mục lục 1 Giới hạn hữu hạn 2 2 Giới hạn một phía 2 3 Các qui tắc tính giới hạn 2 3.1 Các phép toán trên giới hạn 2 3.2. chỉ yx  = với  là hằng số và hàm số logarith 5. Các hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược. 4. Hàm số mũ với a là hằng số dương và khác 1. a xlog 6. Hàm số giá trị tuyệt đối x Ví