BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG HỒNG QUÂN MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG HỒNG QUÂN MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC TÔPÔ MÃ SỐ : 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY BÌNH NGHỆ AN - 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các Thầy giáo, Cô giáo khoa Sư phạm Toán học, khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học và luận văn. Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình đã tận tình giúp đỡ, dày công hướng dẫn, đóng góp ý kiến giúp tác giả hoàn thành bài luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ chuyên ngành Hình học - Tôpô đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức quý báu, cảm ơn tập thể học viên khóa 20 chuyên ngành Hình học - Tôpô đã tạo mọi điều kiện giúp tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành bài luận văn này. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả luận văn Mục lục Lời nói đầu 1 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3 1.1 Không gian Minkowski 3 chiều E 3 1 . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đặc trưng của không gian con và của đường cong trong không gian Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC TRONG KHÔNG GIAN E 3 1 8 2.1 Trường mục tiêu Frenet và các độ cong dọc đường cong trong không gian E 3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị là đường cong kiểu không gian hoặc thời gian trong không gian E 3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có gia tốc đơn vị là đường cong kiểu ánh sáng trong không gian E 3 1 . . 24 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Lời nói đầu Trong không gian Ơclit 3 chiều E 3 , với mỗi đường cong có vận tốc đơn vị α : I → E 3 , có thể có 3 trường vectơ đơn vị trực giao với nhau T, N và B, tương ứng được gọi là trường vectơ tiếp xúc, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến. Không gian được sinh bởi trường vectơ {T, N}, {T, B} và {N, B}, tương ứng được gọi là không gian mật tiếp, không gian trực đạc và không gian pháp. Trong gian ơclit đường cong có vectơ vị trí luôn nằm trong mặt phẳng trực đạc, được gọi là đường cong trực đạc. Trong những năm gần đây thì đã có rất nhiều sự nghiên cứu về tính chất của đường cong trực đạc trong không gian Ơclit , một trong những đặc trưng quan trọng nhất của đường cong trực đạc là tỷ số của độ xoắn và độ cong là hàm tuyến tuyến tính không hằng của tham số hóa độ dài cung s. Đường cong trực đạc trong không gian Minkowski 3 chiều E 3 1 có những đặc trưng tương tự trong không gian Ơclit, nhằm mong muốn tìm hiểu một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian Minkowski 3 chiều E 3 1 và dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là : " Một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian Minkowski 3 chiều E 3 1 . Luận văn được trình bày trong 2 chương : Chương I : Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, các kiến thức cơ bản của không gian Minkowski, tích Lorentz của các vectơ trong không gian Minkowski, đặc trưng của không gian con và của đường cong trong 1 trong không gianE 3 1 Chương II : Đường cong trực đạc trong không gian E 3 1 Trong chương này chúng tôi trình bày về trường mục tiêu Frenet và các độ cong dọc đường , định nghĩa và ví dụ về đường cong trực đạc, một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian E 3 1 , cụ thể trình bày một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị là đường cong kiểu không gian hoặc thời gian và một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị là đường cong kiểu ánh sáng trong không gian E 3 1 . Vì kiến thức còn nhiều hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn còn có nhiều thiếu sót trong cả nội dung lẫn hình thức, chúng tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các Thầy Cô giáo và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn ! Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Đặng Hồng Quân 2 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian Minkowski 3 chiều E 3 1 Cho R 3 là không gian véctơ thực với cấu trúc thông thường. Gọi B = {E 1 , E 2 , E 3 } là cơ sở thông thường, với E 1 = (1, 0, 0), E 2 = (1, 0, 0), E 3 = (0, 0, 1). 1.1.1 Định nghĩa. Cho E là một không gian véctơ trong R 3 với tích vô hướng: u, v = u 1 v 1 + u 2 v 2 − u 3 v 3 , với u = (u 1 , u 2 , u 3 ), v = (v 1 , v 2 , v 3 ) Khi đó E được gọi là không gian Lorentz - Minkowski. Ký hiệu E 3 1 . Tích vô hướng ,  được gọi là tích vô hướng Lorentz – Minkowski. Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gian Minkowski và tích vô hướng ,  cũng được gọi là tích vô hướng Minkowski. 1.1.2 Định nghĩa. Cho véctơ u ∈ E 3 1 . Khi đó số  |u, u| được gọi là mô đun hay chuẩn của véctơ u. Ký hiệu |u|. Nếu |u| = 1 thì u được gọi là véctơ đơn vị. 1.1.3 Định nghĩa. Cho u = (u 1 , u 2 , u 3 ), v = (v 1 , v 2 , v 3 ) ∈ E 3 1 . Khi đó, toạ độ của tích Lorentz được tính như sau: u ×v =      u 2 u 3 v 2 v 3     ,     u 3 u 1 v 3 v 1     , −     u 1 u 2 v 1 v 2      1.1.4 Mệnh đề. Cho véctơ u, v ∈ E 3 1 ,ta có : • u × v = −v ×u • u × v vuông góc với u, v. • u × v = 0 khi và chỉ khi u, v tỉ lệ. 3 Trong không gian R 3 , ta có công thức mối liên hệ giữa tích có hướng và tích vô hướng như sau: (u ×v)(x ×y) =     ux uy vx vy     Tương tự ta cũng xây dựng được mối liên hệ giữa tích và tích vô hướng trong không gian E 3 1 (u ×v)(x ×y) = −     u, x u, y v, x v, y     1.1.5 Định nghĩa. Cho vectơ v ∈ E 3 1 . • v được gọi là vectơ kiểu không gian nếu v, v > 0 hoặc v=0 • v được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu v, v < 0 • v được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu v, v = 0 và v = 0 Nhận xét: véctơ v = 0 có v, v = 0 nhưng vẫn được xét là véctơ kiểu không gian. 1.1.6 Ví dụ. Vectơ E 1 và E 2 là các vectơ kiểu không gian vì E 1 , E 1  = 1 > 0 và E 2 , E 2  > 0. Véctơ E 3 là vectơ kiểu thời gian vì E 3 , E 3  = −1 < 0. Vectơ E 1 + E 2 là vectơ kiểu ánh sáng vì E 1 + E 2 , E 1 + E 2  = 0 1.2 Đặc trưng của không gian con và của đường cong trong không gian Minkowski 1.2.1 Định nghĩa (xem [3]). Cho U là không gian vectơ con của không gian E 3 1 , khi đó : • U được gọi là kiểu không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ kiểu không gian hoặc vectơ không. 4 • U được gọi là kiểu thời gian nếu nó có chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian. • U được gọi là kiểu ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu ánh sáng và không chứa vectơ kiểu thời gian nào. 1.2.2 Định lý (xem [3]). Cho U là không gian vectơ con của không gian E 3 1 • U được gọi là kiểu không gian khi và chỉ khi , /U là xác định dương. • U được gọi là kiểu thời gian khi và chỉ khi , /U là không suy biến và có chỉ số 1. • U được gọi là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi , /U là suy biến và U = 0. 1.2.3 Định nghĩa (xem [3]). Cho (V, , ) là không gian với tích vô hướng không suy biến và U ⊂ V là không gian vectơ con của không gian V. Khi đó ta gọi U ⊥ = {v ∈ V, u, v = 0, ∀u ∈ U} là không gian con trực giao với không gian U. 1.2.4 Bổ đề (xem [3]). Cho (V, , ) là không gian với tích vô hướng không suy biến .Khi đó • Nếu U là không gian con của V thì dim(U ⊥ ) = dim(V ) − dim(U). • Nếu U là không gian con của V thì (U ⊥ ) ⊥ = U. • Nếu U là không gian con không suy biến của V thì U ⊥ cũng là không gian con không suy biến. 1.2.5 Định nghĩa. Cho α là một đường cong trong E 3 1 . Ta nói rằng α là một đường cong kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) tại t nếu vectơ α  (t) là vectơ kiểu không gian (tương ứng: kiểu 5 thời gian, kiểu ánh sáng). Đường cong α được gọi là đường cong kiểu không gian(tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng) nếu nó là đường cong kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) tại mọi điểm . Nhận xét: Một đường cong bất kỳ α trong E 3 1 thì với mỗi t ∈ I , α  (t) có thể là kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, nhưng tính chất này sẽ không đúng trên toàn khoảng I. 1.2.6 Ví dụ. Xét đường cong α cho bởi tham số hoá: α(t) = (cosh(t), t 2 , sinh(t)). Khi đó, α  (t), α  (t) = 4t 2 − 1. Do đó, đường cong này là kiểu không gian trong khoảng (−∞, − 1 2 ), kiểu thời gian trong khoảng (− 1 2 , 1 2 ) và kiểu ánh sáng tại − 1 2 và 1 2 . 1.2.7 Định nghĩa. Cho α là đường cong trong E 3 1 xác định trên khoảng I. Khi đó α được gọi là chính quy tại t o ∈ I nếu α  (t) = 0. Nếu α chính quy tại mọi điểm t ∈ I thì α được gọi là chính quy. 1.2.8 Mệnh đề (xem [3]). Mọi đường cong kiểu thời gian và kiểu ánh sáng đều chính quy. Chứng minh. Giả sử rằng đường cong α là kiểu thời gian. Ta viết α(t) = (x(t), y(t), z(t)), trong đó các hàm x, y và z là các hàm khả vi theo t. Ta có: α  (t), α  (t) = x  (t) 2 + y  (t) 2 −z  (t) 2 < 0, suy ra z  (t) = 0 vì nếu z  (t) = 0 thì α không phải là kiểu thời gian. Từ đó suy ra α là chính quy. Trong trường hợp α là kiểu ánh sáng, giả sử z  (t) = 0, suy ra x  (t) = y  (t) = 0 và α  (t) = 0. Khi đó α là kiểu không gian. Mâu thuẫn, vậy z  (t) = 0. Từ đó suy ra α là chính quy. 1.2.9 Định nghĩa (xem [3]). Cho α là một đường cong chính quy kiểu không gian hoặc thời gian trong E 3 1 . Khi đó, tồn tại các tham số lại của α là β sao cho |β  (t)| = 1.Ta gọi tham số hóa này là tham số hóa độ dài cung. Trong trường hợp này ta gọi β là đường cong có vận tốc đơn vị. 1.2.10 Định nghĩa (xem [3]). Cho α là một đường cong chính quy kiểu ánh sáng trong E 3 1 .Khi đó 6 [...]... τ 0 τ 0 T N B Trong đó τ, k được xác định ở trên 2.2 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị là đường cong kiểu không gian 3 hoặc thời gian trong không gian E1 3 2.2.1 Định nghĩa Trong không gian E1 , không gian được sinh bởi hệ vectơ {T, B} được gọi là không gian trực đạc Đường cong α được gọi là đường cong trực đạc nếu vectơ ví trí luôn nằm trong không gian trực đạc 2.2.2 Ví dụ... độ cong và độ xoắn trong trường hợp đường cong kiểu thời gian có tham số hoá bất kỳ , kiểm nghiệm công thức với đường cong kiểu không gian 4 Trình bày chi tiết chứng minh các định lý về đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc dơn vị không phải là đường cong kiểu ánh 3 sáng trong không gian E1 5 Trình bày chi tiết chứng minh các định lý về đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc dơn vị là đường. .. α sinh t l số Vì αN = hằng số và vì ρ = = hằng số, do đó áp dụng định sinh t lí (2.2 .3) suy ra α là đường cong trực đạc Chứng minh tương tự trong trường hợp α là đường cong trực đạc kiểu thời gian với mặt phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu thời gian (iii) Giả sử rằng α là đường cong trực đạc kiểu không gian với mặt phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu không gian Khi đó... bởi : s s2 s3 α(s) = α(0) + α (0) + α (0) + α (0) + 1! 2! 3! Ta kết luận rằng α nằm trọn trong mặt phẳng mật tiếp,sinh bởi {α (0), α (0)}, đây là điều mâu thuẫn 23 2 .3 Một số đặc trưng của đường cong trực đạc có gia tốc đơn vị là đường cong kiểu ánh sáng 3 trong không gian E1 2 .3. 1 Định lý (xem [4]) Cho α(s) là đường cong có gia tốc đơn vị là đường cong kiểu ánh sáng 3 với độ cong k(s) = 1 trong E1 ... khác một đẳng cự 3 của E1 α là đường cong trực đạc 2.2.5 Định lý (xem [4]) 3 Cho α = α(s) là đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị trong E1 Khi đó các mệnh đề sau được thỏa mãn : (i) α là đường cong trực đạc với mặt phẳng trực đạc kiểu không gian khi và chỉ khi, bằng một phép biến đổi tham số, α được cho bởi : l + , l ∈ R0 , (2.10) cost ở đây, y(t) là đường cong kiểu không gian có vận tốc đơn vị nằm trong. ..tồn tại một tham số hóa lại của α cho bởi β(s) = α(θ(s)) sao cho |β”(s)| = 1 Ta gọi tham số hóa này là tham số hóa giả độ dài cung Trong trường hợp này ta gọi β là đường cong có gia tốc đơn vị 7 Chương 2 ĐƯỜNG CONG TRỰC ĐẠC 3 TRONG KHÔNG GIAN E1 2.1 Trường mục tiêu Frenet và các độ cong dọc 3 đường cong trong không gian E1 Ta xét đường cong α chính quy biểu diễn bằng tham số độ dài cung hoặc... hằng số 2 nên từ (2.27), (2.28) suy ra α , α cosh t l = hằng số, áp dụng định lí Do αN = hằng số và vì ρ = cosh t (2.2 .3) suy ra α là đường cong trực đạc Chứng minh tương tự trong trường hợp α là đường cong trực đạc kiểu thời gian với mặt phẳng kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu thời gian 22 2.2.6 Định lý (xem [4]) Không có đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị khác đường cong kiểu 3 ánh sáng trong. .. S1 (1) (ii) α là đường cong trực đạc kiểu không gian (kiểu thời gian) với mặt phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu không gian (kiểu thời gian) , bằng một phép biến đổi tham số, α được cho bởi : α(t) = y(t) l + , l ∈ R0 , (2.11) sinht ở đây, y(t) là đường cong kiểu thời gian (kiểu không gian) có vận tốc 2 2 đơn vị nằm trong giả cầu S1 (1) (giả không gian hyperbolic H0 (1)) 3 2 ( S1 (1) =... = 1} 3 2 H0 (1) = {w ∈ E1 : w, w = −1}) (iii) α là đường cong trực đạc kiểu không gian (kiểu thời gian) với mặt phẳng trực đạc kiểu thời gian và vectơ vị trí kiểu thời gian (kiểu không gian) , bằng một phép biến đổi tham số, α được cho bởi : α(t) = y(t) l + , l ∈ R0 , (2.12) cosht ở đây, y(t) là đường cong kiểu không gian (kiểu thời gian) có vận tốc 2 2 đơn vị nằm trong giả cầu S1 (1) (giả không gian. .. cho ta ví dụ về một đường cong trực đạc được xác định từ một đường cong cho trước : Mệnh đề (xem [6]) 3 Cho α = α(s) là đường cong có vận tốc đơn vị trong E1 với độ cong hằng kα (s) = 0, độ xoắn τα (s) không hằng và α”(s), α”(s) = 0 Khi đó ta có đường sau β(s) = −e0 e1 τα (s)Tα (s) − e0 e1 kα (s)Bα (s) là đường cong trực đạc, (trong đó {Tα , Nα , Bα } là trường mục tiêu của đường cong α và e0 = T, . về đường cong trực đạc, một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian E 3 1 , cụ thể trình bày một số đặc trưng của đường cong trực đạc có vận tốc đơn vị là đường cong kiểu không gian. gian Minkowski 3 chiều E 3 1 có những đặc trưng tương tự trong không gian Ơclit, nhằm mong muốn tìm hiểu một số đặc trưng của đường cong trực đạc trong không gian Minkowski 3 chiều E 3 1 và dưới. những đặc trưng quan trọng nhất của đường cong trực đạc là tỷ số của độ xoắn và độ cong là hàm tuyến tuyến tính không hằng của tham số hóa độ dài cung s. Đường cong trực đạc trong không gian Minkowski