BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - PHAN THỊ THANH HUYỀN GIẢI MỘT BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - PHAN THỊ THANH HUYỀN GIẢI MỘT BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Phép tính vi phân trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Không gian Banach và các ánh xạ tuyến tính liên tục, đa tuyến tính liên tục . . . 4 1.2 Ánh xạ khả vi trên không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Chỉnh hoá bài toán truyền nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 2.2 Phương pháp biến phân cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian . . . . . . . . 21 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 TÀ I LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 MỞ ĐẦU Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian là bài toán xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại. Bài toán này đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Do đó, để giải quyết bài toán ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Nhiều nhà toán học trong và ngoài nước đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để nghiên cứu bài toán này và đã đề xuất nhiều phương pháp chỉnh hóa khác nhau. Để tập dượt nghiên cứu cũng như để tìm hiểu kỹ hơn về một phương pháp chỉnh hóa phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, trên cơ sở bài báo "Solving a backward heat conduction problem by variational method" của các tác giả Yun-Jie Ma, Chu-Li Fu và Yuan-Xiang Zhang đăng trên tạp chí Applied Mathematics and Computation năm 2012, chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Giải một bài toán truyền nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp biến phân". Mục đích chính của luận văn này nhằm tìm hiểu về việc sử dụng phương pháp biến phân để chỉnh hoá bài toán          w t − (a(x, t)w x ) x = 0, (x, t) ∈ Q T := (0, l) × (0, T ), w(x, T ) = Θ T (x), x ∈ [0, l], −a(0, t)w x (0, t) = g 0 (t), t ∈ [0, T ] a(l, t)w x (l, t) = g 1 (t), t ∈ [0, T ], (1) với a(x, t) ∈ C 1 (Q T ), a(x, t)  ν > 0, ν là hằng số cố định và Θ T (x), g 0 (t), g 1 (t) là các hàm số đã cho. Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 nhằm mục đích trình bày một số kiến thức liên quan đến nội dung chương 2 như: khái niệm về không gian Banach, ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian Banach, ánh xạ khả vi trên các không gian Banach và các tính chất cơ bản của nó. Chương 2 nhằm mục đích trình bày các kết quả chỉnh hóa bài toán truyền nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp biến phân trong bài báo [7]. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, quý thầy cô trong tổ giải tích khoa Sư phạm To án học - Trường Đại Học Vinh, phòng tổ chức Trường Đại Học Sài Gòn và đặc biệt là các anh chị học viên cao học khóa 20 Toán giải tích tại Trường Đại Học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập. Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. 2 3 Vinh, năm 2014 Tác giả Phan Thị Thanh Huyền CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chương này trình bày các kết quả về không gian Banach, ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ đa tuyến tính liên tục và á nh xạ khả vi giữa các không gian Banach để làm cơ sở cho chương 2. Các kiến thức trình bày ở chương này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [5]. 1.1 Không gian Banach và các ánh xạ tuyến tính liên tục, đa tuyến tính liên tục Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian không gian Banach và các ánh xạ liên tục, đa tuyến tính liên tục cần dùng trong luận văn. 1.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian vectơ trên trường K và R + là tập các số thực không âm. Ánh xạ  ·  : E → R + được gọi là một chuẩn trên E nếu (i) 0 = 0; (i’) (x = 0) ⇒ x = 0; (ii) x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ E; (iii) λx = |λ|.x, ∀x ∈ E, λ ∈ K. Một không gian vectơ được trang bị một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn. 1.1.2 Định nghĩa. Một dãy (x n ) n≥0 các điểm thuộc E được nói là hội tụ tới điểm a ∈ E và được ký hiệu là lim n→∞ = a nếu dãy số (x n − a) n≥0 hội tụ tới 0. Một dãy (x n ) n≥0 các điểm thuộc E được nói là dãy Cauchy nếu lim m,n→∞ x m − x n  = 0. Không gian định chuẩn E mà trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ được gọi là không gian Banach. 1.1.3 Ví dụ. Không gian R n là không gian Banach nếu ta trang bị cho không gian này 4 5 một trong ba chuẩn sau đây: x 1 = n  i=1 |x i |, ∀x = (x 1 , , x n ) ∈ R n , x 2 = sup 1≤i≤n |x i |, ∀x = (x 1 , , x n ) ∈ R n , x 3 =     n  i=1 |x i | 2 , ∀x = (x 1 , , x n ) ∈ R n . 1.1.4 Định lý. Cho E và F là hai không gian định chuẩn trên trường K và f : E → F là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó các điều kiện sau là tương đương (a) f liên tục đều trên E; (b) f liên tục tại mọi điểm thuộc E; (c) f liên tục tại 0; (d) f(x) bị chặn trên hình cầu đơn vị x ≤ 1. Chứng minh. Rõ ràng rằng (a) ⇒ (b) ⇒ (c). Chúng ta hãy chứng tỏ rằng (c) ⇒ (d). Thật vậy, ta giả sử rằng f liên tục tại 0. Khi đó nghịch ảnh của hình cầu đơn vị trong F là một lân cận của 0 trong E. Do đó, nó chứa một hình cầu x ≤ r với r > 0 nào đó. Điều này có nghĩa là tồn tại một số thực r > 0 sao cho nếu x ≤ r thì f(x) ≤ 1. Do đó x ≤ 1 kéo theo rằng f(x) ≤ 1/r. Do đó f(x) bị chặn trên hình cầu đơn vị x ≤ 1. Cuối cùng, ta hãy chứng minh (d) kéo theo (a). Nếu (d) đúng thì tồn tại một hằng số M > 0 sao cho f(x) ≤ M với mọi x thỏa mãn x ≤ 1. Do đó, với mọi x ta có f(x) ≤ Mx. (Điều này là hiển nhiên nếu x = 0. Nếu x = r > 0 thì vectơ y = (1/r)x thỏa mãn y = 1. Do đó f(y) ≤ M. Điều này kéo theo f(x) = rf(y) ≤ rM = Mx). Lấy ε > 0 bất kỳ, chọn δ = ε M . Khi đó, với mọi x, y ∈ E thỏa mãn x − y < ε ta có f(x) − f(y) = f(x − y)  M x − y < Mδ = ε. Vậy f liên tục trên E. Ký hiệu L(E, F ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Trên không gian này, ta trang bị chuẩn f = sup x≤1 f(x), ∀f ∈ L(E, F ). Khi đó L(E, F) trở thành một không gian định chuẩn. 1.1.5 Định lý. Nếu F là một không gian Banach thì L(E, F ) cũng là một không gian Banach. 6 1.1.6 Định lý. Cho E, F và G là các không gian định chuẩn và f : E → F, g : F → G là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó g ◦ f : E → G cũng là ánh xạ tuyến tính liên tục và g ◦ f   gf. 1.1.7 Định nghĩa. Cho E 1 , , E n và F là các không gian vectơ trên trường K. Một ánh xạ f : E 1 × × E n → F được gọi là đa tuyến tính (song tuyến tính nếu n = 2, tam tuyến tính nếu n = 3) nếu với mỗi k ∈ {1, 2, ··· , n} và (a 1 , a 2 , ··· , a n ) ∈ E 1 × × E n , ánh xạ x k → f(a 1 , , a k−1 , x k , a k+1 , , a n ) từ E k và o F là ánh xạ tuyến tính. 1.1.8 Định lý. Giả sử E 1 , E n , F là các không gian định chuẩn trên trường K và f : E 1 × × E n → F là một ánh xạ đa tuyến tính. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (a) f liên tục tại mỗi điểm của E 1 × × E n ; (b) f liên tục tại điểm (0, , 0) ∈ E 1 × × E n ; (c) f(x 1 , , x n ) bị chặn trên tích của các hình cầu đơn vị x 1   1, , x n   1. Chứng minh. Rõ ràng rằng (a) ⇒ (b). Để chứng minh (b) ⇒ (c) chúng ta chú ý rằng nếu f liên tục tại (0, , 0) ∈ E 1 × × E n thì nghịch ảnh của hình cầu đơn vị của f là một lân cận của (0, , 0) ∈ E 1 × × E n . Do đó, tồn tại số thực r > 0 sao cho (x i   r, ∀i ∈ {1, 2, , n}) ⇒ f(x 1 , , x n )  1. Do đó (x i   1, ∀i ∈ {1, 2, , n}) ⇒ f(x 1 , , x n )  1 r n . Điều này có nghĩa là f(x 1 , , x n ) bị chặn trên tích của các hình cầu đơn vị x 1   1, , x n   1. Bây giờ ta giả sử rằng (c) đúng. Gọi M > 0 là số thực thỏa mãn (x i   1, ∀i ∈ {1, 2, , n}) ⇒ f(x 1 , , x n )  M. Điều này kéo theo rằng f(x 1 , , x n )  Mx 1  x n , ∀(x 1 , , x n ) ∈ E 1 × × E n . (1.1) Lấy bất kỳ điểm (a 1 , , a n ) ∈ E 1 × × E n . Ta cần chứng minh f liên tục tại điểm (a 1 , , a n ). Thật vậy, ta biến đổi f(x 1 , , x n ) − f(a 1 , , a n ) = f(x 1 − a 1 , x 2 , , x n )+ + f(a 1 , x 2 − a 2 , x 3 , , x n ) + + f(a 1 , , a n−1 , x n − a n ). (1.2) 7 Từ (1.1) và (1.2) ta có f(x 1 , , x n ) − f(a 1 , , a n )  Mx 1 − a 1 .x 2  x n  + Mx 2 − a 2 .a 1 .x 3  x n  + + Mx n − a n .a 1  a n−1 . (1.3) Giả sử rằng x i −a i   ε, ∀i ∈ {1, 2, , n}. Khi đó, vì x i   a i +ε, ∀i ∈ {1, 2, , n} nên ta khẳng định rằng tồn tại một hằng số A > 0 sao cho (x i − a i   ε, ∀i ∈ {1, 2, , n}) ⇒ x i   A, ∀i ∈ {1, 2, , n}. (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta có f(x 1 , , x n ) − f(a 1 , , a n )  MA n−1  n  i=1 x i − a i    nMA n−1 ε (1.5) khi x i − a i   ε, ∀i ∈ {1, 2, , n}. Bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ rằng f(x 1 , , x n ) → (f(a 1 , , a n ) khi (x 1 , , x n ) → (a 1 , , a n ). Do đó f liên tục tại điểm (a 1 , , a n ). Định lý được chứng minh. Ký hiệu L(E 1 , , E n ; F ) là không gian tất cả các ánh xạ đa tuyến tính liên tục từ E 1 × × E n và o F . Trên không gian này ta trang bị chuẩn f = sup{f(x 1 , , x n ) : x 1   1, , x n   1}, ∀f ∈ L(E 1 , , E n ; F ). Khi đó L(E 1 , , E n ; F ) trở thành một không gian định chuẩn. 1.1.9 Định lý. Nếu F là không gian Banach thì L(E 1 , , E n ; F ) cũng là một không gian Banach. 1.2 Ánh xạ khả vi trên không gian Banach Cho E, F là các không gian Banach và U là một tập mở khác rỗng trong E. 1.2.1 Định nghĩa. Hai ánh xạ f 1 : U → F và f 2 : U → F được gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm a ∈ U nếu đại lượng m(r) = sup x−ar f 1 (x) − f 2 (x), được xác định với r > 0 đủ nhỏ và thỏa mãn điều kiện lim r→0 r>0 m(r) r = 0, (1.6) hay m(r) = o(r). (1.7) 8 1.2.2 Nhận xét. Điều kiện (1.7) kéo theo rằng f 1 −f 2 liên tục tại điểm a và nhận g iá trị bằng 0 tại điểm a. 1.2.3 Nhận xét. Cho ánh xạ f : U → F . Khi đó với mỗi a ∈ U, có không quá một ánh xạ tuyến tính g : E → F sao cho các ánh xạ x → f(x) −f(a) và x → g(x −a) tiếp xúc với nhau tại a. 1.2.4 Định nghĩa. Ta nói rằng ánh xạ f : U → F khả vi tại điểm a ∈ U nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) f liên tục tại điểm a; (ii) tồn tại một ánh xạ tuyến tính g : E → F sao cho các ánh xạ x → f(x) − f(a) và x → g(x − a) tiếp xúc với nhau tại điểm a. Điều kiện (ii) cũng có thể viết lại thành f(x) − f(a) − g(x − a) = o(x − a). (1.8) 1.2.5 Nhận xét. Nếu f khả vi tại điểm a thì g là ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất. Như vậy ánh xạ này là một phần tử của L(E; F ). Nó được ký hiệu là f  (a) và gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại điểm a. Do đó ta có một định nghĩa khác tương đương: ánh xạ f khả vi tại a ∈ U nếu tồn tại một phần tử g ∈ L(E; F ) sao cho (1.8) được thỏa mãn. Tính liên tục của g kéo theo từ tính liên tục của f tại điểm a. Ta cũng chú ý rằng điều kiện (1.8) thường được viết bằng cách sử dụng ký hiệu f  (a) là f(x) − f(a) − f  (a)(x − a) = o(x − a). (1.9) 1.2.6 Định nghĩa. Ánh xạ f : U → F được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi điểm thuộc U. Ánh xạ f : U → F được gọi là khả vi liên tục hay thuộc lớp C 1 nếu: (i) f khả vi trên U, nghĩa là f khả vi tại mọi điểm thuộ c U; (ii) ánh xạ đạo hàm f  : U → L(E; F) là ánh xạ liên tục. Cho E, F, G là ba không gian Bana ch, U là tập mở trong E và V là tập mở trong F . Xét hai ánh xạ liên tục f : U → F, g : V → G, và một điểm a ∈ U. Giả sử rằng b = f(a) ∈ F là một phần tử thuộc V . Khi đó U  = f −1 (V ) ⊂ U là một tập mở của E và ánh xạ hợp thành g ◦ f : U  → G hoàn toàn được xác định. 1.2.7 Định lý. (Đạo hàm của hàm hợp) Với các giả thiết vừa được trình bày ở trên và giả thiết thêm rằng f khả vi tại a và g khả vi tại b = f(a). Khi đó ánh xạ hợp thành h = g ◦f khả vi tại điểm a và h  (a) = g  (b) ◦ f  (a). (1.10) Nói cách khác, ánh xạ tuyến tính liên tục h  (a) : E → G là hợp thành của ánh xạ tuyến tính liên tục f  (a) : E → F và ánh xạ tuyến tính liên tục g  (f(a)) : F → G. [...]... (1.51) CHƯƠNG 2 CHỈNH HOÁ BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 2.1 Giới thiệu bài toán Trong nhiều ứng dụng của vật lý và kỹ thuật con người phải đối mặt với bài toán khôi phục lại sự phân bố nhiệt độ của một vật thể dẫn nhiệt trong quá khứ qua sự phân bố nhiệt độ đo đạc được vào thời điểm hiện tại Bài toán này thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard Một sai số nhỏ trong dữ... Phương pháp gradient liên hợp Ta biết rằng bài toán truyền nhiệt ngược thời gian là bài toán đặt không chỉnh Do đó, bài toán cực tiểu tương ứng (2.12) cũng không ổn định Điều này có nghĩa là một nhiễu nhỏ ở dữ kiện ΨT cũng có thể gây ra một lỗi lớn cho nghiệm của bài toán Vì vậy, phương pháp chỉnh hóa là cần thiết và được sử dụng để phục hồi tính ổn định của bài toán Trong phần này, ta sẽ sử dụng phương. .. dẫn đến một sai lệch lớn về nghiệm Chính vì vậy, để giải quyết bài toán này ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa Các kết quả chỉnh hóa cho bài toán dẫn nhiệt ngược kể trên thường đạt được cho trường hợp hệ số không phụ thuộc thời gian, rất ít kết quả cho trường hợp hệ số vừa phụ thuộc biến không gian vừa phụ thuộc biến thời gian (xem [6] và các tài liệu tham khảo trong đó) Xét bài toán dẫn nhiệt. .. [6] 17 Với một hàm ϕ(x) đã cho, bài toán (2.4) được xem như một bài toán thuận Gọi u là nghiệm yếu của bài toán (2.4) trong V 1,0 (QT ), ta định nghĩa ánh xạ A : L2 (0, l) → L2 (0, l) sao cho Aϕ = u(x, T ; ϕ) (2.6) Khi đó bài toán ngược là bài toán giải phương trình toán tử sau Aϕ = ΨT (2.7) Nếu bài toán (2.7) có nghiệm thì từ Bổ đề 2.2.3, ta biết rằng nghiệm này là duy nhất 2.2.4 Định lý Toán tử A... sẽ sử dụng phương pháp gradient liên hợp cùng với một luật dừng thích hợp để giải bài toán (2.12) Phương pháp gradient liên hợp ứng dụng cho bài toán tối ưu thường có các bước sau đây: Bước 1: Chọn ϕ0 và đặt k = 0 Bước 2: Giải bài toán trực tiếp (2.4) với ϕ = ϕk và xác định số dư Rk = Aϕk − ΨT Bước 3: Xác định gradient rk bởi giải bài toán liên hợp xác định bởi (2.13) và sau đó tính toán dk = −rk +... nhiễu δ tiến tới 0 b )Phương pháp sai phân hữu hạn Trong phần này, chúng ta sẽ mô tả phương pháp sai phân hữu hạn để giải số bài toán trực tiếp (2.1) Giả sử M × N là số mắt lưới trên miền (x, t), và h = x = M l−1 , xi = j (i − 1)h, i = 1, 2, , M ; τ = t = NT , tj = (j − 1)τ, j = 1, 2, , N Kí hiệu wi là giá −1 trị xấp xỉ của w(xi , tj ) Phương pháp sai phân hữu hạn rời rạc hóa bài toán (2.1) như sau:... là một hằng số độc lập với w Vì ϕ(x) không được biết nên ta cần bổ sung thông tin về dữ kiện để khôi phục lại sự phân bổ nhiệt độ tại thời điểm ban đầu Trong phần này, thông tin được bổ sung là w(x, T ) = ΘT (x), (2.3) và mục đích của chúng ta là khôi phục lại sự phân bổ nhiệt độ tại thời điểm ban đầu ϕ(x) từ ΘT (x) Do tính tuyến tính của bài toán (2.1), ta có thể phân tích bài toán này thành hai bài. .. với hệ số phụ thuộc thời gian  wt − (a(x, t)wx )x = 0, (x, t) ∈ QT := (0, l) × (0, T ),   w(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, l], (2.1) −a(0, t)wx (0, t) = g0 (t), t ∈ [0, T ]    a(l, t)wx (l, t) = g1 (t), t ∈ [0, T ], với a(x, t) ∈ C 1 (QT ), a(x, t) đã cho 2.2 ν > 0, ν là hằng số cố định và g0 (t), g1 (t) là các hàm số Phương pháp biến phân cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian 2.2.1 Định nghĩa... (2.5) là bài toán đặt chỉnh nên có thể giải dễ dàng bởi các phương pháp truyền thống Do đó, bài toán gốc có thể chuyển thành bài toán xác định ϕ(x) từ quan sát tại thời điểm cuối ΨT (x) := ΘT (x) − v(x, T ) 2.2.3 Bổ đề ([7])Nếu a(x, t) ∈ C 1 (QT ) thì nghiệm u(x, t) ∈ C [0, T ]; L2 (0, l) của bài toán ngược (2.4) là duy nhất Hơn nữa, tồn tại một hàm liên tục và tăng ngặt v(t) trên [0, T ] thỏa mãn v(0)... giá (2.10) cho k → ∞ ta được Aϕ L2 (0,l) ϕ L2 (0,l) (2.11) Tính liên tục của toán tử A bây giờ kéo theo từ tính tuyến tính của A và đánh giá (2.11) Định lý được chứng minh Phương pháp biến phân Thay vì giải trực tiếp phương trình (2.7), ta cực tiểu phiếm hàm J(ϕ) = 1 Aϕ − ΨT 2 2 L2 (0,l) , (2.12) trên L2 (0, l) Xét bài toán  ψt + (a(x, t)ψx )x = 0,   ψ(x, T ) = p(x), −a(0, t)ψx (0, t) = 0,  . " ;Giải một bài toán truyền nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp biến phân& quot;. Mục đích chính của luận văn này nhằm tìm hiểu về việc sử dụng phương pháp biến phân để chỉnh hoá bài toán          w t −. HOÁ BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 2.1 Giới thiệu bài toán Trong nhiều ứng dụng của vật lý và kỹ thuật con người phải đối mặt với bài toán khôi phục lại sự phân. . . 32 MỞ ĐẦU Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian là bài toán xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại. Bài toán này đặt không