[...]... theo luật mạnh số lớn tổng quát nếu tồn tại dãy số sao cho X1 + X2 + .Xn a1 + a2 + .an 0 bn bn 19 h.c.c khi n Chương 2 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát 2.1 Các bổ đề Trong tiết này, {X, Xn , n 1} {an , n 1} là một dãy các hằng số dương với an n và là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối Để chứng minh các kết... các biến ngẫu nhiên Định nghĩa (Ci F) biến cố Giả sử (, F, P) là không gian xác suất Họ các lớp biến cố (Ci )iI được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi (Ai )iI họ các độc lập (độc lập đôi một) Họ các biến ngẫu nhiên họ Ai Ci , -đại số ((Xi ))iI (Xi )iI được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu độc lập (độc lập đôi một) Tính chất 1 Họ con bất kì của họ các lớp (các biến ngẫu nhiên) độc lập. .. là độc lập 2 Họ các lớp con của một họ độc lập cũng là họ độc lập 3 Họ các lớp (các biến ngẫu nhiên) là họ độc lập khi và chỉ khi mọi họ con hữu hạn của nó độc lập (Xi )iI 4 Giả sử là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, đo được Khi đó họ 5 Giả sử Khi đó (Xi )iI và 7 Nếu X k và độc lập (Xi )iI2 độc lập (trong đó - đại số bé nhất chứa 6 Dãy các biến ngẫu nhiên (Xk , 1 iI là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, ... đề (Xem [7], Hệ quả 1) Cho đôi một với DXn < , n (i) supn 1 [ n k=1 E(|Xk {Xn , n 1,{an , n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập 1} là dãy số dương, an Giả sử EXk |)/an ] < và n=1 (ii) Khi đó 2.2 an 2 D(Xn ) < [S(n) E(S(n))]/an 0 h.c.c khi n , với Sn = X1 + ã ã ã + Xn Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối với các điều kiện moment tổng quát Trong tiết này chúng... bày chi tiết hơn các định lí trong [8] nhằm thiết lập luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy {X, Xn , n P (|X| > an ) < , (an kiện moment tổng quát n=1 26 ) 1} với điều 2.2.1 Định lí 1} là một dãy các hằng số dương với an n Cho {an , n là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, và {X, Xn , n cùng phân 1} phối P (|X| > an ) < thì Nếu n=1 n 1 (Xi EXi I (|Xi | n P I:= n=1 < với mọi > 0 an... X1 , X2 , , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một thì n D( n Xi ) = i=1 DXi i=1 18 1, 9 Nếu h.c.c c 1) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và Xn C thì Xn C (Xn , n 1.3.5 Luật mạnh số lớn Định nghĩa Cho dãy X1 , X2 , Xn là các biến ngẫu nhiên bất kì có kì vọng EXi Dãy (Xn , n = ai (i = 1, 2 ) 1) được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn nếu X1 + X2 + .Xn a1 + a2 + .an 0 n n Dãy (Xn , n (bn ) ,... là biến ngẫu nhiên đơn giản Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên thấy rằng nếu X G - đo được là biến ngẫu nhiên Mặt khác, dễ là biến ngẫu nhiên thì họ (X) = X 1 (B) : B B(R) lập thành một bởi - đại số con của - đại số F , - đại số này gọi là - đại số sinh X Đó là - đại số bé nhất mà X nhiên. .. ) = 0 2.1.3 Bổ đề Cho {an , n 1} là dãy các hằng số dương với an n và {X, Xn , n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối Khi đó Xn 0 h.c.c khi và chỉ khi an Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.2 ta có Xn an P (|X| > an ) < n=1 0 h.c.c khi và chỉ khi P (lim sup {|Xn |/an > }) = 0 Từ bổ đề Borel-Cantelli cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một và Bổ đề 2.1.1 ta có: P (lim sup {|Xn... (Xi )iI1 tương ứng là các fi (Xi ) (Xn , n n) và (Xk , k Y fi : R R(i I) là hàm iI1 I1 I, I2 I, I1 I2 = (Xi )iI1 (Xi ) và iI2 và (Xi )iI2 (Xi )) 1) độc lập khi và chỉ khi, với mọi n n + 1) độc lập là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì E(XY ) = EXEY Tổng quát Nếu X1 , X2 , , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì E(X1 X2 Xn ) = EX1 EX2 EXn 8 Nếu X, Y độc lập thì Tổng quát Nếu D(X + Y ) =... nhiên Chú ý X nào đó Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của chúng không phải là tương ứng 1-1 Những biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất được gọi là những biến ngẫu nhiên cùng phân phối 1.2.4 Hàm phân phối Định nghĩa Giả sử (, F, P) ngẫu nhiên Khi đó, hàm số là hàm phân phối của Nhận xét là một không gian xác suất, X :R là biến FX (x) = P(X < x) = P( : X() < x) được gọi X FX (x)