1 MÖC LÖC „r—ng MƯC LƯC LÍI NÂI †U Chữỡng Mởt số kián thực bờ trủ 1.1 B i to¡n °t khæng ch¿nh 1.2 ¡nh gi¡ ên ành Ch÷ìng ¡nh gi¡ ên ành cho phữỡng trẳnh parabolic phi tuyán vợi miÃn hẳnh hồc bà nhi¹u 2.1 ¡nh gi¡ ên ành cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh thuên thới gian vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu 2.2 Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh ngữủc thới gian vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu 18 2.3 Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh phi tuyán kiu Burgers thuên thới gian vợi miÃn hẳnh håc bà nhi¹u 31 2.4 ¡nh gi¡ ên nh cho phữỡng trẳnh phi tuyán kiu Burgers ngữủc thới gian vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu 37 K˜T LUŠN 46 T€I LI›U THAM KHƒO 47 LÍI NÂI †U Mët nhúng v§n · cì b£n nghi¶n cùu c¡c b i to¡n °t khỉng ch¿nh l  vi»c t¼m c¡c ¡nh gi¡ ên ành C¡c ¡nh gi¡ ny cho ta biát bi toĂn "xĐu" án mực no, º tø â câ thº ÷a c¡c ph÷ìng ph¡p sè húu hi»u Ngo i ra, c¡c ¡nh gi¡ ên ành cơng r§t quan trång vi»c chùng minh sü hëi tư v  c¡c ¡nh gi¡ sai sè cõa c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh gi£i b i to¡n °t khỉng ch¿nh Nghi¶n cùu sü phư thc cõa líi gi£i v o mi·n m  trản õ ta xt phữỡng trẳnh cụng rĐt cõ ỵ nghắa vẳ trản thỹc tá, miÃn hẳnh hồc m trản õ ta nghiản cựu phữỡng trẳnh thữớng ch l "gƯn úng" (xem [3]) Payne ([8]) l ngữới Ưu tiản xữợng cĂc nghiản cựu và sỹ phử thuởc vo hẳnh hồc cừa lới giÊi cĂc bi toĂn ngữủc Song Ơy l bi toĂn khõ Trong phữỡng trẳnh parabolic, cho án chúng tổi thĐy cõ rĐt ẵt kát quÊ theo hữợng nghiản cựu ny  têp dữủt nghiản cựu cụng nhữ  lm phong phú thảm cĂc kát quÊ và Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic phi tuyán, chúng tổi lỹa chồn à ti cho Luên vôn cừa mẳnh l : "Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic phi tuyán vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu" Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn nhơm à xuĐt mởt số kát quÊ mợi và Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic phi tuyán vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu trản cỡ s tham khÊo cĂc kát quÊ cĂc bi bĂo [4, 6, 7] Vợi mửc ẵch õ luên vôn ny ữủc chia thnh chữỡng: Chữỡng trẳnh b y kh¡i ni»m v· b i to¡n °t khæng ch¿nh, ¡nh gi¡ ên ành v  c¡c v½ dư minh håa º lm cỡ s cho viằc trẳnh by chữỡng Chữỡng trẳnh by mởt số kát quÊ mợi và Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh v phữỡng trẳnh phi tuyán kiu Burgers vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu Luên vôn ữủc thỹc hiằn tÔi Trữớng Ôi hồc Vinh dữợi sỹ hữợng dăn cừa thƯy giĂo, TS Nguyạn Vôn ực TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc cừa mẳnh án ThƯy Nh¥n dàp n y, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chừ nhiằm o tÔo Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm khoa Sữ phÔm ToĂn hồc v cÊm ỡn cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo bở mổn GiÊi tẵch, khoa Sữ phÔm ToĂn hồc  nhiằt tẳnh giÊng dÔy v  gióp ï t¡c gi£ st thíi gian håc têp v hon thnh luên vôn ny Cuối cũng, tĂc giÊ xin cÊm ỡn gia ẳnh, ỗng nghiằp, bÔn b, c biằt l cĂc bÔn lợp Cao hồc 20 GiÊi tẵch  cởng tĂc, giúp ù v ởng viản tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu Mc dũ  cõ nhiÃu cố gưng luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá, thiáu sõt Chúng tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng ỵ kián gõp ỵ cừa cĂc thƯy giĂo, cổ giĂo v cĂc bÔn ồc  luên vôn ữủc hon thiằn hỡn xghằ enDthĂng HW nôm PHIR TĂc giÊ CHìèNG MậT Sẩ KIN THC BÊ TRĐ 1.1 B i to¡n °t khỉng ch¿nh C¡c ki¸n thực phƯn ny ữủc chúng tổi tham khÊo c¡c t i li»u [1, 9] Chóng tỉi tr¼nh b y kh¡i ni»m b i to¡n °t khỉng ch¿nh düa tr¶n cì sð xt mởt bi toĂn dÔng phữỡng trẳnh toĂn tỷ A(u) = f, ð ¥y A : E → F l  to¡n tû tø khỉng gian ành chu©n E v o khổng gian nh chuân F , f l phƯn tỷ thuởc F Sau Ơy l mởt nh nghắa cừa Hadamard 1.1.1 ành ngh¾a Cho A l  to¡n tû tø khæng gian Hilbert E v o khæng gian Hilbert F B i toĂn A(u) = f ữủc gồi l 1t hnh náu (i) Phữỡng trẳnh A(u) = f cõ nghiằm vợi mồi f ∈ F ; (ii) Nghi»m n y nh§t; (iii) Nghiằm phử thuởc liản tửc vo dỳ kiằn ban Ưu Náu mởt cĂc iÃu kiằn trản khổng thoÊ mÂn thẳ bi toĂn ữủc gồi l 1t khổng hnh Bi to¡n t¼m nghi»m u phư thc v o dú ki»n f nghắa l u = R(f ) ữủc gồi l ờn nh trản cp khổng gian (E, F ) náu vợi mội > tỗn tÔi mởt số () > cho náu f1 f2 () thẳ u1 − u2 ≤ ε, ð ¥y ui = R(fi ), ui ∈ E, fi ∈ F, i = 1, Trong nhiÃu ựng dửng thẳ vá phÊi cừa bi toĂn A(u) = f thữớng ữủc cho bi o Ôc, nghắa l thay cho giĂ tr chẵnh xĂc f ta ch biát xĐp x f cừa nõ thoÊ mÂn f − f ≤ δ Gi£ sû uδ l  nghi»m cừa phữỡng trẳnh A(u) = f vợi f thay bi f (giÊ thiát nghiằm tỗn tÔi) Khi thẳ f f vợi bi toĂn °t khỉng ch¿nh th¼ uδ nâi chung khỉng hëi tư án u 1.1.2 Vẵ dử Xt bi toĂn tẳm hm u tø h» ∂2u ∂x2 + ∂ u = 0, ∂y u(x, 0) = f (x), ∂u |y=0 = ϕ(x), −∞ < x < +∞, ∂y (1.1) õ f (x) v (x) l cĂc hm cho trữợc (i) Náu lĐy f (x) = f1 (x) v  ϕ(x) = ϕ1 (x) = a sin(ax) (a > 0) thẳ nghiằm cừa bi toĂn trản l u1 (x, y) = a2 sin(ax)sh(ay) (ii) Náu lĐy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ th¼ nghi»m cõa b i to¡n l  u2 (x, y) Vợi khoÊng cĂch giỳa cĂc hm cho trữợc v  nghi»m ÷đc x²t l  kho£ng c¡ch sinh tø chu©n sup, ta câ f1 − f2 = sup |f1 (x) − f2 (x)| = 0, x∈R ϕ1 − ϕ2 = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = x∈R a vợi a khĂ lợn thẳ khoÊng cĂch lÔi khĂ nhọ Trong õ, khoÊng cĂch giỳa cĂc nghi»m u1 − u2 = sup |u1 (x, y) − u2 (x, y)| x∈R = sup | x∈R = sin(ax)sh(ay)| a2 sh(ay), a2 vỵi y > cè nh lÔi lợn tuý ỵ Do õ bi toĂn khổng ờn nh 1.1.3 Vẵ dử Xt phữỡng trẳnh parabolic ngữủc thíi gian ut + Au = 0, < t < T, u(T ) − f ε (1.2) vỵi to¡n tỷ dữỡng tỹ liản hủp khổng b chn A cõ mởt cỡ s gỗm cĂc vectỡ riảng trỹc chuân {i }i khổng gian Hilbert H vợi chuân à , tữỡng ựng vợi cĂc giĂ tr riảng {i }i cho < λ1 λ2 ., lim λi = +∞ i→+∞ v  ε > ¢ cho Ta thĐy rơng (t) = trẳnh n (tT ) φn , λn e vt + Av = 0, v(T ) = λ1n φn v  v(t) = 0, t t T l  nghi»m cõa ph÷ìng < t < T, T l nghiằm cừa phữỡng trẳnh vt + Av = 0, v(T ) = Rã r ng (T ) − v(T ) = λ n n vợi mồi t [0, T ) ta câ < t < T, = λn φn = (t) − v(t) λn = → n → +∞ −λn (t−T ) φn λn e = → +∞ n → +∞ i·u n y chùng tä líi gi£i cõa b i to¡n khỉng phư thc liản tửc vo dỳ kiằn tÔi thới im cuối t = T Do â b i to¡n n y l  b i to¡n °t khæng ch¿nh λn (T −t) λn e 1.2 ¡nh gi¡ ên ành º ti»n lñi cho c¡c nghiản cựu và sau, mửc ny chúng tổi trẳnh b y c¡c kh¡i ni»m v· ¡nh gi¡ ên ành v  ch¿nh hâa b i to¡n °t khæng ch¿nh (xem [2]) Gi£ sỷ ta cƯn giÊi phữỡng trẳnh Au = f vợi A l toĂn tỷ (tuyán tẵnh hoc phi tuyán) tứ khæng gian h m X v o khæng gian h m Y n o â, cán f l  dú ki»n ¢ cho thc khỉng gian Y Khi b i to¡n °t khỉng ch¿nh, th¼ khỉng ph£i vỵi dú ki»n f n o b i to¡n cơng câ nghi»m v  th÷íng l  nghi»m cõa b i to¡n tỗn tÔi (theo mởt nghắa no õ), thẳ lới giÊi n y khỉng phư thc li¶n tưc (theo mët metric n o â) v o dú ki»n f Do t½nh khỉng ên ành n y cõa b i to¡n n¶n vi»c gi£i sè nâ gp khõ khôn Lỵ l mởt sai số nhọ dỳ kiằn cừa bi toĂn cõ th dăn án mởt sai số lợn bĐt ký lới giÊi Mửc ẵch cừa lỵ thuyát bi toĂn t khổng chnh l ÷a c¡c ph÷ìng ph¡p sè húu hi»u º gi£i cĂc bi toĂn ny mởt cĂch ờn nh  Ôt ữủc mửc ẵch õ trữợc hát phÊi nghiản cựu và t½nh ên 1ành ™â 1i·u ki»n cõa b i to¡n, nghắa l ch mởt lợp M no õ cừa khỉng gian X º líi gi£i cõa b i to¡n thc lợp ny phử thuởc liản tửc vo dỳ kiằn cừa b i to¡n C¡c ¡nh gi¡ n y khỉng ch¿ nâi l¶n tẵnh chĐt nh tẵnh cừa bi toĂn m cỏn giúp ta vi»c ph¡t triºn c¡c ph÷ìng ph¡p sè º gi£i b i to¡n v  ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng phĂp  ỡn giÊn, ta giÊ thiát rơng X v Y l cĂc khổng gian nh chuân vợi chuân tữỡng ùng l  · X v  · Y Gi£ sû rơng, náu ta chồn ữủc mởt têp hủp M v biát ữủc náu u M thẳ nõ s phử thuởc liản tửc vo f , nghắa l, tỗn tÔi mởt hm mởt bián thỹc, liản tửc, vợi (0) = 0, cho u X ω( f Y ) ¡nh gi¡ n y ÷đc gåi l  1¡nh gi¡ ên 1ành ([5]) v  tr÷íng hđp n y, b i to¡n ÷đc gåi l  ên 1ành ™â 1i·u ki»n hay ên 1ành theo nghắ ikhonov ([10]) (Tikhonov l ngữới Ưu tiản ữa nhên xt ny vo nôm 1943 ([11])) Têp M thữớng l  nhúng tªp m  ð â líi gi£i cõa b i toĂn cõ ỵ nghắa vêt lỵ, chng hÔn nhữ õ l  tªp m  ð â líi gi£i bà ch°n (nhi»t ở hoc vên tốc cừa mởt quĂ trẳnh vêt lỵ thẳ giợi nởi, ), hoc õ l mởt têp lỗi, têp cĂc hm khổng Ơm, têp cĂc hm ỡn iằu, Náu (t) = ct vợi > no õ, thẳ ta cõ 1Ănh giĂ ờn 1nh kiu rÔlder v  ta o câ mët "b i to¡n tèt" N¸u ω l mởt hm dÔng logarithm thẳ ta cõ 1Ănh giĂ ờn 1nh kiu logrithm - Ơy l "bi toĂn xĐu" Cán n¸u ta khỉng câ mët ¡nh gi¡ n o v· tốc ở tián tợi cừa (t) t thẳ ta cõ mởt "bi toĂn rĐt xĐu" CH×ÌNG NH GI ÊN ÀNH CHO PH×ÌNG TRœNH PARABOLIC PHI TUY˜N VỴI MI—N HœNH HÅC BÀ NHI™U 2.1 ¡nh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh thuên thới gian vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu Trong mưc n y, chóng tỉi so s¡nh nghi»m cõa hai b i to¡n sau: ∂u = (a(x, t)ux )x − (b(x, t)u)x + F (t, u), (x, t) ∈ (c, d) × (0, ∞), ∂t (2.1) u(c, t) = u(d, t) = 0, t ∈ [0, ∞), (2.2) u(x, 0) = g(x), x ∈ (c, d), (2.3) v  ∂v = (a(x, t)vx )x − (b(x, t)v)x + F (t, v), x ∈ (c, d), εf (x) < t, (2.4) ∂t v(c, t) = v(d, t) = 0, εf (x) t, (2.5) v(x, εf (x)) = g(x), x ∈ (c, d), (2.6) â |f (x)| < a0 1, a(x, t), (2.7) (2.8) F thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz F (t, w1 ) − F (t, w2 ) ≤ k w1 − w2 , (2.9) v  F (t, w) (2.10) k1 w2 + k2 wx Chóng ta giÊ sỷ rơng tỗn tÔi cĂc hơng số M v M1 cho |at | M a, |b|, |bx | (2.11) M1 °t h(x, t) = u(x, t) − v(x, t) v  h(t) sau d c h (x, t)dx = Ta cõ kát quÊ 2.1.1 nh lỵ ỗn tÔi mởt hm F1(t) h phử thuở vo dỳ kiằn n 1Ưu so ho vợi > 1ừ nhä t— ™â 1¡nh gi¡ h(t) (2.12) εF1 (t) ghùng minhF Ta câ ∂h = (ahx )x − (bh)x + G(h), t > ε, ∂t (2.13) h(c, t) = h(d, t) = 0, t ≥ ε v  G(h) = F (t, u) − F (t, v) (2.14) k u−v =k h Hìn núa d d h dt d =2 hht dx = c c d =2 c h ((ahx )x − (bh)x + G(h)) dx d h (ahx )x dx − h(bh)x dx + c ah2 dx x = ahhx − c − bh d ah2 dx x c d d − d bhhx dx + c hG(h)dx c d − d c c d hG(h)dx c d d = −2 d bx h dx + c hG(h)dx c (2.15) bx h2 dx + hG(h) − c Tø (2.11), (2.14) v  (2.15), ta ÷đc d h(t) dt d h2 dx + h G(h) M1 c (M1 + 2k) h , 10 hay d dt h(t) e(M1 +2k)t Tẵch phƠn cÊ hai vá cừa bĐt ng thực trản tứ án t, ta ÷đc h(t) (2.16) h(ε) e(M1 +2k)(t−ε) Tiáp theo ta Ănh giĂ cên trản cừa h() Ta câ ε u(x, ε) = g(x) + ut (x, t)dt, ε v(x, ε) = g(x) + vt (x, t)dt εf Do â d h(ε) 2 ε ε ut (x, t)dt − = c dx vt (x, t)dt εf ¯ng thùc tr¶n k²o theo d h(ε) 2 ε ut (x, t)dt c dx + d vt (x, t)dt c d h(ε) ε d ε + (ε − εf ) c c ε d d ut (x, t)dtdx + ε(1 − f ) = 3ε c c 2, ta câ ε u2 (x, t)dtdx t ε d d c vt (x, t)dtdx εf ε vt (x, t)dtdx εf ε u2 (x, t)dxdt + t 3ε dx εf Sû dưng b§t ¯ng thùc Schwarz vợi ỵ f (x) 2 ε vt (x, t)dtdx c εf (2.17) 3ε (J1 + J2 ) , â J1 v  J2 ÷đc x¡c ành bði ε d u2 dxdt, t J1 = c d ε vt dtdx J2 = c εf 34 Tø (2.105) v  (2.107), ta câ d J3 gx dx + N c (N + N1 ) a0 d g dx + c 2 (N + N1 )N1 a0 ε d u2 dxdt c (2.108) Tø (2.106) ta câ d dt d d N1 a0 u2 dx c u2 dx c Tẵch phƠn cÊ hai vá cừa bĐt ng thực trản tứ án t, ta ữủc d d u dx c °t ψ(t) = c t d c u dxds t N1 g dx + a0 d u2 dxds c Ta câ ψ (t) − d N1 ψ(t) a0 g dx, c hay  N1 − t d   ψ(t)e a0   dt N1 d t − g dx e a0  d g dx c c Tẵch phƠn cÊ hai vá cừa bĐt ng thực trản tứ án , ta ữủc () N1 ε d g dx e a0 , ε c hay ε d d u2 dxdt c ε N1 ε g dx e a0 (2.109) c Tø (2.108) v  (2.109), ta câ  J3  N1 ε d ε 2 2  N gx dx +  (N + N1 )N1 e a0 + (N + N1 ) a0 a0 c d g dx c (2.110) 35 B¥y giớ ta Ănh giĂ cên trản cừa J4 Kỵ hi»u Σ, nx v  nt nh÷ mưc 2.1 Ta câ ε d vt ((avx )x − vvx ) dtdx J4 = εf c d ε d ε vt (avx )x dtdx − = c εf d vt vvx dtdx c εf ε =− d c εf =− − − 2 (avx )t dtdx εf c vt vvx dtdx Σ ε d ε avt vx nx dσ − avtx vx dtdx + + c εf ε d d at vx dtdx c avt vx nx dσ − + εf ε Σ vt vvx dtdx c εf d ε N d ε v dx + N2 |vt vx |dtdx + avt vx nx dσ + c εf x Σ c εf Σ d ε N N2 d ε 2 avx nt dσ + avt vx nx dσ + + vx dtdx + v dtdx 2 c εf t Σ Σ c εf avx nt dσ i·u n y chùng tä r¬ng d avx nt dσ − J4 +2 avt vx nx dσ + (N + Σ vx dtdx c Σ Σ εf N2 ) d (N + + a0 avx nt dσ avx (vt nx − vx nt )dσ + ε N2 ) Σ ε avx dtdx c εf (2.111) Tø (2.95)(2.97), ta câ d ε d avx dtdx c − εf v(avx )x dtdx + c d εf ε avx dtdx c εf ε c avx gnx dσ − Σ Suy d c d εf g nt dσ + N2 Σ εf Σ v vx dtdx + vvt dtdx − c avx gnx dσ εf d ε ε =− − ε avx gnx dσ Σ |vvx |dtdx + g nt dσ + Σ avx gnx dσ Σ d ε avx dtdx c εf d N2 + 2 N2 avx gnx dσ − g nt dσ + a0 Σ Σ ε c d εf v dtdx a ε v dtdx c εf (2.112) 36 Tø (2.111) v  (2.112), ta câ J4 Σ + avx nt dσ avx (vt nx − vx nt )dσ + Σ N2 (N + a2 ε d N2 ) N + N2 v dtdx + a0 εf c g nt dσ avx gnx dσ − Σ Σ (2.113) Hìn núa ε d d 2 v dtdx εf c (2.114) g dx 8ε J4 + 4ε c Tø (2.113) v  (2.114), ta ÷đc J4 Σ + avx nt dσ + avx (vt nx − vx nt )dσ + Σ 4N2 (N + d N2 )ε N + N2 a0 g dx + a2 c Gi£ sû ε > õ nhä cho 2 8N2 (N + N2 )ε2 1− a2 2 8N2 (N + N2 )ε2 J4 a2 g nt dσ avx gnx dσ − Σ Σ (2.115) γ1 > Tø (2.115) ta câ γ1 J4 avx (vt nx − vx nt )dσ + Σ + γ2 + γ2 avx nt dσ Σ N2 N+ a0 Σ avx dσ a(vt nx − vx nt ) dσ + γ2 Σ γ3 Σ g n2 dσ + γ3 x Σ avx dσ −δ Σ N+ a0 g dx c Σ 2 N2 d g nt dσ avx gnx dσ − 2 4N2 (N + N2 )ε + a2 avx dσ − Σ N2 g nt dσ Σ ag n2 dσ − g nt dσ x γ3 Σ Σ Σ d 2 4N2 (N + N2 )ε N + N2 + avx dσ, g dx + γ2 + γ3 − δ a0 a0 c Σ (2.116) a(vt nx − vx nt )2 dσ + N+ a0 2 4N2 (N + N2 )ε + a2 d g dx c 37 vỵi v l cĂc hơng số dữỡng tũy ỵ Chån γ2 v  γ3 cho N + N2 γ2 + γ3 − δ = a0 Ta ÷đc γ1 J4 N γ2 + d gx dx c N2 N+ a0 2 4N2 (N + N2 )ε + a2 ag n2 dσ − x γ3 Σ d g dx c g nt dσ (2.117) Σ Tø (2.110) v  (2.117), ta kát luên ữủc J3 v J4 b chn iÃu ny chựng tọ rơng tỗn tÔi cĂc hơng số Q3 v  Q4 cho h(ε) 3ε Q3 + Q4 γ1 (2.118) Tø (2.103) v  (2.118), ta suy h(t) 3ε Q3 + t−ε Q4 exp (N1 + 2N2 )2 2a0 nh lỵ ữủc chựng minh 2.4 Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh phi tuyán kiu Burgers ngữủc thới gian vợi miÃn hẳnh håc bà nhi¹u Trong mưc n y, chóng tỉi so s¡nh nghi»m cõa hai b i to¡n ∂u = − (a(x, t)ux )x + uux , (x, t) ∈ (c, d) × (0, T ), ∂t u(c, t) = u(d, t) = 0, t ∈ [0, T ], u(x, 0) = g(x), x ∈ (c, d), (2.119) ∂v = − (a(x, t)vx )x + vvx , x ∈ (c, d), εf (x) < t < T, ∂t v(c, t) = v(d, t) = 0, εf (x) t T, v(x, εf (x)) = g(x), x ∈ (c, d), (2.122) (2.120) (2.121) v  (2.123) (2.124) 38 â |f (x)| < a0 1, a(x, t) v  a, |at | N (2.125) Chóng tỉi giÊ thiát rơng |u|, |ux | N3 |vx | N4 u(T ) + v(T ) N5 , 2 − Σ avx nt dσ N6 , v (2.126) (2.127) õ nt  nảu mửc 2.1 °t h(x, t) = u(x, t) − v(x, t) v  h(t) sau = d c h (x, t)dx Ta cõ kát quÊ 2.4.1 nh lỵ ỗn tÔi mët h m sè F4(t) ™h¿ phö thuë™ v o dú ki»n n 1Ưu so ho vợi > 1ừ nhọ t— ™â 1¡nh gi¡ h(t) εδ3 (t) F4 (t), (2.128) 1â e−λ3 ε − e−λ3 t δ3 (t) = − −λ ε ∈ (0, 1) e − e−λ3 T vỵi N + N3 λ3 = a0 ghùng minhF Ta câ ∂h = −(ahx )x + uhx + vx h, ε < t < T ∂t (2.129) v  h(c, t) = h(d, t) = 0, t ∈ [ε, T ] Gi£ sû h(t) > 0, ∀t ∈ [ε, T ] °t l(t) = d c (2vx − ux )h dx , d h dx c T ω = h exp φ(t) = ω l(s)ds , t d ω dx = c 39 Ta câ |l(t)| 2N4 + N3 , ∀t ∈ [ε, T ], ∂ω = −(aωx )x + uωx + vx ω − l(t)ω, ∂t d d aωx dx φ (t) = (2.130) c d ω dx (2vx − ux )ω dx − l(t) + c (2.131) c M°t kh¡c d l(t) ω dx = c = d d c (2vx − ux )h dx h2 exp d c c h dx d (2vx − ux )ω dx c T l(s)ds dx t (2.132) Tø (2.131) v  (2.132), ta suy d aωx dx, φ (t) = c hay φ (t) = φ(t) d c aωx dx d c ω dx (2.133) °t ϕ = uωx + vx ω − l(t)ω Ta câ d d ω dx dt c φ (t) φ(t) d d at ωx dx c ϕ2 dx − (2.134) c Hìn núa 2 1 2 ϕ = uωx + vx ω − l(t)ω 2u ωx + vx − l(t) ω 2 2 1 2 2 2N3 ωx + vx − l(t) ω 2N3 ωx + 2N4 + N3 2 2 ω2 (2.135) 40 Tø (2.125), (2.134) v  (2.135), ta ÷đc d d ω dx dt c d φ (t) φ(t) −2 N + N3 ωx c N + N3 −2 a0 − 2N4 + N3 d aωx dx c d ω dx c d − 2N4 + N3 dx c (2.136) Vẳ vêy d dt φ (t) φ(t) −λ3 φ (t) − λ4 , φ(t) (2.137) 2 N + N3 v  λ4 = 2N4 + N3 vỵi λ3 = a0 Tø (2.136) ta suy     λ4 ε 1−µ2 (t) λ4 T µ2 (t)     φ(t) e−λ4 t/λ3 φ(T )e λ3  , φ(ε)e λ3  â e−λ3 ε − e−λ3 t µ2 (t) = −λ ε e − e−λ3 T i·u n y chùng tä r¬ng h(t) 2 δ3 (t) h(ε) F4 (t), (2.138) vỵi δ3 (t) = − µ2 (t) M°t kh¡c, ta câ h(ε) ε 3ε (J3 + J4 ) , d d (2.139) ε â J3 = c u2 dxdt v  J4 = c εf vt dtdx t B¥y gií ta Ănh giĂ cên trản cừa J3 t (T, t) = T −t T −ε Ta câ T d ρu2 dxdt t J3 c (2.140) 41 Hìn núa T d T ρu2 dxdt t = ρut (−(aux )x + uux ) dxdt c T = d c d aρu2 t dxdt x c T − T d ρat u2 dxdt x c T d au2 dxdt x c d + ρut uux dxdt c d T TN 2(T − ε) u2 dxdt x c d T d T + 2(T − ε) au2 dxdt x c ρ|ut ux |dxdt + N3 c T d T TN aux dxdt + 2(T − ε)a0 c 2(T − ε) N3 T d T d ρut dxdt + ρux dxdt + c c Suy d T ρu2 dxdt t c + 2(T − ε) d au2 dxdt x c d d T T TN aux dxdt + au2 dxdt x (T − ε)a0 c (T − ε) c T d T N3 + au2 dxdt x (T − ε)a0 c d T T a0 au2 dxdt (2.141) N + N3 + x (T − ε)a0 T c M°t kh¡c, ta câ T d T au2 dxdt x c T d =− u(aux )x dxdt c d T d u(ut − uux )dxdt = = 0 c u(T ) T T d ux u2 dxdt uut dxdt − c c d (2.142) u2 dxdt + N3 c Tø (2.140)(2.142), ta ÷đc J3 T a0 N + N3 + (T − ε)a0 T u(T ) T d u2 dxdt + N3 c (2.143) 42 LÔi cõ d dt d d d au2 dx x u dx = c d +2 c u2 dx, −2N3 ux u dx c c hay d d dt u2 dx e2N3 t c T½ch phƠn cÊ hai vá cừa bĐt ng thực trản tứ t án T , ta ữủc d d u2 dx c u2 (T )dx e2N3 (T −t) (2.144) u(T ) e2N3 T c Tø (2.143) v  (2.144), ta câ + N3 T e2N3 T a0 T N + N3 + (T − ε)a0 T J3 u(T ) (2.145) B¥y gií ta ¡nh gi¡ cên trản cừa J4 Kỵ hiằu v nx nh÷ mưc 2.1 °t ρ(T, t) = T −t , t > εf (x) T −ε Ta câ d T (2.146) vt dtdx J4 c f LÔi cõ d T d ρvt dtdx c = = ρvt (−(avx )x + vvx ) dtdx εf + c d c T εf T εf aρvx t dtdx − 2(T − ε) d d T ρat vx dtdx c εf T d avx dtdx − c ε aρvx nt dσ + Σ + 2(T − ε) d T +ε N 2a0 T − ε Σ d ρvt vvx dtdx c εf T avx dtdx c εf T d avx dtdx c T aρvt vx nx dσ + ε − T aρvt vx nx dσ + N4 Σ ρ|vt v|dtdx c εf 43 T d 2 aρvx nt dσ − ρ|vt v|dtdx aρvt vx nx dσ + N4 Σ Σ εf c d (T + ε)N + a0 + 2(T − ε)a0 T (2.147) avx dtdx c εf Tø (2.147) v  b T ρ|vt v|dtdx N4 a εf T d ρvt dtdx εf c N4 + T d ρv dtdx, εf c ta ÷đc d T c d (T + ε)N4 − aρvt vx nx dσ + T −ε Σ Σ d T (T + ε)N + a0 avx dtdx + (T − ε)a0 c εf ρvt dtdx T aρvx nt dσ εf v dtdx c εf (2.148) Tø (2.122)(2.124), ta câ d T d avx dtdx c T =− v(avx )x dtdx + εf c d εf T d T vx v dtdx + vvt dtdx − = εf c v(T ) c b avvx nx dσ Σ T v dtdx + + N4 a avvx nx dσ Σ εf εf avvx nx dσ Σ (2.149) Tø (2.146), (2.148) v  (2.149), ta ÷đc J4 ((T + ε)N + a0 )N4 (T + ε)N4 + + (T − ε)a0 T −ε Σ (T + ε)N + a0 v(T ) + − aρvt vx nx dσ + (T − ε)a0 Σ d T aρvx nt dσ v dtdx c avvx nx d Lêp luên tữỡng tỹ nhữ (2.144), ta câ d dt d t d v dx v dsdx = c εf c εf v(T ) e2N4 (T +) (2.150) 44 Tẵch phƠn cÊ hai vá cừa bĐt ng thực trản tứ f án T , ta ữủc d T v dtdx c (T + ε) v(T ) e2N4 (T +ε) f Vẳ vêy avx nt d J4 aρvt vnx dσ + C7 v(T ) Σ + Σ (T + ε)N + a0 avx vnx dσ, (T − ε)a0 Σ (2.151) â ((T + ε)N + a0 ) N4 (T + ε)N4 + (T − ε)a0 T −ε C7 = (T + ε)e2N4 (T +ε) + (T + ε)N + a0 2(T − ε)a0 Ta câ aρvx nt dσ − Σ aρvt vx nx dσ Σ = −2 cρvx nt dσ ρavx (vx nt − vt nx )dσ − Σ Σ a(vx nt − vt nx )2 dσ + Σ ρ2 avx dσ − Σ d gx dx − N c T +ε T −ε δ aρvx nt dσ Σ + T +ε T −ε (2.152) avx nt dσ, Σ v  avx dσ + avx vnx dσ Σ Σ av n2 dσ x Σ − δ avx nt dσ + Σ N g n2 dσ x Σ (2.153) Tø (2.151)(2.153) v  (2.127), ta ÷đc d J4 ((T + ε)N + a0 )N 4(T − ε)a0 c d ((T + ε)N + a0 )N N gx dx + 4(T − ε)a0 c N g n2 dσ − C8 x gx dx + Σ avx nt dσ + C7 v(T ) Σ g n2 dσ + C8 N6 + C7 v(T ) , x Σ vỵi C8 = δ T +ε T −ε + T + ε (T + ε)N + a0 + T − ε δ (T − ε)a0 (2.154) 45 Tø (2.127), (2.145) v  (2.154), ta kát luên ữủc J3 v J4 b chn Tứ (2.138) v (2.139), ta kát luên rơng tỗn tÔi mët h m sè F4 (t) ch¿ phö thuëc v o dú kiằn ban Ưu cho vợi > ừ nhọ ta cõ Ănh giĂ h(t) nh lỵ ữủc chựng minh εδ3 (t) F4 (t) 46 K˜T LUŠN Kát quÊ Ôt ữủc Luên vôn ny l Tr¼nh b y kh¡i ni»m b i to¡n °t khỉng ch¿nh, ¡nh gi¡ ên ành v  c¡c v½ dư minh håa à xuĐt v chựng minh nh lỵ 2.1.1 và Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh thuên thới gian vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu à xuĐt v chựng minh nh lỵ 2.2.1 và Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh ngữủc thới gian vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu ữa Hằ quÊ 2.2.2 v Nhên xt 2.2.3 à xuĐt v chựng minh nh lỵ 2.3.1 và Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh phi tuyán kiu Burgers thuên thới gian vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu à xuĐt v chựng minh nh lỵ 2.4.1 và Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh phi tuyán kiu Burgers thuên thới gian vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu TI LIU THAM KHO [1] PhÔm Ký Anh (2007), fi toĂn 1t khổng hnhD HQG H Nởi [2] PhÔm Minh HiÃn (2007), fi toĂn guhy ho mởt số phữỡng trẳnh ellipti Đp hi, Luên Ăn tián sắ ToĂn hồc, Viằn To¡n håc, H  Nëi [3] Ames K A and Straughan B (1997), xonEst—nd—rd —nd smproperly €osed €ro˜lems, Mathematics in Science and Engineering,Vol , Academic Press 194 [4] Ames K A and Straughan B (1995), Estimates of the Error in the Initial-Time Geometry for a Parabolic Equation from Dynamo Theory, tourn—l of hifferenti—l iqu—tions, 123, 153-170 [5] Baumeister J (1987), ƒt—˜le ƒolution of snverse €ro˜lemsD Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig [6] Crooke P S and Payne L E (1984), Continuous Dependence on Geometry for the Backward Heat Equation, w—thF wethF in the epplF ƒ™iF6, 433448 [7] Payne L E and Straughan B (1990), Effects of errors in the initialtime geometry on the solution of the heat equation in an exterior domain, we™hF —pplF w—thF 43, 7586 [8] Payne L E (1975), smproperly €osed €ro˜lems in €—rti—l hifferenE ti—l iqu—tions, SIAM, Philadelphia [9] Andreas Kirsch (1996), en sntrodu™tion to the w—them—ti™—l „heory of snverse €ro˜lems, Springer [10] Isakov V (1998), snverse €ro˜lems for €—rti—l hifferenti—l iqu—E tions, Springer-Verlag, New York 47 48 [11] Tikhonov A N (1943), "On the stability of inverse problems", hoklF ek—dF x—uk ƒƒƒ‚, , No , pp 195-198 (Russian) 39 ... trẳnh parabolic, cho án chúng tổi thĐy cõ rĐt ẵt kát quÊ theo hữợng nghiản cựu ny  têp dữủt nghiản cựu cụng nhữ  lm phong phú thảm cĂc kát quÊ và Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic phi. .. ti cho Luên vôn cừa mẳnh l : "Ănh giĂ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic phi tuyán vợi miÃn hẳnh hồc b nhiạu" Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn nhơm à xuĐt mởt số kát quÊ mợi và Ănh giĂ ờn nh cho. .. mởt "bi toĂn rĐt xĐu" CHìèNG NH GI ÊN ÀNH CHO PH×ÌNG TRœNH PARABOLIC PHI TUY˜N VỴI MI—N HœNH HÅC BÀ NHI™U 2.1 ¡nh gi¡ ờn nh cho phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh thuên thới gian vợi