BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH HƯNG CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH HƯNG CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An – 2013 MỞ ĐẦU Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là một bất biến quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. Khái niệm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là một trong những minh họa cụ thể cho việc áp dụng các phương pháp đồng điều vào viêc nghiên cứu một số vấn đề của Hình học đại số và Đại số giao hoán. Nó cung cấp nhiều thông tin về độ phức tạp của những cấu trúc đại số phân bậc. Hàm Hilbert-Samuel ( ) ( / ) n I H n l A I  và đa thức Hilbert-Samuel ( ) I P n cũng là đối tượng quan trọng trong Đại số giao hoán. Gần đây người ta đã thiết lập mối liên quan mới giữa chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và những khái niệm khác như số mũ rút gọn, cơ sở Groebner, đa thức Hilbert-Samuel. Luận văn trình bày lại bài báo của Cao Huy Linh [4]. Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia thành 2 chương. Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở và kết quả cần thiết sử dụng trong luận văn. Trong chương 2, chúng tôi trình bày về chỉ số chính quy của môđun phân bậc, chặn trên cho hàm Hilbert-Samuel và chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết của môđun phân bậc hữu hạn sinh đối với iđêan m-nguyên sơ. Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Độ dài của môđun 1.1.1. Định nghĩa. Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một môđun đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chính nó. 1.1.2. Định nghĩa. Một dãy hợp thành của một R - môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con 0 1 {0} n M M M M      sao cho 1 / i i M M  là một môđun đơn, 1, , i n  . Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành này. 1.1.3. Ví dụ. Một không gian vectơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều hữu hạn. Một không gian vectơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó có chiều d . Vành số nguyên  là một  -môđun không có dãy hợp thành. 1.1.4. Định lí. Nếu R - môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n , thì tất cả các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n . Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành. Từ Định lí 1.1.4 ta có định nghĩa sau. 1.1.5. Định nghĩa. Độ dài của các dãy hợp thành tùy ý của R - môđun M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là ( ) R l M hoặc đơn giản là ( ) l M . Nếu R - môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài ( ) R l M   và gọi nó là môđun có độ dài vô hạn. 1.1.6. Ví dụ. (i) Độ dài của một không gian vectơ chính là số chiều của không gian vectơ đó. (ii) ( ) 1 l    . (iii) ( ) l     . (iv) ( ) / 6 ) 2 l     vì / 6   có 2 dãy hợp thành là 0 2 / 6 / 6       hoặc dãy hợp thành 0 3 / 6 /6       . 1.2. Iđêan m-nguyên sơ 1.2.1. Định nghĩa. Cho I là một iđêan của R . Ta nói rằng I là iđêan nguyên sơ của R nếu (i) I là iđêan thực sự của R và (ii) , a b R   với ab I  mà a I  thì I b  . Điều kiện (ii) trong Định nghĩa 1.2.1 có thể diễn đạt như sau: , a b R   với ab I  kéo theo a I  thì n    sao cho n I b  . 1.2.2. Ví dụ. (i) Iđêan nguyên sơ trong vành số nguyên  là 0 và p  với p là số nguyên tố. (ii) Mỗi iđêan nguyên tố của vành R là iđêan nguyên sơ. 1.2.3. Mệnh đề. Cho I là iđêan nguyên sơ của vành R . Khi đó : I P  là iđêan nguyên tố của vành R , ta nói rằng I là p -nguyên sơ. Hơn nữa, p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất chứa I của R theo quan hệ bao hàm, hay mỗi iđêan nguyên tố của R mà chứa I thì phải chứa p . 1.2.4. Mệnh đề. Giả sử I là iđêan của vành R thỏa mãn I  m là một iđêan cực đại của R . Khi đó I là iđêan nguyên sơ của vành R , và ta nói rằng I là iđêan m-nguyên sơ của R . 1.2.5. Ví dụ. Mọi lũy thừa dương n m ( ) n   của iđêan cực đại m là iđêan m-nguyên sơ. 1.3. Vành và môđun phân bậc 1.3.1. Định nghĩa. Vành R được gọi là  -phân bậc nếu i i Z R R    xét như nhóm cộng, và ; i j i j R R R   với mọi , i j   . Hơn nữa nếu 0 i R  với mọi 0 i  , thì gọi R là vành phân bậc dương, hay  -phân bậc. Môđun M trên vành  -phân bậc R được gọi là  -phân bậc nếu i i Z M M    xét như nhóm cộng, và i j i j R M M   , với mọi , i j   . Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R , thì gọi phần tử x của i R (hoặc i M ) là phần tử thuần nhất bậc i . Kí hiệu deg( ) x i  . Ta qui ước bậc của phần tử 0 là một số nguyên tùy ý. Như vậy, nếu a R  và x M  là các phần tử thuần nhất, thì deg( ) deg( ) deg( ) ax a x   , hoặc 0 ax  . Từ định nghĩa suy ra 0 R là một vành con của R và mỗi thành phần phân bậc i M là 0 R -môđun. Nếu x M  và 1 i j i x x x x      với , ; , k k x M i k j i j      . thì k x (có thể 0 k x  ) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần phân bậc k của x. Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng của các thành phần phân bậc. Cho S là vành con của vành R ( không nhất thiết phân bậc). Khi đó người ta gọi R là S -đại số. Nếu 1 , , n a a R  , kí hiệu 1 [ , , ] n S a a là tập hợp các tổ hợp tuyến tính trên S của các phần tử 1 1 , , n n p p a a với 1 )( , , n n p p   . Tập hợp này rõ ràng là vành con của R . Có thể xem nó như các vành đa thức, nhưng 1 , , n a a ở đây không phải là các biến độc lập. Nếu tồn tại 1 , , n a a R  để 1 [ , , ] n R S a a  thì R được gọi là S -đại số hữu hạn sinh. 1.3.2. Định nghĩa. Vành phân bậc dương 0 i i R R    được gọi là vành phân bậc chuẩn trên 0 R nếu 0 1 [ ] R R R  . 1.3.3. Ví dụ. Xét vành đa thức n biến 1 ] [ , , n R K x x  . Gọi t R là tập hợp các đa thức thuần nhất bậc t , khi đó 0 t t R R    và tích của hai đa thức thuần nhất bậc t và s là đa thức thuần nhất bậc t s  . Do đó 1 ] [ , , n K x x là vành phân bậc. Hơn nữa 1 ] [ , , n K x x là vành phân bậc chuẩn vì 0 1 [ ] R R R  ở đây 0 1 , R K R  là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc nhất. 1.3.4. Định nghĩa. Môđun con N M  được gọi là môđun thuần nhất hay môđun con phân bậc nếu nó thỏa mãn một trong 3 điều kiện sau. (i) N sinh bởi các phần tử thuần nhất. (ii) Với mỗi x N  , mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N. (iii) ( ) i i N N M      . 1.3.5. Định nghĩa. Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc R . Đồng cấu môđun : f M N  được gọi là đồng cấu thuần nhất ( hay phân bậc ) nếu với mọi ; ( ) i i i f M N    . 1.3.6. Mệnh đề. (i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân) Kerf và ảnh Imf của nó là các môđun con thuần nhất. (ii) Nếu có dãy khớp M N P     các môđun phân bậc với các đồng cấu phân bậc, thì ta cũng có dãy khớp sau với mọi i   i i i M N P     1.3.7. Định nghĩa. Cho I là iđêan của vành giao hoán R và M là R môđun. Ta xây dựng các vành và môđun phân bậc tương ứng với I như sau (i) * 2 ( ) : / / I Gr R R I I IR     1 0 / n n n I I      Ta có * 0 ( ) / R R I  Phép toán trên * R 1 / n n a I I   , 1 / m m b I I   thì . ab ab  (modulo 1 n m I   ) Khi đó * 0 ( ) ( ( )) n I I n R Gr R Gr R      được gọi là vành phân bậc liên kết của R đối với iđêan I . (ii) 1 0 ( ) / n n I n Gr M I M I M      là * R -môđun phân bậc, gọi là môđun phân bậc liên kết của M đối với I với phép toán 1 / m m a I I   , 1 / n n x I M I   thì 1 . / m n m n a x ax I M I M      . 1.4. Chiều Krull 1.4.1. Định nghĩa. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R 0 1 n p p p    được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n . Cho p SpecR  , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với 0 p p  được gọi là độ cao của p và kí hiệu là ( ) ht p . Nghĩa là ( ) ht p = sup{ độ dài các xích nguyên tố với 0 p p  } Cho I là một iđêan của R , khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa ht(I) = inf { ht(p)/ p SpecR  , p I  } Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , kí hiệu dim R hay dim K R . Cho M là một R -môđun. Khi đó dim / R M R Ann được gọi là chiều Krull của môđun M, kí hiệu dimM hay dim K M . Từ đó suy ra dim dim M R  . 1.4.2. Ví dụ. 1) Với K là một trường thì chiều Krull của K là 0 vì K chỉ có 2 iđêan là (0) và K và (0) là iđêan nguyên tố duy nhất của K. Vậy dim 0 K K  . ( Nhớ rằng nếu xem K là K -không gian véctơ thì dim 1 V K  ) 2) dim 1   (vì mọi iđêan nguyên tố của vành các số nguyên  là (0) hoặc có dạng p  với p là số nguyên tố. Hơn nữa mọi iđêan p  với p nguyên tố là iđêan cực đại. Từ đó xích nguyên tố của  có độ dài lớn nhất có dạng (0) dim 1 K p      . 3) Xét vành đa thức 3 biến [ , , ] K x y z Ta có 2 3 dim [ , , ]/ ( ) ( ) 2 K x y z x y   . 1.5. Hệ tham số, số bội 1.5.1. Định nghĩa. Cho (R,m ) là một vành địa phương Noether, M là R-môđun với dim M d  . Hệ các phần tử 1 } { , , d x x của m được gọi là một hệ tham số của M nếu độ dài 1 ( / ( , , ) ) d l M x x M   và khi đó iđêan 1 ( , , ) d q x x R  được gọi là iđêan tham số. 1.5.2. Chú ý. Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại. 1.5.3. Mệnh đề. Cho (R,m) là vành địa phương Noether và 1 , , d x x là một hệ tham số của môđun M. Khi đó 1, dim / ( , ) , 1 i M x x M d i i d      . 1.5.4. Ví dụ. 1 { , , } n x x là một hệ tham số của vành chuỗi lũy thừa hình thức . 1 [[ , , ]] n K x x . 1.5.5. Định nghĩa. Cho q là iđêan tham số của M môđun, tức là iđêan sinh bởi d phần tử 1 2 , , , d a a a  m sao cho 1 2 ( / ( , , , ) ) d l M a a a M   . Khi đó ta gọi , ( ) ( / ) n q M n H n l M q M    là hàm Hilbert-Samuel, và khi 0 n  hàm này trở thành một đa thức, kí hiệu , ( ) q M P n . Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert- Samuel. 1.5.6. Nhận xét. Ta có , deg ( ) dim q M P n M d   Hơn nữa , 0 1 1 ( ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , ) 1 d q M d d n d n P n e q M e q M e q M d d                          (*) trong đó 0 1 ( , ), ( , ), , ( , ) d e q M e q M e q M là những số nguyên và 0 ( , ) 0 q M e  . Gọi 0 a là hệ số cao nhất của đa thức , ( ) q M P n thì 0 0 ( , ) ! e q M a d  . 1.5.7. Định nghĩa. (i) Số tự nhiên 0 ( , ) e q M trong khai triển (*) của , ( ) q M P n được gọi là số bội của M đối với iđêan tham số q. (ii) Đặc biệt q= m thì ta kí hiệu số bội 0 ( , ) ( , ) ( ) e q M e q M e M   và gọi nó là số bội của môđun M. [...]... TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVOMUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT 2.1 Chỉ số chính quy của môđun phân bậc Trong suốt phần này, cho R   n0 Rn là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành Artin địa phương R0 Cho E là R -môđun phân bậc hữu hạn sinh Ta nói E là m -chính quy với m là số nguyên nếu H i R  ( E )n  0 ; với mọi i  0 và n  m  i  1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E) của. .. 2.3 Chặn trên cho chỉ số chính quy của các môđun phân bậc liên kết Trong phần này, giả sử (A,m ) là một vành Noether địa phương với trường thặng dư vô hạn và I là iđêan m-nguyên sơ Cho M là R -môđun hữu hạn sinh Mục đích chính ở đây là đưa ra chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của GI ( M ) theo chiều và bậc mở rộng đối với I 2.3.1 Bổ đề Giả sử x  I \ mI sao cho dạng khởi đầu x* của. .. quả về: 1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc 2 Chặn trên cho hàm Hilbert-Samuel của môđun M và chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết GI (M ) theo chiều của môđun M và bậc mở rộng đối với iđêan m-nguyên sơ I Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số máy tính - Cơ sở Grobner, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [2] M Brodmann and... quan hệ giữa chỉ số chính quy hình học của E và E / zE 2.1.8 Định lý Giả sử R   n0 Rn là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành Artin địa phương R0 Cho E là môđun phân bậc hữu hạn sinh, với dim( E )  1 Cho z  R1 là một phần tử E-lọc -chính quy và d ( E / zE )  m Nếu E / zE là m -chính quy hình học, thì E là (m  pE (m)  hE / L (m)) -chính quy hình học, ở đây kí hiệu L là môđun con lớn... -môđun Cohen-Macaulay Trivedi chứng minh được rằng H M (n)  PM (n) với mọi n  (12e( I , M )5 )( d 1)!1 Tuy nhiên Bổ đề 2.4 chứng minh rằng H M (n)  PM (n) với n  reg (GI (M )) Vì vậy Hệ quả 2.3.5 cho ta một chặn trên tốt hơn cho số giả định KẾT LUẬN Luận văn dựa vào tài liệu tham khảo [4] Chúng tôi trình bày lại các kết quả về: 1 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc 2 Chặn. .. nghĩa Cho (R,m) là vành địa phương Noether Khi đó độ dài của dãy chính quy cực đại trong m kí hiệu là depth(m, M) hay depth(M) và được gọi là độ sâu của môđun M 1.6.4 Định nghĩa Cho M là R -môđun Phần tử a  R được gọi là phần tử lọc chính quy của M nếu l (0 :M a )   1.6.5 Chú ý (i) Cho M là R -môđun Ta luôn có depthM  dim M (ii) Một phần tử là chính quy thì nó là phần tử lọc chính quy 1.7 Môđun. .. không là ước của 0 của môđun M / ( x1 , , xi1 ) M ,  i  1, 2, , t 1.6.2 Định nghĩa Cho I  R là một iđêan Nếu x1 , , xt  I và là dãy chính quy thì dãy {x1 , , xt } được gọi là dãy M -chính quy cực đại nếu không tồn tại y  I để {x1 , , xt , y} là một dãy M -chính quy và t được gọi là độ dài của dãy trên Cho R là vành địa phương và I  R là một iđêan Khi đó độ dài của hai dãy Mchính quy cực đại nằm... (n)  e( R ) d n  các số hạng bậc thấp hơn d! Vì vậy e( R)  1 1.6 Dãy chính quy 1.6.1 Định nghĩa Cho M là R -môđun (i) Phần tử x  R, x  0 được gọi là ước của 0 đối với M nếu tồn tại phần tử m  M , m  0 sao cho xm  0 (ii) Phần tử x  R được gọi là M -chính quy nếu M  xM và x không là ước của 0 đối với M (iii) Một dãy {x1 , , xt } các phần tử của R được gọi là dãy chính quy của M hay M-dãy nếu... định là số nguyên m nhỏ nhất sao cho E là m -chính quy, có nghĩa là : reg ( E ) : min { m / E là m -chính quy} Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford cũng có thể đặc trưng theo cách khác Cho ai ( E )  max n   / H i R ( E ) n  0 nếu H i R  ( E )  0 và ai ( E )   Ta đã biết rằng reg ( E )  max ai ( E )  i : i  0 2.1.1 Bổ đề Cho 0  L  E  N  0 là một dãy khớp các R -môđun phân bậc hữu... ) của E là số nguyên m nhỏ nhất để cho E là m -chính quy hình học 2.1.4 Bổ đề (Xem [2, Định lý 15.2.5]) Nếu H i R  ( E )mi1  0 với i  1 thì E là m -chính quy hình học Từ bổ đề này chúng ta có các kéo theo sau đây: E là m -chính quy  E là m -chính quy yếu  E là m -chính quy hình học Nhớ lại rằng một phần tử x thuần nhất của R được gọi là một phần tử E-lọc -chính quy nếu (0 E : x)n  0 với n  0 (xem . trình bày về chỉ số chính quy của môđun phân bậc, chặn trên cho hàm Hilbert-Samuel và chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết của môđun phân bậc hữu hạn. Chương 2. CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO- MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT 2.1. Chỉ số chính quy của môđun phân bậc Trong suốt phần này, cho 0 n n R R    là vành phân bậc chuẩn. HỌC VINH NGUYỄN THANH HƯNG CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN