1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Hilbert tính chất 1.2 Đạo hàm Frechet tính chất Chương 2: Các kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian 11 2.1 Giới thiệu toán 11 2.2 Khái niệm đánh giá ổn định ví dụ minh họa 12 2.3 Đánh giá ổn định 19 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 LỜI NÓI ĐẦU Một vấn đề nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh việc tìm đánh giá ổn định Các đánh giá cho ta biết tốn "xấu" đến mức nào, để từ đưa phương pháp số hữu hiệu Ngoài ra, đánh giá ổn định quan trọng việc chứng minh hội tụ đánh giá sai số phương pháp chỉnh giải tốn đặt khơng chỉnh Cho đến nay, đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận chủ yếu cho phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian điều kiện biên ([5]) Các đánh giá thường nhận cho chuẩn L2 , kết nhận cho chuẩn khác Với mục đích nghiên cứu đánh giá ổn định cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian, hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Đức, tiếp cận hướng nghiên cứu thực đề tài:"Các kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian" Ngồi phần Mở đầu Kết luận nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1:Một số kiến thức bổ trợ Chương 2:Các kết đánh giá ổn định phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức bổ trợ cho nội dung phần chương 2, cụ thể trình bày số kiến thức không gian Hilbert đạo hàm Frechet Trong chương đề xuất kết đánh giá ổn định phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian dạng ut + A(t, u)u = f (t, u(t)), < t u(T ) − ϕ với ràng buộc ui (0) T, E , i=1,2, E số thực dương, A(t, u) hàm thoả mãn điều kiện A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 , u1 − u2 0, ∀t ∈ [0, T ] f thỏa mãn điều kiện Lipschitz f (t, w1 ) − f (t, w2 ) với số k k w1 − w2 không phụ thuộc vào t, w1 ,và w2 Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức giúp đỡ thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa Tốn-trường Đại học Vinh với gia đình bạn bè Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức -người dành cho tác giả quan tâm giũp đỡ tận tình chu đáo suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến khoa Toán, khoa Sau đại học, thầy tổ Giải tích -khoa Tốn - Đại học Vinh giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hồn thành luận văn Vì khả thân nhiều hạn chế nên luận văn hẳn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận đươc góp ý q thầy cô bạn Nghệ An,năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Tình CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Khơng gian Hilbert tính chất 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Ta kí hiệu K trường số thực R trường số phức C Một khơng gian vectơ ( hay khơng gian tuyến tính) K tập E = ∅, có phép cộng E × E → E phép nhân vơ hướng K × E → E , thỏa mãn điều kiện 1) (x + y) + z = x + (y + z); 2) x + y = y + x; 3) ∃θ ∈ E, x + θ = θ + x = x; 4) ∃ − x ∈ E, x + (−x) = θ; 5) λ(x + y) = λx + λy; 6) (λ + µ)x = λx + µy; 7) (λµ)x = λ(µx); 8) · x = x với ∀x, y, z ∈ E , ∀λ, µ ∈ K Các phần tử không gian vectơ gọi vectơ 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho X khơng gian tuyến tính thực Ánh xạ : X → R gọi chuẩn (i) u 0, ∀u ∈ X ; u = ⇔ u = 0; (ii) λu = |λ| u , ∀u ∈ X, ∀λ ∈ R; (iii) u + v u + v , ∀u, v ∈ X Khơng gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Khơng gian tuyến tính, định chuẩn, đầy đủ gọi khơng gian Banach 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho H không gian tuyến tính thực Ánh xạ , : H × H → R gọi tích vơ hướng (i) u, v = v, u , ∀u, v ∈ H ; (ii)ánh xạ u → u, v tuyến tính với ∀v ∈ H ; (iii) u, u 0; (iv) u, u = ⇔ u = Không gian Banach với chuẩn sinh tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert 1.1.4 Bổ đề ([1])(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) Giả sử H khơng gian Hilbert, u, v u v , ∀u, v ∈ H 1.1.5 Định lý ([1]) Nếu H khơng gian Hilbert tích vơ hướng H ánh xạ liên tục: H × H → K, nghĩa (un , ) ⊂ H × H mà (un , ) → (u, v) ∈ H × H un , → u, v 1.1.6 Định nghĩa ([1]) Giả sử H không gian Hilbert, u v ∈ H Hai véctơ u, v gọi trực giao với (viết u⊥v ) u, v = 1.1.7 Định lý ([1]) Giả sử H không gian Hilbert, u v ∈ H Khi đó, u⊥v u+v = u + v 1.1.8 Định lý ([1])(Đẳng thức bình hành) Giả sử H khơng gian Hilbert, u v ∈ H, u+v + u−v = 2( u + v ) 1.1.9 Định nghĩa ([1]) Giả sử H không gian Hilbert, u ∈ H ; G ⊂ H ; F ⊂ H Ta nói u gọi trực giao với G, u⊥G u⊥v , ∀v ∈ G F gọi trực giao với G u⊥G, ∀u ∈ F Giả sử H , G hai không gian Hilbert, G ⊂ H Đặt G⊥ ={u ∈ H : u⊥G gọi phần bù trực giao 1.1.10 Định lý ([1]) G⊥ không gian đóng H 1.1.11 Định lý ([1]) Nếu H không gian định chuẩn mà chuẩn H thỏa mãn đẳng thức bình hành tồn tích vơ hướng H cho chuẩn sinh tích vơ hướng trùng với chuẩn ban đầu H 1.1.12 Định nghĩa ([1]) Cho X Y không gian Banach thực (i) Ánh xạ A : X → Y gọi tốn tử tuyến tính A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R (ii) Tốn tử tuyến tính A : X → Y goi bị chặn A := sup{ Au Y| u X 1} < ∞ 1.1.13 Định nghĩa ([1]) Cho H không gian Hilbert với tích vơ hướng , (i)Ta kí hiệu L(H) khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ H vào H Với A ∈ L(H) , B ∈ L(H) gọi toán tử liên hợp A Au, v = u, Bv , ∀u, v ∈ H Trong trường hợp này, ta kí hiệu B = A∗ (ii) A gọi tự liên hợp A∗ = A 1.1.14 Định lý Giả sử A : H → H tốn tử tự liên hợp, (i) giá trị riêng A số thực; (ii) vectơ riêng ứng với giá trị riêng khác trực giao Tiếp theo chúng tơi trình bày khái niệm tốn tử khơng bị chặn khơng gian Hilbert tính chất liên quan.Các kết qủa phần tham khảo tài liệu [2] [16] Giả sử H, G hai khơng gian Hilbert trường K Khi H × G khơng gian với tích vơ hướng xây dựng sau : (H × G) × (H × G) → K (x, y), (s, t) −→ x, s với x, s ∈ H, y, t ∈ G ; (x, y) = ( x H H + y, t + y 2 G) , G ∀(x, y) ∈ H × G 1.1.15 Định nghĩa Tốn tử A từ H vào G toán tử tuyến tính khơng gian tuyến tính D(A) H với giá trị G D(A) gọi miền xác định A R(A) := {Ax : x ∈ D(A)} gọi miền giá trị A Một toán tử A từ H vào G gọi xác định trù mật D(A) trù mật H Khơng gian tuyến tính G(A) := {(x, Ax) : x ∈ D(A)} H × G gọi đồ thị A Nếu A, B tốn tử từ H vào G B gọi thác triển A A gọi thu hẹp B G(A) ⊂ G(B) Khi ta kí hiệu : A ⊂ B 1.1.16 Bổ đề Nếu A toán tử xác định trù mật từ H vào G Khi có kết luận sau 1) D(A∗ ) := {y ∈ G : x −→ Ax, y liên tục D(A)} khơng gian tuyến tính G 2) Với y ∈ D(A∗ ) có A∗ y ∈ H với Ax, y = x, A∗ y với x ∈ D(A) 3) A∗ : D(A∗ ) → H tuyến tính 1.1.17 Định nghĩa Nếu A toán tử xác định trù mật từ H vào G tốn tử A∗ từ G vào H thỏa mãn Au, v = u, A∗ v , ∀u, v ∈ H gọi toán tử liên hợp A Nếu A ∈ L(H, H) A∗ = A A gọi tốn tử tự liên hợp Nếu A ∈ L(H, G) A∗ = A−1 A gọi tốn tử Unita 1.1.18 Mệnh đề Với A, B toán tử xác định trù mật H A ⊂ B B ∗ ⊂ A∗ 1.1.19 Định nghĩa Một toán tử A từ H vào G gọi đóng G(A) đóng H × G A gọi đóng hóa G(A) đồ thị tốn tử B Khi ta gọi B bao đóng A viết A thay cho B 1.1.20 Mệnh đề Với toán tử xác định trù mật A từ H vào G ta có 1) A∗ tốn tử đóng với N (A∗ ) = R(A)⊥ , N (A∗ ) = ker A∗ 2) A∗ xác định trù mật A đóng hóa 3) Nếu A đóng hóa A = (A∗ )∗ = A∗∗ 1.1.21 Hệ Nếu A tốn tử đóng, xác định trù mật từ H vào G A∗ đóng, xác định trù mật A = A∗∗ 1.1.22 Định nghĩa Cho A toán tử đơn ánh từ H vào G Khi đó, tốn tử A−1 từ G vào H xác định D(A−1 ) := R(A), gọi toán tử nghịch đảo A 1.1.23 Nhận xét Với A tốn tử đơn ánh, ta có G(A−1 ) = {(y, A−1 y) : y ∈ D(A−1 )} = {(Ax, x) : x ∈ D(A)} Do đó, tốn tử đơn ánh A đóng A−1 đóng 1.1.24 Mệnh đề Cho A tốn tử đơn ánh, xác định trù mật từ H vào G với R(A) trù mật G Khi đó, A∗ đơn ánh (A−1 )∗ = (A∗ )−1 1.2 Đạo hàm Frechet tính chất 1.2.1 Định nghĩa ([11]) Giả sử X , Y không gian định chuẩn, U tập mở X Ánh xạ F : U → Y gọi khả vi Frechet ϕ ∈ U tồn tốn tử tuyến tính bị chặn F [ϕ] : X → Y cho: lim h→0 h F (ϕ + h) − F (ϕ) − F [ϕ]h = F [ϕ] gọi đạo hàm Frechet F ϕ F gọi khả vi Frechet khả vi Frechet ϕ ∈ U F gọi khả vi liên tục F khả vi F : U → L(X, Y ) liên tục 1.2.2 Định lý ([11]) Giả sử F : U ⊂ X → Y khả vi Frechet Z khơng gian định chuẩn Khi đó: Đạo hàm Frechet F xác định Nếu G : U → Y khả vi Frechet αF + βG khả vi Frechet với ∀α, β ∈ K (αF + βG) [ϕ] = αF [ϕ] + βG [ϕ], ϕ ∈ U Nếu G : Y → Z khả vi Frechet G ◦ F : U → Z khả vi Frechet (G ◦ F ) [ϕ] = G [F (ϕ)]F , ϕ ∈ U Ánh xạ song tuyến tính bị chặn b : X × Y → Z khả vi Frechet b [(ϕ1 , ϕ2 )](h1 , h2 ) = b(ϕ1 , h2 ) + b(h1 , ϕ2 ) với ∀ϕ1 , h1 ∈ X ϕ2 , h2 ∈ Y Giả sử X, Y không gian Banach U ⊂ L(X, Y ) toán tử ngược bị chặn khác rỗng Khi đó, ánh xạ inv : U → L(X, Y ) xác định inv(T ) := T −1 khả vi Frechet inv [T ]H = −T −1 HT −1 10 với T ∈ U H ∈ L(X, Y ) 18 Chọn a1 (t) hàm khả tích Riemann [0, T ] cho a1 (t) c, ∀t ∈ [0, T ] − d A(t)u(t), u(t) ≥ A(t)u dt − a1 (t) (A(t) + k)u(t), u(t) (2.22) Với t ∈ [0, T ], đặt t a2 (t) = exp t a1 (τ )dτ , a3 (t) = ν(t) = a2 (ξ)dξ, a3 (t) a3 (T ) (2.23) Khi đó, nghiệm u(t) phương trình (2.20) thỏa mãn đánh giá sau với t ∈ [0, T ], u(t) ≤ ekt−kT ν(t) u(T ) ν(t) u(0) 1−ν(t) (2.24) Chứng minh Đặt v(t) = e−kt u(t) q(t) = v(t), v(t) = v(t) Để dz hàm khả vi z(t) z Khi ˙ cho đơn giản, ta kí hiệu đạo hàm dt hàm v nghiệm phương trình v = −A(t)v − kv ˙ q = v, v = −2 A(t)v, v − 2k v, v ˙ ˙ = −2e−2kt A(t)u, u − 2kq, d A(t)u(t), u(t) − 2k q ˙ q = 4k A(t)v, v 2e2kt ă dt 4k A(t)v, v + 2e−2kt A(t)u − a1 (t) (A(t) + k)u(t), u(t) = 4k A(t)v, v + A(t)v = A(t)v =4 A(t)v (2.25) − 2k q ˙ − 2a1 (t) (A + k)v(t), v(t) − 2k q ˙ + 4k A(t)v, v − 2k (−2 A(t)v, v − 2k v, v ) + a1 (t)q ˙ + 2k A(t)v, v + k v = (A(t) + k)v + a1 (t)q ˙ + a1 (t)q ˙ (2.26) 19 Từ (2.26), t c q q (A(t) + k)v ă v + a1 (t)q q ˙ ≥ (−2 (A(t) + k)v, v )2 + a1 (t)q q ˙ = q + a1 (t)q q ˙ ˙ (2.27) Vì ν(t) hàm liên tục tăng ngặt [0, T ] với ν(0) = 0, ν(T ) = 1, nên hàm ngược ν −1 (·) tồn đặt g(t) := q(ν −1 (t/T )), ∀t ∈ [0, T ] q(t) = g(T ν(t)), ∀t ∈ [0, T ] hay Ta có q(t) = g(T ν(t)), a2 (t) gν (T ν(t)), q(t) = T ˙ a3 (T ) a1 (t)a2 (t) q (t) = T ă g (T (t)) + T a3 (T ) (2.28) (2.29) a2 (t) ) gνν (T ν(t) a3 (T ) (2.30) Từ (2.27)–(2.30), ta đạt T a1 (t)a2 (t) a2 (t) gν (T ν(t))g(T ν(t)) + T ( ) gνν (T ν(t))g(T ν(t)) a3 (T ) a3 (T ) a2 (t) T a1 (t)g(T ν(t)) gν (T ν(t)) a3 (T ) a2 (t) + T gν (T ν(t)) , ∀t ∈ [0, T ] (2.31) a3 (T ) Từ (2.31), ta thu bất đẳng thức gνν (T ν(t))g(T ν(t)) (gν (T ν(t)))2 , ∀t ∈ [0, T ] (2.32) Vì ν(t) hàm liên tục tăng ngặt [0, T ] thỏa mãn ν(0) = 0, ν(T ) = nờn (2.32) kộo theo g (t)g(t) ă (g(t))2 , t ∈ [0, T ] ˙ (2.33) 20 Từ (2.33), sử dụng phương pháp lồi logarithm, ta kết luận rằng, t t g(T ) T g(0)1− T , ∀t ∈ [0, T ] g(t) (2.34) Từ (2.34), ta có g(T )ν(t) g(0)1−ν(t) q(t) = g(T ν(t)) = q(T )ν(t) q(0)1−ν(t) , ∀t ∈ [0, T ] (2.35) Vì u(·, t) = e−kt v(t) , nên với t ∈ [0, T ] ta có u(t) ≤ ekt−kT ν(t) u(T ) ν(t) u(0) 1−ν(t) Định lý chứng minh 2.3 Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian Trong phần này, đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian Cụ thể, có 2.3.1 Bổ đề Nếu h hàm khả tích Riemann tăng ngặt [0,1] Khi t t h(s)ds h(s)ds, 0 ∀t ∈ [0, 1] Chứng minh Khẳng định bổ đề t = Trong trường hợp t = 0, ta xét hàm t h(s)ds q(t) = Ta có , ∀t ∈ [0, 1] t t th(t) − q (t) = h(s)ds t2 , ∀t ∈ (0, 1] 21 t h(s)ds, ∀t ∈ [0, 1] Sử dụng định lý Lagrange, với ∀t ∈ (0, 1], Đặt p(t) = ∃t0 ∈ (0, t) cho p (t0 ) = p(t) − p(0) p(t) = t t Từ ta có p(t) = (t0 ) = th(0) < th(t) Khi t h(s)ds = th(t) − p(t) > 0, ∀t ∈ (0, 1] th(t) − Hay t t h(s)ds h(s)ds, 0 ∀t ∈ [0, 1] Bổ đề chứng minh 2.3.2 Bổ đề Giả sử v : [0, T ] → [0, 1] hàm liên tục tăng ngặt, p(t) hàm khơng âm Khi v(t) (1 − v(t)) t p(s)ds)dv(t) − v(t) ( t ( p(s)ds)dv(t) v(t) ∀t ∈ [0, T ] Chứng minh Đặt v(t) q(v(t)) = t p(s)ds)dv(t), ∀t ∈ [0, T ] ( 0 Chúng ta có t qv = p(s)ds 0, 22 Sử dụng Bổ đề 2.3.1, ta v(t) v(t) qv dv(t) qv dv(t) 0 Hay v(t) t p(s)ds)dv(t) − v(t) ( t ( p(s)ds)dv(t) 0 0 v(t) t t Ta suy (1 − v(t) p(s)ds)dv(t) − v(t) ( 0 ( p(s)ds)dv(t) 0, ∀t ∈ [0, T ] v(t) Bổ đề chứng minh 2.3.3 Bổ đề Nếu a b c ∈ R 2(a2 − b2 ) − (a − b)c −c2 /8 Chứng minh Chúng ta có a2 − b2 = (a − b)2 + 2(a − b)b (a − b)2 Khi 2(a2 − b2 ) − (a − b)c + c2 2(a − b)2 − (a − b)c + c2 √ = ( 2(a − b) − √ c)2 2 (2.36) Bổ đề chứng minh 2.3.4 Định nghĩa Một hàm u : [0, T ] → H gọi nghiệm toán parabolic ut + A(t, u)u = f (t, u(t)), < t u(0) = u0 ∈ H, T, (2.37) u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C ([0, T ]; H), u(t) ∈ D(A), ∀t ∈ (0, T ) thỏa mãn (2.37) 23 2.3.5 Định lý Nếu u1 , u2 nghiệm phương trình ut + A(t, u)u = f (t, u(t)), < t T (2.38) (i) A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 , u1 − u2 0, ∀t ∈ [0, T ] (ii) Tồn số c1 , c2 c3 cho −d A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 , u1 − u2 A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 dt − c1 A(t, u1 )u1 − A(t, u2 u2 u1 − u2 − c2 A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 , u1 − u2 − c3 u1 − u2 Giả sử a1 (t) hàm khả tích Riemann [0,T] cho c4 a1 (t) c1 + c2 + 2k , ∀t ∈ [0, T ], với số c4 −d A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 , u1 − u2 A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 dt − c1 A(t, u1 )u1 − A(t, u2 u2 u1 − u2 − (a1 (t) − c1 − 2k) A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 , u1 − u2 − c3 u1 − u2 , t  a2 (t) = exp  t  a1 (τ )dτ  , a3 (t) = a2 (ξ)dξ, ν(t) = a3 (t) (2.39) a3 (T ) iii) Các nghiệm u1 , u2 (2.38) thoả mãn ui (t) − ϕ , ui (0) E, i = 1, Khi đó, có bất đẳng thức u1 (t) − u2 (t) c(t) ν(t) E 1−ν(t) (2.40) Ở a3 (T ) |c4 |T c2 c(t) = exp( e (2k + | + c3 |T )ν(t)(1 − ν(t))) T (2.41) 24 Chứng minh Đặt z(t) = u1 (t) − u2 (t), B(t)z = A(t, u1 )u1 − A(t, u2 )u2 , D(t)z = f (t, u1 ) − f (t, u2 ) Chúng ta có zt + B(t)z = D(t)z, D(t)z B(t)z, z −d B(t)z, z dt B(t)z − c1 B(t)z t T, k z , 0, (2.42) (2.43) (2.44) z − (a1 (t) − c1 − 2k) B(t)z, z − c3 z (2.45) Nếu z(0) = z(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ] Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên Nếu z(0) z(t) > 0, ∀t ∈ [0, T ] Đặt h(t) = z(t) , ∀t ∈ [0, T ] Ta có h (t) = z, zt = −2 B(t)z, z + D(t)z, z Hơn B(t)z, z D(t)z, z h (t) = −2 +2 h(t) z z (2.46) Từ ν(t) liên tục tăng ngặt [0,T] ν(0) = 0, ν(T ) = 1, ta đặt t g(t) := h(ν −1 ( )), ∀t ∈ [0, T ] T Khi h(t) = g(T ν(t)), (2.47) 25 h (t) = T gν νt (t) = T a2 (t) gν (T ν(t)), a3 (T ) (2.48) ht (t) a2 (t)gν (T ν(t) =T h(t) a3 (T )g(T ν(t)) (2.49) Đặt c5 = a3 (T ) t Chúng ta có gν (T ν(t)) B(t)z, z D(t)z, z = −2c5 + 2c5 a (t) g(T ν(t) z z a2 (t) (2.50) Đặt t  Q(t) = − B(t)z, z B(t)z, z =− exp − z a2 (t) z  a1 (τ )dτ  (2.51) Ta có z d B(t)z,z z dt =( −d B(t)z, z ) z dt + B(t)z, z z, zt −d B(t)z, z ) z − B(t)z, z + B(t)z, z D(t)z, z dt 2( B(t)z z − B(t)z, z ) − c1 ( B(t)z z − B(t)z, z ) z =( − a1 (t) B(t)z, z z + 2(k z 2 − D(t)z, z ) B(t)z, z − c3 z (2.52) Mặt khác, ta thấy D(t)z, z D(t)z k z z (2.53) Như vậy, ta có z d B(t)z,z z dt 2( B(t)z − c1 ( B(t)z z z − B(t)z, z ) z − a1 (t) B(t)z, z − c3 z − B(t)z, z ) z 2 − a1 (t) B(t)z, z z (2.54) 26 Từ B(t)z z 2( B(t)z B(t)z, z z 0, sử dụng Bổ đề 2.2.3, ta có − B(t)z, z ) − ( B(t)z z − B(t)z, z )(c1 z ) −1 (c1 z )2 (2.55) Từ (2.54)–(2.55), thu z −d B(t)z,z z −a1 (t) B(t)z, z dt z − c3 + c2 ) z (2.56) Đặt c6 = |c3 + c2 | Chúng ta có −d B(t)z,z z −a1 (t) dt B(t)z, z − c6 z (2.57) Mặt khác, có −d Q (t) = ( B(t)z,z z dt t B(t)z, z + a1 (t) ) exp(− z a1 (τ )dτ ) (2.58) Từ (2.57), (2.58) thu t Q (t) −c6 exp(− a1 (τ )dτ ) Từ a1 (t) −c6 e|c4 |T Giả sử p(t) = Q (t) + c7 với c4 , có Q (t) c7 = c6 e|c4 |T Chúng ta có p(t) 0, ∀t ∈ [0, T ] Q (t) = p(t) − c7 Tích phân vế phương trình từ đến t ta có t p(s)ds − c7 (t) Q(t) = Q(0) + (2.59) Từ (2.50),(2.51) (2.59), có t gν (T ν(t)) g(T ν(t) p(s)ds − c7 (t)) + 2c5 ke|c4 |T 2c5 (Q(0) + (2.60) 27 Tích phân hai vế (2.60) theo ν(t), thu ν(t) g(T ν(t)) g(0) exp(2c5 Q(0)ν(t) + c8 ν(t) + t ( p(s)ds)dν(t)), với c8 = 2c5 ke|c4 |T Hơn g(T ν(t))1−ν(t) g(0)1−ν(t) exp(2c5 Q(0)(1 − ν(t)) + c8 (1 − ν(t)) ν(t) + (1 − ν(t)) t ( p(s)ds)dν(t)) (2.61) Từ (2.50), (2.51) (2.59), có t gν (T ν(t)) g(T ν(t) p(s)ds − c7 (t)) + c8 2c5 (Q(0) + (2.62) Tích phân hai vế (2.62) theo ν(t), thu g(T (ν(t)) g(T ) exp(−2c5 Q(0)(1 − ν(t)) − 2c5 t ( p(s)ds)dν(t) ν(t) + (c8 + 2c5 c7 T )(1 − ν(t))) Hơn g(T (ν(t))ν(t) g(T )ν(t) exp(−2c5 Q(0)(1 − ν(t))ν(t) − 2c5 ν(t) t ( p(s)ds)dν(t) ν(t) + (c8 + 2c5 c7 T )ν(t)(1 − ν(t))) (2.63) 28 Từ (2.61), (2.63), có g(T (ν(t)) g(0)1−ν(t) g(T )ν(t) exp(2(c8 + c5 c7 T )(1 − ν(t))ν(t) t − 2c5 ν(t) ( p(s)ds)dν(t) ν(t) ν(t) + 2c5 (1 − ν(t)) t ( p(s)ds)dν(t)) (2.64) Từ (2.64) bổ đề 2.3.2, có g(T (ν(t)) g(0)1−ν(t) g(T )ν(t) × exp(2(c8 + c5 c7 T )(1 − ν(t))ν(t))) (2.65) Ta có g(T (ν(t)) = h(t), g(0) = h(0), g(T ) = h(T ) Khi (2.65) trở thành h(0)1−ν(t) h(T )ν(t) exp(2(c8 + c5 c7 T )(1 − ν(t))ν(t))) h(t) (2.66) Hay z(t) z(0) 1−ν(t) z(t) ν(t) exp(2(c8 + c5 c7 T )(1 − ν(t))ν(t))) (2.67) Mặt khác z(T ) = u1 (t) − u2 (t) z(0 = u1 (0) − u2 (0) u1 (t) − ϕ + u2 (t) − ϕ u1 (0) − u2 (0) Hơn từ (2.67), (2.68) (2.69) ta có 2E 2, (2.68) (2.69) 29 z(t) với c(t) ν(t) E 1−ν(t) , ∀t ∈ [0, T ], a3 (T ) |c4 |T c2 c(t) = exp( e (2k + | + c3 |T )ν(t)(1 − ν(t))) T Định lý chứng minh hoàn toàn 30 KẾT LUẬN Kết đạt luận văn : Hệ thống khái niệm tính chất khơng gian Hilbert Hệ thống khái niệm tính chất đạo hàm Frechet Trình bày khái niệm đánh giá ổn định đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian khơng gian Hilbert Đề xuất kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian Đó Định lý 2.3.5 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000) Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2001),Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Nhà xuất Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Thắng (2011), Các kết đánh giá ổn định phương trình parabolic ngược thời gian, Luận văn thạc sỹ Tốn học, Đại học Vinh, Nghệ An [4] Phạm Minh Hiền (2007), Bài tốn Cauchy cho số phương trình elliptic cấp hai, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, Hà Nội [5] Alifanov O M (1994), Inverse Heat Transter Problems, Springer [6] Ames K A and Stranghan B (1997), Non-standard and Improperly Posed Problems, Mathematics in Science and Engineering, Vol 194, Academic Press [7] Baumeister J (1987), Stable Solution of Inverse Problems, Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig [8] Carasso A S (1999), "Logarithmic convexity and the "slow evolution" constraint in ill-posed initial value problems", SIAM J Math Anal., 30, No 3, 479-496 [9] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc, (2011), Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients, Inverse Problems, Vol 27, No 2, 025003 31 32 [10] Isakov V (1998), Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York [11] Thorsten Hohage (2002), Inverse Problems, University of Găttinge, o 7, 54-56 [12] Tikhonov A N (1943), "On the stability of inverse problems", Dokl Akad Nauk SSSR, 39, No 5, 195-198 (Russian) [13] Tikhonov A N (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", (Russian) Dokl Akad Nauk SSSR, 151, 501-504 [14] Tikhonov A N and Arsenin V Y (1977), Solutions of Ill-Posed Problems, Winston, Washington [15] Yagi A (2010), Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [16] Walter Rudin (1991), Functional Analysis, International Edition ... 1−ν(t) Định lý chứng minh 2.3 Đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian Trong phần này, đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian. .. giá ổn định đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian không gian Hilbert Đề xuất kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic tựa tuyến tính ngược thời gian Đó Định lý 2.3.5... chỉnh Cho đến nay, đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian nhận chủ yếu cho phương trình tuyến tính với hệ số khơng phụ thuộc thời gian điều kiện biên ([5]) Các đánh giá thường