Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian Lorentz - Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski. . . . . 7 2 Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả hyperbolic trong E 3 1 17 2.1 Đường cong trên mặt giả cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Đường cong trên mặt giả hyperbolic . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Chỉ đồ giả cầu và chỉ đồ giả hyperbolic của các đường cong 40 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Mở đầu Không gian Minkowski có ứng dụng rộng rãi trong vật lý học hiện đại, đặc biệt là lý thuyết tương đối. Trong lý thuyết của các đường cong trong không gian Euclide và Minkowski, một trong những vấn đề thú vị nhất là vấn đề đặc trưng của một đường cong chính tắc. Để giải quyết vấn đề này, các hàm độ cong và độ xoắn của một đường cong là một công cụ rất hiệu quả. Nó giúp ta xác định hình dạng và kích thước của một đường cong cho trước. Đường cong nằm trên mặt cầu trong không gian Euclide là một vấn đề quan trọng và thường được dùng làm công cụ nghiên cứu các đường cong khác. Đối với không gian Lorentz Minkowski cũng vậy. Tuy nhiên, vấn đề nghiên cứu đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski vẫn còn mới mẻ và chưa được nhiều tác giả nghiên cứu. Do đó, chúng tôi chọn đề tài: "Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski 3 chiều". Ngoài phần mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1: - Kiến thức chuẩn bị Để thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau, trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và cũng như các tính chất của không gian Lorentz - Minkowski mà không trình bày chứng minh chi tiết. Chương 2: - Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski 3 chiều Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết các đặc trưng của đường cong mặt giả cầu, mặt giả hyperbolic đvà nghiên cứu các tính chất của chỉ đồ cầu của một đường cong. 3 Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo - tiến sĩ Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy. Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa cùng các bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn này. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả Nguyễn Duy Diện Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lorentz - Minkowski Cho R 3 là không gian vectơ thực với cấu trúc thông thường. Gọi B = {E 1 , E 2 , E 3 } là cơ sở thông thường, với E 1 = (1, 0, 0), E 2 = (0, 1, 0), E 3 = (0, 0, 1). 1.1.1 Định nghĩa. Cho E là một không gian vectơ sinh bởi tích vô hướng: u, v = u 1 v 1 + u 2 v 2 − u 3 v 3 , với u = (u 1 , u 2 , u 3 ), v = (v 1 , v 2 , v 3 ). Khi đó E được gọi là không gian Lorentz - Minkowski. Ký hiệu E 3 1 . Tích vô hướng ,  được gọi là tích vô hướng Lorentz – Minkowski. Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gian Minkowski và tích vô hướng ,  cũng được gọi là tích vô hướng Minkowski. 1.1.2 Định nghĩa. Cho vectơ v ∈ E 3 1 . (i) v được gọi là vectơ kiểu không gian nếu v, v > 0 hoặc v=0 (ii) v được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu v, v < 0 (iii) v được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu v, v = 0 và v = 0. Nhận xét: vectơ v = 0 có v, v = 0 nhưng vẫn được xét là vectơ kiểu không gian. 1.1.3 Ví dụ. Vectơ E 1 và E 2 là các vectơ kiểu không gian. Thật vậy, E 1 , E 1  = 1 > 0 và E 2 , E 2  > 0. Vectơ E 3 là vectơ kiểu thời gian vì E 3 , E 3  = 1 > 0. Vectơ E 1 + E 2 là vectơ kiểu ánh sáng vì E 1 + E 2 , E 1 + E 2  = 0 1.1.4 Định nghĩa. Cho vectơ u ∈ E 3 1 . Khi đó số  |u, u| được gọi là mô đun hay chuẩn của vectơ u. Ký hiệu |u|. Nếu |u| = 1 thì u được gọi là vectơ đơn vị. 4 5 1.1.5 Định nghĩa. Cho u = (u 1 , u 2 , u 3 ), v = (v 1 , v 2 , v 3 ) ∈ E 3 1 . Khi đó, tích Lorentz của hai vectơ u và v là vectơ duy nhất được ký hiệu u × v thoả mãn: u × v, w = det(u, v, w), ∀w = (w 1 , w 2 , w 3 ) ∈ E 3 1 . Toạ độ của tích Lorentz được tính như sau: u × v =      E 1 E 2 −E 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3      =      u 2 u 3 v 2 v 3     ,     u 3 u 1 v 3 v 1     , −     u 1 u 2 v 1 v 2      . 1.1.6 Định nghĩa. Cho u, v ∈ E 3 1 . Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc với nhau khi và chỉ khi u, v = 0. 1.1.7 Định nghĩa. Cho v ∈ E 3 1 . Ta ký hiệu < v > ⊥ =  u ∈ E 3 1 : u, v = 0  . Khi đó, < v > ⊥ được gọi là không gian con bù vuông góc của v. 1.1.8 Định nghĩa. Cho U ⊂ E 3 1 . Ta ký hiệu U ⊥ =  u ∈ E 3 1 : u, v = 0, ∀v ∈ U  . Khi đó, U ⊥ được gọi là không gian con bù vuông góc của U. 1.1.9 Định lí (Xem [1]). Ta có các mệnh đề sau: 1. Cho v ∈ E 3 1 . Khi đó, v là vectơ kiểu thời gian khi và chỉ khi < v > ⊥ là không gian con kiểu không gian và E 3 1 =< v > ⊕ < v > ⊥ . Đối với các vectơ kiểu không gian, ta cũng có: v là vectơ kiểu không gian khi và chỉ khi < v > ⊥ là không gian con kiểu thời gian. 2. U là không gian con của E. Khi đó, nếu U là kiểu không gian khi và chỉ khi U ⊥ là kiểu thời gian, U là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi U ⊥ cũng kiểu ánh sáng. 1.1.10 Định lí (Xem [1]). Ta có các mệnh đề sau: 1. Cho u và v là hai vectơ kiểu ánh sáng. Khi đó, v và v là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi u, v = 0. 2. Nếu u và v là các vectơ khác kiểu không gian sao cho u, v = 0 thì chúng là các vectơ kiểu ánh sáng. 6 3. Nếu U là một không gian con kiểu ánh sáng, thì dim(U ∩ U ⊥ ) = 1. 1.1.11 Định lí (Xem [1]). Cho U là một không gian con hai chiều của E 3 1 . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (i) U là không gian con kiểu thời gian. (ii) U chứa hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính. (iii) U chứa một vectơ kiểu thời gian. 1.1.12 Định lí (Xem [1]). Cho U là một không gian con hai chiều của E 3 1 . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (i) U là không gian con kiểu ánh sáng. (ii) U chứa một vectơ kiểu ánh sáng nhưng không chứa một vectơ kiểu thời gian nào. Sử dụng biểu thức toạ độ của tích Lorentz, ta có thể chứng minh được các tính chất sau: 1.1.13 Mệnh đề (Xem [1]). Cho u và v là hai vectơ bất kỳ trong E 3 1 . Khi đó, ta có 1. u × v = v × u 2. u × v vuông góc với u, v. 3. u × v = 0 khi và chỉ khi u, v tỉ lệ. Trong không gian E 3 , ta có công thức mối liên hệ giữa tích có hướng và tích vô hướng như sau: (u × v)(x × y) =     ux uy vx vy     . Câu hỏi đặt ra là liệu trong không gian Minkowski, mối liên hệ giữa tích Lorentz và tích vô hướng có còn như vậy hay không? Chúng ta cùng xây dựng công thức biểu thị mối liên hệ ấy. Giả sử u(u 1 , u 2 , u 3 ), v(v 1 , v 2 , v 3 ), x(x 1 , x 2 , x 3 ), y(y 1 , y 2 , y 3 ) ∈ E 3 1 . Ta có u × v =      u 2 u 3 v 2 v 3     ,     u 3 u 1 v 3 v 1     , −     u 1 u 2 v 1 v 2      , x × y =      x 2 x 3 y 2 y 3     ,     x 3 x 1 y 3 y 1     , −     x 1 x 2 y 1 y 2      . 7 Từ đó suy ra: u × v, x × y = (u 2 , v 3  − u 3 , v 2 )(x 2 , y 3  − x 3 , y 2 ) +(u 3 , v 1  − u 1 , v 3 )(x 3 , y 1  − x 1 , y 3 ) +(u 1 , v 2  − u 2 , v 1 )(x 1 , y 2  − x 2 , y 1 ) (1.1) Mặt khác     u, x u, y v, x v, y     =     u 1 , x 1  + u 2 , x 2  − u 3 , x 3 u 1 , y 1  + u 2 , y 2  − u 3 , y 3  v 1 , x 1  + v 2 , x 2  − v 3 , x 3 v 1 , y 1  + v 2 , y 2  − v 3 , y 3      = (u 1 , x 1  + u 2 , x 2  − u 3 , x 3 ) (v 1 , y 1  + v 2 , y 2  − v 3 , y 3 ) − (u 1 , y 1  + u 2 , y 2  − u 3 , y 3 ) (v 1 , x 1  + v 2 , x 2  − v 3 , x 3 ) (1.2) Từ (1.1) và (1.2) ta có: u × v, x × y = −     u, x u, y v, x v, y     Ta có thể phát biểu kết quả trên thành mệnh đề như sau: 1.1.14 Mệnh đề. Cho u,v, x, y ∈ E 3 1 . Khi đó, mối liên hệ giữa tích Lorentz và tích vô hướng Lorentz - Minkowski được thể hiện qua công thức sau: u × v, x × y = −     u, x u, y v, x v, y     . 1.1.15 Định nghĩa. Ta gọi phép biển đổi đẳng cự bảo toàn tích vô hướng Lorentz - Minkowski là phép biển đổi Lorentz. 1.2 Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski. Chúng ta nhắc lại khái niệm: Một đường cong là một ánh xạ khả vi α : I → R 3 , với I là một khoảng mở trong R. Trong chương này ta xét I là khoảng mở chứa 0. 1.2.1 Định nghĩa. Cho α là một đường cong trong E 3 1 . Ta nói rằng α là một đường cong kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng) tại t nếu vectơ α  (t) là vectơ kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng). Đường cong α được gọi là đường cong kiểu không gian nếu nó là đường cong kiểu không gian tại mọi điểm. 8 Nhận xét: Một đường cong bất kỳ α trong E 3 1 thì với mỗi t ∈ I, α  (t) có thể là kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, nhưng tính chất này sẽ không đúng trên toàn khoảng I. 1.2.2 Ví dụ. Xét đường cong α cho bởi tham số hoá: α(t) = (cosh(t), t 2 , sinh(t)). Khi đó, α  (t), α  (t) = 4t 2 − 1. Do đó, đường cong này là kiểu không gian trong khoảng (−∞, − 1 2 ), kiểu thời gian trong khoảng (− 1 2 , 1 2 ) và kiểu ánh sáng tại − 1 2 và 1 2 . 1.2.3 Định nghĩa. Cho α là đường cong trong E 3 1 xác định trên khoảng I. Khi đó α được gọi là chính quy tại t o ∈ I nếu α  (t) = 0. Nếu α chính quy tại mọi điểm t ∈ I thì α được gọi là chính quy. 1.2.4 Mệnh đề (Xem [1]). Mọi đường cong kiểu thời gian và kiểu ánh sáng đều chính quy. Chứng minh. Giả sử rằng đường cong α là kiểu thời gian. Ta viết α(t) = (x(t), y(t), z(t)), trong đó các hàm x, y và z là các hàm khả vi theo t. Ta có α  (t), α  (t) = x  (t) 2 + y  (t) 2 − z  (t) 2 < 0, suy ra z  (t) = 0 vì nếu z  (t) = 0 thì α không phải là kiểu thời gian. Từ đó suy ra α là chính quy. Trong trường hợp α là kiểu ánh sáng, giả sử z  (t) = 0, suy ra x  (t) = y  (t) = 0 và α  (t) = 0. Khi đó α là kiểu không gian. Mâu thuẫn, vậy z  (t) = 0. Từ đó suy ra α là chính quy. Kể từ giờ, ta giả thiết các đường cong là chính quy. 1.2.5 Mệnh đề (Xem [1]). Cho α là một đường cong kiểu không gian hoặc thời gian. Khi đó, tồn tại các tham số hoá β của α sao cho |β  (t)| = 1. Ta gọi tham số hoá này là tham số hoá độ dài cung. Chứng minh. Ta chứng minh trong trường hợp đường cong kiểu thời gian. Giả sử α(t) là một tham số hoá của α. Đặt λ(t) = −  t a  α  (u), α  (u)du. Khi đó, λ ≥ 0. Hơn nữa, λ là hàm đơn điệu tăng, vì λ  (t) =  α  (t), α  (t) > 0, ∀t, cho nên λ là một vi phôi. Đặt β(s) = α ◦λ −1 (s). Ta chứng minh β là tham số hoá độ dài cung của β. Thật vậy, |β  (s)| = |(α ◦ λ −1 (s))  | = |α  λ −1 ◦ (λ −1 )  s | = |α  t . 1 λ  1 | = |α  (t)|. 1 λ  t = 1, ∀s. 9 1.2.6 Mệnh đề (Xem [1]). Cho α là một đường cong kiểu ánh sáng trong E 3 1 . Khi đó, tồn tại một tham số hoá của α cho bởi β(s) = α(φ(s)) sao cho |β  (s)| = 1. Ta gọi tham số hoá này là tham số hoá giả độ dài cung. Chứng minh. Ta viết: β(s) = α(φ(s)). Đạo hàm hai lần, ta có: β  (s) = α  (t)φ  (s) 2 + α  (t)φ  (s). Ta có β  (s), β  (s) = φ  (s) 4 α  (t), α  (t) + φ  (s) 2 α  (t), α  (t) +2.φ  (s) 2 .φ  (s)α  (t), α  (t) = φ  (s) 4 α  (t), α  (t) ( Do α là đường cong kiểu ánh sáng nên α  (t), α  (t) = 0 và dẫn đến α  (t), α  (t) = 0). Mặt khác, theo giả thiết ta có: |β  (s)| = 1 suy ra φ  (s) 4 α  (t), α  (t) = 1. Từ đó, hàm φ là nghiệm của phương trình vi phân: φ  (s) = 1  |α  (φ(s))| , với φ(0) = t o . (1.1) Giải phương trình vi phân trên ta được một nghiệm là: S = λ(t) = −  t a  |α  (u)|du Khi đó, λ ≥ 0. Hơn nữa, λ là hàm đơn điệu tăng, vì  |α  (u)| > 0, ∀t, cho nên λ là một vi phôi. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Cho trước một đường cong chính quy. Vậy làm thế nào để mô tả các tính chất hình học của đường cong? Chúng ta sẽ gán tại mỗi điểm của đường cong một cơ sở trực chuẩn. Khi đó, sự biến đổi của cơ sở này dọc đường cong sẽ cho ta thông tin về sự biến dạng của đường cong trong không gian. Ta sẽ xét lần lượt các trường hợp. Trường hợp đường cong có tham số hoá độ dài cung hoặc tham số hoá giả độ dài cung. (Xem [1]) Hệ cơ sở trực chuẩn ta dùng ở đây là trường mục tiêu Frenet. Trong không gian Minkowski, trường mục tiêu Frenet cũng được xây dựng tương tự như trong không gian Euclide. Tuy nhiên, trong không gian Minkowski, 10 có nhiều loại đường cong khác nhau. Do vậy, chúng ta sẽ xây dựng các trường mục tiêu Frenet khác nhau cho từng loại đường cong khác nhau. Nhờ các trường mục tiêu này, chúng ta cũng có được hai thông số cơ bản là độ cong và độ xoắn. Ta xét một đường cong α được tham số hoá bởi tham số hoá độ dài cung hoặc tham số hoá giả độ dài cung. Gọi T(s) = α  (t) là vectơ tiếp tuyến của α tại s. Ta có T(s), T(s) = 1, đạo hàm hai vế cho ta: T(s), T  (s) = 0. Ta giả thiết T  (s) = 0 và vectơ T  (s) không vuông góc với T(s) tại mọi điểm s. Ta xét các trường hợp: 1. Trường hợp đường cong kiểu thời gian. Giả sử α là đường cong kiểu thời gian. Khi đó T  (s) = 0 là một vectơ kiểu không gian. Ta định nghĩa độ cong của α tại s là hàm κ(s) = |T  (s)|. vectơ pháp tuyến N(s) được định nghĩa bởi: N(s) = T  (s) κ(s) = α  (s) |α  (s)| . Hơn nữa, κ(s) = T  (s), N(s). Ta gọi vectơ trùng pháp tuyến B(s) là vectơ B(s) = T(s) × N(s) Khi đó, vectơ B(s) là vectơ đơn vị kiểu không gian với mọi s, { T,N, B} là một cơ sở trực chuẩn của E 3 1 , và được gọi là trường mục tiêu Frenet của α. Ta định nghĩa độ xoắn của α là hàm: τ(s) = N  (s), B(s) Ta có: |N| = 1 ⇒ N(s), N(s) = 1 ⇒ N(s), N  (s) = 0 ⇒ N ⊥ N  ⇒ N  = αT + βB. Nhân hai vế của biểu thức trên với T ta có: N  , T = −α (vì T là vectơ kiểu thời gian nên T, T = −1. Ta lại có: T  = κN ⇒ T  , N = κN, N = κ. Mặt khác: T, N = 0 ⇒ T, N   + T  , N = 0 ⇒ α = κ. [...]... m Mâu thuẫn 30 2.2 Đường cong trên mặt giả hyperbolic Ta xét một số tính chất của đường cong trên giả cầu Lorentz theo các trường hợp: - Đường cong kiểu không gian Ta xét các đường cong kiểu không gian có vectơ pháp tuyến chính kiểu không gian 2.2.1 Định lí (Xem [4]) Cho α(s) là một đường cong kiểu không gian 3 có vectơ pháp tuyến chính kiểu không gian trong E1 , với hàm độ cong κ = 0 và hàm độ xoắn... Nghĩa là v là hàm hằng Mặt khác: T, v = c, theo định nghĩa ta có α là đường xoắn ốc Chương 2 Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu 3 và mặt giả hyperbolic trong E1 2.1 Đường cong trên mặt giả cầu 2.1.1 Định nghĩa Ký hiệu 3 S2 := S2 (1) = {p ∈ R1 : p, p = 1} 1 1 Khi đó, S2 được gọi là giả cầu Lorentz 2 chiều bán kính 1 (gọi tắt là giả 1 cầu hoặc cầu Lorentz ) Tổng quát, 3 S2 (m, r) := p ∈ E1... đường cong kiểu không gian 3 có vectơ pháp tuyến chính kiểu không gian trong E1 , với độ cong κ = 0 và độ xoắn τ = 0 với mọi s ∈ I ⊂ R Ảnh của α nằm trên một giả 33 3 hyperbolic bán kính r ∈ R+ trong E1 khi và chỉ khi: τ = κ 1 τ và 1 τ 1 κ 2 1 κ 2 1 κ > Chứng minh Giả sử α là đường cong kiểu không gian có vectơ pháp 3 tuyến chính kiểu không gian trong E1 , với κ = 0 và τ = 0 với mọi s ∈ I ⊂ R; có ảnh nằm. .. tính chất của đường cong trên giả cầu Lorentz theo các trường hợp: - Đường cong kiểu thời gian 2.1 .3 Định lí (Xem [3] ) Cho α là một đường cong kiểu thời gian có vận tốc đơn vị với độ cong κ = κ(s) Khi đó, α nằm trên một mặt cầu Lorentz 3 tâm m bán kính r ∈ R+ trong E1 khi và chỉ khi κ = const = 0 và 1 α(s) − m = N ± κ r2 − 1 κ 2 B Chứng minh Giả sử α nằm trên một mặt cầu Lorentz tâm m bán kính r ∈ R+... một đường cong kiểu không gian 3 có vectơ pháp tuyến chính kiểu không gian trong E1 có hàm độ cong κ(s) và hàm độ xoắn τ (s) Khi đó, α nằm trên một giả hyperbolic khi và chỉ khi κ(s) > 0, ∀s và tồn tại một hàm khả vi f (s) sao cho fτ = 1 κ , f = τ κ và 1 < |f | κ Chứng minh Trước hết giả sử α(s) là một đường cong kiểu không gian 3 có vectơ pháp tuyến chính kiểu không gian trong E1 , có hàm độ cong. .. α − m = 1 κ 2 + 1 τ 1 κ 2 = r2 Do đó α nằm trên một cầu Lorentz tâm m và bán kính r 2.1.5 Định lí (Xem [3] ) Cho α là một đường cong kiểu thời gian có vận tốc đơn vị với độ cong κ = κ(s) và độ xoắn τ (s) = 0 với mọi s ∈ I ⊂ R 3 Khi đó, α nằm trên một mặt cầu Lorentz trong E1 khi và chỉ khi 1 τ τ =− κ 1 κ Chứng minh Giả sử rằng α là một đường cong nằm trên cầu Lorentz bán kính r ∈ R+ Khi đó, theo định... là giả cầu (cầu Lorentz) tâm m, bán kính r 2.1.2 Định nghĩa Ta định nghĩa không gian giả hyperbolic bán kính 1 3 trong E1 là: 3 H2 := H2 (1) = {p ∈ E1 : p, p = −1} 0 0 và gọi là không gian giả hyperbolic 2 chiều Ta thường gọi tắt là giả hyperbolic Tổng quát, 3 H2 (m, r) := {p ∈ E1 : p − m, p − m = −r2 , r ∈ R+ } 0 gọi là giả hyperbolic tâm m, bán kính r 17 18 Ta xét một số tính chất của đường cong trên. .. = Q= 1 cosh θ − f (s) sinh θ κ 1 Giải phương trình trên với 1 , ta có: κ 1 = P cosh θ − Q sinh θ κ Nghĩa là s  s τ ds) − Q sinh( κ P cosh( 0  τ ds) ≡ 1 0 - Đường cong kiểu ánh sáng 2.1. 13 Định lí (Xem [3] ) Không tồn tại đường cong kiểu ánh sáng α(s) 3 nào nằm trên một cầu Lorentz trong E1 Chứng minh Giả sử rằng α(s) là một đường cong kiểu ánh sáng nằm trên 3 cầu Lorentz tâm m ∈ E1 bán kính r ∈ R+... = 0 Suy ra m = const và a − m, a − m = r2 Do đó, α nằm trên một cầu Lorentz tâm m bán kính r 2.1.4 Định lí (Xem [3] ) Cho α(s) là một đường cong kiểu thời gian có 3 vận tốc đơn vị trong E1 với độ cong k(s) = 0 và độ xoắn τ (s) = 0 với mọi s ∈ I ⊂ R Khi đó α nằm trên một cầu Lorentz bán kính r ∈ R+ khi và chỉ khi 1 k 2 + 1 τ 1 κ 2 = r2 20 Chứng minh Giả sử rằng α nằm trên cầu Lorentz tâm m bán kính... là một đường cong chính quy và v = 0 là một 3 vectơ có phương không đổi trong E1 Gọi T(s) là vectơ tiếp tuyến của α tại s Nếu T(s), v là hàm hằng thì α được gọi là đường xoắn ốc Mọi đường thẳng có phương song song với phương của v đều được gọi là trục của đường xoắn ốc Ta giả thiết các đường cong không phẳng 1.2.9 Định lí (Xem [1]) Cho α là một đường cong kiểu không gian hoặc 3 kiểu thời gian trong . chất của không gian Lorentz - Minkowski mà không trình bày chứng minh chi tiết. Chương 2: - Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski. các đường cong khác. Đối với không gian Lorentz Minkowski cũng vậy. Tuy nhiên, vấn đề nghiên cứu đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả hyperbolic trong không gian Lorentz - Minkowski. 4 1.1 Không gian Lorentz - Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski. . . . . 7 2 Đặc trưng của đường cong nằm trên mặt giả cầu và mặt giả hyperbolic