BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HỮU NAM ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HỮU NAM ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC -TÔPÔ MÃ SỐ: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2014 4 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 Chương I. ĐẠI SỐ 3 1.1. Đại số 4 1.2. Đại số Lie 5 1.3. Đồng cấu đại số 8 1.4. Ánh xạ ad 12 Chương II. ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ 17 2.1. Đạo hàm trên đại số 17 2.2. Liên thông tuyến tính trên đại số 22 2.3. Độ cong và độ xoắn trên đại số 27 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Riemann ra đời vào những năm giữa thế kỷ XIX, từ các công trình chủ yếu của Riemann là kết quả chính trong luận án tiến sĩ (1851) và bài giảng bảo vệ chức danh giáo sư (1859). Mối quan tâm của Riemann là các độ cong của không gian, mà chủ yếu là độ cong hằng tại một điểm của không gian. Độ cong và độ xoắn trên đại số là một trong những khái niệm cơ bản của hình học hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và các ngành khoa học kỹ thuật khác, Chính vì vậy, độ cong và độ xoắn trên đại số được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm, như : W.Klingenberg, B.O.Neill, A.Ya.Sultanov, Đỗ Ngọc Diệp, Trong luận văn này, bằng việc sử dụng công cụ liên thông tuyến tính ∇ trên đại số G, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về độ cong và độ xoắn trên đại số G. Luận văn được mang tên: Độ cong và độ xoắn trên đại số. Luận văn được trình bày trong hai chương: Chương I . Đại số Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng của Đại số, đại số Lie, đồng cấu đại số. Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau. Chương I được chia làm bốn phần: 1.1. Đại số, 1.2. Đại số Lie, 1.3. Đồng cấu trên đại số, 1.4. Ánh xạ ad. 6 Chương II. Độ cong và độ xoắn trên đại số Đây là chương thể hiện nội dung chính của luận văn.Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của đạo hàm trên đại số, liên thông tuyến tính trên đại số và độ cong, độ xoắn trên đại số. Chương II được chia làm 3 phần: 2.1 Đạo hàm trên đại số, 2.2 Liên thông tuyến tính trên đại số, 2.3 Độ cong và độ xoắn của đại số. Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014, tại trường Đại học Vinh với sự hướng dẫn của PGS - TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn tận tình tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Hình học – Tôpô; các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học của trường Đại học Vinh, đã tận tâm giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tác giả cũng tỏ lòng biết ơn các bạn trong lớp cao học 20, các đồng nghiệp trường THPT Nam Đàn I, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả 7 Chương I ĐẠI SỐ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số, đại số Lie và đồng cấu đại số. Cũng trong chương này, ta luôn giả thiết K là một vành giao hoán có đơn vị e = 1 ≠ 0. Một mô đun G trên K, đó là một nhóm cộng Aben cùng với phép nhân: ; ( , ) .K G G a x a x× → a , thỏa mãn các tiên đề : T 1 ) ( ) ax ; , ,a x y ay a K x y G+ = + ∀ ∈ ∈ , T 2 ) ( ) ; , ,a b x ax bx a b K x G+ = + ∀ ∈ ∈ , T 3 ) ( ) ( ) ; , ,ab x a bx a b K x G= ∀ ∈ ∈ , T 4 ) 1. ;x x x G= ∀ ∈ . +) Ta chú ý rằng, trong trường hợp K là một trường thì G được gọi là không gian véc tơ trên K. +) Ta thường viết ab thay cho a.b với ,a b G∀ ∈ . +) Giả sử M là một đa tạp khả vi thực, n chiều. Ta ký hiệu : T (M) = {f : M R f → khả vi trên M} B (M) = { X X trường véc tơ khả vi trên M } Khi đó : T (M) là một vành giao hoán có đơn vị e ; 1,M R p p M→ ∀ ∈a và B(M) là mô đun trên T (M) với hai phép toán: • X + Y : ; , , p p p p p p X Y p M X Y T M+ ∀ ∈ ∈ uur ur uur ur a . • f X : ( ). ; , p p f p X p M f∀ ∈ ∈ uur a T (M), p p X T M∈ uur . Chú ý: * Mỗi phần tử của môđun G được gọi là một véc tơ . * Giả sử G ’ là một tập con của G và cùng với phép toán như trên G, mà G ’ lập thành một mô đun trên K, thì ta nói G ’ là môđun con của G. 8 * Giao của một họ các môđun con của G cũng là một mô đun con của G. * Giả sử {G i } i I∈ là một họ các mô đun con của G, thỏa mãn: , ,i j I∀ ∈ tồn tại k, sao cho: , i j k G G G⊂ . Khi đó i i I G ∈ ∪ là một môđun con của G 1.1 . ĐẠI SỐ 1.1.1. Định nghĩa Giả sử G là một mô đun trên K, G được gọi là một đại số trên K , nếu G được trang bị một phép toán mới ( phép tích trong) : 1 2 1 2 ; ( , ) .G G G g g g g× → a , thỏa mãn các tiên đề : T 1 ) g 1 (g 2 + g 3 ) = g 1 g 2 + g 1 g 3 ; 1 2 3 , ,g g g G∀ ∈ . T 2 ) 1 2 3 1 3 2 3 ( )g g g g g g g+ = + ; 1 2 3 , ,g g g G∀ ∈ . T3) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ; , ,g g g g g g K g g G λ λ λ λ = = ∀ ∈ ∈ . Như vậy: Mỗi đại số G có 3 phép toán : phép cộng các phần tử của G; phép nhân G với K; phép tích trong. 1.1.2. Ví dụ Ta ký hiệu M n = { A A là ma trận vuông thực cấp n}. ij ij ( ), ( ) n A a B b M∀ = = ∈ ,các phép toán trên ma trận được xác định như sau: * A + B = ( a ij + b ij ) , (1). * ij ( );A a R λ λ λ = ∈ , (2). * A.B = ( 1 . n ik kj k a b = ∑ ) . (3) Khi đó M n là đại số. Thật vậy: M n cùng với 2 phép toán (1) và (2) là một không gian véctơ thực. Ở đây ta kiểm tra các tiên đề của phép tích trong : 9 T 1 ) Giả sử A( B + C) = D, trong đó C = ij ( )c , D = ij ( ) n d M∈ là ma trận vuông cấp n. ij 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n n ik kj kj ik kj ik kj ik kj ik ki k k k k d a b c a b a c a b a c = = = = = + = + = + ∑ ∑ ∑ ∑ D AB AC⇒ = + hay A( B + C) = AB +AC . T 2 ) ( A +B)C = D, trong đó: D = ij ( )d : ij d = 1 1 1 ( ) n n n ik ik kj ik kj ik kj k k k a b c a c b c = = = + = + ∑ ∑ ∑ ⇒ D = AC + BC . T 3 ) A( λ B) = E , trong đó E là ma trận vuông cấp n, E = (e ij ) : e ij = 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n ik jk ik jk ik jk ik jk k k k k a b a b a b a b λ λ λ λ = = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ⇒ E = λ (AB), hay A( λ B) = λ (AB) =( λ A)B . 1.1.3. Chú ý. * Giả sử G là đại số thỏa mãn : g 1 .g 2 = g 2 .g 1 , 1 2 ,g g G∀ ∈ , khi đó G được gọi là đại số giao hoán. Đại số G có tính chất : (g 1 g 2 )g 3 = g 1 (g 2 g 3 ); 1 2 3 ,g g g G∀ ∈ , khi đó G được gọi là đại số kết hợp. * M n là đại số kết hợp nhưng không là đại số giao hoán. * Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết G là một đại số kết hợp trên K. * ,M G M⊂ được gọi là đại số con của đại số G nếu nó khép kín với các phép toán trên G. 1.2. ĐẠI SỐ LIE. 1.2.1. Định nghĩa . Một đại số G trên K được gọi là đại số Lie nếu phép toán tích trong (phép tích trong được kí hiệu : [,] ( móc Lie), [ ] , :G G G× → 10 [...]... trên đại số chưa chắc đã là một liên thông tuyến tính trên đại số đó *Ta chú ý rằng: λ X = (λ.δ ) X ; ∀λ ∈ K , X ∈ F thì ta có λ∇1 + (1 − λ )∇ 2 là một liên thông trên G, với ∇1 , ∇ 2 là các liên thông trên G * Với mỗi X∈ F và ∇ là liên thông trên G thì ∇ X : Y a ∇ X Y là phép đạo hàm trên mô đun F( F là mô đun trên G) 32 2.3 ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ Trong mục này, chúng tôi trình bày một số. .. { x ϕ ( x) = 0} { x ad = 0} = { x ad ( y ) = 0, ∀y ∈ G} = { x [x, y ] = 0; ∀y ∈ G} = { x [x, y ] = [y, x]; ∀y ∈ G} = T(G) = x x W 22 Chương 2 ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ 2.1 ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ 2.1.1 Định nghĩa Cho G là một đại số trên K, một phép đạo hàm trên G là ánh xạ X: G → G a a X(a), thỏa mãn các tính chất : a) X là ánh xạ K- tuyến tính , nghĩa là : X(a + b) = X(a) + X(b) ; ∀a, b ∈ G X(... khái niệm và tính chất cơ bản của độ cong và độ xoắn trên đại số G 2.3.1 Định nghĩa Ánh xạ T : F×F → F ( X ,Y ) a T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇Y X − [ X , Y ] , được gọi là độ xoắn của đại số G theo liên thông tuyến tính ∇ 2.3.2 Nhận xét : a) Với G = T( R n ) , F = B( R n ) và ∇ = D Khi đó : T(X; Y) = DX Y − DY X − [ X ,Y ] = 0; ∀X ,Y ∈ B( R n ) Như vậy T = 0, ta cũng nói không gian R n không xoắn b) G... lấy tùy ý X ∈ F và ad x ∈ Ga Ta có : [X, ad x ] = ad X ( x ) ⇒ [X, ad x ] ∈ Ga ⇒ [F, Ga] ⊂ Ga Vậy Ga là Iđêan của F W 27 Ga được gọi là đại số liên kết của đại sốLie G 2.2 LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ Trong mục này, ta luôn giả thiết G là đại số giao hoán trên K và G có đơn vị δ Ta chú ý tới ánh xạ aX : G → G , x a aX ( x) = a X ( x ); a ∈G , ∀x∈G 2.2.1 Mệnh đề Giả sử G là đại số kết hợp Khi... tính trên đại số G W 30 Nhận xét : G = T(R3) = { f : R3 → R, f khả vi } , ∇ X Y = DX Y + ( X ∧ Y ) Khi đó∇ là liên thông tuyến tính trên đại số G 2.2.4 Định lý Cho ∇1 , ∇ 2 là hai liên thông tuyến tính trên đại số G, đặt ∇ = a∇1 + b∇ 2 Khi đó, ∇ là liên thông tuyến tính trên đại số G, nếu và chỉ nếu a + b = δ ; với a, b ∈ G Chứng minh: * Điều kiện cần: Giả sử ∇1 , ∇ 2 là hai liên thông tuyến tính trên. .. được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie G đối với cơ sở { e1,e2,…,en} 1.2.2 Ví dụ 1) Cho G là đại số trên K , với tích Lie được cho bởi : [ a, b] = ab − ba ; ∀a , b∈ G Khi đó, G là một đại số Lie Thật vậy: Ta đã biết G cùng 3 phép toán : phép cộng trên K; phép nhân G với K; phép tích trong là một đại số Ở đây, để chứng tỏ G là đại số Lie, ta chỉ việc kiểm tra 2 tính chất: phản xứng và Jacobi của... Mọi đại số tầm thường G( [a, b] = 0; ∀a, b ∈ G ) đều là đại số Lie * Số chiều của đại số Lie là số chiều của môđun G * Với G là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên trường R và dim G= n, cấu trúc của đại số Lie G được xác định bởi tích Lie của từng cặp véc tơ thuộc cơ sở { e1, e2, … , en} đã chọn trước trên G, như sau : n k k  ei , e j  = ∑ cij ek ; 1 ≤ i < j ≤ n , cij ∈ R   k =1 k Các hệ số. .. là một đại số Lie con của G Đặc biệt T(G) là một đại số Lie con giao hoán của G Giả sử G và G’ là hai đại số Lie trên trường K Khi đó, đồng cấu đại số ϕ : G → G ' được gọi là đồng cấu Lie - Nếu ϕ là đồng cấu Lie vừa song ánh thì ϕ được gọi là một đẳng cấu Lie - Các đại số Lie G, G’ được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đẳng cấu ϕ : G → G ' 1.3.6.Mệnh đề Giả sử V là không gian véc tơ trên trường... ∈ K , * f(g1.g2) = f(g1).f(g2) ; ∀g1 , g 2 ∈ G Như vậy : - Một đồng cấu đại số là một ánh xạ bảo tồn các phép toán trên đại số - Một đồng cấu đại số f vừa là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số - Nếu có một đẳng cấu từ G đến G’, khi đó ta nói G đẳng cấu với G’ và viết G ~ G’ 1.3.2 Nhận xét Giả sử f là một đồng cấu đại số : G → G’, khi đó : a) ker f = { g ∈ G f ( g ) = 0} là iđêan của G Thật... ; ∀a, b ∈ G Vậy X = X 1° X 2 − X 2 ° X 1 là một đạo hàm trên G W 2.1.4 Định lý Giả sử G là đại số trên K, ta ký hiệu F ={ ánh xạ X X là đạo hàm trên G} Khi đó : F là một đại số Lie trên trường K với tích Lie [ X1, X 2 ] = X 1° X 2 − X 2° X 1 ; ∀X 1 , X 2 ∈ F Chứng minh: * Ta thấy rằng F là một môđun trên K Do đó để chứng minh F là một đại số, ta cần kiểm tra các tiên đề : + Với ∀X 1 , X 2 , X 3 . I. ĐẠI SỐ 3 1.1. Đại số 4 1.2. Đại số Lie 5 1.3. Đồng cấu đại số 8 1.4. Ánh xạ ad 12 Chương II. ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ 17 2.1. Đạo hàm trên đại số 17 2.2. Liên thông tuyến tính trên đại. tuyến tính ∇ trên đại số G, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về độ cong và độ xoắn trên đại số G. Luận văn được mang tên: Độ cong và độ xoắn trên đại số. Luận văn được. bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của đạo hàm trên đại số, liên thông tuyến tính trên đại số và độ cong, độ xoắn trên đại số. Chương II được chia làm 3 phần: 2.1 Đạo hàm trên đại số, 2.2