Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi Diễn giải P n Số các hoán vị của n phần tử Permutation k n A Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử k n C Số các tổ hợp chập k của n phần tử Combinatory P(A) Xác suất của biến cố A Probability n ulim Giới hạn của dãy số (u n ) Limit )(lim 0 xf xx → Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x 0 )(lim xf x −∞→ Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới âm vô cực )(lim xf x +∞→ Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới dương vô cực )(lim 0 xf xx + → Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x dần tới x 0 )(lim 0 xf xx − → Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x dần tới x 0 y' hoặc f'(x) Đạo hàm của hàm số y = f(x) y'' hoặc f''(x) Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) y (n) hoặc f (n) (x) Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) dy hoặc df(x) Vi phân của hàm số y = f(x) Differenttial n(A) hoặc A Số phần tử hữu hạn của tập A 1 Tài liệu lưu hành nội bộ 1 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ oOo  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Các giá trị lượng giác của cung (góc) α: • sinα ln xác định ∀α ∈R và sin(α + k2π) = sinα; cosα ln xác định ∀α ∈R và cos(α + k2π) = cosα • - 1 ≤ sinα ≤ 1 (sinα≤ 1). - 1 ≤ cosα ≤ 1 (cosα ≤ 1). • tanα xác định khi α ≠ π π k + 2 và tan(α + kπ) = tanα; cotα xác định khi α ≠ kπ và cot(α + kπ) = cotα. • Dấu của các giá trị lượng giác của góc α: 2. Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt: α 0 (0 0 ) 6 π (30 0 ) 4 π (45 0 ) 3 π (60 0 ) 2 π (90 0 ) sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan 0 3 1 1 3 kxđ cot kxđ 3 1 3 1 0 3. Công thức lượng giác cơ bản: • sin 2 α + cos 2 α = 1 • α α 2 2 cos 1 tan1 =+ (α ≠ π π k + 2 , k ∈ Z). • α α 2 2 sin 1 cot1 =+ (α ≠ kπ, k ∈ Z). • tanα.cotα = 1 ( 2 π α k ≠ , k ∈ Z). 4. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-α) và α sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = -tanα cot(-α) = -cotα Cung bù:(π - α) và α sin(π - α) = sinα cos(π - α) = -cosα tan(π - α) = -tanα cot(π - α) = -cotα Cung phụ:( 2 π - α) và α sin( 2 π - α) = cosα cos( 2 π - α) = sinα tan( 2 π - α) = cotα Cung hơn kém π : (π + α) và α sin(π + α) = -sinα cos(π + α) = -cosα tan(π + α) = tanα cot(π + α) = cotα 2 Tài liệu lưu hành nội bộ Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV 2 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 cot( 2 π - α) = tanα 5. Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb ba ba ba tantan1 tantan )tan( + − =− ba ba ba tantan1 tantan )tan( − + =+ Công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a atan1 2tana 2tan 2 − = a Công thức hạ bậc: 2 2cos1 cos 2 a a + = 2 2cos1 sin 2 a a − = a a a 2cos1 2cos1 tan 2 + − = Công thức biến tích thành tổng: cosacosb = 2 1 [cos(a + b) + cos(a - b)] sinasinb =- 2 1 [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = 2 1 [sin(a + b) + sin(a - b)] Công thức biến đổi tổng thành tích: cosu + cosv = 2cos 2 vu + cos 2 vu − cosu - cosv = -2sin 2 vu + sin 2 vu − sinu + sinv = 2sin 2 vu + cos 2 vu − sinu - sinu = 2cos 2 vu + sin 2 vu − • Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a - 3cosa • Công thức sina + cosa: sina + cosa = 2 sin(a + 4 π ) sina - cosa = 2 sin(a - 4 π ) sina + cosa = 2 cos(a - 4 π ) sina - cosa = - 2 cos(a + 4 π )  Ghi chú: 3 Tài liệu lưu hành nội bộ 3 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 4 Tài liệu lưu hành nội bộ 4 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 § 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I- ĐỊNH NGHĨA: 1. Hàm số sin và hàm số côsin: a) Hàm số sin: • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx sin: R → R x  y = sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx • Tập xác định của hàm số sin là: D = R. b) Hàm số côsin: • Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx cos: R → R x  y = cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx • Tập xác định của hàm số côsin là: D = R. 2. Hàm số tang và hàm số côtang: a) Hàm số tang: • Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y = x x cos sin (cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx. • Tập xác định của hàm số y = tanx là: D = R\{ 2 π + kπ, k ∈ Z}. b) Hàm số côtang: • Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y = x x sin cos (sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx. 5 Tài liệu lưu hành nội bộ 5 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 • Tập xác định của hàm số y = cotx là: D = R\{kπ, k ∈ Z}.  Nhắc lại định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x). * Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ. II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:  Giải nghĩa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống. Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx. • Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. • Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. • Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì π. III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1. Hàm số y = sinx: • Hàm số y = sinx xác định với mọi x ∈ R và -1 ≤ sinx ≤ 1; • Là hàm số lẻ; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π ] : Hàm số y = sinx đồng biến trên [0; 2 π ] và nghịch biến trên [ 2 π ; π]. Bảng biến thiên: x 0 2 π π y = sinx 1 0 0 * Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [-π; 0]. b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R: 6 Tài liệu lưu hành nội bộ 6 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 c) Tập giá trị của hàm số y = sinx: Tập giá trị của hàm số y = sinx là T = [-1; 1]. 2. Hàm số y = cosx: • Hàm số y = cosx xác định với mọi x ∈ R và -1 ≤ cosx ≤ 1; • Là hàm số chẵn; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π; • Hàm số y = cosx đồng biến trên [-π; 0] và nghịch biến trên [0; π]. • Bảng biến thiên: x -π 0 π y = cosx 1 -1 -1 • Đồ thị hàm số y = cosx: • Tập giá trị của hàm số y = cosx là T = [-1; 1]. Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin. 3. Hàm số y = tanx: • Tập xác định: D = R\{ π π k + 2 , k ∈ Z}; • Là hàm số lẻ; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π; a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0; 2 π ): 7 Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0; 2 π ). Bảng biến thiên: x -π 4 π 2 π y = tanx +∞ 1 0 * Nhận xét: Khi x càng gần 2 π thì đồ thị hàm số y = tanx càng gần đường thẳng x = 2 π . b) Đồ thị hàm số y = tanx trên D: • Đồ thị hàm số y = tanx trên ) 2 ; 2 ( ππ − : • Đồ thị hàm số y = tanx trên D: 8 Tài liệu lưu hành nội bộ 8 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 • Tập giá trị của hàm số y = tanx là T = (-∞; +∞). 4. Hàm số y = cotx: • Tập xác định: D = R\{kπ, k ∈ Z}; • Là hàm số chẵn; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π; a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π ) : Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; π). x 0 2 π π y = tanx +∞ 0 -∞ b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D: 9 Tài liệu lưu hành nội bộ 9 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 • Tập giá trị của hàm số y = cotx là T = (-∞; +∞).  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-π; 2 3 π ] để hàm số y = tanx: 10 Tài liệu lưu hành nội bộ 10 [...]... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau Hỏi: a) Có tất cả bao nhiêu số? 26 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ? c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000? Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách... 23 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau? Giải:  Có bao nhiêu số điện thoại gồm 9 chữ số  Ghi chú:... k 2 Số các tổ hợp: Kí hiệu C n là số các tổ hợp chập k của n phần tử Ta có: k Cn = n! k!(n − k )! (0 ≤ k ≤ n) (n, k ∈ N) Ví dụ: Một tổ gồm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đồn đại biểu gồm 5 người Hỏi: 25 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 a) Có tất cả bao nhiêu cách lập? b) Có bao nhiêu cách lập đồn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ Giải: ... 20 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn khơng? Tại sao? π b) Hàm số y = tan(x + 5 ) có phải là hàm số lẻ khơng? Tại sao? 3π Bài 2: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx,... Bài 1: Giải các phương trình sau: a) sin2x - sinx = 0; b) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0; 18 - Tài liệu lưu hành nội bộ - c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) cosx - 3 sinx = 2 ; b) 3 sin3x - cos3x = c) 2sinx + 2cosx - 2 = 0; Bài 3: Giải các phương trình sau: d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0 a) 2sin2x + 2 sin4x = 0; Bài 4: Giải các... 27 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 §3 NHỊ THỨC NEWTON I- CƠNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:  Khai triển hằng đẳng thức (a + b) 3 và viết lại các hệ số dưới dạng tổ hợp chập k của 3 phần tử? Trong khai triển đó thành phần nào là số hạng? thành phần nào là hệ số của số hạng? 0 1 2 k n n (a + b) n =... Tính xác suất của các biến cố sau: a) A: "Nhận được quả cầu ghi số chẵn"; b) B: "Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3"; c) A ∩ B; d) C: "Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6" Giải: 34 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 ... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Giải các phương trình sau: 15 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 1 a) sin(x + 2) = 3 ; b) sin3x = 1; 3 2x π 1 − c) sin( 3 3 ) = - 2 ; d) sin(x + 200) = - 2 Bài 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau? Bài 3: Giải các phương trình sau: 2 a) cos(x - 1) = 3... A, kí hiệu C A Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 § 1.QUY TẮC ĐẾM Số phần tử hữu hạn của tập hợp A được kí hiệu n(A) hoặc A A a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n(A) = 3 hoặc = 3 b) Nếu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7} - Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9 - Số phần tử của tập... qt: cot[f(x)] = cot[g(x)] ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z π cot[u(x)] = 0 ⇔ u(x) = 2 + kπ, k ∈ Z • Đặc biệt: Ví dụ: Giải các phương trình sau: 2π a) cot4x = cot 7 ; Giải: 1 b) cot3x = -2; 14 - Tài liệu lưu hành nội bộ - c) cot(2x - 100) = 3 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11 . 3 Tài liệu lưu hành nội bộ 3 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 4 Tài liệu lưu hành nội bộ 4 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 § 1. HÀM SỐ LƯỢNG. Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi Diễn giải P n Số các hoán vị của n phần tử Permutation k n A Số các chỉnh hợp chập. hành nội bộ 6 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11 c) Tập giá trị của hàm số y = sinx: Tập giá trị của hàm số y = sinx là T = [-1; 1]. 2. Hàm số y = cosx: • Hàm số y = cosx xác