Tài liệu ôn thi môn Toán MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT: Cung/góc GTLG ( ) 0 0 0 ( ) 0 6 30 π ( ) 0 4 45 π ( ) 0 3 60 π ( ) 0 2 90 π ( ) 0 2 3 120 π ( ) 0 3 4 135 π ( ) 0 5 6 150 π ( ) 0 180 π sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − 3 2 − 1− tan 0 3 3 1 3 P 3− 1− 3 3 − 0 cot P 3 1 3 3 0 3 3 − 1− 3− P II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: 1. Công thức cộng: cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −o cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +o sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +o sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −o tan tan tan( ) ,( , ; ) 1 tan tan 2 a b a b a b k k a b π π + + = ≠ + ∈ − o ¢ tan tan tan( ) ,( , ; ) 1 tan tan 2 a b a b a b k k a b π π − − = ≠ + ∈ + o ¢ 2. Công thức nhân đôi: sin 2 2sin cosa a a=o 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = −o 2 2tan tan 2 1 tan a a a = − o 3. Công thức hạ bậc: 2 1 cos 2 cos 2 a a + =o 2 2 2 tan tan 1 tan a a a = − o 2 1 cos2 sin 2 a a − =o 4. Công thức biến đổi tích thành tổng: [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − + +o [ ] 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − − +o [ ] 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= − + +o [ ] 1 cos sin sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= − − − +o 6. Các hằng đẳng thức lượng giác: 2 2 sin cos 1a a+ =o 2 2 1 1 tan ( , ) cos 2 a a k k a π π + = ≠ + ∈o ¢ 2 2 2 1 1 cot ( , ) 4 sin a a k k b ac a π + = ≠ ∈ −o ¢ tan .cot 1,( , ) 2 k a a a k π = ≠ ∈o ¢ 5 Công thức biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b + − + =o cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = −o sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + =o sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b + − − =o sin( ) tan tan cos cos a b a b a b + + =o sin( ) tan tan cos cos a b a b a b − − =o Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 1 Tài liệu ôn thi môn Toán III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: Phương trình sin x a = Phương trình cos x a= 2 sin sin ,( ) 2 x k x a k x k α π α π α π = +  = = ⇔ ∈  = − +  o ¢ sin 2 sin ,( ) sin 2 x acr a k x a k x acr a k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  o ¢ cos cos 2 ,( )x a x k k α α π = = ⇔ = ± + ∈o ¢ cos cos 2 ,( )x a x acr a k k π = ⇔ = ± + ∈o ¢ Phương trình tan ( : , ) 2 x a Dk x k k π π = ≠ + ∈¢ Phương trình cot ( : , )x a Dk x k k π = ≠ ∈¢ tan tan ,( )x a x k k α α π = = ⇔ = + ∈o ¢ tan tan ,( )x a x acr a k k π = ⇔ = + ∈o ¢ cot cot ,( )x a x k k α α π = = ⇔ = + ∈o ¢ cot cot ,( )x a x acr a k k π = ⇔ = + ∈o ¢ IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1. Phương trình dạng: asinx + bcosx = c. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a sin cos sin cos sin a b c x b x c x x a b a b a b c x a b α + = ⇔ + = + + + ⇔ + = + ; Trong đó: 2 2 2 2 os sin = a c a b b a b α α  =  +     +  2. Phương trình dạng: asin 2 x + bsinx.cosx + ccos 2 x = d. Phương pháp: + Kiểm tra với cos x = 0 có phải là nghiệm của phương trình không? + Nếu cos 0x ≠ , chia 2 vế của phương trình cho cos 2 x , ta được: atan 2 x + btanx + c = d(1 + tan 2 x) IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC HAY DÙNG: sin cos 2sin 2 os 4 4 x x x c x π π     + = + = −  ÷  ÷     o 2 2 2 2 cos4 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2x x x x x= − = − = −o ( ) 2 sin cos 1 sin 2x x x± = ±o 3 3 1 sin cos (sin cos ) 1 sin 2 2 x x x x x   + = + −  ÷   o 3 3 1 sin cos (sin cos ) 1 sin 2 2 x x x x x   − = − +  ÷   o 4 4 2 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x+ = −o 4 4 2 2 sin cos sin cosx x x x− = −o 6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x+ = −o BẢNG ĐẠO HÀM ( ) ' 1 .x x α α α − =o ' 2 1 1 x x   = −  ÷   o ( ) ' 1 2 x x =o ( ) ' sin cosx x=o ( ) ' cos sinx x= −o ( ) ' 2 1 tan os x c x =o ( ) ' 2 1 cot sin x x = −o ( ) ' 1 .( )'.u u u α α α − =o ' 2 1 'u u u   = −  ÷   o ( ) ' ' 2 u u u =o ( ) ' sin '.cosu u u=o ( ) ' cos '.sinu u u= −o ( ) ' 2 ' tan os u u c u =o ( ) ' 2 ' cot sin u u u = −o ( ) ' x x e e=o ( ) ' .ln x x a a a=o ( ) ' 1 ln x x =o ( ) ' . ' u u e e u=o ( ) ' .ln . ' u u a a a u=o ( ) ' ' ln u u u =o ( ) ' ' 'u v u v± = ±o ( ) ' . '. '.u v u v v u= +o ( ) ' . . 'k v k u=o ( ) 2 a . . ' x b y cx d a d c b y cx d + = + − ⇒ = + o Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 2 Tài liệu ôn thi môn Toán ( ) ' 1 log .ln a x x a =o ( ) ' ' log .ln a u u u a =o ' 2 '. '.u u v v u v v −   =  ÷   o PHẦN GIẢI TÍCH Chương I: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3; BẬC 4. 1. Các bước khảo sát hàm số: + Tập xác định: D = ¡ . + Tính đạo hàm 'y , giải phương trình ' 0y = và tìm các điểm cực trị của hàm số. + Tính các giới hạn lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ . Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 3 Tài liệu ôn thi môn Toán + Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số. + Vẽ đồ thị: ( Tìm các điểm đặc biệt, tâm đối xứng của đồ thị, các giao điểm với truc Ox, trục Oy) 2. Các dạng đồ thị: Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 Có điểm cực đại và cực tiểu Có điểm cực đại và cực tiểu 0a > 0a < 0a > 0a < y x y x y x O y x O Không có cực trị Không có cực trị 0a > 0a < 0a > 0a < y x O y x O y x O y x O 3. Các ví dụ: Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 4 O O Tài liệu ôn thi môn Toán Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 3 2 3 4y x x= + − . Giải * Tập xác định: D = ¡ . * Đạo hàm: 2 ' 3 6 3 ( 2)y x x x x= + = + . * Cho 0 4 ' 0 3 ( 2) 0 2 0 x y y x x x y = ⇒ = −  = ⇔ + = ⇔  = − ⇒ =  * Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ * Bảng biến thiên: x −∞ – 2 0 +∞ y’ + 0 – 0 + 0 +∞ y −∞ – 4 * Nhận xét: + Hàm số đồng biến trên ( ; 2)−∞ − và (0; )+∞ , nghịch biến trên ( 2;0)− . + Hàm số đạt cực đại tại: 2 0 cd x y= − ⇒ = . + Hàm số đạt cực tiểu tại: 0 4 ct x y= ⇒ = − . *Đồ thị: + Đồ thị nhận điểm ( 1; 2)I − − làm tâm đối xứng. + Cho 1 0x y= ⇒ = . + Cho 3 4x y= − ⇒ = − . Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 4 2 2 3y x x= − − . Giải * Tập xác định: D = ¡ . * Đạo hàm: 3 2 ' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = − . * Cho 2 1 4 ' 0 4 ( 1) 0 0 3 x y y x x x y = ± ⇒ = −  = ⇔ − = ⇔  = ⇒ = −  * Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ * Bảng biến thiên: x −∞ – 1 0 1 +∞ y’ – 0 + 0 – 0 + +∞ – 3 +∞ y – 4 – 4 * Nhận xét: + Hàm số đồng biến trên ( 1;0)− và (1; )+∞ , nghịch biến trên ( ; 1)−∞ − và (0;1) . + Hàm số đạt cực đại tại: 0 3 cd x y= ⇒ = − . + Hàm số đạt cực tiểu tại: 1 4 ct x y= ± ⇒ = − . *Đồ thị: + Cho 2 5x y= − ⇒ = . + Cho 2 5x y= ⇒ = . II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC ; ax b d y x cx d c +   = ≠ −  ÷ +   Các bước khảo sát Ví dụ * Tập xác định: \ d D c   = −     ¡ . * Tính đạo hàm: ( ) 2 ' ad bc y cx d − = + . * Giới hạn; các đường tiệm cận: Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 1 1 x y x + = − . Giải * Tập xác định: { } \ 1D = ¡ . Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 5 Tài liệu ôn thi môn Toán lim ?; lim ? d d x x c c y y + − →− →− = = ⇒ Tiệm cận đứng: d x c = − lim ; lim x x a a y y c c →−∞ →+∞ = = ⇒ Tiệm cận ngang: a y c = . * Bảng biến thiên: +TH: ' 0y > x −∞ /d c− +∞ y’ + + +∞ a c y a c −∞ +TH: ' 0y < x −∞ /d c− +∞ y’ – – a c +∞ y −∞ a c * Đồ thị: + Tìm các điểm đặc biệt với trục Ox, Oy. ' 0y > ' 0y <  : Chú ý: + Đồ thị nhận điểm ; a d I c c   − −  ÷   làm tâm đối xứng. * Tính đạo hàm: ( ) 2 2 ' 0, 1 y x D x = − < ∀ ∈ − . * Giới hạn; các đường tiệm cận: +Ta có: 1 1 1 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x + − → → + + = +∞ = −∞ − − o ⇒ Tiệm cận đứng: 1x = + 1 lim 1 1 x x x →±∞ + = ⇒ − o Tiệm cận ngang: 1y = . * Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞ y’ – – 1 +∞ y −∞ 1 * Nhận xét: + Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng ( ;1) (1; )−∞ ∪ +∞ . + Hàm số không có cực trị. * Đồ thị: + Cho 0 1x y= ⇒ = − + Cho 0 1y x= ⇒ = − BÀI TẬP Bài tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. 3 2 3 1y x x= + − 5. 3 2 2 3y x x= − 9. 3 2 3 1y x x= − + − 2. 3 2 3 1y x x= − + 6. 3 2 6 9y x x x= − + 10. 3 3 2y x x= − + − Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 6 Tài liệu ôn thi môn Toán 3. 3 2 3y x x= + 7. 3 2 3y x x= − + 11. 3 2 3 2y x x= − − + 4. 3 2 3 2y x x= − + 8. 3 2 2 3 1y x x= − + + 12. 3 2 3 4y x x= − + − Bài tập 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. 4 2 2 1y x x= − − 4. 4 2 2 4 1y x x= − − 7. 4 2 3 2 2 x y x= − − 2. 2 4 2y x x= − 5. 4 2 2 2y x x= − − 8. 4 2 4y x x= − + 3. 4 2 1 2 1 4 y x x= − + + 6. 4 2 2 1y x x= − + Bài tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. 1 2 x y x − = + 4. 2 3 1 x y x − = + 7. 3 5 2 2 x y x + = + 10. 2 1 2 x y x − + = + 2. 1 2 x y x − = − 5. 3 1 x y x + = − 8. 3 2 1 x y x − = + 11. 2 1 2 x y x + = − 3. 2 1 1 x y x − = + 6. 3 1 1 x y x + = − 9. 2 1 2 x y x + = − 12. 2 1 x y x + = + 13. 1 2 x y x + = − CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐÉN KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI TOÁN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Phương pháp Ví dụ + Tìm tập xác định. + Tính đạo hàm ' '( )y f x= . Tìm các điểm i x ( i = 1,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. + Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. + Nêu kết luận về các khoảng đồng biến nghịch biến ( Hàm số đồng biến trên khoảng mà '( ) 0f x > và ngược lại) Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: 3 2 1 1 2 2 3 2 y x x x= − − + . Giải * Tập xác định: D = ¡ . * Đạo hàm: 2 1 ' 2; ' 0 2 x y x x y x = −  = − − = ⇔  =  . * Bảng biến thiên: x −∞ – 1 2 +∞ y’ + 0 – 0 + +∞ y −∞ * Kết luận: + Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1)−∞ − và (2; )+∞ và nghịch biến trên ( 1;2)− . Bài tập: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: 3 3 1y x x= − + (TN THPT 2007 – lần 2). BÀI TOÁN 2: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định . 1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc 2: 2 ( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ có 2 4b ac∆ = − . Khi đó: Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 7 Tài liệu ôn thi môn Toán - Nếu 0 ∆ < thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ¡ . - Nếu 0 ∆ = thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ¡ trừ tại 2 b x a = − . - Nếu 0 ∆ > , giả sử f(x) có 2 nghiệm 1 2 1 2 , ( )x x x x< ta có bảng xét dấu: x −∞ 1 x 2 x +∞ f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 2. Định giá trị của m: Đối với hàm bậc 3 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ Đối với hàm nhất biến: ; ax b d y x cx d c +   = ≠ −  ÷ +   + Tập xác định: D = ¡ . + Đạo hàm: 2 ' 3 2y ax bx c= + + +TXĐ: \ d D c   = −     ¡ .Đạo hàm: ( ) 2 . . ' a d b c y cx d − = + . + y đồng biến trên D ' 0 , 0 0 y x D a ⇔ ≥ ∀ ∈ >  ⇔  ∆ ≤  + y nghịch biến trên D ' 0 , 0 0 y x D a ⇔ ≤ ∀ ∈ <  ⇔  ∆ ≤  + y đồng biến trên từng khoảng D ' 0 , . . 0 y x D a d b c ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ − ≥ + y nghịch biến trên từng khoảng D ' 0 , . . 0 y x D a d b c ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ − ≤ Ví dụ: Định m để hàm số: 3 2 1 ( 6) (2 1) 3 y x mx m x m= + + + − + đồng biến trên tập xác định. Giải * Tập xác định: D = ¡ . * Đạo hàm: 2 ' 2 6y x mx m= − + + Ta có: 2 2 ' 1.( 6) 6m m m m∆ = − + = − − * Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì: 2 1 0 0 2 3 3 0 6 0 a a m m m  = − > >   ⇔ ⇔ − ≤ ≤   ∆ ≤   − − ≤  Ví dụ: Định m để hàm số: (2 1) 3m x y x m − + = + . đồng biến trên tập xác định. Giải * Tập xác định: { } \D m= −¡ . * Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 (2 1) 3 2 3 ' m m m m y x m x m − − − − = = + + . * Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì: 2 1 ' 0 2 3 0 3 2 m y m m m ≤ −   ≥ ⇔ − − ≥ ⇔  ≥  BÀI TẬP 1. Cho hàm số: 3 2 ( 2) ( 1) 2 (1)y x m x m x= + + − − − . Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 2. Cho hàm số: 3 2 2 3 2 1 (1)y x x mx= + − + . Định m để hàm số (1) đ.biến trên tập xác định của nó. 3. Cho hàm số: 2 3 2 1 ( 1) ( 1) 2 1 (1) 3 y m x m x x= − + − − + . Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. BÀI TOÁN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] . Cho hàm số ( )y f x= xác định trên đoạn [ ] ;a b Phương pháp Ví dụ * Tính đạo hàm '.y * Giải pt: ' 0y = , tìm các nghiệm 1 2 , ( ; )x x a b∈ . * Tính các giá trị 1 2 ( ); ( ); ( ) ( )y a y x y x y b Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 3 2 3 2y x x= − + trên đoạn [ ] 1;1− Giải * Đạo hàm: 2 ' 3 6 3 ( 2)y x x x x= − = − Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 8 Tài liệu ôn thi môn Toán * Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số ở trên. Khi đó: [ ] [ ] ; ; max min a b a b y M y m= = * Cho 0 ( ) ' 0 3 ( 2) 0 2 ( ) x N y x x x L =  = ⇔ − = ⇔  =  * Ta có: ( 1) 4; (0) 2; (1) 0y y y− = = = * Vậy: [ ] 1;1 max 4y − = đạt được tại 1x = − [ ] 1;1 min 0y − = đạt được tại 1x = BÀI TẬP 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 3 1y x x= − + trên đoạn [ ] 0;2 (TN THPT 2007) 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 2 2 1y x x= − + trên đoạn [ ] 0;2 (TN THPT 2008 – lần 1) 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 6 1y x x= − + trên đoạn [ ] 1;1− (TN THPT 2008 – lần 2) 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 1 2 3 7 3 y x x x= − + − trên đoạn [ ] 0;2 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ln(1 2x)y x= − − trên đoạn [ ] 2;0− (TN THPT 2009) 6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (3 ) x y x e= − trên đoạn [ ] 3;3− 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2x y x e= − trên đoạn [ ] 1;0− 8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 3 ln xy x x= + − trên đoạn [ ] 1;2 (TN THPT 2013) 9. Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của hàm số 2 ( ) 1 x m m f x x − + = + trên đoạn [ ] 0;1 bằng 2− . (TN THPT 2012). 10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ( ) 2 5f x x x= − + trên đoạn [ ] 0;3 (TN BT năm 2012). 11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 9 2 y x x = + + trên đoạn [ ] 1;2− (TN Bổ túc 2013) Giải: 1. + Đạo hàm: 2 ' 3 6 3 ( 2)y x x x x= − = − + Cho 0 ( ) ' 0 3 ( 2) 0 2 ( ) x N y x x x N =  = ⇔ − = ⇔  =  + Ta có: (0) 1; (2) 3y y= = − Vậy: [ ] 0;2 max 2y = đạt được tại 0x = [ ] 0;2 min 3y = − đạt được tại 2x = 2. + Đạo hàm: 3 2 ' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = − + Cho 2 0 ( ) ' 0 4 ( 1) 0 1 ( ) 1( ) x N y x x x N x L =   = ⇔ − = ⇔ =   = −  + Ta có: (0) 1; (1) 0; (2) 9y y y= = = Vậy: [ ] 0;2 max 9y = đạt được tại 2x = [ ] 0;2 min 1y = đạt được tại 0x = 3. + Đạo hàm: 2 ' 6 12 6 ( 2)y x x x x= − = − + Cho 0 ( ) ' 0 6 ( 2) 0 2 ( ) x N y x x x L =  = ⇔ − = ⇔  =  + Ta có: ( 1) 7; (0) 1; (1) 3y y y− = − = = − Vậy: [ ] 1;1 max 1y − = đạt được tại 0x = [ ] 1;1 min 7y − = − đạt được tại 1x = − 4. + Đạo hàm: 2 ' 4 3y x x= − + + Cho 2 1 ( ) ' 0 4 3 0 3 ( ) x N y x x x L =  = ⇔ − + = ⇔  =  + Ta có: 17 19 (0) 7; (1) ; (2) 3 3 y y y − − = − = = Vậy: [ ] 0;2 17 max 3 y − = đạt được tại 1x = Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 9 Tài liệu ôn thi môn Toán [ ] 0;2 min 7y = − đạt được tại 0x = BÀI TOÁN 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số ( )y f x= có đồ thị (C) tại điểm 0 0 0 ( ; ) ( )M x y C∈ và có hệ số góc 0 '( )k f x= là: 0 0 0 0 ( ) '( )( )y y k x x f x x x− = − = − Các dạng toán thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của ham số (C). 1). Tại điểm có hoành độ 0 x ( tung độ 0 y ) cho trước. * Cách giải: + Thay 0 x vào đồ thị (C) và rút ra 0 y 0 0 ( ; )M x y⇒ + Thay 0 y vào đồ thị (C) và rút ra 0 x 0 0 ( ; )M x y⇒ * Lưu ý: + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Ta có: 0 0 0x y= ⇒ + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. Ta có: 0 0 0y x= ⇒ 2). Có hệ số góc k cho trước: * Phương pháp: Giải pt: '( )f x k= tìm nghiệm 0 x … từ đó rút ra 0 y . 3). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y ax b= + . * Phương pháp: Vì tiếp tuyến // d k a ⇒ = , từ pt: '( )f x a= ta tìm 0 x , rồi thay 0 x vào đồ thị của hàm số để rút ra 0 y . 4). Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y ax b= + . * Phương pháp: Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên 1 . 1k a k a = − ⇒ = − , từ pt: 1 '( )f x a = − ta tìm 0 x , rồi thay 0 x vào đồ thị của hàm số để rút ra 0 y . Ví dụ 1:Cho hàm số 1 2 x y x − = + , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C). 1. Tại điểm có hoành độ bằng –1. 2. Tại điểm có tung độ bằng 2. 3. Tại giao điẻm của đồ thị với trục hoành. 4. Tại giao điẻm của đồ thị với trục tung. Giải Ta có: ' 2 2 1 1.2 1.( 1) 3 ' 2 ( 2) ( 2) x y x x x − − −   = = =  ÷ + + +   1. Theo y/cầu b.toán, ta có: 0 0 1 1 1 2 1 2 x y − − = − ⇒ = = − − + . Hệ số góc: 2 3 '( 1) 3 ( 1 2) k y= − = = − + Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 3( 1)y x+ = + hay 3 1y x= + . 2. Theo y/cầu bài toán, ta có: 0 0 0 0 1 2 2 5 2 x y x x − = ⇔ = ⇒ = − + . Hệ số góc: 2 3 1 '( 5) 3 ( 5 2) k y = − = = − + Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 1 2 ( 5) 3 y x− = + hay 11 3 3 x y = + . Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 10 [...]... 13: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007) lần 2 Cho hàm số y = − x 3 + 3 x − 2 có đồ thị (C) Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 16 Tài liệu ôn thi môn Toán 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C) Bài 14: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008) Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị (C) 1 Khảo sát sự biến thi n và... Văn Trỗi, Quảng Nam 32 Tài liệu ôn thi môn Toán Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và mặt SAB là tam giác vuông cân tại S Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a Giải: Ta có: ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB Qua S dựng đường thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại I, S nên SI vuông góc với mặt đáy (ABC) 1 a Mà ∆SAB vuông tại S ⇒ I là trung... Bài tập tương tự: Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam C a 31 Tài liệu ôn thi môn Toán 1 (TN THPT 2009) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh bằng a, biết · ABC = 1200 Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a 2 (TN THPT 2008 – lần 2) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a; BC... 3 2 Cho hàm số y = x − x + 5 4 2 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số đã cho 2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3 − 6 x 2 + m = 0 có ba nghiệm phân biệt Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 17 Tài liệu ôn thi môn Toán Bài 24: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2011) Cho hàm số y = 2 x 3 − 6 x − 3 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2 Viết phương... x Bài 3 (Đề thi TNTHPT 2004) 1 3 2 Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C) 3 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0) 3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0 , x = 0 , x = 3 quay quanh trục Ox Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 15 Tài liệu ôn thi môn Toán Bài 4: (Đề thi TNTHPT 2005)... Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 35 Tài liệu ôn thi môn Toán Giải: 1 Ta có các tam giác SAC, SBC lần lượt vuông tại A, B 1 nên IA = IB = IS = IC = SC 2 Do đó I cách đều các đỉnh S,A,B,C Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, 1 1 a2 6 có bán kính là: R = SC = SA2 + AC 2 = 2 2 2 S I 2a a 2 C A B 2 Đường tròn giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABC vuông... )dt ∫ Ví dụ π 2 Ví dụ: Tính I = esin x cos xdx ∫ 0 Giải Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 ⇒ t = 0 Đổi cận:  x = π ⇒ t = 1  2 a Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 24 Tài liệu ôn thi môn Toán 1 1 ⇒ I = ∫ et dt = et = e1 − e0 = e − 1 0 0 b ∫ Bài toán 2: 1 2 Ví dụ: Tính I = ∫ x x + 1dx u ( x ).u '( x)dx a 0 Phương pháp: + Đặt t = u ( x) ⇒ t = u ( x) 2 Giải Đặt t = x + 1 ⇒ t = x... (e x + 1)e x ex + 1 Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam dx xdx 25 Tài liệu ôn thi môn Toán π 4 17 ∫ tan xdx π 2 0 2π 21 ∫ 1 − cos 2 xdx 0 1 ∫ (2sin x + 3) cos xdx 18 19 22 π 4 sin 3 x dx ∫ π 1 − cos x 20 −1 0 π 3 2 2 3 4 ∫ x (1 − x ) dx 23 ∫ 0 ∫ (6 x 2 − 4 x + 1) dx 1 π 3 1 dx (1 + tan x) cos 4 x 24 2 6 ∫ π sin 2 1 dx x cos 2 x 6 5 Tích phân từng phần: b a) Công thức: ∫ udv = uv a... Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 29 Tài liệu ôn thi môn Toán SỐ PHỨC Chương IV: 1 Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng: z = a + bi (với a, b ∈ ¡ , i 2 = −1 ) Tập hợp các số phức được kí hiệu: £ 2 Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z = a + bi là: z = a − bi 3 Mô đun của số phức: Mô đun của z = a + bi là: z = a 2 + b 2 4 Các phép toán cộng, trừ, nhân... 2011_NC) 11 8z 2 − 4z + 1 = 0 (TN THPT 2009_CB) 12 2z 2 − iz + 1 = 0 (TN THPT 2009_NC) Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 30 Tài liệu ôn thi môn Toán 13 2z 2 + 6z + 5 = 0 -Hết chương IV - PHẦN HÌNH HỌC Chương I & II: DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CÁC HÌNH, KHỐI A Một số công thức cơ bản cần nắm: 1 Thể tích hình hộp chữ nhật: 4 Hình trụ: S xq = 2π Rl V = a.b.c . (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007) lần 2. Cho hàm số 23 3 −+−= xxy có đồ thị (C). Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 16 Tài liệu ôn thi môn Toán 1. Khảo sát sự biến thi n. sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 1 1 x y x + = − . Giải * Tập xác định: { } 1D = ¡ . Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 5 Tài liệu ôn thi môn Toán lim. ] 0;2 17 max 3 y − = đạt được tại 1x = Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam 9 Tài liệu ôn thi môn Toán [ ] 0;2 min 7y = − đạt được tại 0x = BÀI TOÁN 4: Phương trình tiếp tuyến