TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGUYỄN LÊ NGÂN HOÀNH ĐỘ CONG – BÁN KÍNH CONG – TÂM CONG CỦA ĐƢỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. ĐINH THỊ KIM THÚY HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành c  ca thy cô trong t Hình hc, các thy cô trong khoa Toán  i hm Hà Nc tip  ch bo trong sut thi gian em theo hc ti khoa và trong thi gian làm khóa lun. c bit em xin bày t lòng bic t Kim Thúy  gii hm Hà Ni trc tip ng dn em luôn tn tâm ch bng cho em trong sut quá trình làm khóa lu c kt qu  Mc dù  gng rt nhiu xong thi gian và kinh nghim bn thân còn nhiu hn ch nên khóa lun không th thiu khi nhiu thiu sót rt mong s a các thy cô giáo và các b khóa lun ca c hoàn thin. Em xin chân thành c Hà Ni, ngày tháng  SINH VIÊN Nguyễn Lê Ngân LỜI CAM ĐOAN Khóa lun này là nhng nghiên cu ci s ng dn tn tình ca t Kim Thúy  gii hm Hà Ni 2 cùng vi s c gng ca bn thân em. Bên cc s quan tâm, tu kin ca các thy, cô trong khoa Toán -  Ni 2. Trong quá trình nghiên cu khóa lun em có tham kho mt s tài liu ca các nhà Toán hc. Vì vy, em xin khnh n tài“Hoành độ cong- Bán kính cong - Tâm cong của đƣờng cong trong mặt phẳng” không có s trùng lp v tài khác. Hà N Sinh viên Nguyễn Lê Ngân MỤC LỤC M U 1 NI DUNG 2 n thn v ng cong trong mt phng 2 1.1. Cung tham s hóa 2  2 1.1.2. Kho sát mt cung tham s hóa 3 ng cong trong t cc 10 1.2.1.To  cc 10 1.2.2 Biu din mng cong trong t cc 11 1.2.3 Kho sát mng cong trong t cc 13 1.3. Bài t ngh 16  cong - Bán kính cong - Tâm cong cng thng trong mt phng 22  cong 22  22 2.1.2 Biu din tham s  cong 24 2.2 Bán kính cong 27 2.3 Tâm cong 35 2.4 Bài t ngh 37 KT LUN 51 TÀI LIU THAM KHO 52 SVTH: Nguyễn Lê Ngân 1 K36 CN – Toán MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài: Toán hc có vai trò quan tri sng thc t nghiên cu khoa hc. Toán h, là nn t nghiên cu các môn hc khoa hc khác. Trong quá trình hc tc nghiên cu v chuyên ngành Hình hc, mt b môn quan tri khó tc ph thông. Vi mong muc nghiên cu sâu v Hình hc và tìm hiu sâu  a v ng cong trong mt phng nh  cong, bán kính n “Hoành độ cong- Bán kính cong - Tâm cong của đƣờng cong trong mặt phẳng”  tài khoá lun. 2. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cu v  cong  bán kính cong  tâm cong cng cong trong mt phng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu: Kin thc v ng cong mt ph cong, bán kính cong, tâm cong. 4. Phạm vi nghiên cứu: Mt s bài toán v kho ng cong trong mt phng, tính hoành  cong, bán kính cong, tâm cong cng cong trong mt phng. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày lí thuyt v ng cong trong mt phng và mt s  kh cong, bán kính cong, tâm cong. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cu sách giáo giáo trình, sách giáo khoa, sách tham kho và các tài liu liên quan. SVTH: Nguyễn Lê Ngân 2 K36 CN – Toán NỘI DUNG Chƣơng I: Kiến thức cơ bản về đƣờng cong trong mặt phẳng 1.1. Cung tham số hóa 1.1.1. Đại cƣơng Định nghĩa. Ta gi mi ánh x 2 () : t f t fI thuc lp   là cung tham s hóa (thuc lp   ). Ví dụ : Mt chuym là mt cung tham s n s t là thi gian. ng h              c gi là vn tc, và             c gi là gia tc ti thm t cm chuyng. *Biểu diễn tham số Định nghĩa 1. Cho   là mt cung tham s hóa. Ta gi b phn        ca   là qu o ca f.    ng        là m ng cong nhn f làm biu din tham s. Định nghĩa 2. Cho   là mt cung tham s hóa (thuc lp   ). i tham s (thuc lp   ) ca f là mi ánh x  là mt khong ca , sao cho:            2. Biu din tham s chp nhc (thuc lp   ) ca f là mi ánh x   t khong , sao cho tn ti mi tham s  (thuc lp   ) sao cho . SVTH: Nguyễn Lê Ngân 3 K36 CN – Toán 1.1.2. Khảo sát một cung tham số hóa 1)Tiếp tuyến tại một điểm Định nghĩa 1. Cho 2 () : t f t fI vi ( ) ( )f t M t là mt cung tham s hóa thuc lp   ,  là qu o ca nó, M(t) là mm c Ta nói rng M(t) là mm chính quy c khi                  . Nu f thuc lp   , ta nói rng M(t) là mm song chính quy c khi và ch khi h                                c lp tc det                                . Mc gi lm dng. Nhận xét: Các khái nim v m song chính quy là bt bin i tham s. Định nghĩa 2. Ta nói rng mt cung tham s hóa 2 () : t f t fI vi ( ) ( )f t M t thuc lp   ng:    ng: song chính quy) khi và ch khi, vi mi t thuc I, M(t) là mng: song chính i vi f. Định nghĩa 3. Cho 2 () : t f t fI vi ( ) ( )f t M t là mt cung tham s hóa thuc lp    o ca f,     u là   . 1)Ta nói rn mt bán tip tuyn ti     (ng:    ) khi và ch    AM AM (nu tn ti) có gii hn khi t tin     ng:     ng h  a tip tuyn ti      ng:    ) vng thng có g ng bi gii h 2) Ta nói rn mt tip tuyn ti    khi và ch n hai bán tip tuyn bng nhau i nhau ti     và   ng hp ng tha tip tuyn là tip tuyn v ti   . SVTH: Nguyễn Lê Ngân 4 K36 CN – Toán Định lý. Cho   là mt cung tham s hóa thuc lp    o ca nó. Ti mm chính quy A(t) cn mt tip tuyn và tip tuyn này ng bi               . Định nghĩa 4. Cho   là mt cung tham s hóa thuc lp    o ca nó, A(t) là mm chính quy cp tuy nh ng) ca V tu là           (hoc:    nh bi:                                              Mệnh đề 1. Cho   là mt cung tham s hóa thuc lp    o ca nó, (x,y) là các thành phn ca f trong h quy chiu Descartes trc chun R    ca   :          . Cho M(t) là mm chính quy cp tuyn vi M(t). +Nu   , thì T(t) có h t ch  . )(' )(' tx ty +Nu         ), thì T(t) song song vi (y’y). 2)Dáng điệu của đường cong tại lân cận một điểm Mệnh đề 2. Cho   là mt cung tham s hóa thuc lp    o ca nó, M(t) là mm chính quy cng th     i                   i      , tc là ti lân cn ca      vi   và t gn   m hoàn toàn v i vi D, vi   và t gn   m hoàn toàn v i vi D. M(t) A  M(t) M(t) A  A  M(t)           A   M(t) A M(t) SVTH: Nguyễn Lê Ngân 5 K36 CN – Toán Mệnh đề 3. Cho   là mt cung tham s hóa thuc lp    o ca nó, M(t) là mm song chính quy ci lân cc na mt phng gii hn bi tip tuyn vi M(t) nm v phía ca                .Ta nói rng ng                . Mệnh đề 4. Cho   là mt cung tham s hóa thuc lp thích h qu o ca nó, , ta kí hiu: p là s nguyên nh nht lc bng 1 sao cho                       q là s nguyên nh nht l                                       c lp. (ta gi thiu tn ti) Trong lân cn cn l ca p và q:  D M(t 0 )                                                 M(t) SVTH: Nguyễn Lê Ngân 6 K36 CN – Toán 3)Lược đồ khảo sát một cung tham số hóa ng cong có biu din tham s    , a)Khảo sát về x, y 1)Tìm minh ca x và y, trong thng khong hp ca nhng khong. 2)Tìm nhng tính chi xng có th có cng vic kha sát các phép bii tham s loi    nh mt (hoc nhiu) khong cn khi vi x, y. 3)Kho sát ti cn ca các kho 4)Kho hàm cm làm triu ca .                                     M(t)                                      M(t)                                       M(t) p chn, q l p l, q chn m lùi loi 2 ng p l, q l m un                                      M(t) p chn, q chn m lùi loi 1 [...]... Vậy quỹ tích của M có phương trình cực:      SVTH: Nguyễn Lê Ngân 21     a 1  sin  trong đó 2   K36 CN – Toán Chƣơng 2: Hoành độ cong - Bán kính cong - Tâm cong của đƣờng thẳng trong mặt phẳng 2.1 Hoành độ cong 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho f : I  2 nó Ta gọi mọi ánh xạ thuộc lớp C1 trên I sao cho: t f (t ) là một cung tham số hóa, ‖ là quỹ đạo của ‖ là hoành độ cong trên Γ Nhận... nếu là một hoành độ cong trên Γ thì 4)Với kí hiệu trong định nghĩa 1, ta có: ‖ Định nghĩa 2 Cho f : I  t f (t ) 2 ‖ là một cung tham số hóa, là quỹ đạo của nó Cho s là một hoành độ cong trên Γ, Ta gọi:  Độ dài(đại số) của cung AB trên Γ, và kí hiệu ở đây là l ( AB) , là số thực , tức là: l ( AB)  b f ' t  dt a  Trị tuyệt đối của độ dài (đại số) của AB trên Γ là độ dài của cung AB của Γ Mệnh... của Γ Mệnh đề 1 (Cộng tính của độ dài cung) Cho là hai đường cong thuộc lớp C1 sao cho mút của Khi đó độ dài đường cong Γ có được do nối và là gốc của là tổng các độ dài của và Chứng minh SVTH: Nguyễn Lê Ngân 23 K36 CN – Toán Đường cong Γ nhận một biểu diễn tham số f thuộc lớp C1 từng khúc trên khoảng (sao cho mút của là gốc của khoảng sao cho | và | là các biểu diến tham số của ∫‖ ‖ ∫‖ | và ∫‖ | ‖ ),... x   ,   2 2 Vậy bán kính cong tại mọi điểm thuộc đường cong Γ là: 1  y '  R 2 y '' 3 2 3 2  cos x(1  tan x)  2 2 1 cos x 2 )Đường cong tiếp xúc với x’x tại O Giả thiết Γ tiếp xúc với x’x tại O và kí hiệu tại O Đường cong Γ có biểu diễn tham số { với một (hoặc nhiều) là bán kính cong của Γ , Và điểm O của Γ ứng của tham số t Giả thiết rằng O là một điểm chính quy của Γ, tức là : ( ) Vì... ánh là hoành độ cong trên Γ khi và chỉ khi tồn tại xạ ∫‖ sao cho: ‖ Như vậy, Γ nhận vô số hoành độ cong, được suy ra từ một trong chúng bằng cách cộng thêm một hằng Việc tính s được gọi là phép cầu trường Γ Khi ta chọn một phần tử ∫ ‖ ‖ của I để định nghĩa một hoành độ cong trên Γ, ta nói rằng M( )(hoặc đúng hơn là ) là gốc hoành độ cong trên Γ 2) Ta thừa nhận rằng việc khảo sát có thể mở rộng trong. .. (Tính hoành độ cong trong tọa độ cực) Cho Γ là một đường cong có phương trình cực , trong đó thuộc lớp C1 Khi đó, nếu ký hiệu s là hoành độ cong trên Γ, ta có: Chứng minh: Ta kí hiệu: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Một biểu diễn tham số của Γ là xác định bởi: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vì (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là một cơ sở trực chuẩn của ‖ ‖ , nên ta rút ra: ) 2.1.2 Biểu diễn tham số theo hoành. .. từ R bằng phép quay tâm SVTH: Nguyễn Lê Ngân 10 K36 CN – Toán Với mọi M thuộc là một hệ tọa độ cực của M trong R, thì , nếu hệ tọa độ cực của M trong R’ là , theo hệ thức Chasles đối với góc Y y M X O x 1.2.2 Biểu diễn một đƣờng cong trong tọa độ cực Giả sử với M(t) = f(t) là một cung tham số hóa thuộc lớp là quỹ đạo của nó Ta giả thiết: Ta kí hiệu (x(t),y(t)) là tọa độ của M(t) trong nghĩa bởi : t... { } , phương trình cực biểu diễn đường thẳng D có phương trình Descartes Phƣơng trình đƣờng tròn trong tọa độ cực y 1) Đường tròn tâm O, bán kính R (R>0) nhận phương trình cực Ngược lại, với mọi a thuộc *, phương trình cực biểu diễn đường tròn tâm O và bán kính | | SVTH: Nguyễn Lê Ngân O 12 | | x K36 CN – Toán 2) Cho C là đường tròn đi qua O Phương trình Descartes của nó có dạng: Ta có:  [ Vì tồn... trong đó λ= -2a, Ngược lại, phương trình cực phương trình Descartes biểu diễn đường tròn có , đường tròn này đi qua O Các đƣờng cônic có tiêu điểm tại gốc tọa độ Đường conic C với tiêu điểm O, đường chuẩn liên kết D, tâm sai e, có phương trình cực là:  p 1  e cos       Trong đó d  d (O, D), p  de,  i, D   2   1.2.3 Khảo sát một đƣờng cong trong tọa độ cực 1) Khảo sát một đường cong. .. SVTH: Nguyễn Lê Ngân 9 K36 CN – Toán 1.2 Đƣờng cong trong tọa độ cực 1.2.1.Toạ độ cực √ Với mọi điểm M có tọa độ (x,y) trong, ta đặt ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )[ ](Nếu M O) và y Ta nói rằng là bán kính cực của M và √ Ta có: là góc cực của M M y , và { 0 Nếu [ ] và , thì Thay cho cũng thỏa mãn các hệ thức: { [ ] (Chú ý x cặp Ta nói rằng một cặp là một hệ tọa độ cực của M(x,y) khi và chỉ khi: { hiệu x thuộc , và khi . sâu  a v ng cong trong mt phng nh  cong, bán kính n Hoành độ cong- Bán kính cong - Tâm cong của đƣờng cong trong mặt phẳng  tài khoá. cu v  cong  bán kính cong  tâm cong cng cong trong mt phng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu: Kin thc v ng cong mt ph cong, bán kính cong, tâm cong. 4. Phạm. các nhà Toán hc. Vì vy, em xin khnh n tài Hoành độ cong- Bán kính cong - Tâm cong của đƣờng cong trong mặt phẳng không có s trùng lp v tài khác. Hà N