Đang tải... (xem toàn văn)
Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải được nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng. Đặc biệt trong mấy năm gần đây các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao. Trong đó có một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phương trình nghiệm nguyên”. Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến phương trình nghiệm nguyên. Chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” là chuyên đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu được, vận dụng được là vấn đề đáng suy nghĩ của giáo viên. Qua nghiên cứu và giảng dạy học sinh về “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp học sinh trau dồi tư duy toán học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm nhiều lời giải hay cho các bài toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê trong học toán. Học sinh nắm chắc về “Phương trình nghiệm nguyên” là chìa khoá vàng giải được nhiều loại toán khác như: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm nguyên… Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy về “Phương trình nghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi. Kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính: Phần 1: Hướng dẫn giảng dạy phần lý thuyết. Phần 2: Hướng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phương pháp. II. Đối tượng nghiên cứu Học sinh trường THCS Cao Dương – Thanh Oai – Hà Nội. Đối tượng khảo sát thực nghiệm: học sinh lớp 9A, 9B của trường. III. Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu các tài liệu có liên quan Tổng hợp tài liệu. Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp. Kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh. Phương pháp đàm thoại.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG ========== s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Tên đề tài: “PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI” Lĩnh vực/Môn: Toán Tác giả : Lê Thị Thủy Chức vụ : Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên N¨m häc 2012 – 2013 SƠ YẾU LÍ LỊCH Họ và tên : Lê Thị Thuỷ Ngày, tháng, năm sinh: 06/11/1976 1 Năm vào ngành: 1997 Chức vụ và đơn vị công tác : Tổ trưởng tổ Tự nhiên trường THCS Cao Dương Trình độ văn hoá : 12/12 Trình độ ngoại ngữ Trình độ tin học: chứng chỉ tin học văn phòng. Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học sư phạm Toán Hệ đào tạo : Từ xa Nhiệm vụ được giao : Giảng dạy môn Toán lớp 9A,B ; Dạy Hoá lớp 9A,C Khen thưởng : Chiến sĩ thi đua cấp cơ sở năm học 2006 – 2007; 2007- 2008; 2008 – 2009; 2009 – 2010; 2010- 2011. Giải ba Hội thi Giáo viên giỏi môn Hoá học, giải nhì Hội thi Giáo viên giỏi môn Toán cấp huyện các năm học 2009 – 2010; 2012 – 2013. Giải ba Hội thi “ Cô giáo tài năng duyên dáng” cấp huyện các năm học 2010 – 2011. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài 2 Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải được nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng. Đặc biệt trong mấy năm gần đây các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao. Trong đó có một phần kiến thức được vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phương trình nghiệm nguyên”. Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến phương trình nghiệm nguyên. Chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” là chuyên đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu được, vận dụng được là vấn đề đáng suy nghĩ của giáo viên. Qua nghiên cứu và giảng dạy học sinh về “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp học sinh trau dồi tư duy toán học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm nhiều lời giải hay cho các bài toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê trong học toán. Học sinh nắm chắc về “Phương trình nghiệm nguyên” là chìa khoá vàng giải được nhiều loại toán khác như: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phương trình nghiệm nguyên… Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy về “Phương trình nghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi. Kinh nghiệm dạy “Phương trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính: Phần 1: Hướng dẫn giảng dạy phần lý thuyết. Phần 2: Hướng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phương pháp. II. Đối tượng nghiên cứu Học sinh trường THCS Cao Dương – Thanh Oai – Hà Nội. Đối tượng khảo sát thực nghiệm: học sinh lớp 9A, 9B của trường. III. Phương pháp nghiên cứu: -Tìm hiểu các tài liệu có liên quan - Tổng hợp tài liệu. - Học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp. - Kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh. - Phương pháp đàm thoại. IV. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài: - Phạm vị thực hiện: Lớp 9A trường THCS Cao Dương – Huyện Thanh Oai – Thành phố Hà Nội - Thời gian thực hiện: Năm học 2011- 2012 đến hết năm học 2012 – 2013. 3 Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A – Tình hình thực trạng trước khi nghiên cứu: * Với yêu cầu của bài toán là tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Hầu hết học sinh không giải được, số học sinh giải được chỉ chiếm tỉ lệ dưới 36%. * Những bài toán về giải phương trình nghiệm nguyên. Ví dụ: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1) 5x - 7y = 15 2) 3x 2 + 5y 2 = 345 3) x 3 - 7x 2 + 15x - 25 = 0 4) 1 111 =++ zyx 5) xy - 4x = 35 - 5 Hầu hết học sinh đều bỡ ngỡ không tìm được cách giải, số học sinh giải được chỉ chiếm rất ít Nhìn chung các bài toán có liên quan đến giá trị nguyên là những bài toán khó và mới đối với học sinh. Để học sinh nắm được cách giải các dạng toán này thì giáo viên phải tổng kết và áp dụng được vấn đề này. B - Số liệu diều tra trước khi thực hiện đề tài : Qua kiểm tra 43 học sinh lớp 9B với nội dung bài tập như sau: “Giải phương trình nghiệm nguyên 5x - 7y =15. Kết quả điểm bài kiểm tra được ghi lại như sau: Điểm 0, 1, 2 3, 4 Dưới TB 5, 6 7, 8 9, 10 Trên TB Số bài 10 21 31 8 3 1 12 Tỷ lệ 23,3% 49,8% 72,1% 18,6% 7% 2.3% 27,9% C – Nội dung của kinh nghiệm. * HƯỚNG DẪN HỌC SINH LÝ THUYẾT THEO THỨ TỰ SAU: I. Nhắc lại về phép chia hết. 1. Định nghĩa phép chia hết: a, b ∈ z (b ≠ 0) ∃ q, r ∈ Z a = bq + r với 0 ≤ r < b - Nếu r = 0 ⇒ a b - Nếu r ≠ 0 ⇒ a không chia hết cho b 2. Một số tính chất: ∀ a,b,c,d ∈ Z - Nếu a ≠ 0 thì a a và 0 a - Nếu a b và b c ⇒ a c - Nếu a b và b a ⇒ a = ± b 4 - Nếu a b và a c ⇒ a BCNN(b; c) - Nếu a b, a c và (b, c) = 1 ⇒ a bc - Nếu a b ⇒ ac b 3. Một số định lí thường dùng. - Nếu a c và b c ⇒ (a ± b) c - Nếu a c và b d ⇒ ab cd - Nếu a b ⇒ a n b n ( n nguyên dương) Một số hệ quả áp dụng: + ∀ a, b ∈ z và n nguyên dương ta có (a n – b n ) (a – b) + ∀ a, b ∈ z và n chẵn (n nguyên dương) ta có (a n – b n ) (a + b) + ∀ a, b ∈ z và n lẻ (n nguyên dương) ta có (a n + b n ) (a + b) 4. Tính chất của số chính phương - Số chính phương không tận cùng bằng 2; 3; 7; 8. - Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p 2 . - Số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1. - Số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc dư 1. - Số chính phương chia cho 8 dư 0, dư 1 hoặc dư 4. 5. Các dấu hiệu chia hết. + Dấu hiệu chia hết cho 2: + Dấu hiệu chia hết cho 3: + Dấu hiệu chia hết cho 4: + Dấu hiệu chia hết cho 5: + Dấu hiệu chia hết cho 8: + Dấu hiệu chia hết cho 9: + Dấu hiệu chia hết cho 10: + Dấu hiệu chia hết cho 11: Số có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. Số có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0. Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9. Số có chữ số tận cùng là 0. Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11. II. Nhắc lại về tập hợp số nguyên: + Tập hợp số nguyên dương Z + = { } 3;2;1 + Tập hợp số nguyên âm Z - = { } 3;2;1 −−− + Tập hợp số nguyên Z = { } 3;2;1;0;1;2;3 −−− III. Nhắc lại về phương trình nghiệm nguyên: 5 Giải phương trình nghiệm nguyên F(x,y,z,…) = 0 là tìm tập hợp nghiệm (x,y,z,…) trong đó x,y,z,… ∈ Z . * HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP THEO TỪNG PHƯƠNG PHÁP. I. Phương pháp xét tính chia hết 1. Đưa về phương trình ước số: Đưa phương trình về dạng vế trái là tích của các đa thức có hệ số nguyên, vế phải là một hằng số nguyên. Để tìm nghiệm của phương trình ta tìm các ước của hằng số đó. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2xy – 4x + y = 7 Giải Biến đổi phương trình tương đương (2x + 1)(y – 2) = 5 2x + 1 và y – 2 là các ước của 5, ta có 2x + 1 1 -1 5 -5 y - 2 5 -5 1 -1 x 0 -1 2 -3 y 7 -3 3 1 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là (0 ; 7), (-1 ; -3), (2 ; 3), (-3 ; 1). 2. Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chất chia hết. Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 – xy = 6x – 5y – 8 Giải Biểu thị y theo x được (x – 5)y = x 2 – 6x + 8 Với x = 5 ta có 0y = 3, vô nghiệm. Với x ≠ 5 ta có y = 5 86 2 − +− x xx = x – 1 + 5 3 − x Suy ra 3 x – 5 hay x – 5 ∈ Ư(3), ta có : x - 5 -3 -1 1 3 x 2 4 6 8 y 0 0 8 8 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là (2 ; 0), (4 ; 0), (6 ; 8), (8 ; 8). Kinh nghiệm giải : Ta thường sử dụng phương pháp biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chất chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên khi một 6 trong hai ẩn của phương trình có bậc cao nhất là bậc một. Khi đó ta biểu diễn ẩn này theo ẩn kia rồi giải phương trình. II. Phương pháp dùng tính chất của số chính phương. 1. Tạo ra bình phương đúng Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x 2 + 4x = 19 – 3y 2 . Giải Phương trình tương đương với 2(x + 1) 2 = 3(7 – y 2 ) Ta thấy 2(x + 1) 2 chia hết cho 2 ⇒ 3(7 – y 2 ) 2 ⇒ (7 – y 2 ) 2 ⇒ y lẻ Đồng thời 2(x + 1) 2 ≥ 0 ⇒ 3(7 – y 2 ) ≥ 0 ⇒ (7 – y 2 ) ≥ 0 nên y 2 = 1 ⇒ 2(x + 1) 2 = 18 ⇒ x = 2 hoặc x = 4. Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) 2. Xét các số chính phương liên tiếp. Giữa hai số chính phương liên tiếp không thể có số chính phương nào. Do đó với mọi số nguyên a và x, ta có: - Không tồn tại x để a 2 < x 2 < (a + 1) 2 - Nếu a 2 < x 2 < (a + 2) 2 thì x 2 = (a + 1) 2 Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 4 + z 4 – y 4 + 2x 2 z 2 + 3x 2 + 4z 2 + 1 = 0 Giải Biến đổi y 4 = x 4 + z 4 + 2x 2 z 2 + 3x 2 + 4z 2 + 1 = (x 2 + z 2 + 1) 2 + (x 2 + 2z 2 ) = (x 2 + z 2 + 2) 2 + (-x 2 – 3) Vì x 2 + 2z 2 ≥ 0 và - x 2 – 3 > 0 ∀ x,z ⇒ (x 2 + z 2 + 1) 2 ≤ y 4 < (x 2 + z 2 + 2) 2 ⇒ y 4 = (x 2 + z 2 + 1) 2 ⇒ x 2 + 2z 2 = 0 ⇒ x = z = 0 ⇒ y 4 = 1 ⇒ y = 1 hoặc y = -1. Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y; z) là (0 ; 1; 0), (0 ; -1; 0). 3. Sử dụng điều kiện biệt số ∆ là số chính phương Đối với các phương trình f ),( yx = 0 với hệ số nguyên có thể viết được dưới dạng phương trình bậc hai đối với một ẩn, ngoài điều kiện ≥∆ 0 muốn phương trình có nghiệm nguyên còn cần điều kiện ∆ là số chính phương, vì nếu ∆ không là số chính phương thì nghiệm là số vô tỉ. Tuy nhiên điều kiện này là 7 chưa đủ, do đó phải thử giá trị tìm được vào phương trình đã cho hoặc tìm ra cụ thể nghiệm nguyên của phương trình. Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 2y 2 + 3xy + 2x + 3y + 4 = 0 Giải Viết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai đối với x : x 2 + (3y + 2)x + (2y 2 + 3y + 4) = 0 ∆ = (3y + 2) 2 - 4(2y 2 + 3y + 4) = y 2 – 12. Để phương trình có nghiệm nguyên thì y 2 – 12 là số chính phương Đặt y 2 – 12 = m 2 với m ∈ N, ta có y 2 – m 2 = 12 ⇔ (y + m) (y – m) = 12 ⇒ y + m và y – m là các ước của 12. Đồng thời (y + m) – (y – m) = 2m là số chẵn nên y + m và y – m cùng chẵn trong đó y + m ≥ y – m. Ta có y + m 6 -2 y - m 2 -6 y 4 -4 Với y = 4 ta có x 2 + 14x + 48 = 0. Giải được x 1 = -6, x 2 = -8 Với y = - 4 ta có x 2 - 10x + 24 = 0. Giải được x 3 = 4, x 4 = 6 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là (-6 ; 4), (-8 ; 4), (4 ; -4), (6 ; -4) ` 4. Sử dụng tính chất: “Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0”. Chứng minh: Giả sử a(a + 1) = k 2 (1) với a ∈ Z , k ∈ N. Giả sử a ≠ 0, a + 1 ≠ 0 thì k 2 ≠ 0. Do k ∈ N nên k > 0 Từ (1) suy ra a 2 + a = k 2 ⇔ 4a 2 + 4a = 4k 2 ⇔ 4a 2 + 4a + 1 = 4k 2 + 1. ⇔ (2a + 1) 2 = 4k 2 + 1. (2) Do k > 0 nên 4k 2 < 4k 2 + 1 < 4k 2 + 4k + 1. (3) Từ (2) và (3) suy ra (2k) 2 < (2a + 1) 2 < (2k + 1) 2 . Điều này không xảy ra Vậy nếu a(a + 1) = k 2 thì một trong hai số a hoặc a + 1 bằng 0. Ví dụ 6: (Ví dụ 19 trang 22 – Tài liệu “ Phương trình nghiện nguyên và kinh nghiệm giải” – Vũ Hữu Bình) 8 Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + y 2 + xy = x 2 y 2 (1) Giải Thêm xy vào hai vế ta được x 2 + y 2 + 2xy = x 2 y 2 + xy. ⇔ (x + y) 2 = xy(xy + 1) xy và xy +1 là hai số chính phương liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0. Nếu xy = 0 thay vào (1) ta có x 2 + y 2 = 0 nên x = y = 0. Nếu xy + 1 = 0 ⇔ xy = -1 nên (x, y) bằng (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1) Thử lại ta được các cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương trình đã cho. III. Phương pháp dùng bất đẳng thức. 1. Sắp thứ tự các ẩn: áp dụng trong trường hợp các ẩn có vai trò bình đẳng trong phương trình Ví dụ 7: (Bài tập 284 Tuyển tập các bài toán chọn lọc –Vũ Dương Thụy, Trương Công Thành, Nguyễn Ngọc Đạm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = xyz (1) Giải Không mất tính tổng quát giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z. Đặt x = 1 + k, y = 1 + m, z = 1 + n ⇒ 0 ≤ k ≤ m ≤ n. k,m,n ∈ N ⇒ 3 + k + m + n = (1 + k) (1 + m) (1 + n) = 1 + k + m + n +km + kn + mn + kmn ⇒ km + kn + mn + kmn = 2 Nếu k ≥ 1 ⇒ km ≥ 1,kn ≥ 1, mn ≥ 1, kmn ≥ 1 ⇒ VT ≥ 4 ≠ 2 ⇒ k = 0 ⇒ mn = 2 ⇒ nếu m = 1 thì n = 2 vì m ≤ n ⇒ x = 1, y = 2, z = 3. Ta được cặp nghiệm (x; y; z) = (1 ; 2; 3) và các hoán vị (1; 3; 2) là (2 ; 1; 3), (2; 3; 1), (3 ; 1; 2), (3 ; 2; 1). 2. Sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm: áp dụng đối với các phương trình có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một ẩn, ta sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là ≥∆ 0. Qua đó chặn được khoảng giá trị của ẩn còn lại. 9 Ví dụ 8: (Ví dụ 122 trang 70 sách Nâng cao và phát triển toán 9, tập 2 – Vũ Hưu Bình) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + y 2 – x – y = xy. Giải Viết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai đối với ẩn x ta được x 2 – (y + 1)x + (y 2 – y) = 0. ∆ = (y + 1) 2 – 4(y 2 – y) = – 3y 2 + 6y + 1 Để phương trình có nghiệm thì ≥∆ 0, tức là: – 3y 2 + 6y + 1 ≥ 0 ⇔ 3(y – 1) 2 ≤ 4 ⇔ (y – 1) 2 ≤ 3 4 ⇔ 3 4 1 ≤−y ⇔ 3 4 1 3 4 ≤−≤− y ⇔ 1 3 4 1 3 4 +≤≤+− y Mà y là số nguyên nên y ∈ { } 2;1;0 Thay y = 0 ta được x 2 – x = 0 nên x = 0 hoặc x = 1. Thay y = 1 ta được x 2 – x = 0 nên x = 0 hoặc x = 1. IV. Phương pháp xét số dư từng vế. Phương pháp này thường được áp dụng để chứng minh phương trình không có nghiệm nguyên bằng cách chứng minh số dư trong phép chia hai vế của phương trình cho cùng một số nào đó khác nhau. Ví dụ 9 : ( Bài tập 142 trang 54 – “Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9” – Bùi Văn Tuyên). Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 + 2y 2 + 2xy – 10yz + 25z 2 = 567 Giải Biến đổi về phương trình (x + y) 2 + (y – 5z) 2 = 567 Mỗi số chính phương chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1. Vế trái là tổng của hai số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư là 0; 1 hoặc 2. Vế phải chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình vô nghiệm V. Phương pháp lùi vô hạn. 10 [...]... 5x e) 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y +2 = 0 Bài 10: ( Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình) Tìm các số nguyên x để : a) x2 + 7x là số chính phương b) x2 + x + 6 là số chính phương Bài 11: (Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình) Tìm các số hữu tỉ x để : c) x2 + 7x là số chính phương 17 d) x2 + x + 6 là số chính phương Bài 12: Tìm x, y ∈ N thoả mãn 7.2x = 3y... 6 và y = 5 cho ∆' là số chính phương Thay các giá trị của y vào phương trình tìm và giải được các cặp nghiệm (x, y) bằng (- 8; -6), (3; 5) III Phương trình bậc ba với hai ẩn Với dạng phương trình bậc ba với hai ẩn ta thường đặt ẩn phụ x + y = a hoặc x – y = a và xy = b rồi đưa phương trình có bậc 3 đối với ẩn a bậc 1 đối với ẩn b, biến đổi đưa về phương trình ước số Ngoài ra cũng có thể xét các số. .. nguyên của phương trình : 6xy3 + 3x 2 – 10y3 = -2 Bài 7: ( Sách 400 bài tập đại số – Trương Công Thành – Vũ Dương Thuỵ – Nguyễn Ngọc Đạm ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 1! + 2! + 3! + 4! + + x! = y2 Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương: 1 1 1 a) 7x + 4y = 85 b) 8x + 9y = 79 c) + = x y 14 Bài 9: ( Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :... Tài liệu “ Phương trình nghiện nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 + 2y3 = 4z3 (1) Giải Hiển nhiên x 2 Đặt x = 2x1 với x1 là số nguyên Thay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 được 4x13 + y3 = 2z3 (2) Do đó y 2 Đặt y = 2y1 với y1 là số nguyên Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 được 2x13 + 4y13 = z3 (3) Do đó z 2 Đặt z = 2z1 với z1 là số nguyên Thay vào (3) rồi... Tìm x để A nguyên Bài 23: ( Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Nội năm học 2012- 2013) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n 2 – 14n – 256 là một số chính phương IV- KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG 1- Kết quả chung: Sau khi được học các phương pháp giải Phương trình nghiệm nguyên , học sinh không những giải tốt những bài toán về Phương trình nghiệm nguyên , mà các em còn giải được một số bài toán... chuẩn bị thi vào lớp 10 Đặc biệt kinh nghiệm dạy Phương trình nghiệm nguyên có tác dụng tốt trong việc dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở THCS, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp huyện, cấp thành phố 20 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ NHỮNG KHUYẾN NGHỊ Qua thực tế một số năm giảng dạy toán 9, tôi xin mạnh dạn đưa ra một số khuyến nghị như sau: - Đưa một số bài tập về phương trình nghiệm nguyên xen kẽ vào chương trình chính... phân số của x bằng một số nguyên t 1, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t1 - Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên Ví dụ 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29 Giải 3x + 4y = 29 ⇔ 3x = 29 – 4y ⇔ x = x,y ∈ Z ⇒ 29 − 4 y 2− y =9− y+ 3 3 2− y ∈ Z ⇒ 2 – y = 3t (t ∈ Z) ⇒ 3 x = 4t + 7 y = 2 − 3t II Phương trình. .. z2 có một số lẻ hai số chẵn hoặc cả ba số đều lẻ * Trường hợp trong ba số x2, y2, z2 có một số lẻ hai số chẵn thì vế trái của (1) chia cho 4 dư 1 còn vế phải là 2015 chia cho 4 dư 3, loại * Trường hợp trong ba số x2, y2, z2 đều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8 dư 3 còn vế phải là 2015 chia cho 8 dư 1, loại Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên xy yz zx + + =3 Ví dụ 22: Giải PT nghiệm nguyên. .. học về Phương trình nghiệm nguyên thì có 7 em giải đúng kết quả bài 1 là x = 6, y = 2 + 9 em giải đúng bài 2 ( Kết quả x = y = z = 0) + 6 em làm đúng bài 3 - Đối với 10 em chưa được học về Phương trình nghiệm nguyên thì chỉ có 1 em học giải đúng bài 1, 2 em làm đúng bài 2 và không em nào làm được bài 3 *Bài học kinh nghiệm Qua kinh nghiệm về dạy Phương trình nghiệm nguyên tôi thấy giáo viên muốn... -9 V Phương trình đa thức với ba ẩn trở lên Ví dụ 20: Giải phương trình nghiệm nguyên 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz Giải 14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz ⇔ 7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz) z 3 = −2 + ⇔x+ 2 yz + 1 7 1 ⇔x+ 2y + 1 z = −2 + x = −2 1 ⇒ y = 1 2+ z = 3 3 1 Ví dụ 21: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên : x2 + y2 + z2 = 2015 (1) Giải Tổng x2 + y2 + z2 là số lẻ nên trong ba số x2, . dạn viết lên kinh nghiệm dạy về “Phương trình nghiệm nguyên” đã được đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt. Mong Hội đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi. Kinh nghiệm. nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải – Vũ Hữu Bình) Tìm các số nguyên x để : a) x 2 + 7x là số chính phương . b) x 2 + x + 6 là số chính phương. Bài 11: (Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm. 1 em học giải đúng bài 1, 2 em làm đúng bài 2 và không em nào làm được bài 3. *Bài học kinh nghiệm. Qua kinh nghiệm về dạy “Phương trình nghiệm nguyên” tôi thấy giáo viên muốn đạt kết quả cao