LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà Thầy tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em thực đề tài, hồn thành khóa luận Em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo khoa Tốn Trƣờng ĐHSP Hà Nội giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực cịn có hạn chế, có nhiều cố gắng nhƣng khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đƣợc góp ý Thầy bạn để khóa luận đƣợc hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Lan Hƣơng LỜI CAM ĐOAN Với hƣớng dẫn tận tình Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà, sau thời gian nghiên cứu thực đề tài, tơi hồn thành khóa luận Để thực đề tài, sử dụng tham khảo kết nhà khoa học, số sách tham khảo bất đẳng thức Tôi xin cam đoan khóa luận với đề tài “ Dạy học toán chứng minh bất đẳng thức trƣờng trung học phổ thơng theo phƣơng pháp dạy học tích cực” nghiên cứu tôi, không trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Lan Hƣơng DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU TỐN HỌC BBT: Bảng biến thiên GV: Giáo viên GTNN: Gía trị nhỏ HS: Học sinh PPDH: Phƣơng pháp dạy học THPT: Trung học phổ thông VT: Vế trái  f a, b, c  f a, b, c  f b, c, a  f c, , b, a cyc MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phƣơng pháp dạy học tích cực 1.2 Lý luận chung toán 1.3 Những kiến thức liên quan đến bất đẳng thức CHƢƠNG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT 13 2.1 Phƣơng pháp tích cực vận dụng chứng minh bất đẳng thức 13 2.2 Vận dụng phƣơng pháp tích cực chứng minh bất đẳng thức 18 2.2.1 Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức 18 2.2.2 Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào hàm số 28 2.2.3 Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào cách đặt ẩn phụ 47 2.2.4 Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức cách kết hợp nhiều phƣơng pháp khác 51 2.2.5 Khai thác toán chứng minh bất đẳng thức 54 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học có vai trị quan trọng q trình hình thành phát triển tƣ học sinh Trong toán học phổ thơng, tốn bất đẳng thức chiếm vị trí đặc biệt quan trọng, xuất hầu hết kỳ thi tuyển sinh cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia, Quốc Tế… thƣờng xuất dƣới dạng tốn khó đề Đề tốn bất đẳng thức đƣợc phát biểu ngắn gọn, sáng sủa, đẹp đẽ nhƣng học sinh lại gặp nhiều khó khăn tìm lời giải khó khăn kỹ khai thác chúng Trƣớc vấn đề nhận thấy cần tìm thuật giải, hƣớng cụ thể để giải vấn đề Nhƣng biết khơng có chìa khố vạn “mở khố” đƣợc tốn Trong việc giảng dạy toán học, làm cho học sinh giải đƣợc vấn đề đặt toán cách sáng tạo, hoàn chỉnh nhƣ khai thác đƣợc tốn cần thiết Bất đẳng thức nội dung hay Toán phổ thông, nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Nhìn bất đẳng thức dƣới nhiều phƣơng diện khác giúp học sinh linh hoạt lựa chọn hình thức thể nội dung Điều kích thích tƣ biện chứng, tƣ sáng tạo cho em Tuy nhiên, bất đẳng thức nội dung khó, khơng đổi phƣơng pháp dạy học dẫn đến tình trạng truyền thụ chiều Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học tích cực hóa việc học ngƣời học Để giải mâu thuẫn ngƣời thầy cần tăng cƣờng giao lƣu thầy trị q trình dạy học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho em Có nhƣ vừa tích cực hóa đƣợc việc học ngƣời học vừa rèn luyện đƣợc tính linh hoạt nhìn nhận vấn đề theo nhiều phƣơng diện khác nhau, nhằm nâng cao khả tƣ duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dƣỡng niềm đam mê tốn học cho em học sinh Từ lý trên, đề tài đƣợc chọn : “Dạy học toán chứng minh bất đẳng thức trường trung học phổ thơng theo phương pháp dạy học tích cực” KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu vận dụng số phƣơng pháp dạy học tích cực dạy học toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh THPT Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phƣơng pháp dạy học gợi mở vấn đáp, phát giải vấn đề - Vận dụng phƣơng pháp dạy học tích cực dạy học tốn chứng minh bất đẳng thức trƣờng THPT Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Các toán chứng minh bất đẳng thức trƣờng trung học phổ thông Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp toán thƣờng gặp bất đẳng thức trƣờng trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề liên quan đến đề tài định hƣớng cho việc nghiên cứu; phân tích tổng hợp quan điểm dựa tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phƣơng pháp dạy học mơn Tốn tài liệu bất đẳng thức Ý nghĩa đề tài Góp phần đổi phƣơng pháp giảng dạy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh Từ nâng cao chất lƣợng dạy học bất đẳng thức trƣờng THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phƣơng pháp dạy học tích cực 1.1.1 Phƣơng pháp dạy học tích cực gì? a Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học đƣợc xác định Nghị Trung ƣơng khóa VII (1 - 1993), Nghị Trung ƣơng khóa VIII (12 - 1996), đƣợc thể chế hóa Luật Giáo dục (12 - 1998), đƣợc cụ thể hóa thị Bộ Giáo dục Đào tạo, đặc biệt thị số 15 (4 - 1999) Luật Giáo dục, điều 24.2, ghi: "Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" Có thể nói cốt lõi đổi dạy học hƣớng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động b Phƣơng pháp dạy học tích cực Phƣơng pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) thuật ngữ rút gọn, đƣợc dùng nhiều nƣớc để phƣơng pháp giáo dục, dạy học theo hƣớng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo ngƣời học "Tích cực" PPDH - tích cực đƣợc dùng với nghĩa hoạt động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động khơng dùng theo nghĩa trái với tiêu cực PPDH tích cực hƣớng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức ngƣời học Muốn đổi cách học phải đổi cách dạy Cách dạy đạo cách học, nhƣng ngƣợc lại thói quen học tập trò ảnh hƣởng tới cách dạy thầy Chẳng hạn, có trƣờng hợp học sinh địi hỏi cách dạy tích cực hoạt động nhƣng giáo viên chƣa đáp ứng đƣợc, có trƣờng hợp giáo viên hăng hái áp dụng phƣơng pháp dạy học tích cực nhƣng khơng thành cơng học sinh chƣa thích ứng, quen với lối học tập thụ động Vì vậy, giáo viên phải kiên trì dùng cách dạy hoạt động để xây dựng cho học sinh phƣơng pháp học tập chủ động cách vừa sức, từ thấp lên cao.Trong đổi phƣơng pháp dạy học phải có hợp tác thầy trò, phối hợp nhịp nhàng hoạt động dạy với hoạt động học thành công Nhƣ vậy, việc dùng thuật ngữ "Dạy học tích cực" để phân biệt với "Dạy học thụ động" 1.1.2 Đặc trƣng phƣơng pháp dạy học tích cực a Dạy học thơng qua tổ chức hoạt động học tập học sinh KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn Trong phƣơng pháp dạy học tích cực, ngƣời học - đối tƣợng hoạt động "dạy", đồng thời chủ thể hoạt động "học" - đƣợc hút vào hoạt động học tập GV tổ chức đạo, thơng qua tự lực khám phá điều chƣa rõ khơng phải thụ động tiếp thu tri thức đƣợc GV đặt Đƣợc đặt vào tình đời sống thực tế, ngƣời học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải vấn đề đặt theo cách suy nghĩ mình, từ nắm đƣợc kiến thức kĩ mới, vừa nắm đƣợc phƣơng pháp "làm ra" kiến thức, kĩ đó, khơng rập theo khn mâu sẵn có, đƣợc bộc lộ phát huy tiềm sáng tạo Dạy theo cách GV khơng giản đơn truyền đạt tri thức mà cịn hƣớng dẫn hành động Chƣơng trình dạy học phải giúp cho HS biết hành động tích cực tham gia chƣơng trình hành động cộng đồng b Dạy học trọng rèn luyện phƣơng pháp tự học Phƣơng pháp tích cực xem việc rèn luyện phƣơng pháp học tập cho HS không biện pháp nâng cao hiệu dạy học mà mục tiêu dạy học Phải quan tâm dạy cho HS phƣơng pháp học từ bậc Tiểu học lên bậc học cao phải đƣợc trọng Trong phƣơng pháp học cốt lõi phƣơng pháp tự học Nếu rèn luyện cho ngƣời học có đƣợc phƣơng pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học tạo cho họ lịng ham học, khơi dậy nội lực vốn có ngƣời, kết học tập đƣợc nhân lên gấp bội Vì vậy, ngày ngƣời ta nhấn mạnh mặt hoạt động học qúa trình dạy học, nỗ lực tạo chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ động, đặt vấn đề phát triển tự học trƣờng phổ thông, không tự học nhà sau lên lớp mà tự học tiết học có hƣớng dẫn GV c Dạy học coi trọng hƣớng dẫn tìm tịi Thơng qua hƣớng dẫn tìm tịi, GV giúp em phát triển kĩ giải vấn đề khẳng định HS xác định đƣợc phƣơng pháp học thông qua hoạt động Dấu hiệu đặc trƣng khơng đặc biệt có hiệu với HS lớn tuổi mà áp dụng đƣợc cho HS nhỏ tuổi có tài liệu cụ thể quan tâm GV Kinh nghiệm cho thấy cách để ngƣời học tìm lời giải đáp cho vấn đề đặt Về phía ngƣời dạy cần có hƣớng dẫn kịp thời giúp cho tìm tòi ngƣời học đạt kết tốt d Tăng cƣờng học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác Trong lớp học mà trình độ kiến thức, tƣ học sinh đồng tuyệt đối áp dụng phƣơng pháp tích cực buộc phải chấp nhận phân hóa cƣờng độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, học đƣợc thiết kế thành chuỗi công tác độc lập Áp dụng phƣơng pháp tích cực trình độ cao phân hóa lớn Việc sử dụng phƣơng tiện KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn cơng nghệ thơng tin nhà trƣờng đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt động học tập theo nhu cầu khả học sinh Tuy nhiên, học tập, tri thức, kĩ năng, thái độ đƣợc hình thành hoạt động độc lập cá nhân Trong nhà trƣờng, phƣơng pháp học tập hợp tác đƣợc tổ chức cấp nhóm, tổ, lớp trƣờng Đƣợc sử dụng phổ biến dạy học hoạt động hợp tác nhóm nhỏ đến ngƣời Học tập hợp tác làm tăng hiệu học tập, lúc phải giải vấn đề gay cấn, lúc xuất thực nhu cầu phối hợp cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung Trong kinh tế thị trƣờng xuất nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia, liên quốc gia, lực hợp tác phải trở thành mục tiêu giáo dục mà nhà trƣờng phải chuẩn bị cho HS e Kết hợp đánh giá thầy với tự đánh giá trò Trong dạy học, việc đánh giá HS khơng nhằm mục đích nhận định thực trạng điều chỉnh hoạt động học trò mà đồng thời tạo điều kiện nhận định thực trạng điều chỉnh hoạt động dạy thầy Trong phƣơng pháp tích cực, GV phải hƣớng dẫn học sinh phát triển kĩ tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học GV cần tạo điều kiện thuận lợi để HS đƣợc tham gia đánh giá lẫn Tự đánh giá điều chỉnh hoạt động kịp thời lực cần cho thành đạt sống mà nhà trƣờng phải trang bị cho HS Theo hƣớng phát triển phƣơng pháp tích cực để đào tạo ngƣời động, sớm thích nghi với đời sống xã hội, việc kiểm tra, đánh giá dừng lại yêu cầu tái kiến thức, lặp lại kĩ học mà phải khuyến khích trí thơng minh, óc sáng tạo việc giải tình thực tế Từ dạy học thụ động sang dạy học tích cực, GV khơng cịn đóng vai trị đơn ngƣời truyền đạt kiến thức, GV trở thành ngƣời thiết kế, tổ chức, hướng dẫn hoạt động độc lập theo nhóm nhỏ để HS tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập, chủ động đạt mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ theo yêu cầu chƣơng trình Trên lớp, HS hoạt động chính, GV nhàn nhã nhƣng trƣớc đó, soạn giáo án, GV phải đầu tƣ công sức, thời gian nhiều so với kiểu dạy học thụ động thực lên lớp với vai trò ngƣời gợi mở, xúc tác, động viên, cố vấn, trọng tài hoạt động tìm tịi hào hứng, tranh luận sơi HS GV phải có trình độ chun mơn sâu rộng, có trình độ sƣ phạm lành nghề tổ chức, hƣớng dẫn hoạt động HS mà nhiều diễn biến tầm dự kiến GV KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn Nhƣ vậy, PPDH tích cực trọng đến việc tích cực hóa hoạt động học tập HS, thông qua tổ chức hoạt động học giáo viên cho HS Yếu tố định đến thành cơng dạy học theo PPDH tích cực GV phải hƣớng dẫn HS tự tìm tịi, khám phá tri thức, vận dụng sáng tạo để làm phong phú vốn tri thức 1.1.3 Các phƣơng pháp dạy học tích cực cần đƣợc phát huy trƣờng THPT 1.1.3.1 Phƣơng pháp gợi mở vấn đáp a Phƣơng pháp dạy học gợi mở - vấn đáp Là trình tƣơng tác GV HS thông qua hệ thống câu hỏi câu trả lời tƣơng ứng chủ đề định đƣợc GV đặt Qua việc trả lời hệ thống câu hỏi dẫn dắt GV, HS đƣợc thể suy nghĩ, ý tƣởng mình, từ khám phá lĩnh hội đối tƣợng học tập GV giống nhƣ ngƣời tổ chức tìm tịi, cịn HS giống nhƣ ngƣời tự lực phát kiến thức mới, HS có đƣợc niềm vui khám phá trƣởng thành thêm bƣớc trình độ tƣ b Quy trình thực - Trƣớc học - Trong học - Sau học c Ƣu điểm - Kích thích tính tƣ độc lập HS, dạy HS cách tự suy nghĩ đắn - Lôi HS tham gia học tập, tạo khơng khí lớp học sơi nổi, sinh động, kích thích hứng thú học tập lòng tự tin HS - Tạo điều kiện HS giúp đỡ lẫn học tập - GV thu nhận nhiều thơng tin phản hồi từ phía ngƣời học d Hạn chế: Khó soạn thảo, địi hỏi GV phải chuẩn bị công phu không kiến thức thiểu tính hệ thống 1.1.3.1 Phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề Phƣơng pháp dạy học mà ngƣời thầy tổ chức cho HS đứng trƣớc tình vấn đề nội dung tốn học, tạo động lực cho HS tìm tịi, sáng tạo đƣờng để giải vấn đề Từ đó, HS tìm tích lũy tri thức cách tích cực, chủ động, sáng tạo Vì tƣ xuất gặp tình có vấn đề (Rubinstein) Ngƣời GV giống nhƣ đạo diễn vừa tạo tình có vấn đề, vừa hƣớng dẫn HS chủ động giải vấn đề Dạy học phát giải vấn đề có đặc điểm sau: HS đƣợc đặt vào tình có vấn đề khơng phải đƣợc thơng báo tri thức dƣới dạng có sẵn KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán Bất đẳng thức trung gian đƣợc chứng minh Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh 2.2.4 Phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức cách kết hợp nhiều phƣơng pháp khác Ví dụ : Cho a  22  b  12  Chứng minh 2a  b  10 Hướng dẫn + Mối liên hệ đại lƣợng a  b  đƣợc xác định nhƣ ? a  22  b  12  + Với mối liên hệ biểu diễn đại lƣợng qua hàm số lƣợng giác nhƣ ? Đặt a   cos  ; b   sin  + Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc chuyển bất đẳng thức lƣợng giác nào? Trƣớc hết, ta có: a   cos  ; b   sin  Ta phải chứng minh 2a  b   2(2  cos  )  (1  sin  )  10 + Chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác nhƣ nào? Áp dụng Bất đẳng thức A sin   B cos   A2  B  (2 cos   sin  )   2     2  10 đpcm Nhận xét Áp dụng Bất đẳng thức A sin   B cos    A2  B ta có kết 2a  b  Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức   6a  a  8a  , a   1;1 Hướng dẫn + Với điều kiện a   1;1 đại lƣợng đƣợc biểu diễn qua hàm số lƣợng giác nhƣ nào? Đặt x  cos  ,   0;  + Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc chuyển bất đẳng thức lƣợng giác nào?   cos   cos   cos   + Chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác nhƣ nào?  a  sin   cos   cos   cos   cos  sin   4(1  cos 2 )  3sin 2  cos 2  Áp dụng bất đẳng thức  a  b  a.sin x  b cos x  a  b ta có  32    sin 2  cos 2   32    1  sin 2  cos 2   51 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn Ví dụ 3: Cho số dƣơng a, b, c, d thỏa mãn     1 a 1 b 1 c 1 d Chứng minh abcd  81 Hướng dẫn + Mối liên hệ đại lƣợng ; ; ; 1 a 1 b 1 c 1 d đƣợc xác định nhƣ ? 1 1     1 a 1 b 1 c 1 d + Với mối liên hệ biểu diễn đại lƣợng qua bốn biến số trung gian nhƣ nào? Tồn x, y, z, t dƣơng thỏa mãn x y z t  ;  ;  ;  1 a x  y  z  t 1 b x  y  z  t 1 c x  y  z  t 1 d x  y  z  t + Bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức với bốn biến số trung gian ? Ta có a  y  z t z t  x tx y x yz ;b  ;c  ;d  x y z t Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành  y  z  t  z  t  x  t  x  y  x  y  z   81 xyzt + Chứng minh bất đẳng thức bốn biến số trung gian nhƣ nào? Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dƣơng y  z  t  33 yzt , z  t  x  33 ztx , t  x  y  33 txy , x  y  z  33 xyz Từ có đpcm Tổng quát: Cho số dƣơng a, b, c, d m  thỏa mãn 1 1     1  ma  mb  mc  md Chứng minh abcd  81 m4 Tồn x, y, z, t dƣơng thỏa mãn x y z t  ;  ;  ;   ma x  y  z  t  mb x  y  z  t  mc x  y  z  t  md x  y  z  t 52 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC a Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán y  z t z t  x tx y x yz ;b  ;c  ;d  mx my mz mt abcd   y  z  t  z  t  x t  x  y  x  y  z   81 m4 xyzt m4 Ví dụ : Indian Mathematical Olympiad 2003 Cho hai số x, y không âm thỏa mãn x  y  Chứng minh x y x  y   Hướng dẫn + Mối liên hệ đại lƣợng x, y đƣợc xác định nhƣ ? x  y  + Với mối liên hệ biểu diễn đại lƣợng qua biến số trung gian nhƣ nào? x   t , y   t   t  1 + Bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức với biến số trung gian ? 1  t 3 1  t 3 1  t 3  1  t 3   1  t  2  6t   2  2t  2  6t   2 + Chứng minh bất đẳng thức với biến số trung gian nhƣ ? Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm  2t ,  2t ,  2t ,  3.(2  2t )   6t   6t , ta có (2  2t ) (2  6t )      16   2 Đẳng thức xảy t  Ví dụ : Chứng minh rằng: x3 y3 z3    , x, y, z  (1) 3 3 x  x  y  y  y  z z  z  x  Hướng dẫn Đặt m  y x z , n  , p   mnp  x z y + Biến đổi (1) thành biểu thức m, n, p ? 1 1    3 3  1  m  1  n   1  p  + Hãy đặt m  1  bc ca ab ; n  ; p  Biến đổi (1) thành biểu thức a, b, c ? a b c  a6 a  a  bc    b6 b  b  ca  53   c6 c  c  ab   (2) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán + Chúng ta có nhận xét bậc phân số tổng vế trái (2), vai trò a, b, c , dấu mẫu số phân số trên? Các phân số tổng đồng bậc 0, a, b, c hốn vị vịng quanh, phân số mẫu số dƣơng + Nhƣ ta sử dụng bất đẳng thức dạng cộng mẫu số cho (2) Hãy vận dụng giải quết toán? Sử dụng dạng cộng mẫu số bất đẳng thức BunhiaCopski ta có: VT 2   cyc  a6 a  a  bc a  b3  c3   a  a    bc  cyc + Từ đánh giá ta suy điều gì? Ta suy để chứng minh (1) ta cần chứng minh     a  b  c   a  a  bc  cyc 2.2.5 Khai thác toán chứng minh bất đẳng thức 2.2.5.1 Một số tốn chứng minh bất đẳng thức có nhiều cách giải Các nội dung có tổng hợp nhìn tốn theo nhều phƣơng diện khác Ví dụ 1: Chứng minh   x a  y  y a  x  a; x, y  0; a với a số dƣơng Hướng dẫn Cách 1: Lƣợng giác + Mối liên hệ đại lƣợng x a  x , y a  y đƣợc xác định nhƣ nào? x2   a  x2   a; y   a  y2   a + Với liên hệ đại lƣợng đƣợc biểu diễn nhƣ qua hàm số lƣợng giác ? x  a cos  , a  x  a sin  y  a sin  , a  y  a cos  + Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc chuyển bất đẳng thức lƣợng giác nào?  a cos     a cos   a sin    a sin   a + Chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác đƣợc chứng minh nhƣ nào? cos cos  sin sin   cos(   )  , bất đẳng thức Cách 2: Bất đẳng thức Bunhiacopxki + Hãy viết lại bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số 54 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán ax  by 2  a  b x  y  a  x , y + Mối liên hệ đại lƣợng x a  y đƣợc xác định nhƣ nào?   a; y   a  y   a Các cặp số  x, a  x  ,  a  y , y  có tổng bình phƣơng khơng phụ x2   a  x2 2 2 2 thuộc vào biến số + Để q trình đánh giá có đẳng thức cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ? Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số    x, a  x2  a  y , y , ta có x     a  y  a  x y  x  a  x a  y  y  a x a  y2  y a  x2  a Bình luận : Ta dùng cặp số ( x , a  x ), ( y , a  y ) có tổng bình phương vế phải thay đổi để kết xy    x a  x2 a  y2    a  x2 y2  a  y2  a2 xy  a  x a  y  a Cách 3: Dùng bất đẳng thức Côsi + Hãy viết lại Bất đẳng thức Côsi cho số dƣơng AB  A B A, B  + Các số dƣơng x , y coi bậc hai số dƣơng nào? x  x2 , y  y2 + Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dƣơng vế trái đƣợc đánh giá nhƣ ? x a  y2  y a  x2  x2  a  y2 y2  a  x2   a 2 Cách 4: Bất đẳng thức đƣờng vuông góc đƣờng xiên hình học B H K O 55 A KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán + Mối liên hệ x a  x đƣợc xác định nhƣ nào? x2   ax   a 2 + Có thể dựng đƣợc khơng tam giác vng có hai cạnh góc vng x a  x2 ? OA = x , OB = a  x  AB  OA  OB  a + Mối liên hệ y a  y đƣợc xác định nhƣ nào?  sin AOt = a  a  y , cos BOt = a y + Có thể dùng hệ thức lƣợng tam giác vuông để biểu diễn vế trái qua đại lƣợng hình học đƣợc khơng ?   x a  y  y a  x  a OA sin AOt  a OB sin BOt  a ( BK  AH ) + Dùng bất đẳng thức hình học so sánh biểu thức với a đƣợc không ? a ( BK  AH )  a AB  a a  a Cách 5: Bất đẳng thức đƣờng tròn + Mối liên hệ x a  x đƣợc xác định nhƣ nào? x2   ax   a 2 + Có thể dựng đƣợc khơng tam giác vng có hai cạnh góc vng x a  x2 ? MA = x , MB = a  x  AB  MA2  MB  a + Mối liên hệ y a  y đƣợc xác định nhƣ nào? y2   a  y   a =AB 2 + Có thể dựng đƣợc hay khơng tam giác vng có hai cạnh góc vng y a  y , cạnh huyền AB? M a  x2 x A B O y a  y2 N 56 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán + Vế trái biểu diễn qua đại lƣợng hình học nhƣ nào? x a  y  y a  x  MA.NB  NA.MB  MN AB (Đẳng thức Ptơlêmê) + Có thể dùng bất đẳng thức hình học để so sánh biểu thức với a đƣợc không? MN  AB  MN AB  AB  a Cách 6: Dùng véc tơ tọa độ   Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai véc tơ u ( x1 , y1 ); v ( x2 , y ) + Biểu thức toạ độ tích vơ hƣớng hai véc tơ đƣợc xác định nhƣ ?   u v  x1 x2  y1 y + Để vế trái bất đẳng thức biểu thức toạ độ tích vơ hƣớng, cần chọn véc tơ nhƣ nào?   Trƣờng hợp : Chọn u ( x, y); v ( a  y ; a  y )   Trƣờng hợp : Chọn u ( x, a  x ); v ( a  y ; y) + Độ dài véc tơ đƣợc xác định nhƣ ?   Trƣờng hợp : u  x  y ; v  2a  x  y   Trƣờng hợp : Chọn u  v  a + Chứng minh bất đẳng thức cho tích vơ hƣớng nhƣ ?     u.v  u v Chọn trƣờng hợp ta có đpcm Bình luận : Ngồi cách trên, ta dùng phƣơng pháp tam thức bậc hai biến đổi tƣơng đƣơng để giải tốn Ví dụ 2: Cho x  y  a , z  t  b , a, b  Chứng minh a)  2ab  ( x  y)( z  t )  ( x  y)( z  t )  2ab b)  2ab  ( x  y)( z  t )  ( x  y)( z  t )  2ab Hướng dẫn Cách 1: Lƣợng giác + Mối liên hệ x y , z t đƣợc xác định nhƣ nào? x2  y  a2 , z  t  b2 + Với liên hệ số đƣợc biểu diễn qua hàm lƣợng giác nhƣ nào? x  a.cos  , y  b.sin  , u  z.cos  , t  b.sin  57 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán + Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc chuyển bất đẳng thức lƣợng giác ?  2ab  abcos   sin  cos   sin    cos   sin  cos   sin    2ab  2ab  abcos   sin  cos   sin    cos   sin  cos   sin    2ab + Bất đẳng thức lƣợng giác đƣợc chứng minh nhƣ ? a)  2ab  2abcos  cos   sin  sin    2ab  2ab  2ab cos     2ab   cos     (đpcm) b)  2ab  2absin  cos   cos  sin    2ab  2ab  2ab sin     2ab   sin     (đpcm) Cách 2: Véc tơ Ta chứng minh  2ab  ( x  y)( z  t )  ( x  y)( z  t )  2ab , bất đẳng thức lại chứng minh tƣơng tự   Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai véc tơ u ( x1 , y1 ); v ( x2 , y ) + Hãy viết lại biểu thức toạ độ tích vơ hƣớng hai véc tơ   u v  x1 x2  y1 y + Để vế trái bất đẳng thức biểu thức toạ độ tích vô hƣớng cần chọn véc tơ nhƣ ?   Trƣờng hợp : Chọn u ( x  y, x  y); v ( z  t , z  t )   Trƣờng hợp : Chọn u ( x  y, z  t ); v ( z  t , x  y) + Độ dài véc tơ đƣợc xác định nhƣ ? Trƣờng hợp : u  2x  y   2a; v  2( z  t )  2b    Trƣờng hợp : Chọn u   x  y 2  z  t 2 , v  z  t 2  x  y 2 + Chứng minh bất đẳng thức cho tích vơ hƣớng nhƣ ?        u v  u.v  u v Chọn trƣờng hợp ta có đpcm Cách 3: Bất đẳng thức Bunhiacopxki + Hãy viết lại bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số ax  by 2  a  b x  y  58 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn + Mối liên hệ bình phƣơng x  y x  y , bình phƣơng z  t z  t đƣợc xác định nhƣ nào? x  y 2  x  y 2  2x  y   2a z  t 2  z  t 2  2z  t   2b + Nhƣ cặp số x  y, x  y  , z  t , z  t  có tổng bình phƣơng không phụ thuộc vào biến số + Để q trình đánh giá có đẳng thức này, cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với cặp số ? Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số  x  y, x  y  , z  t , z  t  Ta có ( x  y)( z  t )  ( x  y)( z  t )2  x  y 2  ( x  y) .( z  t )  ( z  t )   2a 2b  4a 2b  2ab  ( x  y)( z  t )  ( x  y)( z  t )  2ab Ví dụ 3: Cho a, b, c  0; a, b  c Chứng minh c(a  c)  c(b  c)  ab Hướng dẫn Cách 1: Dùng Bất đẳng thức Bunhiacopxki + Hãy viết lại bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số ax  by 2  a  b x  y  + Mối liên hệ bình phƣơng c b  c đƣợc xác định nhƣ nào?  c   ac   a,  c   bc  a  c , bình phƣơng c  b, + Nhƣ cặp số ( c , a  c ) ( c , b  c ) có tổng bình phƣơng khơng phụ thuộc vào biến số c + Để q trình đánh giá có đẳng thức ta cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với cặp số nào? Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số ( b  c , c ) ( c , a  c ), ta có  c a  c  b  c c      c       ac   c    b  c   ab    c(a  c)  c(b  c)  ab Cách 2: Lƣợng giác + Hãy xác định mối liên hệ bình phƣơng phƣơng c ac ? 59 c b  c , bình KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC  c   ac   a, Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán  c   bc  b + Với liên hệ đại lƣợng đƣợc biểu diễn nhƣ qua hàm lƣợng giác ? c  a cos  , a  c  a sin  , c  b cos  , b  c  b sin  + Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc chuyển bất đẳng thức lƣợng giác ? b cos  a sin   a cos  b sin   ab + Chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác nhƣ nào? ab cos  sin   ab cos  sin   ab  cos  sin   cos  sin    sin    đpcm Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức diện tích trong hình học B a a H A c C c b b D VT = AC BD = SABCD = 2SBCD  BC.CD  ab 2.2.5.2 Một số ví dụ sáng tạo bất đẳng thức Sáng tạo bất đẳng thức cách nhìn bất đẳng thức có theo phƣơng diện Khi sáng tạo toán mới, ngƣời ta thƣờng đặc biệt hoá, tổng quát hoá mở rộng kết có Tuy nhiên khơng phải tốn làm đƣợc nhƣ vây Phần lớn tốn bất đẳng thức có điều kiện biến ta sử dụng yếu tố để thay đổi phƣơng diện bất đẳng thức, sáng tạo nhiều toán Sau toán minh hoạ Ví dụ 1: Cho a, b, c, d số thực dƣơng tùy ý Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc    ab bc ca Nhận xét: Bài toán đƣợc chứng minh đơn giản nhờ đánh giá dựa vào bất đẳng thức BunhiaCopski Sáng tạo bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức ban đầu 60 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ta đặt a  x, b  Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán y z t , c  , d  Khi ta có bất đẳng thức 2x 3y 2z t2 6x  y  2z  t     x  y y  z z  3t 6t  36 x 12 Bất đẳng thức phức tạp đƣợc biến đổi che dấu chất tốn Có nhiều cách đổi biến để sáng tạo bất đẳng thức mới, kỹ thuật biến đổi phức tạp vấn đề khó đƣợc tìm Ví dụ 2:Cho số dƣơng a, b, c, d thoả mãn hệ thức abcd  1 1     2 1 b 1 c 1 d 1 a y z t x Đặt a  ; b  ; c  ; d  , ta phải chứng minh x y z t Hãy chứng minh y 1 x   1 t z 1 1 z y  x 1 t  x y z t     ( bất đẳng thức Nestbit) tx x y y z z t     Ví dụ 3: Ta có kết x  y  z  x  y  z  x  y  z Bất đẳng thức dễ dàng chứng minh tƣơng đƣơng với x       y x  y   y  z  y  z   z  x z  x   Nhận xét: Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với 4 3              x y z x y z              x  y  z   x  y  z   x  y  z    x  y  z   x  y  z   x  y  z    Bằng cách coi biểu thức số y z x a ; b ; c, x yz x yz x yz Ta có tốn Chứng minh: 3a  b  c   a  b3  c , a, b, c; a  b  c  Ví dụ 4: Xuất phát Bất đẳng thức Vasile Cirtoaje x y z    x, y, z  0; x  y  z  xy  yz  zx  Thay x  3a 3b 3c a, b, c  Tác giả có kết ;y  ;z  abc abc abc đẹp khó Đề thi chọn đội dự tuyển toán Đại học Sƣ phạm năm 2007-2008 Chứng minh bất đẳng thức 61 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán a b c    2 2(a  b  c) 9ab  (a  b  c) 9bc  (a  b  c) 9ca  (a  b  c) a, b, c  Ví dụ 5: Xuất phát:Với x, y, z  ta có x2 y2 z2    yz zx x y x  y  z  a b Thay x  ; y  ; z  c Ta có toán: 1 1    a, b, c  0;    1 1 1 a b c a2 (  ) b2 (  ) c2 (  ) b c c a a b 1 Khi abc  , thay  bc;  ca;  ab a b c Chứng minh Ta có tốn Cho a, b, c  abc  Chứng minh: 1    a b  c  b  c  a  c  a  b  Ví dụ 6: Xuất phát từ bất đẳng thức sin n  cos n  Khai triển sinn  cosn  đặt cos  =x, sin  =y ta có loạt bất đẳng thức với hai biến x, y thoả mãn x  y  Bài 1: Cho x  y  Chứng minh xy  x  y  Bài 2: Cho x  y  Chứng minh 3( x  y)  4( x  y )  Bài 3: Cho x  y  Chứng minh 8x  8x  xy ( x  y )   Ví dụ 7: Xuất phát từ bất đẳng thức cos A  cos B  cos C  ABC Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác có ba góc B  C ; C  A ; A  B 2 Ta có toán Cho tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức: sin A B C  sin  sin  2 Chuyển sang phƣơng diện hình học Ta có tốn Cho tam giác ABC ngoại tiếp đƣờng tròn (I,r) Chứng minh bất đẳng thức 1 1    IA IB IC r Ví dụ 8: Xuất phát: tan A B C  tan  tan  ABC 2 62 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sử dụng cơng thức tan x  2 sin Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán x x x sin cos 2   cos x   cot x sin x sin x Ta có tốn Chứng minh bất đẳng thức: 1    cot A  cot B  cot C  sin A sin B sin C ABC Nhận xét: Áp dụng công thức cot A  cot B  cot C  a2  b2  c2 ; 4S bc ca ab ; ;    sin A 2S sin B 2S sin C 2S Ta có tốn: Chứng minh 2ab  2bc  2ca  a  b  c  3S ABC 63 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn KẾT LUẬN Trong chƣơng trình Tốn phổ thơng, bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng Tuy nhiên, thực tế nhiều học sinh học bất đẳng thức chƣa tốt, gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải tốn, điều làm cho em khơng hứng thú với chúng Mặt khác, nhiều giáo viên phổ thông lúng túng phƣơng pháp giảng dạy bất đẳng thức, chƣa vận dụng tốt phƣơng pháp dạy học tích cực vào giảng dạy, làm cho việc dạy học chƣa đạt đƣợc hiệu cao Trƣớc vấn đề đặt ra, khóa luận mình, tơi nêu ra: - Sự cần thiết phải đổi phƣơng pháp giảng dạy toán chứng minh bất đẳng thức nhờ vào phƣơng pháp dạy học tích cực, đó, chủ yếu hai phƣơng pháp thƣờng đƣợc vận dụng trƣờng phổ thông mang lại hiệu cao phƣơng pháp gợi mở vấn đáp phƣơng pháp dạy học phát giải vấn đề - Hệ thống câu hỏi gợi mở cho dạng tốn chứng minh bất đẳng thức, qua giúp em trƣớc hết nhận dạng toán, phát giải vấn đề đặt - Hệ thống tập cho em thực hành vận dụng, nhằm tạo lập niềm tin vào khả giải tốn trƣớc mắt, bên cạnh nhận xét nhỏ sau dạng tốn góp phần khắc sâu kiến thức, giúp em dần hình thành kỹ biết tự rút đƣợc kinh nghiệm cho thân, giúp em thấy đƣợc vẻ đẹp bất đẳng thức, ham thích, say mê nghiên cứu, tìm tịi, sáng tạo, giải đƣợc toán chứng minh bất đẳng thức, khám phá, khai thác sâu tốn Do thời gian nhƣ kiến thức kinh nghiệm thân hạn chế, có nhiều cố gắng nhƣng khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc nhận xét, góp ý Thầy cơ, nhƣ bạn để khóa luận tơi đƣợc hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 10 tháng năm 2014 64 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Hà (1999), Phương pháp toán sơ cấp, NXB ĐHSP Hà Nội Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo Bất đẳng thức, NXB Tri thức Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn , NXB ĐHSP Trần Thị Tuyết Oanh (Chủ biên) – Phạm Khắc Chƣơng – Phạm Viết Vƣợng – Bùi Minh Hiền – Nguyễn Ngọc Bảo – Bùi Văn Quân – Phan Hồng Vinh – Từ Đức Văn (2012), Giáo trình Giáo dục học – Tập 1, NXB ĐHSP Trần Thị Tuyết Oanh – Phạm Khắc Chƣơng – Phạm Viết Vƣợng – Nguyễn Văn Diện – Lê Tràng Định (2013), Giáo trình Giáo dục học – Tập 2, NXB ĐHSP Ngô Thế Phiệt (2007), Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, NXB GD Trần Phƣơng (2000), Các phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, NXB TP HCM Trần Phƣơng (2012), Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri Thức 65 ... PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT 13 2.1 Phƣơng pháp tích cực vận dụng chứng minh bất đẳng thức 13 2.2 Vận dụng phƣơng pháp tích cực. .. K36B SP Toán CHƢƠNG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƢỜNG THPT 2.1 Phƣơng pháp tích cực vận dụng chứng minh bất đẳng thức Một nhà khoa học nói... đam mê toán học cho em học sinh Từ lý trên, đề tài đƣợc chọn : ? ?Dạy học toán chứng minh bất đẳng thức trường trung học phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực? ?? KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn