ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BÍCH NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BÍCH NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH HÀ NỘI - 2014 Mục lục Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1. Phổ của toán tử tuyến tính giới nội(mục 2.3.2 trang 44-48 của [5]) 1 1.2. Định lý ánh xạ phổ (mục 2.3.4 trang 49, 50 của [5]) . . . . . . . . 5 1.3. Định lý phổ cho toán tử tự liên hợp (mục 2.3.5 trang 50, 51 của [5]) 7 1.4. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh (xem [1]) . . . . 10 1.6. Phương pháp hiệu chỉnh biến phân(mục 2.2 trang 30-40 của [4]) . 12 2 Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh 18 2.1. Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh tuyến tính 18 2.1.1. Phương pháp hệ động lực(mục 2.6 trang 52-56 của [4]) . . 18 2.1.2. Phương trình với toán tử bị chặn(mục 4.1 trang 75-83 của [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3. Trường hợp dữ liệu bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Phương pháp hệ động lực giải hệ đại số tuyến tính điều kiện xấu(xem [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1. Xây dựng công thức lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2. Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. Ví dụ giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ii MỤC LỤC 2.2.4. So sánh phương pháp hệ động lực với một số phương pháp lặp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với toán tử có tính chất đặc biệt 42 3.1. Phương pháp hệ động lực cho phương trình với toán tử đơn điệu(mục 6.1 trang 109-114 của [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1. Kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.2. Phương pháp hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.3. Trường hợp dữ liệu bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2. Phương pháp hệ động lực cho phương trình với toán tử trơn . . . 53 3.2.1. Phương pháp hệ động lực (mục 7.1 trang 121-124 của [4]) 53 3.2.2. Trường hợp dữ liệu bị nhiễu (mục 7.2 trang 125, 126 của [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.3. Nghiệm lặp (mục 7.3 trang 127-129 của [4]) . . . . . . . . . 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 iii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy đáng kính của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô đang công tác tại Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong thời gian chúng tôi học tập tại trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong quá trình suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn. Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Học viên Trần Bích Ngọc iv Lời nói đầu Luận văn trình bày một hướng tiếp cận chung đến phương trình toán tử F (u) = 0, (0.1) trong đó F là ánh xạ không nhất thiết tuyến tính trong không gian Hilbert H. Để giải phương trình (0.1), chúng ta tìm một ánh xạ phi tuyến Φ(t, u) sao cho bài toán Cauchy  ˙u = Φ(t, u), u(0) = u 0 , (0.2) có nghiệm toàn cục duy nhất, tức là nghiệm này tồn tại với mọi t ≥ 0 và có giới hạn u(∞) thỏa mãn lim t→∞ ||u(∞) − u(t)|| = 0, hơn nữa, giới hạn này là nghiệm của phương trình (0.1) F (u(∞)) = 0. Các điều kiện trên có thể tóm lược như sau ∃!u(t) ∀t ≥ 0, ∃u(∞), F (u(∞)) = 0. (0.3) Phương pháp hệ động lực (DSM) giải phương trình (0.1) là tìm ra một ánh xạ Φ(t, u) và một điều kiện ban đầu u 0 sao cho nghiệm của bài toán (0.2) thỏa mãn điều kiện (0.3). Khi đó u(∞) là một nghiệm của bài toán (0.1). Phạm vi ứng dụng của DSM rất rộng. DSM có thể áp dụng cho nhiều lớp bài toán khác nhau: 1. Các bài toán đặt chỉnh địa phương theo nghĩa toán tử F thỏa mãn các điều kiện sup u∈B(u 0 ,R) ||F (j) (u)|| ≤ M j (R), 0 ≤ j ≤ 2, (0.4) v MỤC LỤC và sup u∈B(u 0 ,R) ||[F  (u)] −1 || ≤ m(R). (0.5) 2. Các bài toán đặt không chỉnh tuyến tính. 3. Bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu, thỏa mãn điều kiện (0.4). 4. Lớp bài toán đặt không chỉnh sao cho F (y) = f, f  (y) = 0 và thỏa mãn điều kiện (0.4). 5. Bài toán đặt không chỉnh với toán tử F đơn điệu, liên tục và xác định trên H. 6. Nếu F = L + g, trong đó L là toán tử tuyến tính, đóng, với miền xác định trù mật, g là toán tử phi tuyến thỏa mãn (0.4). Khi đó có thể giải phương trình F (u) = f bằng phương pháp DSM, với điều kiện phương trình này có nghiệm, và tồn tại L −1 giới nội. Hơn nữa sup u∈B(u 0 ,R) ||[I + L −1 g  (u)] −1 || ≤ m(R). Như vậy phương pháp hệ động lực có thể áp dụng cho phương trình với toán tử không giới nội. 7. DSM có thể sử dụng để chứng minh các kết quả lý thuyết. Ví dụ ta có thể chứng minh bằng DSM rằng một ánh xạ F : H → H là toàn ánh, nếu cùng với (0.4), điều kiện sau được thỏa mãn sup u∈B(u 0 ,R) ||[F  (u)] −1 || ≤ m(R), (0.6) trong đó sup R>0 R m(R) = ∞. 8. Có thể sử dụng DSM để giải bài toán (0.1) mà không cần tìm nghịch đảo của F  (u). Nếu có các giả thiết (0.6) và bài toán (0.1) giải được. Khi đó DSM        ˙u = −QF (u), ˙ Q = −T Q + A ∗ , u(0) = u 0 ; Q(0) = Q 0 , hội tụ tới một nghiệm của bài toán (0.1) khi t → ∞, và điều kiện (0.3) được thỏa mãn, trong đó hàm toán tử Q là nghiệm của bài toán Cauchy  ˙ Q = −T Q + A ∗ , Q(0) = Q 0 , vi MỤC LỤC trong đó A = F  (u), T = A ∗ A với A ∗ là toán tử liên hợp của A. 9. DSM có thể giải bài toán đặt không chỉnh (0.1) trong không gian Banach. Giả sử F : X → X là một toán tử khả vi liên tục trong không gian Banach X và ||A −1 ε || ≤ c ε , 0 < ε < ε 0 , trong đó c là hằng số, A = F  (u), A ε = A + εI với ε là hằng số dương còn ε 0 > 0 là số nhỏ tùy ý, cố định. Khi đó có thể sử dụng DSM giải phương trình F (u) + εu = 0. 10. DSM có thể xây dựng sơ đồ lặp hội tụ cho việc giải phương trình (0.1). Xét một rời rạc của (0.2)        u n+1 = u n + h n Φ(t n , u n ), u 0 = U 0 , t n+1 = t n + h n . (0.7) Giả sử sơ đồ (0.7) hội tụ: lim n→∞ u n = u(∞). Khi đó (0.7) là sơ đồ lặp hội tụ cho phương trình (0.1) vì F (u(∞)) = 0. vii Bảng kí hiệu A ∈ B(X, Y ) Toán tử tuyến tính liên tục đưa không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y ρ(A) Tập giải thức của A σ(A) Phổ của A σ e (A) Phổ riêng của A r σ (A) Bán kính phổ của A σ a (A) Tập các giá trị riêng xấp xỉ của A w(A) Miền tính toán của A r w (A) Bán kính tính toán của A A ∗ Toán tử liên hợp của A B(X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục đưa X vào trong nó f  (x, h) Đạo hàm Fréchet df(x, h) Vi phân Fréchet N(A) Không gian các không điểm của A R(A) Miền giá trị của A K Tập các số thực hoặc phức K(A) Số điều kiện của ma trận A viii Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản của phổ của toán tử tuyến tính, đạo hàm Fréchet, bài toán đặt chỉnh và đặt không chỉnh cũng như một số ví dụ minh họa. 1.1. Phổ của toán tử tuyến tính giới nội(mục 2.3.2 trang 44-48 của [5]) Định nghĩa 1.1.1. (Tập giải thức) Giả sử X 0 là không gian con của không gian tuyến tính định chuẩn X và A : X 0 → X là một toán tử tuyến tính. Khi đó tập ρ(A) = {λ ∈ K : A − λI : X 0 → X là song ánh và (A − λI) −1 ∈ B(X)}, được gọi là tập giải thức của A. Định nghĩa 1.1.2. (Phổ của toán tử ) Ký hiệu σ(A) = {λ ∈ K : λ /∈ ρ(A)}, được gọi là phổ của A. Phần tử của σ(A) gọi là giá trị phổ của A, đại lượng r σ (A) = sup{|λ| : λ ∈ σ(A)}, gọi là bán kính phổ của A. Định lý 1.1.1. (Nghịch đảo bị chặn) Giả sử X, Y là các không gian Banach, X 0 là không gian con của X và T : X 0 → Y 1 [...]... chuẩn nhỏ nhất của phương trình (1.5) nên w = y Do đó wδ y và ||wδ || ≤ ||y|| Theo phần chứng minh của Định lý 1.6.2 thì điều này kéo theo (1.21) Định lý được chứng minh 17 Chương 2 Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh 2.1 Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh tuyến tính 2.1.1 Phương pháp hệ động lực( mục 2.6 trang 52-56 của [4]) Xét phương trình toán tử F (u) = f, (2.1)... của toán tử đồng nhất tương ứng với toán tử tự liên hợp Q Phương trình (2.13) đối với a có một nghiệm aδ duy nhất và tδ tìm được duy 24 Chương 2 Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh nhất từ phương trình aδ = a(t) Phương trình này có nghiệm duy nhất vì a(t) đơn điệu Định lý 2.1.4 Phương trình (2.12) có nghiệm duy nhất t = tδ và lim tδ = ∞ δ→0 Phần tử uδ = v(tδ ) với v là nghiệm bài toán. .. với mọi R > 0, nhưng F không đơn ánh Phương pháp hệ động lực giải bài toán (2.1) là tìm một ánh xạ phi tuyến Φ(t, u) sao 19 Chương 2 Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh cho bài toán Cauchy u = Φ(t, u), ˙ (2.3) u(0) = u0 , có nghiệm toàn cục (là nghiệm của bài toán Cauchy trên toàn miền xác định (t0 ; +∞)) duy nhất và có giới hạn u(∞) thỏa mãn phương trình (2.1) Nếu F là ánh xạ phi tuyến,... đóng, R(A) = R(A), nhưng A không đơn ánh Khi đó ta xây dựng toán tử 21 Chương 2 Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh N lên R(A) Toán tử này liên tục, đơn ánh Theo A1 là thu hẹp của A từ H1 = H định lý đồ thị đóng (xem Định lý 2.15 của [5]), toán tử ngược A−1 từ R(A) đến H1 là 1 toán tử liên tục Như vậy tính không chỉnh của bài toán do A không đơn ánh nhưng R(A) đóng dễ dàng được khắc phục... toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh (xem [1]) Xét phương trình toán tử F (u) = f, (1.3) trong đó F : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Bài toán (1.3) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu thỏa mãn các điều kiện: (i) Với mọi f ∈ Y phương trình (1.3) có nghiệm, (ii) nghiệm u ở trên là duy nhất, (iii) nghiệm u phụ thuộc liên tục vào f Bài toán (1.3) gọi là bài toán. .. phải chứng minh 2.1.2 Phương trình với toán tử bị chặn(mục 4.1 trang 75-83 của [4]) Xét phương trình Au = f, (2.7) trong đó A là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert H Giả sử tồn tại nghiệm của (2.7), N = N (A) là tập các không điểm của A Ký hiệu y là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất (duy nhất), khi đó y ⊥ N Đặt T = A∗ A, Ta = T + aI, I là toán tử đồng nhất Giả thiết bài toán (2.7) là đặt không... là một toán tử tự liên hợp thì σ(A) = σa (A) ⊆ R Giả sử X là không gian Hilbert và A ∈ B(X), từ định lý trên ta có rσ (A) ≤ rw (A) ≤ A , trong đó rw (A) = sup{|λ| : λ ∈ w(A)} Định nghĩa 1.1.6 (Bán kính tính toán) Đại lượng rw (A) ở trên được gọi là bán kính tính toán của A Hơn nữa, nếu A là toán tử tự liên hợp thì σ(A) ⊆ [αA , βA ], với αA = inf w(A), βA = sup w(A) Toán tử A ∈ B(X) là toán tử dương... dữ liệu bị nhiễu Bây giờ ta xét bài toán (2.7) khi f thay bởi fδ Khi đó ta giải bài toán −1 v = −v + Ta(t) A∗ fδ , ˙ v(0) = u0 23 (2.9) Chương 2 Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh Ký hiệu v(tδ ) = uδ , trong đó tδ là thời điểm dừng lấy tích phân Ta sẽ chứng minh lim uδ − y = 0, δ→0 với sự lựa chọn phù hợp của tδ Đặt w(t) = u(t) − v(t) Khi đó bài toán (2.9) trở thành −1 w = −w + Ta(t)... bài toán giải phương trình Au − f = 0 là đặt chỉnh Nếu fδ − f ≤ δ, nhưng f ∈ R(A), khi đó tồn tại phép chiếu fδ lên R(A), và nghiệm / A−1 PR(A) fδ phụ thuộc liên tục vào fδ Tuy nhiên, nếu R(A) không đóng, R(A) = R(A), thì sự nhiễu nhỏ fδ có thể dẫn đến sự nhiễu lớn của nghiệm, hoặc fδ ở ngoài R(A), trong trường hợp này phương trình Au = fδ không giải được Do đó, nếu R(A) = R(A) thì bài toán giải phương. .. không chỉnh địa phương nếu ngược lại Dễ thấy, nếu điều kiện (2.2) thỏa mãn thì theo định lý hàm ẩn, F sẽ là một đồng phôi địa phương trong lân cận của u Nếu F (u) = Au, trong đó A là toán tử tuyến tính bị chặn, thì F (u) = A với mọi 18 Chương 2 Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh u ∈ H, và điều kiện (2.2) kéo theo A là một đẳng cấu Nếu F (u) = Au, sao cho F (u) = A, và A không khả nghịch . . . . . . . . . . . . . 36 3 Phương pháp hệ động lực cho phương trình với toán tử có tính chất đặc biệt 42 3.1. Phương pháp hệ động lực cho phương trình với toán tử đơn điệu(mục 6.1 trang 109-114. NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BÍCH NGỌC PHƯƠNG PHÁP HỆ ĐỘNG LỰC GIẢI. chỉnh 18 2.1. Phương pháp hệ động lực và bài toán đặt không chỉnh tuyến tính 18 2.1.1. Phương pháp hệ động lực( mục 2.6 trang 52-56 của [4]) . . 18 2.1.2. Phương trình với toán tử bị chặn(mục