TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *** ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: NGƯỜI THỰC HIỆN: HẢII DƯƠNG LỜI NÓI ĐẦU Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chương trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải được tiến hành thường xuyên ở trong các nhà trường phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dưỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra được lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán. Đối với môn toán lớp 9, phần “ phương trình bậc hai”, “phương trình quy về phương trình bậc hai” là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi vào trung học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về “ phương trình quy về phương trình bậc hai”. Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa ra các bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh. Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đưa ra một hệ thống kiến thức nói về “phương trình quy về phương trình bậc hai” với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi. “Một số phương trình đưa về phương trình bậc hai” là một hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải của một số loại phương trình đưa được về phương trình bậc hai.như: Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vô tỷ… Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu. Do thời gian hạn hẹp cũng như kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin trân thành cảm ơn! PHẦN I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG A. MỤC TIÊU NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai nhằm: + Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi + Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phương trình đưa được về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình này. + Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử. B. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nghiên cứu về các dạng phương trình, các cách giải phương trình nói chung và phương trình bậc hai nói riêng. Nghiên cứu các phương pháp dạy học toán ở trường THCS. Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp. PHẦN 2: NỘI DUNG A CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Toán học là một môn khoa học trìu tượng, đóng vai trò quan trọng trong đời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ nắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộc sống. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà trường THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần được rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức. Sự phân hoá đối tượng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ. số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tương đối lớn, do đó nhu cầu được nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn. Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phương trình và phương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được đề cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên chưa được chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho người học và người dạy . Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại số 9 đã đưa ra cho học sinh một số laọi phương trình quy về phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trình trùng phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì chưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức “phương trình quy về phương trình bậc hai. B. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: Khi học về giải phương trình học sinh cần nắm được một số kiến thức và kỹ năng sau: + Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia…) + Các hằng đẳng thức đáng nhớ + Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử + Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số + Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của phương trình, tập xác định của một biểu thứcc + Kỹ năng biến đổi các biểu thức. + Kỹ năng giải và biện luận phương trình bậc hai nmột ẩn, phương trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản) C PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. NHẮC LẠI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ 1. Định nghĩa: + Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát: ax 2 +bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a ≠ 0) + Nghiệm của một phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của hai vế bằng 0. 2. Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai *) Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 ≠ (a ≠ 0) ta cần quan tâm tới biệt số của phương trình: ∆ =b 2 - 4ac + Nếu ∆ <0: Phương trình bậc hai vô nghiệm. + Nếu ∆ =0: Phương trình bậc hai có nghiệm kép: x 1 =x 2 = a b 2 − + Nếu ∆ >0: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x 1,2 = a b 2 ∆±− Khi b chẵn, hay b=2b ’ (b ’ Ζ∈ ) khi đó ta có: ∆ ’ =b ’2 - ac + Nếu ∆ ’ <0: phương trình vô nghiệm + Nếu ∆ ’ =0: phương trình có nghiệm kép + Nếu ∆ ’ >0: phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý : Nếu a và c trái dấu (tức a.c<0) thì phương trình bậc hai có dạng phân biệt và trái dấu nhau (vì ∆ >0). *) Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong trường hợp phương trình có nghiệm ( ∆ >=0) ta có thể dùng định lý Viet để nhẩm nghiệm của phương trình. Định lý Vi-et Nếu phương trình ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) có nghiệm số x 1 ;x 2 ( ∆ ≥ 0) thì: x 1 +x 2 = a b− x 1 .x 2 = a c Trường hợp đặc biệt: + Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm là: x1=1; x 2 = a c + Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm là: x1=-1; x 2 =- a c *)Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai + Phương trình bậc hai có cùng dấu khi: ∆ ≥ 0 hay b 2 -4ac ≥ 0 x 1 .x 2 >0 0> a c + Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi ∆ ≥ 0 hay b 2 - 4ac ≥ 0 x 1 .x 2 >0 0> a c x 1 +x 2 >0 0> − a b + Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi: ∆ ≥ 0 hay b 2 - 4ac ≥ 0 x 1 .x 2 >0 0> a c x 1 +x 2 <0 0< − a b + Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi: 0< a c + Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: x 1 .x 2 <0 0< a c x 1 +x 2 =0 hay 0= − a b + Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số dương có trị tuyệt đối lớn hơn khi: 0< a c 0> − a b + Phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số âm có trị tuyệt đối lớn hơn khi: 0< a c 0< − a b *) Nhờ định lý Viet, ta có thể tính được tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa bậc n hai nghiệm của phương trình: x nn x 21 ± (Với n )Z∈ Ví dụ: Phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có hai nghiệm x 1 ;x 2 thì: x 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 2 .2)(2)( a acb a c a b xxxxx − =− − =−+=+ x 22 2 21 22 2 2 1 4 2 4 1 )(2) 2 ()(2)( a c a acb xxxxx − − =−+=+ II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sau: 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phương trình. a) Cách giải: + Tìm tập xác định của phương trình + Quy đồng, khử mẫu + Biến đổi phương trình, đưa phương trình về dạng ax 2 +bx+c=0 + Giải phương trình dạng ax 2 +bx+c=0 + Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm được không thuộc tập xác định của phương trình). b ) ví dụ : Ví dụ 1: Giải và biện luận theo a và b phương trình: 2= − + − ax b bx a (1) Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt: Giải Điều kiện: x :, bxa ≠≠ Ta có: (1) )()())((2 bxbaxabxax −+−=−−⇔ 02)(32 222 =++++−⇔ abbaxbax 0)()(32 22 =+++−⇔ baxbax 2 )( ba +=∆ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là bax += 1 2 2 ba x + = * 0 1 ≠⇔≠ bax 0 1 ≠⇔≠ abx * ⇔≠ ax 2 babx ≠⇔≠ 2 Vậy với a 0,0; ≠≠≠ bab thì (1) có hai nghiệm phân biệt 0 32 1 672 4 4 1 12832 4 2223 = + + ++ − − − −−+ x xxxxxx Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: (**) 0 32 1 )32)(2( 4 )2)(2( 1 )32)(2)(2( 4 = + + ++ − +− − ++− ⇔ xxxxxxxx TXĐ: x-2 0≠ 2±≠x x+2 0 ≠ ⇒ 2 3− ≠x 2x+3 0≠ Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3) Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2) 0484324 2 =−++−−−⇔ xxx 056 2 =+−⇔ xx Giải phương trình : x 2 -6x+5=0 ta được 2 nghiệm: x 1 =1, x 2 =5 Đối chiếu với TXĐ ta thấy x 1 = 1 và x 2 = 5 là 2 nghiệm của pt (**) c. Nhận xét: + Loại phương trình chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ thông. + Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh các giá trị tìm được của ẩn với TXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình. 2. Phương trình bậc ba Phương trình bậc ba (một ẩn số) là phương trình có dạng tổng quát: ax 3 +bx 2 +cx+d =0 Trong đó x là ẩn số, a,b,c,d là các hệ số: a 0≠ a) Cách giải Để giải một phương trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta thường phải biến đổi đưa về phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2x 3 +7x 2 +7x+2=0 (*) Giải (*) ⇔ (2x 3 +2)+(7x 2 +7x)=0 ⇔ 2(x 3 +1)+7x(x+1)=0 ⇔ 2(x+1)(x 2 -x+1)+7x(x+1)=0 ⇔ (x+1)(2x 2 +5x+2=0 ⇔ x+1=0 (1) 2x 2 +5x+2=0 (2) Phương trình (1) cho nghiệm x=-1 Phương trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=- 2 1 Vậy phương trình (8) có nghiệm S= - 2 1 ;2;1 −− Ví dụ 2: Cho phương trình x 3 -(2a+1)x 2 +(a 2 +2a-b)x-(a 2 -b)=0 (1) Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phương trình đã cho. Giải: (1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x 1 =1. Do đó (1) có thể viết: (x-1)(x 2 -2ax+a 2 -b)=0. Xét phương trình bậc hai: x 2 -2ax+a 2 -b=0 (2) ∆ ’ =b * Nếu b<0 ⇔ (2) vô nghiệm (1) có nghiệm duy nhất x=1 * Nếu b=0 ⇔ (2) có nghiệm kép: x=a (1) có hai nghiệm: x=1;x=a * Nếu b>0 ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt: (1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x=a+ ∆ ; x=a- ∆ ; c. Nhận xét: Giải phương trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích. Khi đó, ta có một hệ thống hai phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai. + Ta cần chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc ba: ax 3 +bx 2 +cx+d=0 • Nếu a+b+c+d=0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ có nghiệm là x=1. • Nếu a-b+c-d=0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ có một nghiệm là:x=-1. Khi biết trước một nghiệm, ta chia vế trái của phương trình cho đa thức x-1 hoặc x+1 để phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử. + Với phương trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự tồn tại nghiệm nguyên của phương trình với hệ số nguyên). 3. Những phương trình bậc cao quy được về phương trình bậc hai 3-1 Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax 4 +bx 2 +c=0. Trong đó: x là ẩn số, a;b;c;d là các hệ số; a 0≠ Cách giải Với loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đặt ẩn phụ x 2 =t ≥ 0. Từ đó ta có một phương trình bậc hai trung gian: at 2 +bt+c=0, giải phương trình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x 2 =t (Nếu những giá trị của t tìm được thoả mãn t ≥ 0), ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải phương trình: x 4 – x 2 – 6 = 0 (**) Giải: Đặt x 2 =t ≥ 0 phương trình (**) trở thành: t 2 – t – 6 = 0 Giải phương trình t 2 -t-6=0 ta được t 1 =-2;t 2 =3 + Với t=-2(loại vì t<0) + Với t=3 3±=⇒ x Vậy phương trình (**) có hai nghiệm: S = - 3;3 Ví dụ 2: Giải phương trình x 4 -2(m-1)x 2 -(m-3)=0 (***) Với giá trị nào của tham biến m thì phương trình trên a) Có 4 nghiệm phân biệt. b) Có 3 nghiệm phân biệt. c) Có hai nghiệm d) vô nghiệm. Giải: Đặt x 2 =t ≥ 0 khi đó phương trình (***) được quy về một phương trình bậc hai: t 2 -2(m-1)t-(m-3)=0 (****) ∆ ’ =(m-1) 2 +(m-3)=m 2 -m-2 a) Để (***) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (***) phải có 2 nghiêm dương phân biệt tương đương với: ∆ ’ >0 m 2 -m-2>0 x 1 +x 2 >0 hay m-1>0 x 1 x 2 >0 m-3<0 (m+1)(m-2)>0 m-2>0 m>1 ⇔ m>1 (do m>1) m<3 m<3 m>2 m>1 do đó 2<m<3 m<3 Khi 2<m<3 thì phương trình (****) có hai nghiệm dương phân biệt, do vậy phương trình (***) có 4 nghiệm phân biệt (Là hai cặp số đối nhau và khác nhau). b) Phương trình (***) có 3 nghiệm khi phương trình (****) có nghiệm x=0 và nghiệm số thứ hai là số thực dương. Do vậy, trước hết phương trình (***) có dạng: ax 4 + bx 2 = 0 (c=0) Do đó m-3=0 ⇒ m=3. Với m=3 thì phương trình (***) trở thành x 4 - 4x 2 = 0 ⇔ x 2 (x 2 -4)=0 Phương trình (***) có nghiệm: x 1 =2; x 2 =-2 và một nghệm kép x 3 = 0 c) Điều kiện để phương trình (***) có hai nghiệm: *) Hoặc phương trình (****) có nghiệm kép dương. *) Hoặc phương trình (****) có 2 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có một nghiệm dương, nghệm còn lại là âm. d) phương trình (***) vô nghiệm khi: *) phương trình (****) vô nghiệm. *) Hoặc phương trình (****) có hai nghiệm âm. Như vậy: Phương trình (****) vô nghệm khi ∆ ’ <0 hay m 2 - m - 2 < 0 ⇔ (m+1)(m-2)<0 Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2) Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m-2 nhờ vào tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y=ax+b (a ≠ 0) Ta thấy nghiệm của bất phương trình (m+1)(m-2)<0 là -1<m<2 Vậy phương trình (****) vô nghiệm khi -1<m<2 Phương trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi 0 ' ≥∆ m 2 -m-2 0≥ 0> a c hay -(m-3)>0 0< − a b 2(m-1)<0 Nhờ bảng xét dấu ta thấy bất phương trình m 2 -m-2 0≥ cho nghiệm m 2;1 ≥−≤ m Bảng xét dấu: m - ∞ -1 2 ∞+ m+1 - 0 + 1 + m-2 - 1 - 0 + (m+1)(m-2) + 0 - 0 + Vậy hệ tương đương với m 1−≤ m 2≥ m<3 m<1 Kết hợp với điều kiện này ta được: m ≤ -1 Vậy phương trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi m ≤ -1 *) Tóm lại: Phương trình (***) vô nghiệm khi -1 <m <2 hoặc m ≤ -1. d) Nhận xét: Nghiên cứu về số nghiệm của phương trình trùng phương: [...]... nghiệm của phương trình trùng phương và do đó phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc hai trung gian Như vậy: Nếu phương trình bậc hai trung gian X2+BX+C=0 + Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phương trình đầu vô nghiệm + Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm thì phương trình đầu có hai nghiệm phân biệt + Nếu phương trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dương... xét + Phương trình vô nghiệm khi: *) Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm: ( ∆ 0 a −b 0 2a *) Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có nghiệm c . luận phương trình bậc hai nmột ẩn, phương trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản) C PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. NHẮC LẠI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ 1. Định nghĩa: + Phương trình. − − =−+=+ II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sau: 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu Phương trình chứa. đưa phương trình về dạng phương trình tích. Khi đó, ta có một hệ thống hai phương trình bao gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai. + Ta cần chú ý tới hai tính chất của phương