BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC, PHÂN THỨC Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số. 1) Rút gọn các biểu thức sau: a) A 6 2 5 29 12 5= + − − . b) B 8 8 20 40= + + + . c) 15 4 12 C ( 6 11) 6 1 6 2 3 6   = + − +  ÷ + − −   . . 2) Thu gọn 2 3 6 8 4 P 2 3 4 + + + + = + + . 3) Tính giá trị của biểu thức 1 1 A a 1 b 1 = + + + với 1 1 a ,b 2 3 2 3 = = + − . 4) Chứng minh rằng 3 3 84 84 1 1 9 9 + + − là một số nguyên. 5) Rút gọn biểu thức 3 5 3 5 A 10 3 5 10 3 5 + − = − + + + − . 6) 3 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 A - + = + - + + - . 2( 3 3) 2( 3 3) 4 2 3 4 4 2 3 4 - + = + - + + - 2( 3 3) 2( 3 3) 3 1 4 3 1 4 - + = + - + + - 2 2 2( 3 3) 2( 3 3) 3 9 - + + = - 24 2 4 2 6 = = - - 7) Rút gọn các biểu thức: a) 2 3 2 3 A 2 2 3 2 2 3 + − = + + + − − 1 BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM b) 2 3 2 3 3 2 3 B 2 (24 8 6) 3 2 4 2 2 3 2 3 2 3      + = + + − + +  ÷ ÷  ÷ + + −      . 8) Rút gọn các biểu thức: a) A 4 7 4 7 2= + − − − b. 9) Rút gọn biểu thức 3 6 A 2 3 4 2. 44 16 6= − + . 10) Cho 3 10 6 3( 3 1) x 6 2 5 5 + − = + − . Tính 3 1997 P (x 4x 1)= − + . 11) So sánh hai số 10 13+ và 7 17+ . 12) Rút gọn biểu thức 2 3 4 5 A 2 3 5 6 8 10 16 + + + = + + + + + + . 13) Rút gọn các biểu thức sau: a) 4 4 A 49 20 6 49 20 6= + + − b) B 4 10 2 5 4 10 2 5= + + + − + c) C 4 15 4 15 2 3 5= + + − − − 14) Chứng minh rằng các số sau đây đều là các số nguyên: a) (5 2 6)(49 20 6) 5 2 6 M 9 3 11 2 + − − = − 15) Trục căn thức ở mẫu số: a) 3 3 2 A 2 2 4 2 = + + b) 3 3 6 B 2 2 2 4 = − + c) 3 3 2 C 2 4 2 = + + . 16) Tính giá trị của biểu thức 3 2 2008 A (3x 8x 2)= + + với 3 ( 5 2) 17 5 38 x 5 14 6 5 + − = + − . 17) Rút gọn các biểu thức sau: 2 BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM a) 2 A ( 6 2 16 2 15 3)= − − + . b) B (3 10) 19 3 40= − + c) 2 10 30 2 2 6 2 C : 2 10 2 2 3 1 + − − = − − d) D 13 30 2 9 4 2= + + + e) E m 2 m 1 m 2 m 1= + − + − − f) F 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 ( 2 10) 2008= + + + − + − + + . 18 (Rút gọn) 1.1. 2 )25( 15 4 311 11311 114 5 −+ − − − − + + Phần 2: Biến đổi các biểu thức chứa biến. Bµi 1 : Cho biÓu thøc A = 222 1 1. 1 .2 1 .2 nn nm m n nm m +       + −+ + + (m ≥ 0 , n ≥ 1) a ) Rót gän A b ) T×m gi¸ trÞ cña A víi m = 33 257257 −++ c ) T×m GTNN cña A Bµi 2 : Chøng minh : 1 ) 22 22 baabaa ba −− + −+ =+ 2 ) 22 22 baabaa ba −− − −+ =− 3/ trong hai số 2++ nn và 12 +n (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn? 1 1 )()1()1)(1( 1 12 )1(2 )1()2()12)(12( 22 22 = −+= −+=++−+ = −−+= +−+= +−+=++++−+ nn nnnnnn nn nn nnnnnn nhưng )1()12( nnnn ++>+++ 122 112 +<++⇒ −+<+−+⇒ nnn nnnn 3 BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM 4/ Rút gọn : 1.2.A = b a b bab − − 2 1.3.B = x x xx 2 8)2( 2 − −+ 5) Cho biểu thức x 2 x 1 x 1 A 1: x 1 x x 1 x x 1   + − − = + −  ÷ − + − +   a) Với điều kiện nào của x thì A xác định. b) Rút gọn biểu thức A. c) Chứng minh rằng A > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1. 6)Cho biểu thức 2 4a 10a 2 2a 20 A (a 1)(a 2) (a 1)(a 3) (a 2)(a 3) + + = + + + + + + + + . a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. 7) Cho biểu thức 2 x 1 x 1 x 1 A 4 4 x x 1 x 1     − + = − −  ÷  ÷ + −     . a) Rút gọn A. b) Tìm x để 5 2A x 4 + = . 8) Cho biểu thức 3x 9x 3 x 1 x 2 P x x 2 x 2 x 1 + − + − = − − + − + − . a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi x 3 2 2= + . 8) Cho biểu thức 3x 9x 3 x 1 x 2 P x x 2 x 2 1 x + − + − = − + + − + − . a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A nguyên. 10) Cho biểu thức 1 x 2 M x 1 x 1 x x 1   +   = + −  ÷  ÷ + + +     . Tìm x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M. 4 BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM 11) Cho biểu thức x x 1 x x 1 x 1 P x x x x x − + + = − + − + . a) Rút gọn P. b) Tìm x để 9 P 2 = . 12) Cho biểu thức x x A 1 x x + = − − . a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có nghĩa. Với điều kiện đó, hãy rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A + x - 8 = 0. 13) Cho biểu thức x 2 x 1 x 1 P x 1 x x 1 x x 1 + + + = + − − − + + . a) Rút gọn biểu thức P. b) Chứng minh 1 P 3 < với x ≥ 0 và x ≠ 1. 14) Cho biểu thức 2x 2 x x 1 x x 1 P x x x x x + − + = + − − + . a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5. c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức 8 P chỉ nhận đúng 1 giá trị nguyên. 15) Cho biểu thức 2 x 4 x 4 x 4 x 4 A 16 8 1 x x + − + − − = − + . a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định. b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 16) Cho biểu thức x 2 x 3 x 2 x P : 2 x 5 x 6 2 x x 3 x 1     + + + = − − −  ÷  ÷ − + − − +     . a) Rút gọn P. b) Tìm x để 1 5 P 2 ≤ − . 5 BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM 17) Cho các biểu thức 2 2 5x 1 2 x 1 A : 1 2x 1 2x 4x 1 1 4x 4x −   = + −  ÷ − + − + +   B 4 2 3 19 8 3= − + − . a) Với những giá trị nào của x thì A có nghĩa. b) Rút gọn A và B. c) Tìm những giá trị của x để A = B. 18) Cho biểu thức x 1 x 2 x 1 P x 1 x x 1 x x 1 + + + = − − − − + + . a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 Q x P = + . 19) Cho biểu thức x 2 x 1 1 A x x 1 x x 1 x 1 + + = + − − + + − . a) Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A. b) Tính A với x 33 8 2= − . c) Chứng minh rằng 1 A 3 < . 20) Cho biểu thức 2 x x 2x x 2(x 1) P x x 1 x x 1 − + − = − + + + − . a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. c) Tìm x để biểu thức 2 x Q P = nhận giá trị là số nguyên. 21) Cho biểu thức 1 2 x 2 x P : 1 x 1 x 1 x x x x 1     = − −  ÷  ÷ + − − + −     , với x ≥0; x ≠ 1. a) Rút gọn P. b) Tìm x sao cho P < 0. 22) Cho biểu thức 2x x x x x x x 1 x M . x 1 x x 1 2x x 1 2 x 1   + − + − = − +  ÷ − − + − −   . a) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M. b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M. 6 BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM 23) Cho biểu thức 2 2 2x x 1 P(x) 3x 4x 1 − − = − + . a) Tìm điều kiện để P(x) xác định, rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x). P(-x) <0. 24) Rút gọn biểu thức 2 2 x x x x M x 1 x x 1 x x 1 − + = − + + + + − + với 0≤ x ≤ 1. 25) Cho biểu thức 2 x 1 x 1 1 x P . 2 x 1 x 1 2 x     − + = − −  ÷  ÷ + −     . a) Rút gọn P. b) Tìm x để P 2 x > . 26) Cho biểu thức x 2 x 1 1 M x x 1 x x 1 1 x + + = + + − + + − , với 0 ≤ x ≠ 1. a) Rút gọn M. b) Chứng minh rằng với 0 ≤ x ≠ 1, ta có M < 1/3. 27) Cho biểu thức 2 2 2 2 x y x y P (x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y) = − − + − + + + − . a) Tìm điều kiện để P xác định, rút gọn P. b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2. 28) Cho biểu thức a 3 a 2 a a a a P : a 1 ( a 2)( a 1) a 1 a 1   + + +   = − +  ÷  ÷ − + − + −     . a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm a để 1 a 1 1 P 8 + − ≥ . 29) Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Đơn giản biểu thức: a b c b c c a a b P b c c a a b a b c − − −    = + + + +  ÷ ÷ − − −    . 30) Cho biểu thức x 1 2 x P 1 : 1 x 1 x 1 x x x x 1     = + − −  ÷  ÷ + − + − −     . a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P. 7 BDHSG-i s - ng Trung Thy- Trng THCS Th Trn Thi Bỡnh-CM b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x biu thc Q P x= nhn giỏ tr nguyờn. 31) Cho biu thc 2 x 9 x 3 2 x 1 A x 5 x 6 x 2 3 x + + = + . a) Rỳt gn biu thc A. b) Tỡm giỏ tr ca x A < 1. c) Tớnh giỏ tr ca biu thc A vi x 29 12 5 29 12 5= + . d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x sao cho A cng l s nguyờn. PHNG TRèNH-H PHNG TRèNH Chuyên đề 2 : Hệ phơng trình I sơ lợc các vấn đề lý thuyết 1.Vấn đề số nghiệm - Giải quyết tối thiểu đến số nghiệm của hệ phơng trình có một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc 2. - Cần đề cập đến số nghiệm của hệ có chứa dấu giá trị tuyệt đối và dầu căn 2.Vấn đề tìm tập nghiệm của hệ phơng trình (Giải hệ) - Học sinh cần đợc trang bị tất cả các phơng pháp giải hệ. - Học sinh nắm chắc cách giải một số hệ cơ bản. 3.Vấn đề quan hệ giữa các yếu tố trong nghiệm của hệ : *Cần đề cập đến 2 dạng toán cơ bản - Tìm điều kiện để biểu thức giữa (x, y) là nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện cho trớc. - Chứng minh biểu thức giữa (x, y) là nghiệm của hệ thoả mãn ĐK cho trớc. *Cần lu ý đến các khía cạnh bất đẳng thức, cực trị, số học trong các ĐK trên. 4.Vấn đề quan hệ giữa các hệ phơng trình : - Giải quyết quan hệ tơng đơng và quan hệ nghiệm chung II Các dạng toán điểm hình Bài 1 : Tìm số nghiệm của các hệ sau theo tham số = =+ 4-3my-mx 25yx 22 =+ =+ 2a12xy 2ayx 22 = = 42y-mx 2m-y-x =+ =+ 2yx 2x my Bài 2 : Giải các hệ PT sau : =++ =+ 012y8xyx 12y8x 23 22 =+ =+ x31y 3y1x 2 2 =+ =+ 1yx 1yx 44 33 8 BDHSG-i s - ng Trung Thy- Trng THCS Th Trn Thi Bỡnh-CM x - x z z y y 111 == = 1 = =++ 4 12 2 111 2 z xy zyx = =+ 6 13 5 x y y x yx = =+ 23 521 yx yx =+ =+ 28 21 yyxx xyyx Bài 3 : Cho hệ PT : =++ += myxm mymx 22)1( 1 a ) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn xy lớn nhất (nhỏ nhất ) nếu có b ) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên (x, y) c ) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) mà 12 = yx Bài 4 : Tìm giá trị của tham số để : a > = = 1y-mx m2x 2 y và = += 1my-x 12x 2 my tơng đơng b > = =+ 23y-2x m12my -mx và =+ = 4ymx 2-mmy-x có nghiệm chung PHNG TRèNH Phng trỡnh vụ t Phng phỏp nõng lờn ly tha Dng cha cn bc hai: Ta bỡnh phng hai v ca phng trỡnh sau khi ó tỡm iu kin cú ngha ca cỏc cn thc v ca phng trỡnh Thớ d 1: Gii phng trỡnh 2y 1 y 2 = 0 Gii: iu kin: 1 2y 1 0 y y 2 2 y 2 0 y 2 2y 1 y 2 0 = 2y 2 y 2 = 2 2 ( 2y 2) ( y 2) = 2y 1 = y 2 y = 1 (khụng tha K) Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim ( hay S = ) Thớ d 2: Gii phng trỡnh: 2x 1 x 2 = Gii: iu kin: 1 2x 1 0 x x 2 2 x 2 0 x 2 9 BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM Bình phương hai vế phương trình ta có 2x – 1 = (x – 2 ) 2 ⇔ 2x – 1 = x 2 – 4x + 4 ⇔ x 2 – 6x + 5 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 5) = 0 ⇔ x 1 0 x 1( 2) x 5 0 x 5 − = = <   ⇔   − = =   Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 Thí dụ 3: Giải phương trình 3 3 x 1 7 x 2+ + − = Áp dụng hằng đẳng thức (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) Lập phương hai vế ta có: x + 1 + 7 – x + 3. 3 (x 1)(7 x).2 8+ − = ⇔ (x + 1)(7 – x) = 0 ⇔ x 1 x 7 = −   =  , thỏa mãn phương trình đã cho Vậy phương trình có hai nghiệm x = – 1 , x = 7 Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Áp dụng hằng đẳng thức biến đổi về dạng bình phương và đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (chú ý xét điều kiện để khai triển các dấu giá trị tuyệt đối) Phương pháp đặt ẩn phụ: Thí dụ: giải phương trình: 3x 2 + 21x + 18 + 2 2 x 7x 7 2+ + = (1) Giải: Đk: ≥ 0 Đặt 2 x + 7x + 7 = y ⇒ x 2 + 7x + 7= y 2 (1) ⇔ 3y 2 – 3 + 2y = 2 ⇔ 3y 2 + 2y – 5 = 0. . . . Phương pháp bất đẳng thức Chứng tỏ tập giá trị của hai vế khác nhau khi đó phương trình vô nghiệm. Thí dụ: Giải phương trình x 1 5x 1 2x 1− − − = − (*) Giải: Điều kiện: x 1 x 1 0 1 5x 1 0 x x 1 5 2x 1 0 1 x 2   ≥ − ≥     − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥     − ≥   ≥   Với điều kiện này ta có 1 < 5 nên x < 5x do đó x 1 5x 1− < − nên vế trái của (*) là số âm. Ta lại có 2 > 1 nên 2x – 1 > 0 nên vế phải của (*) là số dương. Vậy phương trình vô nghiệm. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế 10 [...]... – x ) ] = 126 – 3x ⇒ x = 36 Bài 4 Khối 9 có tất cả 264 học sinh gồm 1 lớp chọn dành cho học sinh khá và các lớp thường Nếu chuyển a học sinh lớp thường sang lớp chọn , rồi lại tuyển thêm ở ngòai cho lớp chọn từng ấy học sinh nữa thì bấy giờ số học sinh lớp chọn sẽ bằng 65% số học sinh lớp thường Hỏi lúc đầu số học sinh lớp thường là bao nhiêu? HD: x là số HS lớp thường ( ĐK…) ( x – a).65% = 264 –... tỉ lệ thuận với 5,4,3 Gọi x,y,z là số hàng vận chuyển của xe I, II,III ta có: x y z x + y + z 1560 = = = = = 130 5 4 3 12 12 ⇒ x = 650, y = 520, z = 390 Câu 5: Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam Cơ giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ - Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ - Số người trong mỗi tổ khơng q 15 người nhưng... – 4x3 – 4x2 8.3.C = 2x2(6 – 2x2) 8.4.D = - 5 + 1 − 9 x 2 + 6 x 8.5.E = 4 x − x 2 + 21 8.6.F = -2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 2 8.7.I = -x2 – 4y2 – z2 + 2x + 12y + 6z – 18 B - XỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CĨ DẠNG A+ B ≤ A + B A− B ≥ A − B Dấu “=” xảy ra ⇔ A.B ≥ 0 Bài 9 Áp Dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 9. 1.M = 25 x 2 − 20 x + 4 + 25 x 2 − 30 x + 9 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 − 8 x + 16 = x 2 + 18 x... ? * Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x, số bạn nam được chia vào tổ là y, x, y ngun dương Từ (1) ta có: 32 24 = x y (1) 9 ≤ x + y ≤ 15 Theo đề ra ta có hệ: (2) 3x – 4y = 0 => x = Đặt y = 3t, t > 0 và t ∈ z, ta có: 4 y 3 x = 4t Từ (2), ta có: 9 ≤ 3t + 4t ≤ 15 hay 9 ≤ 7t ≤ 15 => 9 15 2 2 1 < t ≤ 2 7 7 7 7 Vì t ∈ z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6 Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 7.1.A = 9x2 + 12x + 8 7.2.B = x(x + 1)(x2 + x – 4) 7.3.C = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) 7.4.D = 4 x 2 + 4 x + 2 7.5.E = 2 x 2 − 4 x + 5 + 1 7.6.F = x( x + 1)( x + 2)( x + 3) + 5 7.7.M = x4 – 6x2 + 10 7.8.N = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2 7 .9. P = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 5 7.10 Q = 2x2 + 2xy + y2 – 2x – 2y + 2 7.11 T = 4x2 + y2 + 9z2 – 12x + 2y – 6z + 13 Tìm giá trị lớn nhất:... − y = m − 2 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa: P = xy đạt giá trị lớn nhất 15 BDHSG-đại số - Đặng Trung Thủy- Trường THCS Thị Trấn Thới Bình-CM  x − y + 2 x + y −1 = 3   2x + y = 1  Bài 19 Giải hệ phương trình :  Bài 20 Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : 2 (m – 1)x2 + 2(m + 1)x + 1 = 0 Bài 21 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c: 2 3x . Khối 9 có tất cả 264 học sinh gồm 1 lớp chọn dành cho học sinh khá và các lớp thường . Nếu chuyển a học sinh lớp thường sang lớp chọn , rồi lại tuyển thêm ở ngòai cho lớp chọn từng ấy học sinh. từng ấy học sinh nữa thì bấy giờ số học sinh lớp chọn sẽ bằng 65% số học sinh lớp thường . Hỏi lúc đầu số học sinh lớp thường là bao nhiêu? HD: x là số HS lớp thường ( ĐK…) ( x – a).65% = 264. hệ) - Học sinh cần đợc trang bị tất cả các phơng pháp giải hệ. - Học sinh nắm chắc cách giải một số hệ cơ bản. 3.Vấn đề quan hệ giữa các yếu tố trong nghiệm của hệ : *Cần đề cập đến 2 dạng toán