Bài toán đặt không chỉnh Phạm Kỳ Anh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 222 tr. Từ khoá: Bài toán đặt không chỉnh, Phương pháp hiệu chỉnh, Bài toán phi tuyến, Bài toán tuyến tính, Phương pháp chon, Phương pháp tựa nghiệm, phương trình xấp xỉ, Phương pháp tựa nghịch đảo. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Lời nói đầu 3 1 Một số khái niệm cơ bản 5 1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 32 1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh . . . . . . . . . . 35 2 Các phương pháp giải bài toán không chỉnh 38 2.1 Phương pháp chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Phương pháp tựa nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Phương pháp dùng phương trình xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Phương pháp tựa nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Phương pháp hiệu chỉnh 64 3.1 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Sự tồn tại toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Phương pháp Lagrange xây dựng thuật toán hiệu chỉnh . . . . 71 3.4 Chọn tham số hiệu chỉnh theo độ lệch . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5 Cực tiểu phiếm hàm làm trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6 Hiệu chỉnh cho trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7 Hệ phương trình đại số tuyến tính điều kiện xấu . . . . . . . . 86 3.8 Nghiệm của phương trình tích phân tuyến tính loại I . . . . . 98 3.9 Phương pháp xấp xỉ tương thích . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2 MỤC LỤC 3.10 Phương pháp compact thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4 Phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán tuyến tính 124 4.1 Bài toán, phiếm hàm hiệu chỉnh và tham số . . . . . . . . . . 125 4.2 Phương pháp độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3 Độ lệch suy rộng và tính chất của nó . . . . . . . . . . . . . . 139 4.4 Tốcđộhộitụ 150 4.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tích phân tuyến tính loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5 Phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán phi tuyến với toán tử compact 160 5.1 Nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.3 Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều trong các thang không gianHilbert 169 5.4 Nguyên lý độ lệch cải biên và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . 176 5.5 Bài toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6 Phương pháp hiệu chỉnh bài toán phi tuyến với toán tử đơn điệu 191 6.1 Thuật toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.2 Nguyên lý độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 200 6.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . 208 Tài liệu tham khảo 214 Lời nói đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v dẫn đến việc giải các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ (sai một ly) của các dữ liệu có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn (đi một dặm) của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Do các số liệu thường được thu nhập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc, ) và sau đó lại được xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số. Chính vì thế, ta cần phải có những phương pháp giải ổn định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán không chỉnh là Tikhonov A.N., Lavrantiev M.M, Lions J.J., Ivanov V.K., Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán không chỉnh, điển hình là: Alber Ya.I., Atkin- son K.E., Bakushinskii A.B., Baumeiser J., Engl H.W., Gilbert F., Glasko V.B., Goncharskii A.V., Gorenflo R., Groetsch C.W., Hanke M., Hofmann B., Kirsch A., Landweber L., Louis A.K., Morozov V.A., Nashed M.Z., Natterer F., Neubauer A., Vainikko G.M. Một số nhà toán học Việt nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài toán không chỉnh như: Đặng Đình Ang, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, vv hoặc quan tâm và có công trình liên quan đến lý thuyết trên như: Nguyễn Minh Chương, Trần Đức 4 Lời nói đầu Vân, Vũ Xuân Minh, cùng các tác giả của giáo trình này. Thời gian gần đây, đã có nhiều giáo trình về bài toán không chỉnh bằng tiếng nước ngoài. Tuy nhiên chưa có một tài liệu nào được viết hoặc dịch ra tiếng Việt. Nhằm phục vụ các đối tượng là sinh viên đại học năm cuối, học viên cao học, nghiên cứu sinh cũng như các nhà khoa học quan tâm đến ứng dụng của lý thuyết bài toán không chỉnh, chúng tôi đã biên soạn giáo trình này. Nội dung của cuốn sách được lựa chọn theo ý đồ và "khẩu vị" riêng của các tác giả, vì vậy nó không thể phản ánh được hết các khía cạnh vốn dĩ rất đa dạng của lý thuyết bài toán không chỉnh. Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn giáo trình này không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi rất mong các vị độc giả gần xa góp ý và lượng thứ. Các tác giả Chương 1 Một số khái niệm cơ bản 1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . 12 1.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . 32 1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh . . 35 Chương này giới thịệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến bài toán đặt không chỉnh gọi tắt là bài toán không chỉnh. Các ví dụ về bài toán không chỉnh được xét trong mục 1.1. Mục 1.2 nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm dùng trong các chương sau. Trong mục 1.3 trình bày phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính ít được đề cập ở các giáo trình về giải tích số thông thường trong các trường đại học kỹ thuật. Khái niệm tổng quát về bài toán không chỉnh được trình bày trong mục 1.4. 6 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản 1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh • Nhiều bài toán thực tế đươc quy về giải hệ đại số tuyến tính, trong đó một sự thay đổi nhỏ hệ số của hệ phương trình ban đầu dẫn đến thay đổi lớn nghiệm của hệ, thậm chí làm cho hệ trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Những hệ phương trình đại số tuyến tính có tính chất như vầy được gọi là hệ phương trình điều kiện xấu. Ma trận A tạo bởi hệ số của hệ phương trình này được gọi là ma trận điều kiện xấu. Khi đó định thức của ma trận A,kí hiệu lá det A, có giá trị tuyệt đối tương đối nhỏ. Ví dụ 1.1. Hệ phương trình    2x 1 + x 2 =2, 2x 1 +1.01x 2 =2.01, có nghiệm là x 1 =1/2 và x 2 =1, trong khi đó hệ phương trình    2x 1 + x 2 =2, 2.01x 1 + x 2 =2.05, có nghiệm là x 1 =5và x 2 = −8. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số và vế phải của phương trình thứ hai kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Như vậy, hệ phương trình này là một hệ điều kiện xấu. Ví dụ 1.2. Ma trận A =    −73 78 24 92 66 25 −80 37 10    là một ma trận điều kiện xấu với det A = 1. Chỉ thay đổi một lượng nhỏ ở các thành phần a 12 ,a 21 hoặc a 33 của ma trận A, thì giá trị của det A nhận 1.1. Ví dụ về bài toán không chỉnh 7 những giá trị rất khác nhau: det    −73 78.01 24 92 66 25 −80 37 10    ≈−28.199999003, det    −73 78 24 92.01 66 25 −80 37 10    ≈ 2.0800007556 và det    −73 78 24 92 66 25 −80 37 10.01    ≈−118.93999938. Một câu hỏi quan trọng đặt ra là làm thế nào để nhận biết và giải hệ phương trình đại số tuyến tính với ma trận hệ số điều kiện xấu? • Bây giờ xét bài toán tìm đạo hàm của một hàm số. Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm. Ta cần tính đạo hàm bằng số f  (x) = lim h→0 f(x + h) −f(x) h tại điểm x. Muốn vậy, thông thường bằng cách chọn dãy {h k } sao cho h k → 0 khi k →∞và tính tỷ sai phân D k = f(x + h k ) −f(x) h k ,k=0, 1, , N. Khi đó, ta có thể nghĩ rằng với N đủ lớn, tức h N đủ nhỏ, D N sẽ là xấp xỉ tốt của f  (x). Vậy thì với h N nhỏ bao nhiêu ta sẽ nhận được xấp xỉ tốt. Liệu h N càng nhỏ có cho ta xấp xỉ càng tốt hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó ta xét ví dụ sau. Cho hàm số f(x)=exp(x), tính đạo hàm f  (1) với h k =10 −k ta có bảng kết quả k h k f k = f(1 + h k ) f k − eD k = f k −e h k 8 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản 1 0.1 3.0041660 0.285884196 2.858841560 2 0.01 2.7456011 0.027319187 2.731918700 3 10 −3 2.7210014 0.002719642 2.719642000 4 10 −4 2.7185536 0.000271842 2.718420000 5 10 −5 2.7183090 0.000027183 2.718300000 6 10 −6 2.7182845 0.000002719 2.719000000 7 10 −7 2.7182827 0.000000272 2.720000000 8 10 −8 2.7182818 0.000000028 2.800000000 9 10 −9 2.7182818 0.000000003 3.000000000 10 10 −10 2.7182818 0.000000000 0.000000000 Bảng trên cho ta thấy nếu k =10, thì D k =0. Trong khi đó f  (1) ≈ 2.718282. Như vậy khi k =5tỷ sai phân cho ta xấp xỉ tốt hơn cả. Điều đó nói lên rằng D k tiến gần tới f  (x) ở một thời khắc nào đó sau lại rời xa khỏi nó. Cũng ở ví dụ trên ta thấy 0.0007 = |D 6 −D 5 |≥|D 5 −D 4 | =0.00012. Quan sát này gợi ý cho ta nên tính D k đến lúc |D N+1 − D N |≥|D N − D N−1 | thì thôi. • Xét phương trình tích phân Fredholm loại I  b a K(t, s)ϕ(s)ds = f 0 (t),t∈ [c, d], (1.1) ở đây nghiệm là một hàm ϕ(s), vế phải f 0 (t) là một hàm số cho trước và hạch K(t, s) của tích phân cùng với ∂K/∂t được giả thiết là các hàm liên tục. Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp các hàm liên tục trên [a, b] với khoảng cách (còn được gọi là độ lệch) giữa hai hàm ϕ 1 và ϕ 2 trong lớp đó là ρ C[a,b] (ϕ 1 ,ϕ 2 ) = max s∈[a,b] |ϕ 1 (s) −ϕ 2 (s)|. Sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L 2 [c, d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f 1 (t) và f 2 (t) trong L 2 [c, d] được biểu thị bởi số ρ L 2 [c,d] (f 1 ,f 2 )=   d c |f 1 (t) −f 2 (t)| 2 dt  1/2 . 1.1. Ví dụ về bài toán không chỉnh 9 Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm ϕ 0 (s). Khi đó với vế phải f 1 (t)=f 0 (t)+N  b a K(t, s) sin(ωs)ds, (1.1) có nghiệm ϕ 1 (s)=ϕ 0 (s)+N sin(ωs). Với N bất kỳ và ω đủ lớn, thì khoảng cách giữa hai hàm f 0 và f 1 trong L 2 [c, d] ρ L 2 [c,d] (f 0 ,f 1 )=|N|   d c   b a K(t, s) sin( ωs)ds  2 dt  1/2 có thể làm nhỏ tuỳ ý. Thật vậy, đặt K max = max s∈[a,b],t∈[c,d]   K(t, s)   , ta tính được ρ L 2 [c,d] (f 0 ,f 1 ) ≤|N|   d c  K max 1 ω cos(ωs)   b a  2 dt  1/2 ≤ |N|K max c 0 ω , ởđâyc 0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tuỳ ý, nhưng N/ω lại nhỏ. Khi đó, ρ C[a,b] (ϕ 0 ,ϕ 1 ) = max s∈[a,b] |ϕ 0 (s) −ϕ 1 (s)| = |N| có thể lớn bất kỳ. Khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ 0 và ϕ 1 trong L 2 [a, b] cũng có thể lớn bất kỳ. Thật vậy, ρ L 2 [a,b] (ϕ 0 ,ϕ 1 )=   b a |ϕ 0 (s) −ϕ 1 (s)| 2 ds  1/2 = |N|   b a sin 2 (ωs)ds  1/2 = |N|  b −a 2 − 1 2ω sin(ω(b −a)) cos(ω(b + a)). Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho ρ L 2 [c,d] (f 0 ,f 1 ) rất nhỏ nhưng vẫn cho kết quả ρ L 2 [a,b] (ϕ 0 ,ϕ 1 ) rất lớn. [...]... tại điểm (x2 (δ), 0), tức là tại x = x2 (δ) ϕ(x2(δ)) = 0 Khi δ → 0, λδ → 0 và x2 (δ) → ∞ Như vậy, bài toán này không ổn định Những ví dụ trên dẫn đến một lớp bài toán rất quan trọng trong lĩnh vực tính toán Đó là lớp các bài toán không chính quy hay còn được gọi là bài toán đặt không chỉnh (hoặc không chỉnh) Để có thể phát biểu và nghiên cứu nó một cách tổng quát ta cần phải biết một số khái niệm của... tiện theo dõi 1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm Phần lớn của cuốn sách nghiên cứu bài toán không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, f ∈ Y, (1.4) trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ một không gian metric X vào không gian metric Y nào đó, tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể đặt ra Một tập nền X được gọi là một không gian metric, nếu với mỗi cặp phần tử x và y của X (viết tắt là x, y ∈ X) tồn tại... x = x, x thì X trở thành một không gian định chuẩn và do đó X là không gian gian metric Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu nó là không gian đầy đủ Dễ dàng nhận thấy các không gian ở các Ví dụ 1.5 − 1.9 là không gian Banach và khi p = 2 chúng là không gian Hilbert, trừ trường hợp không gian các hàm liên tục Trong... hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A) Nếu δ(t) = cA t2 , cA là một hằng số dương, thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu mạnh Toán tử A được gọi là toán tử nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử hoàn toán liên tục C sao cho A + C là một toán tử đơn điệu A được gọi là có tính chất bức, nếu lim A(x), x / x = +∞ x →+∞ Một trong những toán. .. chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau không nhiều trong L2 [0, π] 1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh 11 • Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y 2 ∂u ∂y u(x, 0) = f (x), (1.2) = ϕ(x), −∞ < x < ∞, (1.3) y=0 ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ 0 và ϕ(x) = ϕ1(x) = 1 sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là a u1(x, y) = 1 sin(ax)sh(ay),... chất, phương pháp này không khác phương pháp khử Gauss Nó rất thuận tiện vì ở mỗi bước không đòi hỏi phải thay đổi vị trí của hàng như phương pháp khử Gauss để tìm thành phần trong cột có môđun lớn nhất Một số phương pháp khác có thể xem trong [90] 1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh Khái niệm về bài toán chỉnh được J Hadamard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm... lp/(p−1) Còn đối với không gian Lp (Ω), với Ω là một tập đo được của không gian Rn và chuẩn Lp (Ω) , 1 < p < +∞, ánh xạ U có dạng U (ϕ) = ϕ 2−p p−2 ϕ(t), Lp (Ω) |ϕ(t)| t ∈ Ω Nếu X là không gian Hilbert, thường được kí hiệu là H (≡ H ∗ ), thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn chính là toán tử đơn vị I trong không gian H Từ đây về sau toán tử đơn vị được kí hiệu là I hoặc IX , toán tử đơn vị của không gian X khi cần... Bổ đề 1.1 còn được gọi là Bổ đề Tikhonov, tác giả của phương pháp hiệu chỉnh (gọi tắt là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov), được áp dụng rộng rãi 22 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản hơn cả để giải các bài toán không chỉnh sẽ nghiên cứu ở các chương tiếp theo của cuốn sách này Cho X với Y là hai không gian định chuẩn và A là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Khi đó, ∀ϕ ∈ Y ∗ , f (x) = ϕ(Ax)... nghiệm x của bất kì một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ) Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρX (x1, x2) và ρY (f1, f2 ), x1, x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán Khi đó, bài toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ),... chỉ khi x = θ (phần tử không) ; 2 với mọi x1, x2 ∈ X x1 + x2 ≤ x1 + x2 (bất đẳng thức tam giác); 3 với mọi số β và một phần tử bất kì x ∈ X βx = |β| x Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn , thì nó được gọi là không gian định chuẩn Không gian định chuẩn bất kì X có thể trở thành không gian metric, khi lấy ρX (x, y) = x − y • Một số ví dụ về không gian định chuẩn: Ví dụ 1.5 Không gian Rn với x = (x1 . Bài toán đặt không chỉnh Phạm Kỳ Anh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 222 tr. Từ khoá: Bài toán đặt không chỉnh, Phương pháp hiệu chỉnh, Bài toán phi tuyến, Bài toán tuyến. toán chỉnh và không chỉnh . . 35 Chương này giới thịệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến bài toán đặt không chỉnh gọi tắt là bài toán không chỉnh. Các ví dụ về bài toán không chỉnh được xét trong. vậy, bài toán này không ổn định. Những ví dụ trên dẫn đến một lớp bài toán rất quan trọng trong lĩnh vực tính toán. Đó là lớp các bài toán không chính quy hay còn được gọi là bài toán đặt không chỉnh