MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG – HÌNH MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 2 1.1. Vật lý thống kê 2 1.2. Các mô hình Vật lý thống kê 4 CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP 6 MONTE CARLO 6 2.1.Giới thiệu 6 2.2. Tích phân Monte Carlo 7 2.3. Ước lượng sai số 9 2.4. Số ngẫu nhiên 9 2.4.1. Tạo số giả ngẫu nhiên 9 2.4.2. Phân bố xác suất 11 2.5. Lấy mẫu điển hình 13 2.6. Chuỗi Markov 14 CHƯƠNG 3. NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 15 3.1. Mô hình Ising 15 3.1.1. Xây dựng thuật toán và chương trình 15 3.1.2. Chạy chương trình 17 3.2. Mô hình XY 2D 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 PHỤ LỤC 33 DANH MỤC BẢNG – HÌNH Danh mục bảng Bảng 3.1. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ β 24 Danh mục hình Hình 2.1. Minh họa thuật toán loại trừ 12 Hình 3.1. Quá trình tiến tới cân bằng 18 Hình 3.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị Beta 19 Hình 3.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha 20 Hình 3.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn) 21 Hình 3.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager [7] 22 Hình 3.5.a. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n) 23 Hình 3.5.b. Sự tự tương quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n) 23 Hình 3.5. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ 25 Hình 3.6. Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising [8] 26 Hình 3.7. Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising 26 Hình 3.8. Sự phụ thuộc của mật độ độ từ hóa theo các bước nâng cấp cấu hình 27 Hình 3.9. Sự phụ thuộc của mật độ năng lượng theo các bước nâng cấp cấu hình 28 Hình 3.10. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ 29 Hình 3.11. Sự phụ thuộc của mật độ năng lượng theo nhiệt độ 29 1 MỞ ĐẦU Ngày nay việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê là vô cùng phổ biến, đặc biệt là sử dụng phương pháp Monte Carlo, phương pháp giải toán trên máy tính bằng cách sử dụng các giả số ngẫu nhiên. Phương pháp này có vị trí hết sức quan trọng trong vật lý tính toán, như việc tính toán trong sắc động lực học lượng tử, mô phỏng spin có tương tác mạnh,…Chính vì vậy, luận văn này chúng tôi nghiên cứu : Một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte Carlo nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê, cụ thể là các bước của quá trình sử dụng phương pháp Monte Carlo, phương pháp số quan trọng nhất và được sử dụng rộng rãi nhất để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê. Mục đich của luận văn :  Xây dựng các chương trình mô phỏng mô hình Ising 2D trong Vật lý thống kê sử dụng thuật toán Heat bath và Metropolis bằng ngôn ngữ Scilab.  Sử dụng các chương trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và tính toán điểm chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt độ của hệ spin tăng dần. So sánh với kết quả tính toán giải tích của Lars Onsager trong tài liệu trích dẫn.  Mô phỏng hiện tượng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising 2D, so sánh với kết quả thực nghiệm của B. Yurke et. al trong tài liệu trích dẫn.  Dựa trên các kết quả thu được, xây dựng chương trình mô phỏng cho mô hình XY. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 3 chương: Chương 1:Giới thiệu về các mô hình vật lý thống kê Chương 2:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo Chương 3:Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte Carlo 2 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1. Vật lý thống kê Các bài toán Vật lý thống kê [1, 2] chủ yếu tính toán tính chất Vật lý của các hệ môi trường đậm đặc. Điểm khó khăn nhất khi thực hiện các tính toán với các hệ Vật lý này là chúng bao gồm rất nhiều phần hợp thành như phân tử và nguyên tử. Những hợp phần này thường là giống nhau hoặc khác nhau rất ít và chúng thường tuân theo các quy luật chuyển động đơn giản sao cho biểu hiện của cả hệ được biểu diễn theo một quy luật toán học rõ ràng. Tuy nhiên số lượng các phương trình cần phải giải, bằng cỡ của các hợp phần của hệ, là rất lớn nên không thể giải được chúng một cách chính xác. Ví dụ xét một khối khí được chứa trong bình. Một lít khí Oxy tại nhiệt độ và áp suất chuẩn bao gồm 3x10 22 phân tử Oxy. Các phân tử này liên tục di chuyển, va chạm với nhau và với thành bình chứa. Đây là một ví dụ về hệ nhiều vật hợp phần. Ta thậm chí có thể xét một ví dụ hệ có kích thước lớn hơn nữa với bầu khí quyển của trái đât. Một lít không khí tại cùng điều kiện chứa cùng một số lượng phân tử nhưng chúng là một hỗn hợp của Oxy, Nitơ, CO 2 và một số thứ khác. Bầu khí quyển của Trái đất bao gồm 4x10 21 lít không khí hay khoảng 1x10 44 phân tử. Tất cả những phân tử này liên tục chuyển động, va chạm với nhau, với mặt đất, cây cối, nhà cửa, con người, v.v. Rõ ràng là không khả thi khi giải hệ các phương trình Hamilton cho mỗi phân tử này bởi vì có quá nhiều phương trình cần phải giải. Tuy nhiên nếu chúng ta nghiên cứu các tính chất vĩ mô của khối khí, chúng vẫn có những biểu hiện có thể tiên đoán được. Như vậy các nghiệm của các phương trình riêng rẻ có một tính chất đặc biệt là trung bình của chúng có thể cho các tiên đoán về sự vận động của cả hệ. Ví dụ áp suất và nhiệt độ của một khối khí tuân theo những quy luật đơn giản mặc dù chúng đều là các đại lượng đo đặc trung bình trên cả khối khí. Vật lý thống kê không hướng tới việc giải từng phương trình chuyển động riêng lẻ mà tập trung vào tính toán những tính chất của cả hệ thống kê bằng cách sử dụng các mô hình xác suất. Thay vì tìm nghiệm chính xác, chúng ta 3 tìm các xác suất để cả hệ thống kê nằm ở một trong các trạng thái khả dĩ và vì thế có các đại lượng Vật lý vĩ mô nhận các giá trị tương ứng với trạng thái đó. Hình thức luận điển hình thường được sử dụng để nghiên cứu Vật lý thống kê là hình thức luận Hamilton với hệ thống kê được chi phối bởi một Hamiltonian H cho ta tổng năng lượng của hệ thống kê. Khi hệ thống kê là hữu hạn, chúng ta sẽ làm việc với các tập hợp trạng thái rời rạc với mỗi trạng thái có giá trị năng lượng có giá trị E 0 , E 1 , E 2 , với E 0 là trạng thái cơ bản. Tuy nhiên Vật lý thống kê nói chung và phương pháp Monte Carlo nói riêng có khả năng giải các bài toán có phổ năng lượng là liên tục. Nếu chỉ xét đến đây, bài toán là khá đơn giản khi năng lượng là bảo toàn. Hệ thống kê sẽ có giá trị năng lượng không đổi theo thời gian và vì thế nó sẽ ở trong một trạng thái hoặc chuyển đổi giữa các trạng thái của một tập hợp các trạng thái suy biến có cùng một giá trị năng lượng mãi mãi. Tuy nhiên, thông thường trong các bài toán thực tế sẽ phải xét đến sự tương tác với môi trường bên ngoài. Sự ảnh hưởng của môi trường bên ngoài sẽ đóng vài trò như một nguồn thu nhiệt làm thay đổi giá trị năng lượng của hệ thống kê liên tục cho đến khi nhiệt độ của hệ thống kê được xét dần tiến tới giá trị của nhiệt độ của môi trường. Khi ảnh hưởng của môi trường là nhỏ so với giá trị năng lượng của hệ, chúng ta có thể coi nó như là một ảnh hưởng nhiễu loạn và có thể bỏ qua khi tính toán các giá trị năng lượng của hệ thống kê. Tuy nhiên, ảnh hưởng này sẽ có tác động để hệ luôn luôn có xu hướng thay đổi trạng thái và vì thế có giá trị năng lượng khác. Chúng ta có thể tính toán ảnh hưởng của môi trường bằng cách đưa vào hệ thống kê một động lực – một quy luật để hệ thống kê thay đổi trạng thái theo thời gian. Bản chất của động lực sẽ được thể hiện qua dạng nhiễu loạn mà môi trường gây ra trong Hamiltonian tổng cộng. Giả sử hệ thống kê hiện đang ở trong trạng thái u. Chúng ta định nghĩa R(u  v)dt là xác suất để hệ thống kê ở trạng thái v sau khoảng thời gian dt. R(u  v)dt là xác suất chuyển trạng thái từ u sang v. Xác suất chuyển trạng thái thường được coi là không phụ thuộc vào thời gian. Chúng ta xác định các giá trị xác suất chuyển trạng thái này với tất cả trạng thái v khả dĩ mà hệ thống kê có thể chuyển đến. Sau 4 một thời gian dt, hệ thống kê có thể ở một trong các trạng thái khả dĩ với các xác suất khác nhau. Chúng ta cũng định nghĩa một tập hợp các trọng số w u (t) biểu diễn xác suất để hệ thống kê ở trong trạng thái u tại thời điểm t. Vật lý thống kê sẽ tính toán các giá trị trọng số này và chúng sẽ thể hiện toàn bộ những gì chúng ta biết về các trạng thái của hệ thống kê. Chúng ta có thể viết phương trình cơ bản của việc tiến hóa của w u (t) theo các xác suất chuyển trạng thái R(u  v)dt:             v uv u vuRtwuvRtw dt dw . (1.1) Số hạng đầu tiên trong vế phải của phương trình biểu diễn xác suất để hệ thống kê chuyển đến trạng thái u và số hạng thứ hai biểu diễn xác suất để hệ chuyển từ trạng thái u đến các trạng thái khác. Các xác suất w u (t) sẽ phải tuân theo quy luật:   1tw u u   (1.2) tại mọi thời điểm t do bất kỳ lúc nào hệ cũng phải ở trong một trạng thái nào đó. Nghiệm của phương trình (1.1) với điều kiện (1.2) cho chúng ta sự biến đổi của w u theo thời gian. Nếu chúng ta nghiên cứu đại lượng Q nào đó có giá trị Q u trong trạng thái u, chúng ta định nghĩa giá trị kỳ vọng của Q tại thời điểm t với hệ thống kê đang xét là     u uu twQQ (1.3) Đây chính là một ước lượng (gần đúng) giá trị vĩ mô của Q chúng ta mong đợi sẽ đo đạc được trong thực nghiệm với hệ thống kê đang xét. 1.2. Các mô hình Vật lý thống kê Để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê ta phải mô hình hóa [3–6] chúng bằng cách đơn giản hóa hệ Vật lý nhưng vẫn giữ được những đặc tính Vật lý đặc thù. Ví dụ khi nghiên cứu các hệ từ tính, nếu một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh chúng ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising với N spin S i tương tác với nhau 5 1S,SHSSJH i j,i N 1i ijigsinI      (1.4) với spin S i tại nút mạng i có thể hướng lên trên hoặc xuống dưới theo trục dễ định hướng của chất sắt từ đang xét. Năng lượng trao đổi J trong (1.4) được giới hạn trong các lân cận gần nhất và H là từ trường (số hạng thứ 2 trong 1.4 biểu diễn năng lượng Zeeman của hệ). Các trường hợp khác khi chất sắt từ có tính bất đẳng hướng theo mặt phằng, spin bị giới hạn nằm trong mặt phẳng xy chúng ta mô hình hóa nó theo XY model:       1SS,SHSSSSJH 2 y i 2 x i j,i N 1i x ix y j y i x j x iXY      . (1.5) Và khi spin là đẳng hướng ta sử dụng mô hình Heisenberg:         1SSS,SHSSJH 2 z i 2 y i 2 x i j,i N 1i z izHeisenberg      . (1.6) Tất nhiên là với sự đa dạng của các vật liệu thực được tạo ra trong phòng thí nghiệm, chúng ta phải chọn lựa các biến thể của các mô hình trên cho phù hợp. Thay vì chọn lựa số trạng thái khả dĩ của spin là 2 như trong (1.4) hay là vô cùng như trong (1.5) và (1.6) ta có thể chọn lựa một giá trị xác định khác. Thay vì chỉ chọn lựa tương tác gần nhất, chúng ta mở rộng tương tác trao đổi cho đến lân cận gần thứ hai hoặc gần thứ ba, Thay vì chọn lựa hoàn toàn đối xứng như trong (1.6) ta có thể bổ sung thêm các số hạng đơn trục hoặc đơn diện. Thay vì năng lượng trao đổi J nhận giá trị hằng số trên các nút mạng nó có thể nhận các giá trị ngẫu nhiên J ij . Từ trường H i cũng có thể nhận các giá trị năng lượng ngẫu nhiên. Như vật 3 mô hình (1.4) đến (1.6) chỉ là 3 mô hình điển hình mà dựa trên chúng ta có thể có được vô số biến thể phù hợp với bài toán Vật lý ta quan tâm. 6 CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 2.1.Giới thiệu Các phương pháp Monte Carlo sử dụng việc lấy mẫu thống kê thông qua các bộ số ngẫu nhiên để tính toán nghiệm xấp xỉ của một lớp rộng các bài toán. Các phương pháp Monte Carlo là các phương pháp sử dụng các giải thuật đơn giản, tận dụng sức mạnh của máy tính hiện đại để giải các bài toán phức tạp khó hoặc không thể giải được bằng các phương pháp giải tích. Phương pháp này được đặt tên là Monte Carlo, tên một sòng bạc nổi tiếng ở Monaco, do sự tương đồng về việc sử dụng số ngẫu nhiên trong đánh bạc và nghiên cứu khoa học. Bàn quay rô – lét chính là một máy tạo số ngẫu nhiên đơn giản. Theo nghĩa rộng nhất, bất cứ phương pháp nào sử dụng số ngẫu nhiên đều có thể được quy vào lớp phương pháp Monte Carlo. Quá trình lấy mẫu thống kê có thể tiến hành trên máy tính bằng việc lặp lại một số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau. Các thuật toán Monte Carlo cũng là phương pháp tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp tất định khác, chẳng hạn bài toán tính tích phân nhiều lớp. Hiệu quả của phương pháp này so với các phương pháp tất định khác tăng lên khi số chiều của bài toán tăng. Phương pháp Monte Carlo cũng được ứng dụng trong nhiều bài toán tối ưu hóa như trong các ngành tài chính, bảo hiểm. Thông thường phương pháp Monte Carlo được thực hiện với số giả ngẫu nhiên do không thể tạo ra số ngẫu nhiên thực sự trên máy tính mà chỉ có thể thu thập từ các quá trình ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế. Các số giả ngẫu nhiên có tính tất định, được tạo ra từ các thuật toán có quy luật có thể lặp lại được khi sử dụng trong cùng điều kiện. Để tìm hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét bài toán tính số π do nhà toán học Buffon đưa ra vào thế kỉ XVIII. Xét điểm M(x,y) trong đó hai tọa độ x,y được gieo một cách ngẫu nhiên trong khoảng 0<x<1 và 0<y<1. Điểm M nằm trong hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) khi và chỉ khi x 2 +y 2 <1. Diện tích hình tròn có bán 7 kính R=1 là S = R 2 = còn hình vuông có cạnh a = 2 là a 2 = 4, do đó xác xuất để tìm M nằm trong hình tròn là . Bằng cách tính tỉ số giữa tổng điểm nằm trong đường tròn và tổng điểm được gieo ngẫu nhiên ta có thể tính toán xấp xỉ số π. Phương pháp đơn giản này hoạt động theo nguyên tắc thử và sai. 2.2. Tích phân Monte Carlo Trên đây, chúng ta đã nêu ra một ví dụ đơn giản về tính số π bằng phương pháp thử và sai. Trong phần này, chúng ta tìm hiểu một phương pháp chính xác và hệ thống hơn. Phương pháp này đưa bài toán tính số π về bài toán tính tích phân rồi tích tích phân đó bằng cách ước lượng giá trị trung bình của hàm trong vùng lấy tính phân. Diện tích của hình tròn có thể tính được bằng tích phân: với a là bán kính của hình tròn. Như vậy diện tích này có thể ước lượng được bằng phương pháp số truyền thống như phương pháp hình thang, phương pháp Simpson hay các phương pháp tất định khác có độ chính xác cao hơn. Ngoài các phương pháp kể trên, tích phân còn có thể lấy bằng tích của giá trị trung bình của hàm số trong khoảng lấy tích phân và độ lớn (chiều dài) của khoảng lấy tích phân. Giá trị trung bình của hàm số f(x) trong khoảng từ a đến b có thể ước lượng bằng việc sử dụng một tập số ngẫu nhiên {x i } phân bố đều trong khoảng [a, b]. Từ tập hợp đó chúng ta có thể ước lượng giá trị trung bình: 8 (2.1) Giá trị tích phân khi đó ước lượng bằng: (2.2) với N là tổng số điểm ngẫu nhiên được sử dụng. Diện tích của đường tròn được ước lượng theo công thức: (2.3) Và như vậy ta có thể ước lượng giá trị của số pi là Phương pháp Monte Carlo có thể dễ dàng mở rộng cho tích phân nhiều lớp. Giá trị của tích phân nhiều lớp được ước lượng bằng tích của 2 số hạng: - Giá trị trung bình của hàm số trong vùng cần tính. - Kích thước của vùng cần tính tích phân (độ dài đoạn thẳng trong tích phân 1 lớp, diện tích trong tích phân 2 lớp, thể tích trong tích phân 3 lớp và tương tự cho tích phân nhiều lớp hơn) Ví dụ tích phân 3 lớp: (2.4) [...]... trên 14 CHƯƠNG 3 NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO 3.1 Mô hình Ising 3.1.1 Xây dựng thuật toán và chương trình Như đã đề cập đến trong chương 1, chúng ta có thể xây dựng các mô hình thống kê để mô tả tương tác của các hệ Vật lý Khi nghiên cứu một màng mỏng từ tính của một chất sắt từ có tính bất đẳng hướng đơn trục mạnh, ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising 2 chiều... ngược một cách dễ dàng, do đó cần thiết phải có một phương pháp khác để giải quyết vấn đề này Phương pháp loại trừ Von Neuman là một phương pháp rất đơn giản trong việc tạo ra số ngẫu nhiên tuân theo mọi phân bố mong muốn Xét một hàm mật độ xác suất f(x) khác 0 trong khoảng [xmin, xmax] và bằng 0 ở ngoài khoảng này Gọi C là một hằng số lớn hơn hoặc bằng giá trị cực đại Fmax của hàm f(x) Phương pháp. .. 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Beta Hình 3.5 Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ Trên đây là một ví dụ đầy đủ về việc sử dụng phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một bài toán chuyển pha đơn giản với mô hình Ising 2 chiều Tiếp theo chúng ta nghiên cứu một hiện tượng khá thú vị là sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising Đại lượng này được định nghĩa là xác suất để một spin không đổi dấu của nó sau... hưởng do sự hữu hạn của lưới mô phỏng mang lại Như đã đề cập đến trong chương 2, phương pháp Monte Carlo là phương pháp sử dụng các mẫu thống kê để ước lượng giá trị của các đại lượng cần tính toán Do kích thước lưới không gian ở đây là NxN với mỗi điểm trên lưới được đặt một spin, số lượng cấu hình khả dĩ sẽ là 2NxN Một cấu hình dạng nhỏ thường được sử dụng trong các nghiên cứu đơn giản có giá trị N... thấy số ngẫu nhiên nằm trong khoảng [a, b] là Cho một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều trong một khoảng nào đó, có hai cách cơ bản để tạo một tập hợp số ngẫu nhiên tuân theo phân bố bất kỳ là phương pháp đổi biến và phương pháp loại trừ Phương pháp đổi biến Nếu ta có một tập hợp số ngẫu nhiên {x} có hàm mật độ xác suất là p1(x) xác định thì hàm mật độ xác suất p2(y) của tập hợp số ngẫu nghiên. .. H bằng 0 ta không xét tương tác với trường ngoài, trong trường hợp này mô hình Ising sẽ có chuyển pha loại hai ở tất cả các mô hình có số chiều không gian lớn hơn 1 Trong 15 trường hợp 2 chiều, mô hình này đã được giải bằng phương pháp giải tích bởi Onsager[7], ông tìm được điểm chuyển pha loại hai giữa mất trật tự - trật tự tại    c  ln 1  2  0.88137 Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp Monte Carlo. .. tiên trong việc sử dụng phương pháp Monte Carlo là xây dựng chương trình mô phỏng Chương này sau đó được chạy trên máy tính để thu được đủ mẫu thống kê cần thiết Các kết quả sẽ được xử lý thống kê để thu được giá trị ước lượng và sai số tương ứng Trong bước đầu tiên, chúng ta phải xác định bài toán và thuật toán mô phỏng một cách rõ ràng Bài toán Ising 2D sẽ được mô phỏng trên một lưới vuông có kích... hàng ngày (như tập hợp kết quả xổ số mở thưởng hàng ngày) Tuy nhiên các tập hợp số ngẫu nhiên này thường quá nhỏ để sử dụng trong một bài toán Monte Carlo điển hình với yêu cầu hàng tỉ số ngẫu nhiên Có một chương trình tạo số ngẫu nhiên chất lượng cao là việc quan trọng bậc nhất để đảm bảo một chương trình mô phỏng Monte Carlo hoạt động tốt Số ngẫu nhiên được tạo ra từ một thuật toán nào đó không đảm...2.3 Ước lượng sai số Độ lệch chuẩn của ước lượng trung bình một đại lượng trong Monte Carlo: (2.5) là (2.6) Với trường hợp N lần thử độ lệch chuẩn sẽ là: (2.7) Từ công thức tính sai số ở trên ta thấy rằng sai số trong tính tích phân ước lượng tỉ lệ thuận với , độc lập với số lớp tích phân, vì thế phương pháp Monte Carlo sẽ ưu việt hơn các phương pháp tính tích phân truyền thống khi số lớp tích phân... đó ta có thể thu được biến x bằng cách gieo ngẫu nhiên biến t trong khoảng (0,1) và áp dụng công thức: 11 x= để thu được một tập hợp số ngẫu nhiên {x} tuân theo phân bố f(x)=ae-ax trong khoảng [0,∞) Phương pháp loại trừ Phương pháp đổi biến ở trên là một phương pháp tính toán hiệu quả cho phép thu thập các số ngẫu nhiên ở phân bố không đều, tuy nhiên phương pháp này có một nhược điểm là khó có thể . về phương pháp Monte Carlo Chương 3 :Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte Carlo 2 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 1.1. Vật lý thống. này chúng tôi nghiên cứu : Một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte Carlo nhằm tìm hiểu việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê, cụ thể là các bước. DANH MỤC BẢNG – HÌNH MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ 2 1.1. Vật lý thống kê 2 1.2. Các mô hình Vật lý thống kê 4 CHƯƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP 6 MONTE CARLO