TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THU HỒNG MỘT SỐ PHÉP CO DÃN KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Đại số Ngưòi hướng dẫn khoa học Th.s NGUYỄN THỊ BÌNH Hà Nội – 2014 Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành tại Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Có được bản khóa luận tốt nghiệp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS. Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em những chỉ dẫn hết sức quý giá để em nghiên cứu và hoàn thành đề tài này. Với mong muốn viết được một khóa luận đầy đủ phong phú và hữu ích cho người đọc em đã rất cố gắng nhưng lượng thời gian ý, kinh nghiệm bản thân còn ít và dung lượng hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót và chưa hoàn thiện. Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hồng Khóa luận tốt nghiệp "Một số phép co dãn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Thị Bình. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hồng LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học nói chung, nó chiếm vị trí rất quan trọng trong việc dạy học ở các trường học. Qua toán học giúp cho người học nâng cao khả năng tư duy, suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Và qua toán học cũng giúp người học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người dạy toán nào không quan tâm. Trong chương trình toán học phổ thông, đại số là một bộ phận lớn mà trong đó phép biến đổi đồ thị hàm số, đặc biệt là phép co dãn đồ thị hàm số đóng vai trò khá quan trọng. Vì vậy việc hiểu và nắm vững được nó là việc làm vô cùng cần thiết, là tiền đề cho người học khi tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Hơn thế nữa, phép biến đổi đồ thị hàm số hay gọi là phép biến đổi hàm số là vấn đề được sách giáo khoa nước ngoài đặc biệt quan tâm, ngoài phép tịnh tiến, đối xứng trục còn bổ sung phép co dãn đồ thị theo chiều ngang hay chiều dọc. Trong khi đó, sách giáo khoa toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ và cũng được cung cấp hết sức đơn giản trong sách giáo khoa đại số 10 nâng cao, có đưa ra đồ thị hàm số thể hiện phép co dãn nhưng không đề cập đến phép biến đổi này. Hiện nay trên thị trường sách đã xuất bản và Internet ngày càng có nhiều tác giả với những tài liệu khác nhau viết về chủ đề này. Tuy nhiên, trong các tài liệu này thì các dạng bài tập chưa thực sự được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa được đầy đủ, đa dạng. Vì vậy việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng đến việc nắm bắt kiến thức và giải bài tập. Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình của ThS. Nguyễn Thị Bình em đã tập trung thực hiện đề tài "Một số phép co dãn" nhằm làm rõ hơn vấn đề này và phân loại các dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có một hệ thống bài tập được phân loại rõ ràng, đáp ứng được nhu cầu khác nhau của việc tự học cũng như học tập trên lớp. 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu MỞ 4 Nghiên cứu và phân loại một số phép co dãn đồ thị hàm số. Làm rõ sự biến đổi đồ thị hàm số và một số bài tập liên quan. 3. Đối tượng nghiên cứu Một số phép co dãn đồ thị hàm số và các bài tập liên quan. 4. Phương pháp nghiền cứu Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp bao gồm 4 chương: Chương 1 : Một số kiến thức cơ sở Chương 2: Phép co dãn cơ bản Chương 3: Tích các phép co dãn Chương 4: Các dạng bài tập và ví dụ NỘI DUNG Chương 1: MỘT SỐ KIÉN THỨC cơ SỞ 1.1. Đồ thi hàm số 1.1.1. Khái niệm hàm số Cho Del Một quy tắc f cho tương ứng mỗi X G D với một và chỉ một yet gọi là một hàm số. Kí hiệu: f: D — > M X —» y Tập D được goi là tập xác định của hàm số. Phần tử X goi là đối số (biến số). Phần tửy e t tương ứng với X gọi là giá trị của hàm số tại X, kí hiệu Y — /(X ) . Tập hợp T F = { F ( X ) I Vx e Z)j gọi là tập giá trị của hàm số. 1.1.2. Khái niệm đò thị hàm số Cho hàm số Y = F ( X ) xác định trên D Ta gọi tập hợp các điểm (х,/(л:)) với V X E D là đồ thị của hàm số y = № - MỞ 5 Việc biểu diễn các điểm (X , F ( X )) thuộc đồ thị hàm số У = F ( X ) lên mặt phẳng tọa độ O X Y gọi là vẽ đồ thị của hàm số. MỞ 6 Hình 1.1.3.1 b) 1.1.3. Một số đồ thị hàm số CO’ bản 1.1. 3.1. Đ ồ thị h àm số ỵ = 7 Hình 1.1.3.2 a) Hình 1.1.3.2 b) 1.1.3. Một số đồ thị hàm số CO’ bản 1.1. 3.1. Đ ồ thị h àm số ỵ = 8 1.2. Tịnh tiến đồ thị hàm số Cho hàm số Y = F ( X ) , với A , B > 0 Từ đồ thị hàm số Y — F ( X ) bằng phép tịnh tiến theo trục Ox a đơn vị: + Sang trái nếu A > 0 + Sang phải nếu A < 0 ta được đồ thị hàm số Y = /(X + A ). Từ đồ thị hàm số Y — F { X ) bằng phép tịnh tiến theo trục Oy b đơn vị: + Lên trên nếu B > 0 + Xuống dưới nếu B < 0 ta được đồ thị hàm số Y = F ( X ) + B . 1.3. Đối xứng đồ thị hàm số Cho hàm số Y — F ( X ). Từ đồ thị hàm số Ỵ — F ( X ) , + Bằng phép đối xứng trục Ox ta có đồ thị hàm số Ỵ — —/(X ) + Bằng phép đối xứng trục Oy ta có đồ thị hàm số Y = /(—X ) Chương 2: PHÉP co DÃN cơ BẢN Cho hàm số Y — F ( X ) có đồ thị hàm số (C) Xem xét sự co dãn của đồ thị hàm số này qua 2 dạng: co dãn theo chiều dọc và co dãn theo chiều ngang 2.1. Dạng 1: y = f{ax), а ф ±\ Hình 1.1.3.3 1.1. 3.3. Đ ồ thị h àm số 9 2.1.1. Sự biến đổi đò thị Đồ thị hàm số У — F ( Ạ X ) đượcbiến đổi từ đồthị hàm số У — F ( X ) qua một phép co dãn theo trục hoành(co dãn theochiều ngang) với hệ số co dãn là 1/a. Hay còn gọi là phép co dãn theo X - hướng. • А > 1 : phép co • 0 < А < 1 : phép dãn • а<0: vẽ đồ thị hàm số Y — F { — A X ) bằng phép co hoặc dãn như trên sau đó lấy đối xứng qua trục tung. 2.1.2. Tọa độ điểm • Điểm có tọa độ thuộc đồ thị hàm số Ỵ = F ( X ) khi chuyển sang đồ thị hàm số Ỵ — F ( A X ) sẽ có tọa độ ( X / A ; y). Dễ thấy tung độ của mọi điểm trên đồ thị không thay đổi. • Điểm bất động: bất kỳ điểm nào trên trục Oy. 2.1.3. Một số ví dụ minh họa V Í D U 2 . 1 . 1 . Vẽ đồ thị hàm số У = (2л;) 2 từ đồ thị hàm số Y = X 2 . Hướng dẫn và lời giải: Ta thấy đồ thị hàm số У = X 2 là đồ thị hàm số đơn giản dễ vẽ. Hàm số y = (2xỴ có dạng y = f ị a x ) v ờ i f ( x ) = x 2 vầ a = 2 > \ . Do đó từ đồ thị hàm số y = X 2 ta thực hiện 1 phép co theo X - hướng với hệ số co là l _ ì a 2 Như vậy đồ thị hàm số Ỵ = ( 2 X Ỵ sẽ được vẽ dễ dàng nhờ việc co đồ thị hàm số Y = X 2 với hệ số co là 1/2. Lúc này mọi điểm thuộc đồ thì ban đầu sẽ thay đổi: (x;y) (x/2;y) (0;0) (0;0) (1;1) -► (1/2;1) (2:4) (1;4) Ta có đồ thị: 1.1. 3.3. Đ ồ thị h àm số 1 [...]... thị hàm số 3; = a/(x)được biến đổi từ đồ thị hàm số у = f(x) i) qua một phép co dãn theo trục tung (co dãn theo chiều dọc) với hệ số co dãn là a j) Hay còn gọi là phép co dãn theo у - hướng • А > 1 : phép dãn • 0 • а < 0: vẽ đồ thị hàm số ỵ — —a/(jc) bằng phép co hoặc dãn như k) trên sau đó lấy đối xứng qua trục hoành 2.2.2 • 1 phép dãn theo y - hướng + 0 < b < 1 phép dãn theo X - hướng b > 1 phép co theo X - hướng + A < 0 vẽ đồ thị hàm số Y — — D Ì (B X ) bằng phép co dãn như trên sau đó lấy đối xứng qua Ox + B < 0 vẽ đồ thị hàm số Y = af ( — B X ) bằng phép co dãn như trên sau đó lấy đối xứng qua Oy 3.2 Tọa độ điểm bu) Hàm số. .. hàm số trước và sau phép co dãn dạng 1 và dạng 2 ta có thể tìm được phép co dãn và hệ số co dãn, và ta cũng có thể làm điều tương tự với tích của 2 phép co dãn nhưng việc này không phải là x+ ị aj) =2 Hoặc y = 2(2x+3)2 dq) x+ ề = ai) 3'2 X+ 2 dr) dễ Đối với một số hàm đơn giản có thể dễ dàng tìm ra, với một số hàm không quá phức tạp ta có thể tìm bằng cách dự đoán hệ số co dãn dựa vào đồ thị hàm số co. .. (jc) co dãn là a ac) ae) (x;y) (x/a;y) Điểm bất động: + 0 1 nên ta có phép dãn theo trục tung bh) bg) y = afO)hayy = - bi) X 2 b) Ta có hệ số co dãn là A = ^ R mà 0 . phép co dãn là ph ép co d ãn th eo X - hướng v ới hệ số co dãn là l /b và phép co dãn theo y - hướng với hệ số co dãn là a. bt) + 0 < A < 1 phép co theo y - hướng A > 1 phép. khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp bao gồm 4 chương: Chương 1 : Một số kiến thức cơ sở Chương 2: Phép co dãn cơ bản Chương 3: Tích các phép co dãn. 4 Nghiên cứu và phân loại một số phép co dãn đồ thị hàm số. Làm rõ sự biến đổi đồ thị hàm số và một số bài tập liên quan. 3. Đối tượng nghiên cứu Một số phép co dãn đồ thị hàm số và các bài tập liên