tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản cực hay và chất

Trang 1

Học thêm toán – 0968 64 65 97 Tài liệu toán 9 dành cho học sinh mất căn bản

CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Bài 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Luỹ thừa của một số hữu tỷ:

a) Tính chất: 

a  a a aa (nN) a0 1;a1  a với a 0 (n thừa số a)

Trang 2

2 (1 - x )(1 +x x ) = 1 + xxxxxxx = 1xx

II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Thực hiện phép tính:

a) (3xy - x2 + y)32

x2y b) (5x3 - x2)(1 - 5x)

Giải:

a) (3xy - x2 + y)32

x2y = 3xy.32

x2y + (-x2).32

x2y + y.32

x2y

= 2x3y2 - 32

x4y + 32

x2y2b) (5x3 - x2)(1 - 5x) = 5x3 - 25x4 - x2 + 5x3

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Tính:

a) (21

x + y)(21

y)(x - 21

y) Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau (với a0):

1 Chia đa thức cho đơn thức:

* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho

đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau

Trang 3

Ví dụ: (15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2 = (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2) = 5xy + 4x2 -

y

2 Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ví dụ: Thực hiện phép chia: 1 (6x213x5) : (2x5)Giải:

6x 13x5 2x 5 - (6x2 15x)

2x5 - (2x5) 0

3x 1

2 Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia: (12x214x 3 6x3x4) : (1 4 xx2)

Giải: Ta có 12x214x 3 6x3x4 x46x312x214x 3 và 1 4 xx2 x24x 1

2x311x214x 3 - (2x38x22x) 3x212x 3 2

3 Tính chất cơ bản của phân thức:

a) Định nghĩa phân thức đại số: Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng A

B , trong đó A, B là các đa thức và B khác đa thức 0

Ví dụ: 5

; 1x + 2b) Phân thức bằng nhau:

Trang 4

c) Tính chất cơ bản của phân thức:

=

= – 3

Bài 3 Tính:

a) 232300

763 3

với x > 0

Giải:

a) 232300

=

= 100 = 10

b)

763 3

=

= 3x với x > 0

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Rút gọn phân thức:

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

BB.M;

BB:N (M0; N0; B0)

;

Trang 5

Ví dụ:

a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)

b) x - 2 xy +5 x - 10y = [( x)2 – 2 y x] + (5 x - 10y) = x ( x- 2y) + 5( x- 2y)

= ( x - 2y)( x + 5)

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung :

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác

Công thức: Ví dụ:

1 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) 2 3x + 12 x y = 3 x( x + 4y)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức

* Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

A2 - B2 = (A + B)(A - B) (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1 x2 – 4x + 4 = x 22

Trang 6

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

d Phương pháp tách một hạng tử: (trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c (a  ) nếu 0 1 212

b bacbbb

Ví dụ:

a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)

Trang 7

a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2

= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y) b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x

= (a - b) (a - b) (a + b) = (a - b)2(a + b)

c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - ( 8 a)2

= (a2 + 4 + 8 a)( a2 + 4 - 8 a)

Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) b) (x2 - 5x + 6):(x - 3) Giải:

a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1)

Trang 8

nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)

b) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6

= x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)

nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2) III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:

1 Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu) Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau: 57à 12v30

2 Quy đồng mẫu nhiều phân thức:

Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau: - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung - Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của 3

2 4

x  và 2

* Bước 1: Tìm MTC

Trang 9

- Phân tích các mẫu thành nhân tử 2x +4 = 2(x + 2)

x2 - 4 = (x - 2) (x + 2) - MTC là: 2(x - 2) (x + 2)

* Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu

+) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2) +) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2

* Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng

 và x932

MTC: 2(x - 3)(x + 3)

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một phân thức để tìm MTC

thuận tiện hơn)

a)

;

b)

Bài 6 QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC I Luyện tập:

Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau:

 và 3x12xx2

Phân tích các mẫu: x2 - 8x + 16 = (x - 4)23x2 - 12x = 3x(x - 4) MTC: 3x(x - 4)2

Trang 10

Bài 2: Rút gọn biểu thức : 112323

 

1 Cộng hai phân thức cùng mẫu:

* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu

thức

Ví dụ: Tính: a)

2 Cộng hai phân thức không cùng mẫu:



Trang 11

* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân

thức có cùng mẫu thức vừa tìm được Ví dụ:

+

yy 6

 MTC: 6y(y - 6)

+

yy 6

 = 6( 6)12

+

(y -12)y6y(y-6)

+ 6.66 (y y 6)=

=

*Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau:

- Tính chất giao hoán: ACCAB  D  D  B

cho phân thức

, ta cộng

với phân thức đối của

Ví dụ: a)

- x2 1

 ( 1))3(

xx x

 +

xx x

 +

xxx xx

-

( 3)( 3)(2)( 3)

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Thực hiện phép tính sau:

12 2

+

1 +

-

=

DC

Trang 12

= 12 2

- 11

+ 1



III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Tính:

b) Tính giá trị của P khi x = 1

Bài 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phép nhân các phân thức đại số:

Ví dụ: a)

b)

2 Phép chia các phân thức đại số:

Ví dụ: a)

(x -2, x  -1)

b)

(x 1, x  - 2 )

3 Biến đổi biểu thức hữu tỉ:

- Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số - Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ

nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

Trang 13

II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Thực hiện phép tính:

Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q =

1 (đ/k: )=

=

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Rút gọn biểu thức: A=

Bài 2: Tính:

xxxxx

Trang 14

a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A b) Tìm a để A > 0

Giải: a) Điều kiện A xác định: a0;a 1

b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b

Bài 3: Cho biểu thức P 2 x 2 x 4x : x 3x 4

Bài 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I KIẾN THỨC CƠ BẢN

A B  A B A0, B0 ; A B A B A0, B0 ; b) A 1 AB AB 0,B 0

Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết:

Trang 15

 

Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0 III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Trang 16

22

Trang 17

Giải: Ta có phương trình 214 11

14 x 9 x 3x x 20 0

Câu 3: Cho biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 34c) Tìm x để A < 8

ĐỀ SỐ 2 Câu 1: Tính:

Trang 18

5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8 -2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4 -7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3

2 Hai quy tắc biến đổi phương trình:

+ x = 0, chuyển hạng tử 32

từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành -

ta được x = - 32

b) Quy tắc nhân với một số:

Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 Ví dụ 3: Cho phương trình:

x = 3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x = 6

Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0 Ví dụ 4: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =

Giải: 3x – 6 = 0  3x = 6 (Chuyển -6 sang vế phải và đổi dấu)

 x = 2 (Chia hai vế cho 3) Vậy phương trình có tập nghiệm S={2}

= 0 b) x + 8 = 0 c) -4x + 2 = 4

Giải:

Trang 19

a) 3 - x

= 0  - x

= -3  21

(-2).(-) x = (-2(-2).(-).(-3(-2).(-)  x = 6 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {6}

2 }

- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc (nếu có)

- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia - Thu gọn và giải phương trình nhận được

Trang 20

- Nhân hai vế của phương trình với mẫu chung để khử mẫu: 12x - 10x + 4 = 21 - 9x

- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hạng tử tự do sang vế kia: 12x – 10x + 9x = 21 – 4

- Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được: 11x = 17  x =

Phương trình có tập nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình: x+ 2 x -3 = 0 Giải:

- Đặt nhân tử chung: x + 2 x -3 = 0  (1+ 2 ) x -3 = 0

- Hệ số a = 1+ 2 ; b = -3

- Ta có: (1+ 2 ) x -3 = 0  (1+ 2 ) x = 3  x=

Phương trình có tập nghiệm: S =

 21

Phương trình có tập nghiệm S={

}

Bài 3: Giải phương trình: (x - 1) – (2x -1) = 9 - x

Giải: (x - 1) – (2x -1) = 9 - x

 x - 1 - 2x + 1 = 9 – x  x – 2x + x = 9 – 1 + 1

 0x = 9 (Không có giá trị nào của x thoả mãn phương trình) Vậy phương trình vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: S = 

Bài 4: Giải phương trình: x - 2 = x – 2

Giải: x - 2 = x – 2  x – x = - 2 + 2  0x = 0

Phương với mọi x  R

Bài 5: Giải phương trình: 2 1

Giải:

Trang 21

Bài 6: Giải phương trình: 36

x  (x – 2)

= 3

 x – 2 =

 x =

213

Phương trình có tập nghiệm: S= {213

Bài 15: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH I Kiến thức cơ bản

* Tích hai số: a.b = 0  hoặc a = 0 hoặc b = 0

* Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = 0; Trong đó A(x), B(x) là đa thức

- Cách giải: A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Ví dụ: Giải phương trình: (3x – 5)(x + 3) = 0

Ta có: (3x – 5)(x + 3) = 0  3x – 5 = 0 hoặc x + 3 = 0 * 3x – 5 = 0 3x = 5  x =

35* x + 3 = 0  x = -3

Phương trình có tập nghiê

Trang 22

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 35

và x = -3 Tập nghiệm của phương trình là S = {

; -3}

* Các kiến thức trọng tâm liên quan đến giải phương trình tích - Những hằng đẳng thức đáng nhớ

- Phân tích đa thức thành nhân tử

- Quy tắc biến đổi và cách giải phương trình - Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

II Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) (2x + 10)(4x + 8) = 0 b) (2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0

= 0 d) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0

Giải:

a) Ta có: (2x + 10)(4x + 8) = 0

 2x + 10 = 0 hoặc 4x + 8 = 0 * 2x + 10 = 0  2x = -10  x = - 5 * 4x + 8 = 0  4x = -2  x = - 2 Tập nghiệm của phương trình là: S = {- 5; - 2} b) Ta có:

(2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0

 2,5 + 5x = 0 hoặc 0,1x - 1,2 = 0

* 2,5 + 5x = 0  5x = - 2,5  x = - 0,5 * 0,1x - 1,2 = 0  0,1x = 1,2  x = 12 Tập nghiệm của phương trình là S = {- 0,5 ; 12} c) Ta có:

= 0  3x – 1 = 0 hoặc

*

)12(2 x

= 4

17 x

 28

)12(8 x

= 28

)17(7 x  8(2x1)7(7x1)  16x849x716x49x78

33   

Tập nghiệm của phương trình là: S =

Bài 2: Giải phương trình sau: (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)

Giải : Ta có

(x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)  (x – 1)(5x + 3) - (3x – 8)(x – 1) = 0  (x – 1)[( 5x + 3) - (3x – 8)] = 0  (x – 1)(5x + 3 – 3x + 8) = 0

Trang 23

 (x – 1)(2x + 11) = 0

 x – 1 = 0 hoặc 2x + 11 = 0 * x – 1 = 0  x = 1

* 2x + 11 = 0  2x = - 11  x = - 5,5 Tập nghiệm của phương trình là S = {1 ; - 5,5}

Bài 3: Giải phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích: (x2 + 2x + 1) – 9 = 0

Giải: Ta có:

(x2 + 2x + 1) – 9 = 0  (x – 2)(x + 4) = 0  x – 2 = 0 hoặc x + 4 = 0 * x – 2 = 0  x = 2

Bài 16: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I Kiến thức cơ bản:

1 Phương trình bậc nhất một ẩn: Có dạng ax + b = 0 (a 0) với a,b là các số đã cho Nghiệm của phương trình là: x = -

* Ví du: 2x + 5 = 0 <=> 2x = 5 <=> x = 25

-2 Bất phương trình bậc nhất một ẩn:

ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b  0, ax + b  0) a 0

Nghiệm của bất phương trình là: ax + b > 0 <=> ax > -b <=> x > -

nếu a > 0 hoặc x < -

nếu a < 0 * Ví dụ: 2x + 3 > 0 <=> 2x > -3 <=> x > -

-2x + 3 > 0 <=> -2x > -3 <=> x < 23

3 Giá trị tuyệt đối:

a = a khi a  0 a = -a khi a < 0

Ví dụ: 6 = 6 ; 0 = 0 ; 3 = 3

4 Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:

ví dụ : Giải phương trình sau:

4 = 2x + 1 (1)

Giải:

Ta có: 4x = 4x khi 4x  0 <=> x  0 4x = - 4x khi 4x < 0 <=>x < 0

Trang 24

Ta giải hai phương trình sau: 1) 4x = 2x + 1 với điều kiện x  0

Ta có 4x = 2x + 1 <=> 4x - 2x = 1 <=> 2x = 1 <=> x = 0,5

Giá trị x = 0,5 thoả mãn điều kiện x  0, nên x = 0,5 là nghiệm của phương trình (1) 2) - 4x = 2x + 1 với điều kiện x < 0

Ta có -4x = 2x + 1 <=> -4x - 2x = 1 <=> -6x = 1 <=>x = 61 Giá trị x = -

thoả mãn điều kiện x < 0, nên 61

 là nghiệm của phương trình (1) Tâp nghiệm của phương trình (1) là S =

 ;0,561

Bài 1: Giải phương trình sau: x4 = 2x - 5 (2)

Giải

Ta có x4 = x + 4 khi x + 4  0 <=>x  - 4 x4 = -x - 4 khi x + 4 < 0 < = > x <- 4 Ta giải hai phương trình sau:

1) x + 4 = 2x-5 với điều kiện x  - 4

Ta có x + 4 = 2x - 5 < => x-2x = -5 – 4 <=> -x = -9 <=> x = 9

Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x  - 4, nên x = 9 là nghiệm của phương trình (2) 2) - x - 4 = 2x - 5 với điều kiện x < - 4

Ta có - x – 4 = 2x – 5 <=> -x – 2x = 4 – 5 <=> -3x = -1 <=> x = 31

Giá trị x =

không thỏa mãn điều kiện x < - 4, nên x = 31

không là nghiệm của (2) Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là: S =  9

Bài 2: Giải phương trình 5x = x + 8 (3)

Giải

Ta có 5x = -5x khi -5x  0 <=> x  0 5x = 5x khi -5x < 0 <=> x > 0 Ta giải hai phương trình sau:

1) -5x = x + 8 với điều kiện x  0

Ta có -5x= x + 8 <=> -5x – x = 8 <=> -6x = 8 <=> x = 43 Giá trị x = 4

Bài 3: Giải các phương trình sau 2 x 3= 2x - 3 (4)

Giải

Ta có: 2 x 3 = 2x - 3 khi 2x - 3  0 <=> x  1,5

Trang 25

2 x 3 = -2x + 3 khi 2x - 3 < 0 <=> x < 1,5 Ta giải hai phương trinh sau:

1) 2x - 3 = 2x - 3 với điều kiện x  1,5

Ta có 2x - 2x = -3 + 3 <=> 0x = 0 , ta thấy mọi giá tri của x  1,5 đều thoả mãn điều kiện của ẩn nên x  1,5 là nghiệm của phương trình (4)

2) -2x + 3 = 2x - 3 với điều kiện x <1,5

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT

2 Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0

* Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = 0

Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa về phương trình tích: A.B = 0 00

Ta có: ax2 + bx = 0

  

 

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2

*Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0  Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa phương trình về dạng x2 =

rồi giải

Ví dụ 2: Phương trình x2 + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0 Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0

Trang 26

Giải: 5x2 – 100 = 0  5x2 = 100  x2 = 20  x = 2 5Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 5; x2 = -2 5

Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c

Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số

a, b, c của phương trình đó: a) 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 b) 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 c) 7x2 + 2x = 3 + 2x d) 2 2x2  2x88

Giải :

a) Phương trình 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3

 6x2 + 2x – 3 - 4x2 - 3 = 0  2x2 + 2x - 6 = 0

Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6 c) Phương trình 7x2 + 2x = 3 + 2x

 7x2+2x -3 -2x = 0  7x2 – 3 = 0

Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3 d) Phương trình 2 2x2  2x88

 2 2x2  2x880  - 2 2 x2 + 2 x = 0



Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x = 52b) 5x2 - 15 = 0  5x2 = 15  x2 = 3  x =  3

Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 3 và x = - 3 c) x2 + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0

Vậy phương trình vô nghiệm

III Bài tập đề nghị

Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c của chúng

a) 2x2 + 5x + 1 = 0, b) 2x2 – 2x = 0 c)  3x2 = 0, d) 4x + 5 = 0

Giải

Trang 27

a, 2x2 + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1 b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0 c) 3x2 = 0 là phương trình bậc hai có a = - 3 , b = 0, c = 0 d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai

Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng ax2bx c  và giải các phương trình đó: 0a) 5x2 + 8 = x 2 ( 4x  2 ), b) 7x2 7x86x86

Giải

   

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Đối với phương trình ax2bx c  , 0 a 0 và biệt thức  b24ac

- Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

  

- Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

bxx

Trang 28

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m?

22

Trang 29

Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó

* Công thức nghiệm thu gọn:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) Đặt b = 2b' Ta có: '= b’2 – ac

(1) vô nghiệm <=> '< 0

(1) có nghiệm kép <=> '= 0; x1 = x2 =

(1) có hai nghiệm phân biệt <=> '> 0 x1 =

ab' '

; x2 =

ab' '

(1) có nghiệm <=> ' 0

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

10x2 + 6x + 1 = 0 (2)

Giải: Ta có: ' = 32 - 10.1 = - 1

' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm

; x2 =

x2 - 10x + 25 = 0 (4)

Giải: Ta có: ' = (-5)2 - 1 25 = 0

' = 0 => phương trình (4) có nghiệm kép:

x1 = x2 = 51

;

II Bài tập áp dụng:

Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong các phương trình sau:

a) 12x2 - 8x + 1 = 0 b) x2 - 2 3 x - 3 = 0 c) 5 x2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0 d) x2 - 5 5x - 7 = 6 -3 5x

Giải:

a) 12x2 - 8x + 1 = 0 Ta có: a = 12; b' = 42

; c = 1 b) x2 - 2 3 x - 3 = 0 Ta có: a = 1; b' = 3

; c = -3 c) 5 x2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0

Ta có: a = 5 ; b' = 2( 3 1) 2(1 3)2

;c = -2

d) x2 - 5 5x - 7 = 6 - 3 5x  x2 - 5 5x + 3 5x - 7 - 6 = 0  x2 - 2 5x - 13 = 0 Ta có: a = 1; b' = 5

; c = -13

Trang 30

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) -16x2 - 10x - 1 = 0 (5); b) 2x2 + 4x + 1 = 0 ( 6) c) 2 3 x2 - 4 ( 3 - 1)x - (2 3 + 4) = 0 (7);

Giải:

a) -16x2 - 10x - 1 = 0 ( 5) Ta có: ' = (-5)2 - (-16).(-1) = 25 - 16 = 9; '  9 3 ' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt:

x1 =

; x2 =

b) 4x2 + 4x + 1 = 0 ( 6) Ta có: ' = 22 - 4 1 = 0

' = 0 => phương trình (6) có nghiệm kép: x1 = x2 =

2 

c) 2 3 x2 - 4 ( 3 - 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7)

Ta có: ' = {2(1 - 3 )}2 - 2 3 (2 3 + 4) = 4 - 4 3 + 12 - 12 - 8 3 = 4 - 12 3 < 0 ' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm

Chú ý: Giáo viên dạy cần hướng dẫn học sinh biết kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay

Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 (8) a) Giải phương trình với m = 1

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt?

 'm = 52 - 1.(-75) = 100 => ' 10

Vậy m =5 hoặc m = -15 thì phương trình (9) có nghiệm kép

III Bài tập đề nghị:

Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu

gọn:

a) -x2 - 6( 3 2)x + 2- 3 = 0; b) - 5x2 - (2 3 2)x + 3 - 1 = 0; c) -x2 - 8( 3 2)x + 3- 5 = (2 3 4)x; d) x2 + ( 7 4)x + 7 - 1 = (4  7)x

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6); b) 25x2 - 16 = 0 (7)

Giải:

a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6) Ta có: ' = (-2)2 - (-1).5 = 4 + 5 = 9; '  9 3 ' > 0 => phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt:

Trang 31

b) 25x2 - 16 = 0; (7) Ta có: ' = 02 - 25.(-16) = 400 > 0

Vậy phương trình (7) có hai nghiệm: x1 =

; x2 =

 4m2 + 4 = 0 điều này vô lý vì: 4m2 + 4 > 0 Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với mọi m R

Bài 20: HỆ THỨC VI-ÉT I Kiến thức cơ bản:

* Định lý Vi-ét:

Nếu x1 và x2 là hai nghiệm (nghiệm kép hoặc hai nghiệm phân biệt) của phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) thì:

Ví dụ1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

x1 x2 =

b) 9x2 - 12x + 4 = 0 (a = 9; b = -12; c = 4)

Có '36360 => PT có nghiệm kép x1 = x2

x1 + x2 =

 và x1 x2 =

Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình:

x2 – 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12)

Giải:

Trang 32

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

xxx x

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1=-1, còn nghiệm kia là x2=

Ví dụ 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

=

b) x2 - 49x - 50 = 0 (a = 1; b = -49; c = -50)

Vì a - b + c = 1 – (-49) + (-50) = 1 + 49 – 50 = 0 Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = -

=

a) 7x2 - 9x + 2 = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = 0

Giải

Trang 33

a) 7x2 - 9x + 2 = 0 (a = 7; b = -9; c = 2)

Vì a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và x2 =

=

b) 23x2 - 9x - 32 = 0 (a = 23; b = -9; c = -32) Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0 Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = -

=

; x1.x2 = 1

b) 5x2 + x + 2 = 0 (a = 5; b = 1; c = 2) = b2 - 4ac = 12 – 4.5.2 = - 39 < 0 Vậy phương trình vô nghiệm => không tồn tại x1 + x2 và x1.x2 c) 16x2 - 8x + 1 = 0 (a = 16; b = -8; c = 1) = b2 - 4ac = (-8)2 – 4.16.1 = 0

=> x1 + x2 =

, x1.x2 =

Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) x2 - 10x + 21 = 0; b) x2 + x - 12 = 0 c) x2 + 7x + 12 = 0 d) x2 - 2x + m= 0

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Theo hệ thức Vi-ét ta tính:

x1 + x2 = ? ; x1.x2 = ? => x1 =?; x2 = ? Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

Hoặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x1 = -1, x2 =

Bài 3: Biết x1 là nghiệm của phương trình, tìm x2?

a) x2 + 2x – 35 = 0 ; x1 = 2; b) x2 - 7x – 144 = 0 ; x1 = - 9

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?

Trang 34

Theo hệ thức Vi-ét x1.x2 =

=> x2 = 1

= ?

Hoặc theo hệ thức Vi-ét x1 + x2 =

 => x2 =

 S

x2 =

Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1>0 => tồn tại hai số

Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm của phương trình: x2 - 3x + 2 = 0 Ta có: = S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1

x1 = 2

1)3( 

=1; x2 = 2

1)3( 

= 2 Bước 3 :Vậy hai số cần tìm là 1 và 2

Ví dụ 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 4 và tích là P = 5 Giải

S2 - 4P = 42 - 4.5= 16 – 20 = - 4 < 0 => không tồn tại hai số

 ; x2 = 1 5 22

  Vậy hai số cần tìm là 3 và -2

b) Ta có: S2 - 4P = (-5)2 - 4.6 = 1>0 => tồn tại hai số

Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương trình: x2 + 5x + 6 = 0 Ta có:  = S2 - 4P = 52 - 4.1.6 = 1;

x1 = 5 1 22

 

  ; x2 = 5 1 32

 

 

Trang 35

Vậy hai số cần tìm là -2 và -3

c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < 0 => không tồn tại hai số u và v

Bài tập 1:

a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là P = 231

b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là P = -105 c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích là P = 9

trong đó a, b N và b  0 Ví dụ:

; 3

14; 8 là các phân số - Phân thức đại số là biểu thức dạng

, trong đó A,B là những đa thức và B(x) 0

Ví dụ :

3;

 2

;

75 2

là các phân thức

- Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phân thức là tập các giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0 - Phân thức

có ĐKXĐ là tập các giá trị của x sao cho B(x)  0

- ĐKXĐ của một phương trình là tập các giá trị của biến làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: a)

Giải:

a) Phân thức 52

có nghĩa khi x - 5 0 hay x 5

b) Phân thức

có nghĩa khi 16 y2 - 9 0 hay ( 4y + 3) (4y – 3) 0

Suy ra y 43

Trang 36

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau: a)

b) xx

Giải:

a) Ta thấy x - 10 khi x 1 và x + 10 khi x  -1 Vậy ĐKXĐ của phương trình

là x 2

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức

a) 13

( ĐKXĐ của phân thức 13

là 3a + 10  a  31

)

b)

( Phân thức

xác định khi 6x + 180 hay x  -3)

Bài 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a)

ĐKXĐ: 

b)

ĐKXĐ:



x1

xx   3

ĐKXĐ: 

Bài 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

b)

x d) 1 330316

Hướng dẫn:

Bài 1 : a) x 0b) x  1,

Trang 37

c) Ta có: (x - 1)(x - 2)  0  x – 1 ≠ 0 và x – 2  0 Vậy với điều kiện x ≠ 1 và x  2 thì M xác định Bài 2:

- Cách tìm điều kiện xác định của phương trình

2 Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình; + Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức; + Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được;

+ Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho

3 Các dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Dạng 1: Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 ( a0)  x = -

Ví dụ: Giải phương trình:

248

(1)

Giải: Điều kiện xác định của phương trình (1) là: x + 4  0  x  -4 Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được:

x - 8 = 2(x + 4)  x - 8 = 2x + 8  x - 2x = 8 + 8  -x = 16

 x = -16 ( Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy: x = -16 là nghiệm của phương trình đã cho

Dạng 2: Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc hai một ẩn: ax2+ bx + c = 0 (a 0)

Giải: Điều kiện x  3

Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được:

Trang 38

Giải ra ta có x  (thỏa mãn điều kiện) 1 1

x  (không thỏa mãn điều kiện) 2 3Vậy phương trình có một nghiệm là x  1

II Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình:

(1)

Giải: Điều kiện xác định của phương trình (1) là: x - 1 0  x 1Quy đồng, khử mẫu hai vế ta được:

x + 2 = 4(x – 1)  x + 2 = 4x - 4  x - 4x = -4 - 2  - 3x = -6

 x = 2 ( Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy: x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 2: Giải phương trình:

 -2 = 6x2 + 4x – 3x - 2  6x2 + x = 0

 x( 6x + 1) = 0

 x = 0 ( thoả mãn ĐKXĐ) hoặc x =

( Thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy: Phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 0; x = 2

xx   3

Giải

xx   3

Điều kiện xác định: x 3; x 3 Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được: 4 = x2 – 9 + x +3  x2 + x - 20 = 0

= 81 > 0;  = 9

 x1 = 4 ( thoả mãn ĐKXĐ) x2 = -5 ( thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 4; x2 = - 5

Trang 39

III Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình:

xHướng dẫn:

- Tìm ĐKXĐ: 2x – 1 0 x + 5 0

- Quy đồng mẫu và khử mẫu đưa phương trình về dạng ax = -b  x = ? ( đối chiếu ĐKXĐ) rồi kết luận nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

- Tìm ĐKXĐ

- Quy đồng mẫu và khử mẫu, đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 - Giải phương trình;

- Đối chiếu giá trị tìm được của x với ĐKXĐ Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình đã cho

Bài 24: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG I Kiến thức cơ bản

Cả hai giá trị 1 1; 2 19

t  t  đều thỏa mãn điều kiện t 0* Với t = t1 = 1 ta có x2 = 1 x1 1,x2  1

* Với t = 91

1 1; 2 1; 3 1; 4 1

x   x  x   x 

Trang 40

Chú ý : Có thể giải bài toán trên bằng cách đưa ra nhận xét:

Vế trái 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5  1,5, còn vế phải bằng 0 Vậy phương trình (3) vô nghiệm

Bài 2: Giải phương trình: 5x42x216 10 x2 (5)

Giá trị t1 = 2 thỏa mãn điều kiện t 0

Giá trị t2 = -2 không thỏa mãn điều kiện t 0* Với t = t1 = 2, ta có x2 = 2 x1   2, x2  2

Vậy phương trình (5) có hai nghiệm: x1   2, x2  2

1 2

1  

Cả hai giá trị 1 1; 2 13

t   t   đều không thỏa mãn điều kiện t 0Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Bài 2: Giải phương trình: x45x2  (3) 4 0