ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I/ Lý thuyết 1/ Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động. Nếu hành động 1 có m 1 cách thực hiện, hành động 2 có m 2 cách thực hiện, , hành động thứ n có m n cách thực hiện; các cách thực hiện của hành động thứ k không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ p. Vậy công việc đó được hoàn thành bởi m 1 +m 2 + +m n cách thực hiện. ( 1 2 ; ; ; ; ; ; n n m m m k p∀ ∈¥ ) 2/ Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động liên tiếp. Nếu hành động 1 có m 1 cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động 1 có m 2 cách thực hiện hành động 2, , ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ 1;2; ;n-1 có m n cách thực hiện hành động thứ n. Vậy công việc đó được hoàn thành bởi (m 1 .m 2 m n ) cách thực hiện. ( 1 2 ; ; ; ; n n m m m∀ ∈¥ ) 3/ Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử; n ≥ 1. Một chỉnh hợp chập k các phần tử của A là một cách sắp xếp k phần tử khác nhau của A; 1 ;k n k≤ ≤ ∈¥ . • Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: ! ( )! k n n A n k = − 4/ Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một hoán vị n phần tử của A là một chỉnh hợp chập n các phần tử của A (Hay một cách sắp xếp thứ tự các n phần tử của A). • Số các hoán vị n phần tử của A: ! n n n P A n= = 5/ Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một tổ hợp chập k các phần tử của A là một tập hợp con của A có k phần tử ; 0 ;k n k≤ ≤ ∈¥ . • Số các tổ hợp chập k của n phần tử: ! !.( )! k n n C k n k = − 6/ Vài tính chất quan trọng của P n ; A n k ; C n k • k k n n k A C P = • k n k n n C C − = • 1 1 1 k k k n n n C C C − − − = + • 1 1 . . (1 ; ; ; 1) k k n n k C n C k n k n N n − − = ≤ ≤ ∈ ∈ > ¥ • 2 2 .( 1). .( 1). ; ; ;2 k k n n k k C n n C k n k n − − − = − ∀ ∈ ≤ ≤¥ • 3 3 .( 1)( 2). .( 1)( 2). ; ; ;3 k k n n k k k C n n n C k n k n − − − − = − − ∀ ∈ ≤ ≤¥ • 1 * 1 1 1 . . ( ;0 ; 1 1 k k n n C C k k n n k n + + = ∀ ∈ ≤ ≤ ∈ + + ¥ ¥ 7/ Nhị thức Niu-tơn * Công thức Nhị thức Niu - tơn 0 1 1 2 2 2 ( ) . . . . . . . . n n n n k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b − − − + = + + + + + + 0 . . n k n k k n k C a b − = = ∑ (*) * ( )n∀ ∈¥ • Ta cũng có thể khai triển: 1 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 0 1 1 2 2 2 ( ) . . . . . . . . n n n n k n k k n n n n n n n a b C b C b a C b a C b a C a − − − + = + + + + + + 0 . . n k k n k n k C a b − = = ∑ (**) * ( )n∀ ∈¥ • Từ công thức (*) ta có một số đẳng thức sau: • 0 1 * 2 k n n n n n n C C C C n+ + + + + = ∀ ∈¥ • 0 1 * ( 1) . ( 1) . k k n n n n n n C C C C n− + + − + + − = ∀ ∈¥ • 2 2 2 0 (1 ) . n n k k n k x x C = + = ∑ ; 2 2 2 0 (1 ) ( 1) . n n k k k n k x x C = − = − ∑ • 2 2 1 2 1 0 (1 ) . n n k k n k x x C + + = + = ∑ ; 2 2 1 2 1 0 (1 ) ( 1) . n n k k k n k x x C + + = − = − ∑ II/ Tài liệu tham khảo số 1 Một số dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn ( Trích Báo THTT – số 4/2008) DẠNG 1: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG 1/ Ví dụ 1: Rút gọn: 0 1 2 3 * n n n n S = C + C C + + ( 1) C ; 0 ; ;n k k k n C k n k − − − ≤ ≤ ∈ ∈ ¥ ¥ • Nếu k<n thì ta có 0 0 1 1 2 2 3 1 * 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 S = ( C ) + ( C ) ( C ) + + ( 1) ( C );0 ; ;n k k k k n n n n n C C C C C k n k − − − − − − − − − − + + − + − + ≤ ≤ ∈ ∈ ¥ ¥ • Rút gọn suy ra: 1 ( 1) . k k k n S C − = − • Nếu k = n thì 0 1 2 3 n n n n S = C + C C + + ( 1) C 0 n n k n C − − − = 2/ Ví dụ 2: Tính S = 1 3 4 2 1 4 4 4 4 n n n n n C C C C − + + + + • Áp dụng công thức k n k n n C C − = ta có: 1 4 1 3 4 3 2 1 2 1 4 4 4 4 4 4 ; ; ; n n n n n n n n n n C C C C C C − − − + = = = • Vì vậy S = 4 1 4 3 2 1 4 4 4 n n n n n n C C C − − + + + + • Suy ra 2S = 1 3 4 2 1 2 1 4 1 4 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C − + − + + + + + + + = − − 4 2 2 n S − ⇒ = 3/ Ví dụ 3: (Sử dụng phép tính đạp hàm) Tính 0 1 2 2 3 ( 1) .( 1) ; n n n n n n S C C C n C n = − + − + − + ∈ ¥ • Xét đa thức f(x) = x(1+x) n = 0 1 2 2 3 1 * n n n C + C + + C ; n n n n C x x x x + + ∈ ¥ D=R • Ta có ' ( )f x = 0 1 2 2 1 n n n C .2 + C 3 + + C .( 1) (1 ) (1 ) n n n n n C x x n x x nx x − + + = + + + ' ( 1)f⇒ − = 0 1 2 ' 2 3 ( 1) .( 1) ( 1) 0 n n n n n n C C C n C f − + − + − + = − = *** Lưu ý: Để tính các tổng 0 1 2 2 1 2 3 ( 1) ; n n n n n n S C aC a C n a C = + + + + + 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 3 5 (2 1) ; n n n n n n S C a C a C n a C = + + + + + 1 3 3 5 5 2 1 2 1 3 2 2 2 2 2 4 6 2 ; n n n n n n S aC a C a C na C − − = + + + + Ta xét đa thức f(x) = x(1+x) n và chứng tỏ rằng S 1 =f ’ (a); xét đa thức g(x) = x(1+x) 2n và chứng tỏ rằng 2S 2 =g ’ (a)+g ’ (-a); 2S 3 =g ’ (a)-g ’ (-a) 4/ Ví dụ 4: ( Sử dụng phép tính tích phân) Tính 0 1 2 * 1 1 1 1 . . . ; 2 3 1 n n n n n S C C C C n n = + + + + ∈ + ¥ • Xét đa thức f(x) = 0 1 2 2 * (1 ) . . . ; n n n n n n n x C x C x C x C x n+ = + + + + ∀ ∈ ∈ ¥¡ 2 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP • Suy ra 1 0 ( )f x dx = ∫ 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 1 . . . 0 2 3 1 1 1 n n n n n n n x C C C C S S n n n + + + − + + + + = ⇒ = = + + + *** Lưu ý: Để tính các tổng 2 2 3 3 1 1 0 1 2 * ( ) . . . ; 2 3 1 n n n n n n n b a b a b a S b a C C C C n n + + − − − = − + + + + ∈ + ¥ Hãy chứng tỏ rằng S = ( ) ; ( ) (1 ) b n a f x dx f x x= + ∫ Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0 hoặc 1; -1. Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức g(x) = x k .(1+x) n với k = 1; 2; 3; DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP 5/ Ví dụ 5: CMR 0 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k n n n n n n n C C C C C+ + + + + = • Ta có (x+1) n .(1+x) n = (x+1) 2n (1) • VT(1) = 0 1 1 2 2 0 1 2 2 ( . . . ).( . . . ) n n n n n n n n n n n n n n x C x C x C C C x C x C x C − − + + + + + + + + Từ đó suy ra hệ số của x 2n trong khai triển VT(1) là : 0 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k n n n n n C C C C+ + + + + • Còn hệ số của x 2n trong khai triển ở VP(1) là 2 n n C= . Vậy suy ra đpcm. *** Lưu ý: Khi xét đẳng thức (x+1) n .(1+x) m = (x+1) n+m (2). Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để viết cả 2 vế thành đa thức của ẩn x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong 2 vế, ta có thể viết ra được nhiều hệ thức về tổ hợp. DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP 6/ Ví dụ 6: Giải phương trình 3 1 3 2 1 1 6 2 3 3 159 x x x x x A C C x P − − + − + − = + + • ĐK: 3;x x≥ ∈¥ • Với đk trên pt đã cho 2 ! 2( 1)! 3( 1)! 3 6! 159 ( 3)! 2!( 1)! 2!( 3)! x x x x x x x + − ⇔ + − = + + − − − 2 2 3 ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 20 3 879 2 ( 12)(2 11 147) 0 12 (tm) x x x x x x x x x x x x ⇔ − − + + − − − = + ⇔ − + + = ⇔ = *** Lưu ý: Khi giải pt tổ hợp ta làm như sau: đặt điều kiện cho ẩn số; sử dụng các công thức về hoán vị; chỉnh hợp; tổ hợp để biến đổi, rút gọn và giải pt; đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán để kết luận. Tương tự như vậy khi giải bất phương trình 7/ Ví dụ 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp lập thành một CSC trong dãy số sau: 0 1 23 23 23 23 ; ; ;C C C • Giả sử 3 số hạng liên tiếp trong dãy trên lập thành CSC là: 1 2 23 23 23 ; ; n n n C C C + + 2 1 23 23 23 2 n n n C C C + + ⇔ + = 1 1 2 1 23 23 23 23 23 2 1 25 23 4 4 n n n n n n n C C C C C C C + + + + + + ⇔ + + + = ⇔ = 25! 4.23! ( 2)!(23 )! ( 1)!(22 )!n n n n ⇔ = + − + − ( 2)(23 ) 150n n⇔ + − = 8 23 n n =  ⇔  =  • Vậy ba số hạng cần tìm là: 8 9 10 23 23 23 ; ;C C C và 13 14 15 23 23 23 ; ;C C C 3 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP DẠNG 4: BÀI TOÁN TÍNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC 8/ Ví dụ 8: Tính số hạng không chứa x trong P(x) = 3 2 ( ) n x x + biết n thỏa mãn: 6 7 8 9 8 2 3 3 2 n n n n n C C C C C + + + + = (1) • Từ (1) ta có: 6 7 7 8 8 9 8 7 8 9 8 2 1 1 1 2 2( ) ( ) 2 2 2 n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C + + + + + + + + + + = ⇔ + + = 9 8 3 2 3 2 2 15 9 n n n C C n + + + ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = • Khi đó P(x) = 30 5 15 15 15 15 3 3 6 15. 15. 0 0 2 2 ( ) .( ) .( ) .2 . k k k k k k k k x C x C x x x − − = = + = = ∑ ∑ • Số hạng không chứa x tương ứng với 30 5 0 6 (tm) 6 k k − = ⇔ = • Vậy số hạng phải tìm là: 6 6 15 2 320.320C = *** Lưu ý: Tính hệ số của số hạng chứa x p (p là một số cho trước) trong khai triển f(x) = (u(x)+v(x)) n , ta làm như sau: Viết f(x) = ( ) 0 . n g k k k a x = ∑ ; số hạng chứa x p ứng với g(k) = p; giải pt ta tìm được k. Nếu k là số tự nhiên và nhỏ hơn hoặc bằng n thì hệ số phải tìm là a k . Nếu k N∉ hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa x p , hệ số phải tìm bằng 0. 9/ Ví dụ 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức P(x) = (2x+1) 13 = a 0 .x 13 + a 1 .x 12 + +a 12 .x + a 13 • Ta có P(x) = (2x+1) 13 = 13 13 13 13 13 13 13 0 0 .(2 ) .2 . n n n n n n n C x C x − − − = = = ∑ ∑ • Vậy a n = 13 1 14 13 1 13 .2 .2 ( 1;2; 13) n n n n n C a C n − − − − ⇒ = = • Xét bất pt: a n-1 ≤ a n 2.13! 13! 2 1 14 4 ( 1)!.(14 )! !.(13 )! 14 3 n n n n n n n n ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇒ ≤ − − − − Vậy ta có a n-1 ≤ a n đúng khi n { } 1;2;3;4∈ ;và dấu bằng không xảy ra; suy ra { } 1 14 5; ;13 3 n n a a n n − > ⇔ > ⇔ ∈ Ta được: a 0 <a 1 <a 2 <a 3 <a 4 và a 4 >a 5 > >a 13 . Vậy max(a n ) = a 4 = 4 9 13 .2 366080C = . *** Lưu ý: Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax+b) m thành đa thức, ta làm như sau: Tính hệ số của số hạng tổng quát a n ; giải bất pt: a n-1 ≤ a n với ẩn n; hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên n lớn nhất thỏa mãn bất pt trên. III/ Tài liệu tham khảo số 2 Một cách khác giải quyết các bài toán liên quan đến nhị thức Niu – tơn ( Trích KNSK 2010 – GV: Lưu Hải Vĩnh – Trường THPT Ninh Giang) DẠNG 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (I) Bài toán mở đầu: Tính tổng: 1 2 3 n * n n n n S = C + 2C +3C + + nC ; n ∈ ¥ (1) Giải • Cách giải thứ nhất:  Chúng ta đã biết bài toán này được giải quyết theo phương pháp đạo hàm. 4 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP  Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức cần tính để đưa ra nhị thức Niu - tơn thích hợp.  Cụ thể: Ta có 0 1 2 2 * (1 ) . . . ; n n n n n n n x C x C x C x C x n+ = + + + + ∀ ∈ ∈ ¥¡ Đạo hàm bậc nhất hai vế; suy ra: 1 1 2 1 * .(1 ) 1. 2 . . ; n n n n n n n x C x C nx C x n − − + = + + + ∀ ∈ ∈¥¡ Cho x = 1 ta được: 1 1 2 * .(1 1) 1. 2. . ; n n n n n n C C n C n − + = + + + ∀ ∈¥ Từ đó suy ra: 1 2 1 * 1. 2. . .2 ; n n n n n S C C n C n n − = + + + = ∀ ∈¥ • Cách giải thứ hai:  Áp dụng công thức: * ; 0 ; ; k n k n n C C k n k n − = ∀ ≤ ≤ ∈ ∈¥ ¥ ta được 0 1 2 n 1 * n n n S = . ( 1).C + ( 2).C + +1.C ; n n n C n n − + − − ∈ ¥ (2)  Khi đó; từ (1) và (2) suy ra: 0 1 2 n * n n n 0 1 2 n n n n 1 * 2S = . .C + .C + + .C ; n 2 .( C + C + + C ) 2 .2 .2 ; n n n n n n C n n n S n C S n S n − + ∈ ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ∀ ∈ ¥ ¥ • Cách giải thứ ba:  Ta xác định số hạng tổng quát trong biểu thức cần tính; đó là: * * . ( ; ; ) k n k C k n k n≤ ∈ ∈¥ ¥  Theo công thức (1) ta có: 1 * * 1 . ( ; ; ) k k n n k C nC k k n n − − = ∀ ∈ ≤ ∈¥ ¥  Khi đó: 0 1 1 * 1 1 1 0 1 1 1 1 1 . . . ; ( ) n n n n n n n n S n C n C n C n S n C C C − − − − − − − − = + + + ∀ ∈ ⇒ = + + + ¥ 1 1 * (1 1) .2 ; n n S n n n − − ⇒ = + = ∀ ∈¥ ***Bình luận: • Cách giải thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh thường lúng túng khi đưa ra nhị thức Niu- tơn cần khai triển để áp dụng, nhất là đối với các tổng phức tạp hơn cần sử dụng đạo hàm bậc hai, bậc ba Mặt khác trong chương trình học: bài "Nhị thức Niu - tơn" học trước chương " Đạo hàm". • Cách giải thứ hai: không là cách giải tổng quát cho tất cả các bài tương tự. • Cách giải thứ ba:  Phù hợp với nội dung chương trình đang học.  Tự nhiên hơn.  Áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn. • Sau đây là một số bài tập được giải quyết nhờ công thức (I); (II). Bài 1: Tính các tổng sau: a/ ( ) 1 1 2 3 1 2. 3. 1 . . ; ; 1 n n n n n n S C C C n C n n − = − + − + − ∈ >¥ b/ 0 1 2 2 2 3 ( 1) ; ; 1 n n n n n S C C C n C n n = + + + + + ∈ > ¥ 5 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP c/ 2 3 4 * 3 2 3 ( 1) ; ; 2 n n n n n S C C C n C n n = + + + + − ∈ ≥ ¥ d/ 1 0 2 1 3 2 2 1 1 4 .2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . 3 . ; ; 1 n n n n n n n n n S n C n C n C C n n − − − − − = + − + − + + ∈ >¥ e/ 3 0 4 1 2012 2009 5 2009 2009 2009 4.5 . 5.5 . 2013.5 .S C C C = + + + Giải a/ ( ) 1 1 2 3 1 2. 3. 1 . . n n n n n n S C C C n C − = − + − + −  Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S 1 ; cụ thể là: . ( ;1 ) k n k C k k n∀ ∈ ≤ ≤¥  Theo công thức (I) ta có: 1 1 . ( ;1 ) k k n n k C nC k k n − − = ∀ ∈ ≤ ≤¥  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được: 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) . . ( 1) . . n n k k k k n n k k S k C n C − − − − = = ⇒ = − = − ∑ ∑ 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ( 1) . ) .(1 1) 0; ; 1 n n n n n n n S n C C C C S n n n − − − − − − − ⇒ = − + − + − ⇒ = − = ∀ ∈ >¥ • Tương tự với các tổng còn lại; b/ 0 1 2 * 2 2 3 ( 1) ; n n n n n S C C C n C n = + + + + + ∈ ¥ 0 2 0 1 0 ( 1). 0. . n n n k k k n n n n k k k S k C C k C C = = = ⇒ = + = + + ∑ ∑ ∑ 1 2 1 0 . n n k k n n k k S n C C − − = ⇒ = + ∑ ∑ 1 2 1 2 .2 2 ( 2).2 ; ; 1 n n n S n S n n n − − ⇒ = + ⇒ = + ∀ ∈ >¥ c/ 2 3 4 * 3 2 3 ( 1) ; ; 2 n n n n n S C C C n C n n = + + + + − ∈ ≥ ¥ 3 2 2 2 ( 1). . n n n k k k n n n k k k S k C k C C = = = ⇒ = − = − ∑ ∑ ∑ 1 0 1 3 1 0 . n n k k n n n n n k k S k C C C C C = = ⇒ = − − + + ∑ ∑ 1 1 0 1 3 1 1 0 . n n k k n n n n n k k S nC C C C C − − = = ⇒ = − − + + ∑ ∑ 1 3 1 3 .2 2 1 ( 2).2 1; ; 2 n n n S n S n n n − − ⇒ = − + ⇒ = − + ∀ ∈ ≥¥ d/ 1 0 2 1 3 2 2 1 1 * 4 .2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . 3 . ; n n n n n n n n n S n C n C n C C n − − − − − = + − + − + + ∈¥ 1 1 1 1 4 0 0 ( ).2 .3 . 2 .3 .( ). n n n k k k n k k n k n n k k S n k C n k C − − − − − − − = = ⇒ = − = − ∑ ∑ 1 1 1 4 1 0 2 .3 . . n n k k n k n k S n C − − − − − − = ⇒ = ∑ 6 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 0 1 2 2 2 0 1 0 4 1 1 1 1 4 1 4 (2 .3 . 2 .3 . 2 .3 . ) .(2 3) .5 ; ; 1 n n n n n n n n n n S n C C C S n S n n n − − − − − − − − − − ⇒ = + + + ⇒ = + ⇒ = ∀ ∈ >¥ e/ 3 0 4 1 2012 2009 5 2009 2009 2009 4.5 . 5.5 . 2013.5 .S C C C = + + + 2009 2009 2009 3 3 3 5 2009 2009 2009 0 0 0 2009 2009 3 3 5 2009 2009 0 0 2009 2009 0 3 0 4 1 1 3 5 2009 2008 2009 1 0 5 ( 4).5 . .5 . 4.5 . 5 . . 4.5 . 5 .0. 5 .5 .2009. 4.5 .5 . 2009.5 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k S k C k C C S k C C S C C C S + + + = = = + + = = + − − = = ⇒ = + = + ⇒ = + ⇒ = + + ⇒ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 4 0 0 1 1 2008 2008 2008 2008 2008 3 0 0 1 1 2009 2009 2009 2009 2009 4 2008 3 2009 5 3 2008 5 .(5 5 5 ) 4.5 .(5 5 5 ) 2009.5 .6 4.5 .6 10069.5 .6 C C C C C C S S + + + + + + + + ⇒ = + ⇒ = *** Nhận xét: • Như vậy ta có thể tính tổng bất kỳ dạng: 1 * 0 ( . ). . . ( ; ; ; ; ; ) n n k k m k n k S k a b C k k n n m α β α β − − + = = + ∈ ∈ ≤ ∈ ∈ ∑ ¥ ¥ ¥¡ Dựa vào đó người giáo viên có thể ra nhiều bài tập tương tự, để làm phong phú hơn bài giảng của mình, nhằm giúp học sinh hiểu bài hơn và áp dụng tốt vào các dạng bài tập tương tự. • Giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như: chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức • Nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu thức của k dưới dạng bậc hai hoặc bậc ba của k thì ta giải quyết như thế nào? *** Từ công thức (I); ta suy ra các công thức sau: 1/ 2 2 .( 1). .( 1). ; ; ;2 k k n n k k C n n C k n k n − − − = − ∀ ∈ ≤ ≤¥ (I A ) 2/ 3 3 .( 1)( 2). .( 1)( 2). ; ; ;3 k k n n k k k C n n n C k n k n − − − − = − − ∀ ∈ ≤ ≤¥ (I B ) Chứng minh: 1/ 1 1 .( 1). ( 1). . .( 1). k k k n n n k k C k k C n k C − − − = − = − 2 2 .( 1). ; ;2 k n n n C k n k n − − = − ∀ ∈ ≤ ≤¥ 2/ Tương tự (dành cho bạn đọc) Bài 2: Tính các tổng sau a/ 2 3 6 1.2. 2.3. ( 1). . ; 2 n n n n S C C n n C n n= + + + − ∈ >¥ b/ 2 3 1 1 2 2 7 .( 1).3 . ( 1).( 2).3 .4 2.1.4 . ; 2 n n n n n n n n S n n C n n C C n n − − − − = − + − − + + ∈ >¥ c/ 2 1 2 2 2 3 2 8 1 . 2 . 3 . . ; 2 n n n n n S C C C n C n n= + + + + ∈ >¥ d/ 1 2 2 4 3 4022 2012 9 2012 2012 2012 2012 1.2. 3.4.2 . 5.6.2 . 4023.4024.2 .S C C C C= + + + + Giải a/ 2 3 6 1.2. 2.3. ( 1). . ; 2 n n n n S C C n n C n n= + + + − ∈ >¥  Bước thứ nhất, ta cũng hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S 6 ; cụ thể là: ( 1). . ( ;2 ) k n k k C k k n− ∀ ∈ ≤ ≤¥  Theo công thức (I A ) ta có: 7 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 2 2 .( 1). .( 1). ( ;2 ) k k n n k k C n n C k k n − − − = − ∀ ∈ ≤ ≤¥  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được: 2 6 2 2 2 ( 1). ( 1). . n n k k n n k k S k kC n n C − − = = ⇒ = − = − ∑ ∑ 0 1 2 2 6 2 2 2 2 2 2 6 .( 1)( ) .( 1)(1 1) .( 1).2 ; ; 2 n n n n n n n S n n C C C C S n n n n n n − − − − − − − ⇒ = − + + + + ⇒ = − + = − ∀ ∈ >¥ • Tương tự với các tổng còn lại; b/ 2 3 1 1 2 2 7 .( 1).3 . ( 1).( 2).3 .4 2.1.4 . ; 2 n n n n n n n n S n n C n n C C n n − − − − = − + − − + + ∈ >¥ 2 2 7 2 2 .( 1).4 .3 . 4 .3 . .( 1). n n n k k k n k k n n n k k S k k C k k C − − − − = = ⇒ = − = − ∑ ∑ 2 2 7 2 2 4 .3 . ( 1). n n k k k n k S n n C − − − − = ⇒ = − ∑ 2 0 0 3 1 1 0 2 2 7 2 2 2 .( 1).(4 .3 . 4 .3. 4 .3 . ) n n n n n n n S n n C C C − − − − − − − ⇒ = − + + + 2 2 7 .( 1).(4 3) ( 1).7 2; n n S n n n n n n − − ⇒ = − + = − ∀ > ∈¥ c/ 2 1 2 2 2 3 2 8 1 . 2 . 3 . . ; 2 n n n n n S C C C n C n n= + + + + ∈ >¥  Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là: 2 . ;1 ; 2 k n k C k k n n∀ ∈ ≤ ≤ >¥  Theo công thức (I A ) ta có: 2 . .( 1) . .( 1). . ;2 ; 2 k k k k n n n n k C k k k C k k C k C k k n n= − + = − + ∀ ∈ ≤ ≤ >     ¥ 2 2 1 2 1 . .( 1). . ;2 ; 2 k k k n n n k C n n C n C k k n n − − − − ⇒ = − + ∀ ∈ ≤ ≤ >¥  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được: 2 1 0 1 2 1 2 1 8 2 2 2 1 1 1 1 . .( 1).( ) ( ) ; 2 n n n n n n n n n S C n n C C C n C C C n n − − − − − − − − ⇒ = + − + + + + + + + ∈ >¥ 0 1 2 0 1 2 1 8 2 2 2 1 1 1 1 .( 1).( ) ( ) ; 2 n n n n n n n n n S n n C C C n C C C C n n − − − − − − − − − ⇒ = − + + + + + + + + ∈ >¥ ( Do 2 1 0 1 1 . . n n C n n C − = = ) 2 1 2 8 .( 1).2 .2 .( 1).2 ; 2 n n n S n n n n n n n − − − ⇒ = − + = + ∀ ∈ >¥ d/ 1 2 2 4 3 4022 2012 9 2012 2012 2012 2012 1.2. 3.4.2 . 5.6.2 . 4023.4024.2 .S C C C C= + + + +  Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là: 2 1 2012 (2 1).(2 2).2 . ; 2011 k k k k C k k + + + ∀ ∈ ≤¥  Theo công thức (I A ) ta có: 2 1 2 2012 2011 (2 1).(2 2).2 . 2.(2 1).2 .2012. k k k k k k C k C + + + = + 2 2011 2011 2.2 .2012.(2. . ) ; 2011 k k k k C C k k= + ∀ ∈ ≤¥ 2 1 2010 2011 2 2 1 2 2010 2011 2.2 .2012.(2.2011. ) 2 .2011.2012.2 . 2.2012.2 . ( ;1 2011) k k k k k k k C C C C k k − − = + = + ∀ ∈ ≤ ≤¥  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến 2011 ta được: 1 2 2 0 4 1 4022 2010 9 2012 2010 2010 2010 2 1 4 2 4022 2011 2011 2011 2011 1.2. 2 .2011.2012.(2 . 2 . 2 . ) 2.2012.(2 . 2 . 2 . ) S C C C C C C C = + + + + + + + + + 1 4 2 0 0 2 1 1 2 2010 2010 9 2012 2010 2010 2010 1 2 0 0 2 1 1 2 2011 2011 2 0 0 2011 2011 2011 2011 1.2. 2 .2011.2012. (2 ) . (2 ) . (2 ) . 2 .2012. (2 ) . (2 ) . (2 ) . (2 ) . S C C C C C C C C   ⇒ = + + + + +     + + + + −   8 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 4 2 2010 2 2011 9 2012 1.2. 2 .2011.2012.(2 1) 2.2012.(2 1) 2.2012S C⇒ = + + + + − 4 2010 2011 2011 9 9 2 .2011.2012.5 2.2012.5 4024.16093.5S S⇒ = + ⇒ = Bài 3: Tính các tổng sau a/ 3 4 10 1.2.3. 2.3.4. ( 2)( 1) . ; 3 n n n n S C C n n n C n n= + + + − − ∀ ∈ >¥ b/ 3 1 3 2 3 11 1 . 2 . . ; 3 n n n n S C C n C n n= + + + ∀ ∈ >¥ c/ 0 1 12 1.2.3. 2.3.4. ( 1) .( 1)( 2)( 3). n n n n n S C C n n n C= − + + − + + + ( ; 3)n n∀ ∈ >¥ Giải a/ 3 4 10 1.2.3. 2.3.4. ( 2)( 1) . ; 3 n n n n S C C n n n C n n= + + + − − ∀ ∈ >¥  Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S 10 ; cụ thể là: ( 2)( 1). . ( ;3 ) k n k k k C k k n− − ∀ ∈ ≤ ≤¥  Theo công thức (I B ) ta có: 3 3 .( 1).( 2) .( 1).( 2) ( ;3 ) k k n n k k k C n n n C k k n − − − − = − − ∀ ∈ ≤ ≤¥  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được: 3 10 3 3 3 ( 2)( 1). ( 2)( 1). . n n k k n n k k S k k kC n n n C − − = = ⇒ = − − = − − ∑ ∑ 0 1 2 3 10 3 3 3 3 3 3 10 .( 1)( 2)( ) .( 1)( 2)(1 1) .( 1).( 2)2 ; ; 3 n n n n n n n S n n n C C C C S n n n n n n n n − − − − − − − ⇒ = − − + + + + ⇒ = − − + = − − ∀ ∈ >¥ • Tương tự với các tổng còn lại; b/ 3 1 3 2 3 11 1 . 2 . . ; 3 n n n n S C C n C n n= + + + ∀ ∈ >¥  Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là: 3 . ;1 ; 3 k n k C k k n n∀ ∈ ≤ ≤ >¥  Theo công thức (I A ) và (I B ) ta có: 3 3 2 1 3 2 1 . .( 1)( 2) 3 .( 1) . .( 1).( 2) 3 .( 1) ( 1)( 2). 3 ( 1). . ( ;3 ; 3) k k n n k k k n n n k k k n n n k C k k k k k k C k k k C k k C kC n n n C n n C n C k k n n − − − − − − = − − + − +     = − − + − + = − − + − + ∀ ∈ ≤ ≤ >¥  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được: 3 1 3 2 0 1 3 11 3 3 3 1 2 2 2 3 1 2 2 2 1 1 1 1 . 2 . .( 1).( 2).( ) 3 ( 1)( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n S C C n n n C C C n n C C C n C C C − − − − − − − − − − − − ⇒ = + + − − + + + + + − + + + + + + + ( ; 3n n∈ >¥ ) 3 2 0 1 0 1 11 2 1 1 4 ( 1) .( 1)( 2).2 3 .( 1) 2 2 n n n n n n S n n n n n n n n C n C C − − − − − −     ⇒ = + − + − − + − − + − −     3 2 1 11 .( 1)( 2).2 3 .( 1).2 .2 n n n S n n n n n n − − − ⇒ = − − + − + 3 3 11 ( 3 ).2 3; n S n n n n − ⇒ = + ∀ > ∈¥ c/ 0 1 12 1.2.3. 2.3.4. ( 1) .( 1)( 2)( 3). n n n n n S C C n n n C= − + + − + + + ( ; 3)n n∀ ∈ >¥  Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là: ( 1)( 2)( 3).( 1) ; ; 3 k k n k k k C k k n n+ + + − ∀ ∈ ≤ >¥  Theo công thức (I A ) và (I B ) ta có: 9 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP ( 1)( 2)( 3).( 1) ( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) . 18 .( 1) . 6.( 1) . k k k k k k n n n k k k k n n k k k C k k k C k k C k C C + + + − = − − − + − − + + − + − 3 2 1 3 2 1 ( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) . 18 .( 1) . 6.( 1) . ( ;3 ; 3) k k k k k k k k n n n n n n n C n n C n C C k k n n − − − − − − = − − − + − − + − + − ∀ ∈ ≤ ≤ >¥ 3 3 2 2 1 1 3 2 1 ( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) . 18 .( 1) . 6.( 1) . ( ;3 ; 3) k k k k k k k k n n n n n n n C n n C n C C k k n n − − − − − − − − − = − − − − + − − − − + − ∀ ∈ ≤ ≤ >¥  Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được: 0 1 2 0 1 3 3 12 3 3 3 1 2 2 2 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 3 4 1.2.3. 2.3.4. 3.4.5. ( 1)( 2).( ( 1) . ) 9 ( 1).( ( 1) . ) 18 ( ( 1) . ) 6. ( 1) . n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n S C C C n n n C C C n n C C C n C C C C C C − − − − − − − − − − − − − − −   = − + − − − − + + − +       + − − + − + − − − + + − +      + − + − + −    3 2 0 12 2 1 0 1 0 1 2 1 1 6 24 30 ( 1) ( 1)( 2).(1 1) 9 ( 1) (1 1) 18 (1 1) 6 (1 1) n n n n n n n n n n S n n n n n n n n C n C C C C C − − − − − −   ⇒ = − + − − − − − + − − − −       − − − + + − − + −     12 6 24 30 ( 1) 9 ( 1) 18 18 .( 1) 6 6 3 ( 1)S n n n n n n n n n n n⇒ = − + − − − + − − − + − − 12 0 3;S n n⇒ = ∀ > ∈¥ *** Nhận xét: • Như vậy ta có thể sử dụng các công thức (I A ) và (I B ) cho các tổng; trong đó có số hạng tổng quát dạng : [ ] [ ] 2 3 2 1/ ( . . ). . ( 1) ( ). . 2 / ( . . . ). ( 1)( 2) ( 3) ( 1) ( 1). . ( ; ; ; ; ; ; ; 3) k k n n k k n n k k C k k k C k k k C k k k k k k C k k n n n α β γ α β α γ α β γ θ α β β θ α β γ θ + + = − + + + = + + + = − − + + − + + + = ∈ ∈ ≤ ∈ >¥ ¥¡ • Tương tự như bài tập 1; giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:Chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức • Và chúng ta đều nhận thấy rằng với cách giải các bài toán như trên giúp học sinh chủ động hơn trong quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn ra vấn đề tổng quát nhằm phát huy tính sáng tạo, chủ động của các em. Bài 4*: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 380/ 2009) Chứng minh rằng: a/ 2 * 0 (1 ) ( ) . . .(1 ) ; n k k n k n k k x x x C x x x n n n − = − − − = ∀ ∈ ∈ ∑ ¥¡ b/ [ ] * 0 1 . . .(1 ) 0;1 ; 2 n k k n k n k k x C x x x n n n − = − − ≤ ∀ ∈ ∈ ∑ ¥ Giải a/ 2 * 0 (1 ) ( ) . . .(1 ) ; n k k n k n k k x x x C x x x n n n − = − − − = ∀ ∈ ∈ ∑ ¥¡  Ta dễ dàng nhận ra: 2 2 2 2 ( ) . . .(1 ) ( 2 ). . .(1 ) k k n k k k n k n n k k k x C x x x x C x x n n n − − − − = − + − 2 ( ) . . .(1 ) k k n k n k x C x x n − ⇒ − − 2 2 1 1 ( 1) . .(1 ) . .(1 ) k k n k k k n k n n k k C x x kC x x n n − −     = − − + − −     10 [...]... bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho tổng của các chữ số là số chẵn b/ Có bao nhiêu tập con khác rỗng có ít hơn 52 phần tử của A có 100 phần tử Bài 64: 26 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP Từ 0;1; ;7 Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó chữ số 6 có mặt 4 lần; các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần Bài 65: Tính tổng các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ 1;2;3;5;6;8 Bài 66: Có... có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789 B/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ CÓ CHỮ SỐ 0 Bài 1: Cho A = {0;1;2; ;9} a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3 chữ số lẻ đứng... chữ số khác nhau m/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50.000 n/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt 1;6 và hai chữ số này không đứng cạnh nhau p/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước hoặc chữ số đứng liền sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước 22 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP Bài. .. DẠNG 4: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN A/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ KHÔNG CÓ SỐ 0 Bài 1: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7} a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4 c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ e/... nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2158 Bài 67: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số; trong đó có ba chữ số lẻ khác nhau; 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần Bài 68: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; sao cho 2 chữ số kề nhau không cùng là chữ số lẻ Bài 69: Cho 0;1; ;7.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn; có 6 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 4 Bài 70:... nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0 g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0 đứng liền nhau h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho tổng các chữ số lẻ i/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 4 k/ Có bao nhiêu số tự... tính tổng của các số tự nhiên đó Bài 2: Cho A = {1;3;4;5;7} Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó Bài 3: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3 chữ số lẻ đứng liền nhau c/ Có bao nhiêu số. .. hệ số trong khai triển (1+x2)n bằng 1024 Tìm hệ số của số hạng chứa x12 e/ Cho ( 4 n +1 n + x 5 ) n , biết Cn + 4 − Cn + 3 = 7(n + 3) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 3 x d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+2x)n bằng 6561 Tìm hệ số của số hạng chứa x4 Bài 3: a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong (1+x+x2+x3)5 8 b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong 1 + x 2 (1 − x)    c/ Tìm hệ số của số. .. 2 lg x ) có tổng các hệ số bằng 512 và số hạng thứ 7 bằng 28.3n Tìm n và x? 3 a b + 3 ) 21 có số hạng chứa a;b có số mũ của a và b bằng nhau Tìm số hạng đó d/ Cho ( 3 b a b/ Cho (2 Bài 5: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển a/ (1+2x)30 1 3 2 3 40 b/ ( + x) DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC Bài 1: Chứng minh rằng Bài 2: CMR 20 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1 a / Ann++k2... −1 = 6 : 5 : 2 Bài 4: Chứng minh rằng n n a / 2 An −1 + 2 An − 2 = 3Pn n 2 b / 8Cn − 2 + An = 5 Pn ( n − 2)! DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC Bài 1: 3 x a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong ( x − )10 19 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong ( x − 2 40 ) x2 5 c/ Tìm hệ số của số hạng chứa x43 trong (2 x + 1 3 x 2 ) 21 x y 10 d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x6.y2 . ! n n n P A n= = 5/ Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một tổ hợp chập k các phần tử của A là một tập hợp con của A có k phần tử ; 0 ;k n k≤ ≤ ∈¥ . • Số các tổ hợp chập k của n phần. = + = − DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC Bài 1: a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong 10 3 ( )x x − 19 ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 31 trong. + + + + II/ Một số bài tập nâng cao. Bài 1: Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: * 1 ;r n n≤ ≤ ∈¥ . Xét tất cả các tập con gồm r phần tử của tập hợp {1, 2, , n}. Mỗi tập con này đều