1 PHẦN 1.HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN 4 A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 I.HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4 B.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 13 C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 16 I.HỆ GỒM 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 16 II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17 III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29 IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 35 D. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 42 E.HÊ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 75 F.HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 92 PHẦN 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 103 PHẦN 3. TRẮC NGHIỆM 122 PHẦN 4. CÓ THỂ EM CHƢA BIẾT ? 133 PHẦN 5. PHỤ LỤC 137 Trang 2 A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. Hệ phương trình cổ điển: 1/ Phƣơng pháp: Hệ pt bậc nhất 2 ẩn có dạng: 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      * TH 1: a 1 = b 1 = a 2 = b 2 =0, ta có; 1 2 0 0 c c          * TH2: 2 1 2 2 1 1 2 2 0a b a b    . Tính: 11 22 ab D ab  ; 11 22 x cb D cb  ; 11 22 y ac D ac  + Nếu 0D  : hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: x y D x D D y D          + Nếu D = 0 0 x D  hay 0 y D  : hệ phương trình vô nghiệm. D x = D y = 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm: xR , được tính theo x 2/ Ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình: 6 3 2 5 11 4 2 4 2 11 xy yx xy yx              Đặt 21 , 11 xy uv yx    . Hệ đã cho trở thành 2 3 2 5 1 2 4 2 2 u uv uv v             Ta được hệ phương trình: 21 2 0 2 2 1 1 1 21 1 2 12 x x xy y xy y y x                            Vậy 1 0; 2 S        Đúng: hpt có vô số nghiệm ,x R y R    Sai: hpt vô nghiệm 3 VD2:Định m để hệ vô nghiệm       2 2 3 1 3 2 m x m y I m x y y                  2 2 3 1 3 22 m x m y I mx m y             Ta có         2 3 2 2 2 3 1 2 7 3 3 2 6 1 3 x D m m m m m m m D m m m              Hệ đã cho vô nghiệm     2 32 2 0 0 2 7 3 0 2 7 3 0 30 0 1 2 7 3 0 3 2 x D I D m m m m m m m m m m m m                               Vậy hệ vô nghiệm khi: 1 3 2 mm   VD3: định m để hệ có vô số nghiệm:   41 6 2 3 x my m m x y m              Ta có:            2 2 2 8 6 6 8 2 1 3 2 4 3 1 6 11 18 x y D m m m m D m m m m m D m m m m m                           Hệ có vô số nghiệm 0 0 0 x y D D D         2 2 2 68 24 2 2 1 2 29 11 18 mm mm m m m m m mm mm                                     Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2. VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm   2 2 1 x ay b ax a y b          Ta có: 2 2 12 1 0 2 1 0 1 2 D a a D a a a a              4 Thì hệ luôn có nghiệm Khi a = -1, hệ trở thành: 2 2 2 x y b x y b        Hệ có nghiệm 22 0 0 1b b b b b b           Khi 1 2 a  , hệ trở thành 2 2 xyb x y b       Hệ có nghiệm   2 1 2 2 1 0 0 2 b b b b b b          Vậy hệ có nghiệm với mọi a khi: 01 0 1 0 2 bb b bb               VD5: Giải và biện luận hệ phương trình sau:     11 11 a x by b x ay            Hệ tương đương: 11 11 ax a by ax by a bx b ay bx ay b                 Ta có:       22 1 x y D a b a b a b D a b a b D a b           Biện luận: 1/ 22 00D a b a b       Hệ có nghiệm duy nhất:       1 1 x y a b a b D x D a b a b D y D a b        2/ 0; 0; 0 xy a b D D D     * 0b  : Hệ có vô số nghiệm. 3/ ; 0; 2 y a b D D b     0; 0; 0 y b D D    hệ vô nghiệm 4/ 0. 0. 1 0: 0. 0. 1 xy ab xy        hệ vô nghiệm VD6: Tìm m để hệ phương trình ( 1) 8 4 ( 3) 3 1 m x y m mx m y m           có nghiệm duy nhất Hướng dẫn giải: Ta có: 1m D m   8 3m  2 ( 1)( 3) 8 4 3m m m m m       Hệ đã cho có nghiệm duy nhất 2 0 4 3 0D m m      5 1m và 3m  . VD7:Giải và biện luận hệ phương trình: 2 (1) 4 6(2) mx y m x my m        Hướng dẫn giải: Từ (1) suy ra 2y mx m , thay vào (2) ta được: 22 4 ( 2 ) 6 (4 ) 2 6x m mx m m m x m m          2 ( 4) ( 2)(2 3)m x m m     (3) i) 2 4 0 2mm     : Hệ có nghiệm duy nhất: 2 2 3 2 3 ; 2 2 2 2 2 m m m m x y mx m m m m m             ii) m=2: Hệ trở thành 24 24 4 2 8 xy xy xy         . Hệ có vô số nghiệm ( ;2 4);x x x R iii) m=-2:(3) trở thành 04x  :Hệ vô nghiệm. Bài tập củng cố: Bài 1:Giải hệ phƣơng trình: ( 3) 5) ) ( 2)( 5) 1 1 3 4 ) 1 1 2 6 5 15 x y xy a x y xy xy b xy                   c/ 5 4 3 7 9 8 xy xy      d/ 3 2 7 5 3 1 xy xy        e/ 3 2 1 2 2 3 0 xy xy          f 3( ) 7 55 3 xy xy xy yx              6 g/ 65 3 9 10 1 xy xy          h/ 62 3 22 34 1 22 x y x y x y x y              k/ 11 11 m x y x y n x y x y            j/ 41 3 1 22 4 1 xy xy            l/ 2 4 1 2 4 2 5 xy xy          Bài 2: Giải và biện luận hệ phƣơng trình: a) 2 42 x my mx y m        b) 2 7 4 2 5 3 1 36 xy xy mx y m           c/ 0 1 x my mx y m        d/ 2 3 5 ( 1) 0 ax y a x y        e/ 4 2 ( 1) mx y m x m y m          7 f/ 31 2 ( 1) 3 mx y m x m y          g/ 10 20 mx y x my          Bài 3:Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phƣơng trình sau là số dƣơng: 2 3 xy mx y      Bài 4: Cho hệ phƣơng trình: 2 1 mx y m x my m        a/ tìm m đễ hệ có nghiệm duy nhất. Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập với m. b/ Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên. Bài 5: Cho hệ phƣơng trình: 30 2 1 0 x my m mx y m           a/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất b/ gọi (x,y) là nhgiệm của hệ,tìm hệ thức liên hệ giữa x,y độc lập với m. Bài 6: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên 1/ 2 ( 1) ( 1) 1 mx y m m x m y         ; 2/ 22 22 ( 1) 1 mx y m m x y m           Bài 7: Định m để hệ sau có vô số nghiệm: 1/ 2( 2) (5 3) 2( 2) ( 2) 3 2 m x m y m m x my m             2/ 41 ( 6) 2 3 x my m m x y m            3/ 2 ( 1) 2 32 x m y mx y m          Bài 8: Cho 4 số a,b,p,q thỏa mãn abpq (p-q) khác 0. Hãy giải hệ phƣơng trình.         2 2 3 3 2 2 3 3 4 4 0 0 ap bq x ap bq y ap pq ap bq x ap bq y ap bq                  Bài 9: Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau: 1/ 5 4 3 7 9 8 xy xy      2/ 3 2 7 5 3 1 xy xy        3/ 3 2 1 2 2 3 0 xy xy          8 4/ 2 4 1 2 4 2 5 xy xy          5/ 41 3 1 22 4 1 xy xy            6/ 3( ) 7 55 3 xy xy xy yx              7/ 65 3 9 10 1 xy xy          8/ 62 3 22 34 1 22 x y x y x y x y              9/ 1 25 xa yx        10/ 11 11 m x y x y n x y x y            11/ 2 21 xy xy          Bài 10: Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc của ca nô( biết rằng vận tốc thật của ca nô và vận tốc dòng nước chảy trong cả hai lần là bằng nhau và không đổi) Bài 11 : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p ( mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng cách tăng một cạnh thêm 3 mét và cạnh kia thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 246 m 2 . Tính các kích thước của miếng đất đó ( biện luận theo p). Bài 12 : Giải và biện luận các hệ phương trình: 1/ 0 1 x my mx y m        2/ 2 3 5 ( 1) 0 ax y a x y        3/ 21 ( 1) ax y x a y a        4/ ( 2) ( 4) 2 ( 1) (3 2) 1 a x a y a x a y             5/   1 (2 3) ( 1) 3 6 a x a y a a x y             6/ 1 3 2 3 x my mx my m        7/ 4 2 ( 1) mx y m x m y m          8/ 3( ) 2 1 xy a xy x y a yx              9/ 6 . (2 ) 3 ( 1) 2 a x a y a x ay          10/ 1 21 x my mx y m        11/ . . 1 . . 1 a x b y a b x a y b          12/ 10 20 mx y x my          13/ 22 . 2 a x by a b bx ay ab        14/ 2 2 .a x y a bx y b        15/ 2 2 4 a x b y a b bx b y b          16/ 31 2 ( 1) 3 mx y m x m y          17/ 5 ( 2) ( 3) ( 3) 2 x a y a a x a y a           Bài 13 : Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm: 1/ ( 1) 1 ( 1) 2 a x y a x a y           2/ ( 2) 3 3 9 ( 4) 2 a x y a x a y           3/ 2 ( 1) ( 1) 1 ax y a a x a y         4/ 31 34 x ay ax y a         5/ 3 2 3 4 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 a a x a a y a a x a y a                9 Bài 14: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: 2 64 ax by x by      Bài 15 : Định m để các hệ phương trình sau vô nghiệm: 1/ 2 1 ( ) 2 mx my m m m x my          2/ 2 2 3( 1) 3 ( ) 2 2 m x m y m x y y          3/ 2 5 (2 ) 4 (2 1) 2 m x m m mx m y m              Bài 16 : Định ( a; b ) để hệ phương trình sau vô nghiệm : ax by a b bx ay a b          Bài 17: Định m để hệ phương trình sau có vô số nghiệâm: 1/ 2( 2) (5 3) 2( 2) ( 2) 3 2 m x m y m m x my m             2/ 41 ( 6) 2 3 x my m m x y m            3/ ( 1) 3 (5 ) 2 1 mx m y m x m y m           4/ 2 ( 1) 2 32 x m y mx y m          5/ (1 ) ( ) (5 ) 2( ) 1 a x a b y b a a x a b y b              6/ 22 2 24 a x by a b bx by b            7/ 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 a b x a b y a a b x a b y a             Bài 18: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1/ 8 4 4 0 ( 1) ( 2) 4 3 0 mx y m m x m y m              2/ 21 ( 1) 1 22 ( 3) 2( 2) m m m xy mm xy                3/ ( 5) (2 3) 3 2 (3 10) (5 6) 2 4 m x m m m x m y m              4/ ( 1)( 2) 1 ( 3) 2( 2) 2 4 m x m y m m x y m                5/ 2 2 2 ( 3) 1 mx y m x m y m           6/ 2 1 x y m mx my m          7/ 1 2 x my mx y m        Bài 19: Cho hệ phương trình : 2 1 mx y m x my m        1/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m. 2/ Định m nguyên để hệ nghiệm nguyên có nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. Bài 20: Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên: 1/ 2 ( 1) ( 1) 1 mx y m m x m y         2/ 22 22 ( 1) 1 mx y m m x y m           Bài 21: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất nguyên: 1/ 22 ( 1) 2 1 2 m x y m m x y m m           2/ 60 2 1 0 mx y x my m           10 3/ 3 21 mx y m x my m        Bài 22: Cho hệ phƣơng trình: ( 1) 3 1 25 m x my m x y m           Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x 2 + y 2 nhỏ nhất Bài 23: Cho hệ phƣơng trình 2 ( 1) 2 1 2 m x my m mx y m           Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x.y lớn nhất. Bài 24: Cho hệ phƣơng trình : . 2 2 1 a x y x ay        1/ Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi a. 2/ Tìm a để hệ có nghiệm ( x; y) thỏa mãn: x + y > 0 Bài 25: Tìm b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a: 2 3ax y b x ay b b        Bài 26: Xác định a, b, c để hệ phƣơng trình 2 ( 1) 10 3 ax by a b c x cy a b            có vô số nghiệm, đồng thời x = 1, y = 3 là một nghiệm trong các nghiệm đó. Bài 27: Cho hệ phương trình: ( 1) ( 1) (3 ) 3 2 m x m y m m x y           1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các nghiệm của hệ . 2/ Tìm nghiệm gần đúng của hệ, chính xáx đến hàng phần nghìn khi m Bài 28: Cho hệ phƣơng trình: 30 2 1 0 x my m mx y m           1/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất 2/ Gọi (x;y) là nghiệm của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m. B. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN: 1. Phƣơng pháp: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng : [...]... P= thì hệ có nghiệm khi 2 2 S2 – 4P  0  ( a  a 2  12a  32 )2  8( a  a 2  12a  32 )  a2 – 10a +16  (a+4)  (a - 2)(a – 8)  (a+4)  a 2  12a  32 (a  4)(a  8) (2 ) a  a 2  12a  32 a  a 2  12a  32 Nếu chọn S= và P= thì hệ có nghiệm khi: 2 2 S2 – 4P  0  (a – 2)(a – 8)  -(a+4) (a  4)(a  8) (3 ) Từ (2 ) va (3 ) suy ra: (a – 2)(a – 8)  - a  4 (a  4)(a  8) (4 ) a  2 Vì (a – 2)(a –... 2  3x  2 y Bài 1/ Giải hệ phương trình sau: a)  2  y  3y  2x ĐS: (0 ;0) , (5 ;5) , (2 ;-1) , (  1; 2)  x3  2 x  y a)  3 Bài 2/ Giải hệ phương trình sau: y  2y  x ĐS: (0 ;0) , (1 ;-1) , (- 1;1) , ( 3; 3) ; (- 3;  3) 1  2 x  y   0 (1 )   4 a)  Bài 3/ Giải hệ phương trình sau:  x  y 2  1  0 (2 )  4  30 1 1 ĐS: ( ;  ) 2 2 x  y2  2  Bài 4/ Giải hệ phương trình: a )  2 y  x ... 3 Các phương pháp giải hệ phương trình này là: pp Gau – xơ, pp Cramer, pp thế 2 Ví dụ:  x  3 y  z   2(1 )  VD1: Giải hệ: 4 x  2 y  3 z  1 5(2 ) 2 x  y  4 z  7(3 )  Hướng dẫn giải: Ta khử ẩn z ở phương trình (2 ) và (3 ) bằng cách nhân (1 ) với 3 rồi cộng vào (2 ), nhân (1 ) với -4 rồi cộng vào (3 ) Khi đó ta được:  x  3 y  z  2  7 x  7 y  2 1(2 ') 2 x  11y  1 5(3 ')  Giải hệ phương trình. .. 2  k (1 ) Cho hệ phương trình  2 (2 )  y  3xy  4 1/ Giải hệ với k = 1 2/ Chứng tỏ rẳng hệ có nghiệm với mọi k  x 1  x  1 hay  HD: 1/   y  4 y  4 2/ ket hợp 2 phương trình để tìm x theo y va thay vào phương trình còn lại để còn một phương trình theo ẩn y duy nhất  x 2  y 2  2(1  a) Bài 8: Cho hệ phương trình  2  ( x  y)  4 1/ Giải hệ với a=1 2/ Tìm các giá trị của a để hệ có đúng... Lấy (1 ) – (2 ) ta được: 29  ( x  y )( x  y )  m( x  y ) (1 ) – (2 )  yx  ( x  y )( x  y  m)  0    y  x  m TH1: y = x (1 )  x2  mx  1  0 ( =m2  4) Phương trình có nghiệm    0  m  4 Khi đó hệ có nghiệm x = y = m  m2  4 m  m2  4   và x = y =   (* ) 2 2 TH2: y = -x – m  x 2  mx  m2  1  0 (1 )   m2  4(m2  1)  3m2  4  0 Phương trình vô nghiệm Vậy  m  2 : ( ;... 21: Cho hệ phương trình :  2 ( x  y )  4  a/ Giải hệ phương trình với a = 2 b/ Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất Bài 22: Giải hệ phương trình:  2( x  y )  3 3 x 2 y  3 xy 2   3 x  3 y  6  Bài 23: Cho (x, y, z ) là nghiệm của hệ phương trình:  x2  y 2  z 2  8   xy  yz  zx  4 8 8 Chứng minh rằng:   x, y, z  3 3  x y  y x  30  Bài 24: Giải hệ phương trình : ... nguyên phương trình (2 ) ta nên cộng hai phương trình lại với nhau để đưa hệ hai về dạng đối xứng loại 1 2 Ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình: 2 x  y  1  3   2 y  x  1  3  Hướng dẫn giải: Điều kiện: x  1; y  1 Đặt: X  x  1;Y  y  1( X ,Y  0) , ta có hệ:  2( X 2  1)  Y  3 2 X 2  Y  1(1 )    2  2 2(Y  1)  X  3 2Y  X  1(2 )   Lấy (1 ) tr (2 ) vế theo vế: 2( X 2  Y 2 )  ( X... (0 ;0) ;(2  2;2  2) ;(2  2;2  2) VD3: Giải hệ phương trình:  x 2  2 y 2  2 x  y (1 )  2 2  y  2 x  2 y  x (2 ) Hướng dẫn giải: Trừ từng vế cua phương trình (1 ) cho (2 ) ta có: x2 – y2 – 2y2 + 2x2 = 2x – 2 y+ y– x  3( x 2  y 2 )  x  y  ( x  y )(3 x  3 y  1)  0  x y 0  3 x  3 y  1  0  x y   y  1  3x 3  Thay vào phương trình (1 ) ta có: TH1: x = y  x2 – 2x2 = 3x  x ( x+3)... trình: x  y  a  4 4 4 x  y  a II Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1: 1 Phƣơng pháp: Hệ đối xứng loại 1 có đặc trưng là nếu thay x bởi y, y bởi x thì mỗi phương trình trong hệ không đổi  f ( x; y )  0  g ( x; y )  0 Cho hệ đối xứng loại 1: (I)  - Đặt S = x + y và P = x.y, biến đổi hệ (I) thành hệ theo S và P :  F ( S ; P)  0 G ( S ; P)  0 (II)  Giải hệ (II) để tính S và P 2 Điều kiện để tồn... Định a để hệ có ít nhất 1 nghiệm(x;y) thỏa điều kiện x > 0 và y > 0 x  y  6 Bài 20 : Cho hệ phương trình:  2 2 x  y  a Định a để: a/ Hệ phương trình vô nghiệm b/ Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất c/ Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt  x  y  2a  1 Bài 21: Giả sử x; y là nghiệm của hệ phương trình  2 2 2  x  y  a  2a  3 Xác định a để tích x.y là nhỏ nhất 25  x 2  y 2  2(a  1) . 32 2 a a a   thì hệ có nghiệm khi: S2 – 4P  0  (a – 2)(a – 8)  -(a+4) ( 4 )( 8)aa (3 ) Từ (2 ) va (3 ) suy ra: (a – 2)(a – 8)  - 4a  ( 4 )( 8)aa (4 ) Vì (a – 2)(a – 8)  0  2 .    Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2 ’) và (3 ’) ta được x=-2,y=1. Thay các giá rị này vào (1 ) ta được z=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm (- 2;1;3). VD 2:Biết rằng hệ phương trình ax by. trong các nghiệm đó. Bài 27: Cho hệ phương trình: ( 1) ( 1) (3 ) 3 2 m x m y m m x y           1/ Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Khi đó, hãy tính theo m các nghiệm