ÔN TẬP MÔN TOÁN Biên soạn: Đỗ Cao Long THI TỐT NGHIỆP THPT A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung kiến thức Điể m I ( Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. ( Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng); 3,0 II ( Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. ( Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân. ( Bài toán tổng hợp. 3,0 III Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 1,0 II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu Nội dung kiến thức Điểm IV.a Phương pháp toạ độ trong trong không gian:  Xác định toạ độ của điểm, vectơ.  Mặt cầu.  Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.  Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 2,0 V.a ( Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ( âm. ( Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 1,0 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu Nội dung kiến thức Điểm IV.b Phương pháp toạ độ trong trong không gian: − Xác định toạ độ của điểm, vectơ. − Mặt cầu. − Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. − Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 2,0 V.b ( Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức. ( Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng ﾧ và một số yếu tố liên quan. ( Sự tiếp xúc của hai đường cong. ( Hệ phương trình mũ và lôgarit. ( Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, 1,0 2 + + = + ax bx c y px q ┼- 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán thể tích khối tròn xoay Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ ┼- 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số. 1. Chiều biến thiên của hàm số. Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số 1. Tìm tập xác định 2. Tính đạo hàm . Giải phương trình để tìm các nghiệm . 3. Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà và ngược lại). Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số Gợi ý giải: • Đ/k xác định: Tập xác định của hàm số . • Đạo hàm: thuộc Dấu của cùng dấu với biểu thức . • Ta có bảng biến thiên −2 0 2 + 0 − 0 2 0 • Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến rtreen khoảng Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng hoặc hàm số gián đoạn tại thì ta cần tính các giới hạn , và , để điền vào bảng biến thiên. Bài tập: Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 1) ; 2) ; 3) Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) . Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số . Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số . Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng H/số nghịch biến trên các khoảng Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ ( ) y f x= ( ) y f x ′ ′ = ( ) 0f x ′ = ( ) 1,2 , i x i n= i x ( ) 0f x ′ > 2 4y x= − 2 4 0x − ≥ 2 4 2 2x x⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ [ ] 2;2D = − ( ) 2 2 2 4 2 4 4 x x y x x ′ − − ′ = = − − 0 0y x ′ = ⇔ = [ ] 2;2− y ′ x − x y ′ y ( ) 2;0− ( ) 0;2 ( ) ;a b 0 x lim x a y + → lim x b y − → 0 lim x x y + → 0 lim x x y − → 5 3 1 4 3 1 5 3 y x x x= − + + 4 1 y x x = + − tan sin , 0 2 x x x π > < < 1 1 , 0 2 x x x+ < + ∀ > 4 2 8 2y x x= − + 3 3 1y x x= − + ( ) ( ) 2;0 , 2;− +∞ ( ) ( ) ; 2 , 0;2−∞ − ( ) 1;1− ┼- 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán 2. Cực trị của hàm số. Lý thuyết: - Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12. Dạng 1: Tìm m để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại . Cách giải: • Tính • Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại là . Giải phương trình này tìm được m. • Thử lại (Điều kiện đủ) Với giá trị của m tìm được, ta tính . - Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại - Nếu thì hàm số đạt cực đại tại . Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn. • Kết luận. Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại . Ví dụ 1: Tìm m để hàm số đạt cực đại tại . Gợi ý giải: Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được • Đ/k xác định • Đạo hàm • Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại là • Thử lại (đ/k đủ) Ta có - Với , ta có nên trường hợp này hàm số đạt cực tiểu tại (không thỏa đề bài). - Với ta có nên trường hợp này hàm số đạt cực đại tại (thỏa đề bài) • Kết luận: Giá trị của m phải tìm là . Dạng 2: Chứng minh hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m. Cách giải: Chứng tỏ luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm đó. - Với hàm số bậc ba, chứng tỏ có delta dương; - Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm. Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m. Gợi ý giải: • Tập xác định của hàm số: • Đạo hàm là tam thức bậc hai có . Suy ra có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu (có thể lập Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ ( ) ,y f x m= 0 x x = ( ) ,y f x m ′ ′ = 0 x x = ( ) ( ) 0 0 , 0y x f x m ′ ′ = = ( ) 0 y x ′′ ( ) 0 0y x ′′ > 0 x x = ( ) 0 0y x ′′ < 0 x x = 0 x x = 2 1x mx y x m + + = + 2x = 1 y x x m = + + 0x m x m+ ≠ ⇔ ≠ − ( ) 2 1 1 1y x x m x m ′   ′ = + = −  ÷ +   + ( ) ( ) 2 1 2 1 2 y m ′ = − + 2x = ( ) 2 0y ′ = ( ) ( ) 2 2 1 1 0 2 1 2 m m ⇔ − = ⇔ + = + 2 1 1 2 1 3 m m m m + = = −   ⇔ ⇔   + = − = −   ( ) ( ) 2 3 1 2 1 0y x m x m ′   ′′  ÷ = − = +  ÷ + +   ( ) 3 2 x m = + 1m = − ( ) ( ) 3 2 2 2 0 2 1 y ′′ = = > − 2x = 3m = − ( ) ( ) 3 2 2 2 0 2 3 y ′′ = = − < − 2x = 3m = − ( ) ,y f x m= ( ) , 0fy x m = y ′ y ′ 3 2 1y x mx x= − − + D = ¡ 2 3 2 2y x mx ′ = − − ( ) ( ) 2 2 2 4.3. 2 4 24m m∆ = − − = + 0, m> ∀ ∈¡ 0y ′ = y ′ 1 2 ,x x ┼- 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán bảng xét dấu với hai nghiệm ) khi x đi qua hai nghiệm đó. • Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số có đồ thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Câu 2: Tìm m để hàm số có cực trị tại . Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ? Câu 3: (TN BTTH 2006) Chứng minh hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m ? Gợi ý – đáp số: Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số , Trung điểm hai cực trị . Cho thuộc đường thẳng , ta có . Giải tìm m. Câu 2: . Hàm số đạt cực tiểu tại . 3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số. Lý thuyết: Cho hàm số có đồ thị và là điểm trên . Tiếp tuyến với đồ thị tại có: - Hệ số góc: - Phương trình: Hay Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: - Tung độ tiếp điểm: {Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng cách thay vào hàm số } - Hệ số góc Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm , hoặc hoành độ , hoặc tung độ . Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Gợi ý giải: • Ta có (đạo hàm): • T/tuyến tại có: - Hệ số góc - P/trình: Hay Ở đây cần biết: , ở tọa độ của M (đề đã cho). Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số a) Tại điểm có hoành độ bằng . b) Tại điểm có tung độ bằng . Gợi ý giải: a) Ta có Gọi tọa độ tiếp điểm là . Theo Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ 3 2 6 9y x x x= − + 2 y x m m= + − 3 2 2 5 3 y x mx m x   = − + − +  ÷   1x = ( ) 3 2 1 2 3 9 3 y x mx m x= − − + + ( ) 3;0A ( ) 1;4B ( ) 2;2M ( ) 2;2M 2 y x m m= + − 2 2 2 m m= + − 7 3 m = 1x = ( ) y f x= ( ) C ( ) 0 0 ;M x y ( ) C ( ) C ( ) 0 0 ;M x y ( ) 0 k f x ′ = ( ) 0 0 y y k x x− = − ( ) ( ) 0 0 0 y y f x x x ′ − = − ( ) 0 0 ;M x y 0 x 0 y 0 x ( ) 0 0 y f x= ( ) 0 k f x ′ = ( ) 0 0 ;M x y 0 x 0 y 4 2 2 1y x x= − + ( ) 2;9M − 3 4 4y x x ′ = − ( ) 2;9M − ( ) ( ) ( ) 3 2 4 2 4 2 24k y ′ = − = − − − = − ( ) ( ) 9 24 2y x− = − − − 24 39y x= − − 0 2x = − 0 9y = 1 1 x y x − = + 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 x x x x y x ′ ′ − + − + − ′ = + ( ) 2 2 1x = + ( ) 0 0 ;x y 0 2x = ┼- 6Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán giả thiết có . • Tung độ tiếp điểm: • Hệ số góc của tiếp tuyến tại bằng : • P/trình tiếp tuyến: . Hay Với dạng này, đề cho , ta cần tính và tính đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến . b) Ta có Gọi tọa độ tiếp điểm là . Theo giả thiết có . • Vậy • Hệ số góc của tiếp tuyến tại là: • P/trình tiếp tuyến cần tìm: . Hay . Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Dấu hiệu: - Tiếp tuyến song song với đường thẳng - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Cách giải: • Cần biết (rút y theo x) nên có hệ số góc . • Khi t/tuyến song song với thì hế số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của và bằng . • Khi t/tuyến vuông góc với thì hế số góc của t/tuyến và hệ số góc của thỏa mãn Lời giải (Các bước): • Tính đạo hàm hàm số Tính hệ số góc của tiếp tuyến (theo các dấu hiệu trên) • Gọi là tọa độ tiếp điểm • Hệ số góc của t/tuyến . - Giải ph/trình này tìm được - Thay vào để tính tung độ tiếp điểm • Viết p/trình t/tuyến. Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số , biết: a) Hệ số góc của t/tuyến bằng . b) T/tuyến song song với đường thẳng . c) T/tuyến vuông góc với đường thẳng Gợi ý giải: a) • Ta có • Gọi là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại bằng Theo giải thiết ta có Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ 0 0 0 1 2 1 1 1 2 1 3 x y x − − = = = + + 1 2; 2    ÷   ( ) ( ) 2 2 2 2 9 2 1 k y ′ = = = + ( ) 1 2 2 3 9 y x− = − 2 1 9 9 y x= − 0 2x = 0 0 0 1 1 x y x − = + ( ) 0 k y x ′ = ( ) 2y ′ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 x x x x y x ′ ′ − + − + − ′ = + ( ) 2 2 1x = + ( ) 0 0 ;x y 0 3y = 0 0 0 1 3 1 x y x − = = + ( ) 0 0 1 3 1x x⇔ − = + 0 2x⇔ = − ( ) ( ) 0 0 ; 2;3x y = − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 k y ′ = − = = − + ( ) ( ) 3 2 2y x − = − − 2 7y x= + ( ) : 0d ax by c+ + = ( ) : 0d ax by c+ + = ( ) : a c d y x b b = − − ( ) d a k b ′ = − ( ) d ( ) d a k k b ′ = = − ( ) d k k ′ ( ) d . 1k k ′ = − . 1 a k b   ⇔ − = −  ÷   ( ) y f x ′ ′ = k ( ) 0 0 ;x y ( ) 0 k y x ′ = 0 x ( ) 0 0 y f x= 2 1 x y x = − 2− ( ) 1 : 2 d y x= − ( ) 9 : 1 2 y x∆ = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 1 x x y x x − − − ′ = = − − ( ) 0 0 ;x y ( ) 0 0 ;x y ( ) ( ) 0 2 0 2 1 y x x − ′ = − ( ) 0 2y x ′ = − ( ) 2 0 2 2 1x − ⇔ = − − ( ) 2 0 1 1x⇔ − = 0 0 0 0 1 1 2 1 1 0 x x x x − = =   ⇔ ⇔   − = − =   ┼- 7Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán • Với , ta có Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại là hay . • Với , ta có . Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại là hay . • Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là ; Lưu ý: Hệ số góc của t/tuyến (đề cho). b) T/tuyến song song với nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của , bằng . • Gọi là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại bằng Vậy • Với , ta có . Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại là hay • Với , ta có . Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại là hay • Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là ; c) Đường thẳng có hệ số góc . • Gọi k là hệ số góc của t/tuyến. Biết t/tuyến vuông góc với nên ta có . Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b). • Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là ; Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ . Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số tại điểm A(2;4). Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Cho hàm số , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Cho hàm số , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ 0 2x = 0 0 0 2 2.2 4 1 2 1 x y x = = = − − ( ) 2;4 ( ) 4 2 2y x− = − − 2 8y x= − + 0 0x = 0 0 0 2 2.0 0 1 0 1 x y x = = = − − ( ) 0;0 ( ) 0 2 0y x− = − − 2y x= − 2 8y x= − + 2y x= − ( ) 0 2k y x ′ = = − ( ) d ( ) d 1 2 k = − ( ) 0 0 ;x y ( ) 0 0 ;x y ( ) ( ) 0 2 0 2 1 y x x − ′ = − ( ) 0 y x k ′ = ( ) 2 0 2 1 2 1x − ⇔ = − − ( ) 2 0 1 1 4 x⇔ − = 0 0 0 0 3 1 1 2 2 1 1 1 2 2 x x x x   − = =   ⇔ ⇔   − = − =   0 3 2 x = 0 0 0 3 2. 2 2 6 3 1 1 2 x y x = = = − − 3 ;6 2    ÷   1 3 6 2 2 y x   − = − −  ÷   1 27 2 4 y x= − + 0 1 2 x = 0 0 0 1 2. 2 2 2 1 1 1 2 x y x = = = − − − 1 ; 2 2   −  ÷   ( ) 1 1 2 2 2 y x   − − = − −  ÷   1 7 2 4 y x= − − 1 27 2 4 y x= − + 1 7 2 4 y x= − − ( ) 9 : 1 2 y x∆ = + 9 2 k ′ = ( ) ∆ 9 . 1 . 1 2 k k k ′ = − ⇔ = − 2 9 k⇔ = − 2 32 9 9 y x= − + 2 8 9 9 y x= − + 2 3 1 x y x + = + 0 3x = − 3 3 2y x x= − + 1 2 x y x − = + 3 2 1 x y x − = + 0 2y = − ┼- 8Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán điểm có tung độ bằng . Đáp số: Câu 1: ; Câu 2: Câu 3: ; Câu 4: 4. Tương giao giữa hai đồ thị. Lý thuyết: Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số để biện luận theo m số nghiệm của phương trình . Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Dựa vào đồ thị , biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1). Gợi ý giải: • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (2 điểm) Học sinh tự làm . • Đồ thị (xem hình) • Viết lại (1) dưới dạng (1) (2) Đây là PT hoành độ giao điểm của đồ thị của hàm số với đường thẳng (song song với trục hoành) nên số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của và . • Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau: * Với , ta thấy và không có điểm chung. Suy ra (2) vô nghiệm * Với , ta thấy cắt tại một điểm và tiếp xúc tại một điểm. Suy ra (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn và một nghiệm kép) Nói đơn giản hơn là và có hai điểm chung nên (2) có hai nghiệm. * Với , ta thấy cắt tại ba điểm phân biệt. Suy ra (2) có 3 nghiệm phân biệt. • Kết luận: * Với hoặc , p/trình (1) vô nghiệm. * Với hoặc , p.trình (1) có hai nghiệm. * Với , p/trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng : cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt, hoặc không cắt Cách giải: • Viết lại • Lập p/trình hoành độ giao điểm của và : (1) Quy đồng khử mẫu đưa về p/trình bậc Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ 1 3 4 4 y x= − + 9 14y x= − 4 1 3 3 y x= − 5 2y x= − ( ) y f x= ( ) f x m= ( ) C 3 3y x x= − ( ) C 3 3 1 0x x m− + − = ( ) C x y 3 - 3 -2 -1 2 0 1 3 3 1x x m ⇔ − = − ( ) C 3 3y x x= − ( ) : 1d y m= − ( ) d ( ) C 1 2 1 1 2 3 m m m m − < − < −   ⇔   − > >   ( ) d ( ) C 1 2 1 1 2 3 m m m m − = − = −   ⇔   − = =   ( ) d ( ) C ( ) d ( ) C 1 2 1 1 2 3 m m m m − > − > −   ⇔   − < <   ( ) d ( ) C 1m < − 3m > 1m = − 3m = 1 3m− < < ( ) d 0ax by c+ + = ( ) mx n y f x cx d + = = + ( ) : a c d y x b b = − − ( ) d ( ) C mx n a c x cx d b b + = − − + ┼- 9Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán hai dạng với Tính • Đến đây cần chứng tỏ với mọi m và và kết luận (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra cắt tại hai điểm phân biệt. - Tương tự, kết luận cho tr.hợp . Ví dụ: (Bài 11/tr46- SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng luôn cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm phân biệt M, N. Gợi ý – Giải: • P/trình hoành độ giao điểm của và là (1) , (2) • P/trình (2) là p/trình bậc hai có với mọi m. (a) Mặt khác, thay vào vế trái của (2) ta được với mọi m. (b) • Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa . Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy đ/thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ . • Phân tích bài toán: - Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ . - Vậy cắt trục hoành tại điểm . - Điểm này thuộc nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình . Lời giải: • Từ giả thiết ta suy ra cắt trục hoành tại điểm , thay tọa độ điểm này vào p/trình của ta được: • Vậy là giá trị cần tìm. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB): Cho hàm số . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban): 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Dựa vào đồ thị Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ ( ) 2 , 0f x m Ax Bx C= + + = 0 d cx d x c + ≠ ⇔ ≠ − 2 4B AC ∆ = − 0∆ > , d f m c   −  ÷   0≠ ( ) d ( ) C 0; 0∆ < ∆ = ( ) : 2d y x m= + ( ) C 3 1 x y x + = + ( ) d ( ) C 3 2 1 x x m x + = + + ( ) ( ) ( ) 3 2 1 , 1 0x x m x x⇔ + = + + + ≠ ( ) 2 2 1 3 0x m x m⇔ + + + − = ( ) 1x ≠ − ( ) ( ) 2 1 4.2. 3m m∆ = + − − ( ) 2 2 6 25 3 16m m m∆ = − + = − + 0> 1x = − ( ) ( ) 2 2. 1 1 3 2 0m m− − + + − = − ≠ 1x ≠ − ( ) d ( ) C ( ) m C ( ) 3 2 3 1y x m x m= + + + − 2x = − 0y = ( ) m C ( ) ( ) ; 2;0x y = − ( ) m C ( ) m C ( ) m C ( ) 2;0− ( ) m C ( ) ( ) ( ) 3 2 0 2 3 2 1m m= − + + − + − ( ) 8 4 3 1 0m m⇔ − + + + − = 3 5 0m⇔ + = 5 3 m⇔ = − 5 3 m = − 3 2 2 3 1y x x= + − 3 2 2 3 1x x m + − = 3 2 3y x x= − 3 2 3 0x x m− − = 3 2 3y x x= − + 3 2 3 0x x m − + − = ┼- 10Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình. 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 5. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số. Lý thuyết: - Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên; Ví dụ: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số có tọa độ là những số nguyên. Giải: • Đ/k xác định: • Chia tử cho mẫu ta có Xét điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta có . • Với ta có là các ước số nguyên của 4. Các trường hợp xảy ra: , ta có , ta có , ta có , ta có , ta có , ta có • Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là: , Bài tập: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số có tọa độ là những số nguyên. 6. Khảo sát hàm số Sơ đồ: • Tập xác định. • Đạo hàm Giải p/trình • Tính các giới hạn ; tiệm cận với hàm hữu tỷ Và để suy ra tiệm cận đứng là đ/t ; , suy ra tiệm cận ngang là đ/t • Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các giới hạn đã tính) • Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số; - Cực trị của hàm số (nếu có). • Vẽ đồ thị: - Xác định giao điểm với trục hoành: Cho , tìm x. - Xác định giao điểm với trục tung: Cho , tìm y. - Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao điểm 2 t/cận) Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ 3 1 x y x − = + 1 0 1x x+ ≠ ⇔ ≠ − 4 1 1 y x = − + ( ) ;x y 4 1 1 y x = − + x ∈¢ 4 1 1 y x = − ∈ + ¢ 4 1x ⇔ ∈ + ¢ 1x⇔ + 1 4x + = 3x⇔ = 3 3 0 3 1 y − = = + 1 4x + = − 5x⇔ = − 2y = 1 2 1x x+ = ⇔ = 1y = − 1 2 3x x+ = − ⇔ = − 3y = 1 1 0x x+ = ⇔ = 3y = − 1 1 2x x+ = − ⇔ = − 5y = ( ) 3;0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5;2 , 1; 1 , 3;3 , 0; 3 , 2;5− − − − − 2 2 2 x y x + = − ( ) y f x ′ ′ = ( ) 0f x ′ = lim x y →±∞ ax b y cx d + = + ( ) lim d x c y ± → − = ±∞ a x c = lim x a y c →±∞ = a y c = 0y = 0x = [...]... ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Ví dụ: Giải phương trình trên tập số phức Giải: 2 • Ta có ∆ = ( −1) − 4.2.5 = 1 − 40 = −39 < 0 • Vậy p/trình − ( −1) ± i 39 x= đã cho có hai nghiệm 2.2 Hay 11 ± i 39 39 x= ± = i 4 4 4 Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ ┼- 2 8Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán. .. 123doc.org ┼  f ( x) > 0   g ( x) > 0  f 0 x) a < 1 ( < ≥ ac ┼- 1 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Lần 2, Phân ban): ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ghi nhớ cách tính các yếu tố cần thi t và mối quan hệ giữa các yếu tố dựa vào hình vẽ, tính chất của hình log 3 ( x + 2 ) + log 3 ( x − 2 ) = log 3 5 ( x ∈ ¡ ) Bài tập: Giải phương trình Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban) a 3 : Cho... −=e1.e−5 + 2 + 2− e ∫ = 4e e 2 − + 2 ee ) e 1 = ) − 5 5.1 − I 2 = 3e 2 − 7 0 0 (( )) Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼- 2 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến nhưng chúng ta không đổi cận π x1 xn ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + + ∫ f ( x ) dx {Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân} x... = )∫0 + 3) = = ln − ln ( 0 4 t +3 ln 4 − ln 3 =0 ln t + 3 0 3 Ghi nhớ: Trong quá trình tính tích phân dạng cần vận dụng vi phân để tính b ┼- 2 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán • Đặt Với , ta có Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): π Tính tích phân 2 ∫ ( 2sin x + 3) cos xdx Câu 2 (Đề TN I = 2006, Ban KHTN): I1 = ( 2 x + 3) ( − cos x ) 0 t 1... 2 ( 2; −1; −2 ) 2 • Bán kính mặt  y A + y B −2 + 0  Thành viên Tuổi Học Trò = = −1  yI = 2 2 123doc.org   z A + z B −1 + ( −3) = = −2  zI =  2 2 ┼- 1 7Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán r cầu R = IA = ( 1 − 2 ) 2 + ( −2 − ( −1) ) 2 + ( −1 − ( − 2 ) ) = 3 2 • P/trình mặt cầu cần tìm: ( x − 2 ) 2 + ( y − ( −1) ) 2 + ( z − ( −2 ) ) = 2 (...  u ′ x dx I3 = 6   a cos x + 1 sin xdx I= I3 = ∫ ∫ ( Thành viên Tuổi Học Trò π 3 ┼ t =1 x =3 Đổi cận: t = 2.0 +x = 4 1 1 123doc.org ∫ f ( t ) dt ea ┼- 2 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán t = cos • Đặt , ta có dt = d ( cos x ) =x− sin xdx • Đổi cận: Với , ta π 3 x π t = cos= = có 66 2 Với , ta có π 1 π t = cos = 3 3 x= • Khi đó 1 3 2 3... Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ t >0 − 26 = 0 ┼- 1 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ f (0x< ≥ < 1x ) ) a g( ┼ • Nếu ta có (đổi chiều BPT) • Nếu ta có Với BPT - Nếu , ta có (Đổi chiều BPT) - Nếu , ta có Ví dụ : Giải các bất f ( xa ≤ 1 ( x ) ) >g f ( 0 1 f ( x )a ≤ log a c Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Câu 4: Giải các bất phương trình sau a f ( x) (... x x 32 x−3 x ≤ 37 x +62 x −6 ≥ 1 2 Hàm số, phương 1 2 2 ┼- 1 4Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ (thỏa mãn đ/k) ⇔ log x = 2 ⇔ x = 32 ⇔ x = 9 3 x=9 • Vậy p/trình có nghiệm duy nhất 2) • Đ/k xác định  x − 2 > 0 x > 2 ⇔ log Khi đó ta có log ( x − 2 ) +⇔  ( x − 3 ) =x > 312 log 2 2 2 ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán nghiệm Dạng 3: Bất p/trình , log a f( (0x< < log)a g (...┼- 1 1Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Câu 1 (Đề TN 2008, f ( x ) = x +  2 cos x  π Lần 1, Ban KHTN): 0; 2   hàm số trên đoạn Tìm GTLN, GTNN của  Câu 2 (Đề TN 2008, Lần y = x[40;2] x... 123doc.org ┼ ┼- 2 0Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ A( y 2z ( P ) : x − 22;− 1;3)− 10 = 0 ┼ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm , mặt phẳng 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P) 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) 6 Tương giao giữa đường thẳng, mặt pẳng, mặt cầu Bài toán tổng hợp Lý huyết Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Trong không gian với . q ┼- 2Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán thể tích khối tròn xoay Thành viên Tuổi Học Trò 123doc.org ┼ ┼- 3Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp. ∈¡ 0y ′ = y ′ 1 2 ,x x ┼- 5Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán bảng xét dấu với hai nghiệm ) khi x đi qua hai nghiệm đó. • Vậy hàm số luôn có một cực. − ′ = + ( ) 2 2 1x = + ( ) 0 0 ;x y 0 2x = ┼- 6Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán ┼ ┼ Tài liệu ôn tập thi Tốt nghiệp THPT môn Toán giả thi t có . • Tung độ tiếp điểm: • Hệ số góc của