phần I con lắc lò xo Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ chuyển động đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 310 . π (cm/s) theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dương hướng xuống. a. Viết PTDĐ. b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất. Lời giải a) Tại VTCBO k∆l = mg ⇒ ∆l = 0,04 25 0,1.10 k mg == (m + ω = π=== 5105 1,0 25 m k (Rad/s) + m dao động điều hoá với phương trình x = Asin (ωt + ϕ) Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0 v = 10π 3 (cm/s) <0 Ta có hệ 2 = ASin ϕ →Sin ϕ >0 -10π 3 = 5π.Acosϕ →cosϕ <0 Chia 2 vế tgϕ = 3 1− ⇒ ϕ = 6 5 π (Rad) → A = 4(cm) Vậy PTDĐ: x = 4sin (5πt + 6 5 π ) (cm) b) Tại VTCB lò xo dãn ∆l = 4cm + ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn ∆l = 4 + 2 = 6 (cm) + ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0. ∆l l 0 0(VTCB) ) x - ∆l • • • Vậy lúc đó x = -2 (cm) Ta có: -2 = 4sin (5πt + 6 5 π ) ⇔ sin (5πt + 6 5 π ) = 2 1 − 5πt + 6 5 π = 6 7 π ⇒ t = 15 1 (s) ( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều) Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phương thẳng đứng vật nặng có khối lượng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s hướng lên ngược chiều dương Ox (g = 10m/s 2 ) a. CM vật dđđh. b. Viết PTDĐ Lời giải a. Tại VTCB k∆l = mg ⇒ k∆l = 0,4.10 = 4 → ∆l = k 4 (mét) Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm → x = 2,6 - ∆l = 0,026 - k 4 ( mét) Chiều dương 0x hướng xuống ⇒ x >0 Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0 v = -0,25 m/s <0 Cơ năng toàn phần E = 3 10.25 2 2 1 2 2 1 − =+ mvkx (J) Ta có phương trình: 322 25.10).0,4.(0,25 2 1 ) k 4 k(0,026 2 1 − =+− ⇔ k(2,6.10 -2 - 025,0) 4 2 = k => k > 153,8 N/m ⇔ 0,026 2 .k 2 - 0,233k + 16 = 0 ⇔ k = 250 (N/m) TM k = 94,67 (N/m) loại Vậy k = 250 N/m → ω = 25 4,0 250 == m k (Rad/s) Tại t = 0 x = 1cm > 0 v = -25cm/s < 0 1 = Asin ; sinϕ >0 ϕ = 4 3π Rađ -25 = 25Acosϕ; cosϕ<0 A = 2 cm Vậy phương trình điều hoà là x = ) 4 3 t25sin(2 π + (cm) Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt là k 1 = 30 (N/m) và K 2 = 30 (N/m) được gắn nối tiếp với nhau và gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua ma sát. 1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ 2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật Lời giải 1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật. Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng. Khi vật ở li độ x thì x = x 1 + x 2 với x 1 ; x 2 là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc nén). + Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên x 1 = 1 k F − ; x 2 = 2 k F − Vậy x =         +−=−− 2121 11 kk F k F k F L 1 L 2 M Mặt khác F = - kx ⇒ kkk 111 21 =+ áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx '' → mx '' = - k.x hay x '' = - ωx 2 với ω 2 = )( . 21 21 kkm kk m k + = Vật dao động điều hoà theo phương trình x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật dao động điều hoà * Phương trình dao động ω = 10 )2030(12,0 20.30 )( . 21 21 = + = + = kkm kk m k (Rad/s) Khi t = 0 x = 10cm>0 v = 0 cm/s Ta có hệ 10 = Asinϕ ; sinϕ >0 ϕ = 2 π 0 = ωAcos ; cosϕ = 0 A = 10 (cm) Vậy phương trình dao động là x = 10sin (10πt + 2 π ) (cm) 2. Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K Vậy lực phục hồi là F = - kx → Lực phục hồi cực đại F max = +kA = 120,10 = 1,2N Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu khối lượng m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới VTCB 3 cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4 2 cm/s theo phương thẳng đứng lên trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s 2 ; π 2 = 10). 1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ? 2. Tính F max mà hệ lò xo tác dụng lên vật? Lời giải ⇒ 1. Chọn trục 0x thẳng đứng hướng xuống gốc 0 tại VTCB + Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng. + Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò xo. + Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo cùng độ cứng và chiều dài và bằng 2 1 lực đàn hồi tổng cộng) F = 2F 0 ⇔ -Kx = -2kx ⇒ K = 2k + Tại VTCB: → P + → P2 = → 0 Hay mg - 2k∆l o = 0 (1) + Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn ∆l = x + ∆l 0 Hợp lực: → P + →→ = FF2 dh mg - 2k(∆l 0 + x) = F (2) Từ (1) (2) F = -2kx Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx '' ⇒ x '' = x m k2 − → x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật DĐĐH + PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0 v = - 0,4 2 m/s = - 40 2 (cm/s) Ta có hệ 3 = A sinϕ ; sinϕ > 0 - 40 2 = 10 2 Acosϕ ; cosϕ < 0 Biên độ A = 5 200 2.40 3 2 2 =+ cm Ta có hệ 3 = 5sinϕ sinϕ = 0,6 -40 2 = 10 2 .5.cosϕ cos ϕ = -0,8 →ϕ ≈ 2,5 Rad PTDĐ là x = 5sin (10 2 t + 2,5) (cm) k 0 F k 0 F P + m O • → ϕ 143,13 0 → e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật Cả 2 lò xo coi như một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m ∆l 0 = 05,0 50 10.25,0 == K mg m = 5 (cm) Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại F đhmax = K (A + ∆l 0 ) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N) Bài 5: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được nối vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L 1 , L 2 có độ cứng k 1 = 60N/m, k 2 = 40 N/m. Người ta kéo vật đến vị trí sao cho L 1 bị dãn một đoạn ∆ l = 20 (cm) thì thấy L 2 không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều dương hướng từ A → B,chọn t = 0 là lúc thả vật. a) CM vật DĐĐH? b) Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lượng toàn phần E. c) Vẽ và tính cường độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A, B ở thời điểm t= 2 T . Lời giải a) CM vật DĐĐH + Chọn trục toạ độ như hình vẽ. + Khi vật ở VTCB lò xo L 1 dãn ∆l 1 lò xo L 2 dãn ∆l 2 Khi đó vật để L 1 dãn ∆l = 2cm ; L 2 khi nén k dãn thì ∆l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật ở VTCB. ∆l = ∆l 1 + ∆l 2 = 20 (cm) (1) + Tổng hợp lực bằng 0 : 00 02010201 =+→=+++ →→→→→→→ FFFFNP B A → 01 F → 02 F 0 + x G x Hay + K 1 ∆l 1 - k 2 ∆l 2 = 0 (2) + Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L 1 là (∆l 1 + x) cm, L2 là (∆l 2 - x) Tổng hợp lực →→→→→ =+++ amFFNP 21 Hay - k 1 (∆l 1 + x) + k 2 (∆l 2 - x) = mx'' ⇔ - (k 1 + k 2 ) x = mx'' ⇒ x'' = 2 21 . ω −= + − x m kk với ω2 = m kk 21 + − Vậy x = Asin (ωt + ϕ) (cm) → vật DĐĐH b) ω = π 10 1,0 4060 21 = + = + m kk (Rad/s) + Biên độ dao động A = ∆l 2 (vì A = 2 2 2 2 0 lxx ∆ ==+ ω ) Giải (1), (2) ∆l 1 + ∆l 2 = 20 ∆l 1 = 8cm 60∆l 1 + 400∆l 2 = 0 ∆l 2 = 12cm -> A = 12cm t = 0 -> x 0 = Asin ϕ = A v 0 = ωAcosϕ = 0 Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt + 2 π ) (cm) Chu kì dao động T = 2,0 10 22 == π π ω π (s) Năng lượng E = 72,0)012.(,100. 2 1 2 1 22 ==KA (J) c) Vẽ và tính cường độ các lực + Khi t = 1,0 2 = T (s) thì x = 12 sin (10.0,1Π + 2 π ) = -12 (cm) → ϕ = 2 π → P → 0 F 0 (VΠB) + x → 0 T Vì vậy, tại t = 2 π vật ở biên độ x = - A Tại vị trí này lò xo l 1 bị nén 1 đoạn A - ∆l 1 = 12 - 8 = 4 (cm) Lò xo L 2 bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm) + Lực tác dụng của lò xo L 1 và L 2 lên A, B lần lượt là →→ 21 ,FF F 1 = 60.0,04 = 2,4 (N) F 2 = 40.0,24 = 0,6 (N) ( →→ 21 ,FF cùng chiều dương) Bài 6: Cho hai cơ hệ được bố trí như các hình vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật nặng có khối lượng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối lượng của r 2 và lò xo dây treo k dãn. Khối lượng k đáng kể. 1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật ở VTCB. 2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật. Lời giải 1) Hình a + Chọn chiều dương ox hướng xuống, gốc 0 tại VTCB + Phương trình lực →→→ =+ 0 00 FT →→→ =+ 0 00 PT Chiều lên ox -T 0 + K∆l = 0 -T 0 + mg = 0 ⇒ T 0 = k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T 0 = 1N ∆l = 0,05 (m) = 5 (cm) * Hình b a b → P → 0 F + x → 0 T → 0 T O Chọn chiều dương hướng xuống, O là VTCB Chiếu lên Ox -T 0 + mg = 0 -k∆l + 2T 0 = 0 ⇒ T 0 = mg = 1 (N) ∆l = 10 (cm) 2) Chứng minh vật DĐĐH Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → k∆l - mg = 0 + Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + x F = mg - T T - k(∆l + x) = 0 → F = mg - k∆l 0 - kx ⇒ F = -kx áp dụng định luật II N → - kx = mx '' = xx m k . 2 ω −=− Với ω = m k → x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà * Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → 2 1 k∆l - mg = 0 Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + 2 x mg - T = F 2T - k(∆l + 2 x ) = 0 → F = mg - 2 1 k∆l - x k 4 → F = x k 4 − Hay x k 4 − = mx '' → x = x m k 4 − = - ω 2 x với ω = m k 4 x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà → → Bài 7: Một vật có khối lượng m = 400g được gắn trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50 (N/m) đặt m 1 có khối lượng 50 g lên trên m. Kích thích cho m dao động theo phương thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ qua lực ma sát và lực cản. Tìm hiên độ dao động lớn nhất của m, để m 1 không với khối lượng m trong quá trình dao động (g = 10m/s 2 ) Lời giải Khi m 1 không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = ω 2 x Giá trị lớn nhất của gia tốc (a max = ω 2 A) Nếu m 1 rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g Vậy điều kiện để m 1 không rời khỏi m a max < g ⇔ ω 2 A < g ⇒ A< 2 g ω + ω = m k → ω 2 = 125 4,0 50 = → A < 125 10 = 0,08 (m) = 8cm → A max = 8cm Bài 8: Cho 1 hệ dao động như hình vẽ, khối lượng lò xo không đáng kể. k = 50N/m, M = 200g, có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang. 1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ. Tính V TB của M sau khi nó đi qũang đường 2cm . 2) Giả sử M đang dao động như câu trên thì có 1 vật m 0 = 50g bắn vào M theo phương ngang với vận tốc o v . Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất. Tìm độ lớn o v , biết rằng sau khi va chạm m 0 gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A ' = 4 2 cm. m 1 m M k o v m 0 [...]... phần vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có chiều cao h0, lò xo bị F 0 dh F 0A 0 dãn 1 đoạn ∆l0 Phương trình lực : mg- F0A - k∆l0= 0 → ∆l0= mg − F0 A k P (1) Với F0A = Sh0Dg 0,4.10 − 50.10 −4.0,05.10 3.10 → ∆l0 = = 0,01 (m) = 1 (cm) 150 2) Chứng minh vật dđđh + Khi vật có li độ x thì lò xo dãn ∆l0+ x Kéo vật xuống dưới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động h → xmax= 4(cm) < → luôn có F A tác dụng vào vật. .. Một vật nặng hình trụ có khối lượng m = 0,4kg, chiều cao h = 10cm tiết diện s = 50cm2 được treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m Khi cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng D = 103 (kg/m3) Kéo vật khỏi VTCB theo phương thẳng đứng xuống dưới 1 đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản 1 XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng 2 CM vật. .. nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s2) 1 Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng 2 CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi 3 Tính thời gain dao động của vật Lời giải 1 - Chiều dài quãng đường đo được khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc dừng lại ở đây cơ năng E = 1 KA 2 = Fms S = µ.mg.S 2 1 KA 2 80.0 ,12 = =... chiều dài l = 1m và vật nặng có khối lượng m = 0,5kg Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc α0 = 60 rồi thả nhẹ cho dao động Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn coi như không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là α = 30 coi chu kỳ dao động của con lắc như khi không có lực cản 1 CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lượng không đổi 2 Để duy trì... của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma sát tối thi u là len (g = 10m/s2, Π2 = 10) Lời giải 1 Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lượng không đổi + Lúc đầu, li giác cực đại là α0 , cơ năng của con lắc là: E0= mgh0= mgl(1 - cosα) α2 0 2 2 1 - cosα = sin → 1 mglα 2 0 E0 = 2 + Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là α1, cơ năng của con lắc là: E1= → E0- E1 = 1 mglα... 0,51 (m) = 51cm Thay vào (1) (2) l1 + l 2 g (4) T2= 2Π 0,3 = 1,1 (s) 10 Bài 12: Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một góc α0 rồi thả không vận tốc đầu 1 Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc α suy ra BT vận tốc cực đại 2 Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc α Suy tab t lực căng dây cực đại, cực tiểu * áp dụng: l = 1m, m = 100g, α0 = 60 ; g = 10(m/s2); π 2= 10... thứ 2, vật đến VT biên có li giác cực đại α2, cơ năng của con lắc là: E2= → E1- E2= 1 mgl α22 2 1 mgl (α21 - α22) 2 Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm ∆E ∆E = (E0- E1) + (E1- E2) = ∆E = 1 mgl (α20 - α22) 2 1 mgl (α0 - α2)(α0 + α2) = mglα0.∆α 2 + Công của lực cản: AC = (S0 + 2S1+ S2)Fc~ 7S0Rc ~4α0kFc → mglα0 ∆α = 4α0lFc → ∆α = 4Fc = const mg Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lượng không đổi (đpcm) 2 Công... dây cực tiểu khi α = α0 , vật ở VT biên Tmin = mg (1 - 1 2 α 0) 2 Thay số  1  6π  2    = 0,99 (N) Tmin = 0,1.10 1 −   2  150     Bài 13: Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng m Khi con lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban đầu v0 lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ Lập bt tính vận tốc của vật nặng và lực căng của dây... µ.mg.S 2 1 KA 2 80.0 ,12 = = 2(m ) →S= 2 M mg 2.0,1.,02.10 2 - Độ giảm biên độ 1 chu kì vật 2 đến VT biên độ lớn A2 Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường A1+ A2 Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A 1 sau 1 2 µ mg 1 KA21 - KA22 = µmg (A1 + A2) → A1 - A2 = k 2 2 Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A3 thì A2 - A3 = Vậy ∆A = 4 µ mg = const k 3 - Thời... x'' = ω2.x với ω2 = SDg + K m → x = Asin (ωt + ϕ) vậy vật dao động điều hoà + Chu kì dao động T = 2π m 0,4 = 2π = 2π −4 ω SDg + K 50.10 10 3.10 + 150 = 0,28 (s) 3 Cơ năng E Coi vật dao động vật được gắn vào lò xo có độ cứng k' = SDg+ K = 200 N/m Biên độ dao động A = 0,04 (cm) → Cơ năng: E = 1 ' 2 1 k A = 200.(0,04) 2 = 0,16 (J) 2 2 Bài 10: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k = . lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật Lời giải 1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật. Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng. Khi vật ở li độ x thì. (cm) 2) Chứng minh vật dđđh + Khi vật có li độ x thì lò xo dãn ∆l 0 + x Kéo vật xuống dưới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động → x max = 4(cm) < 2 h → luôn có A F tác dụng vào vật khi nó dao. ∆l 2 = 12cm -> A = 12cm t = 0 -> x 0 = Asin ϕ = A v 0 = ωAcosϕ = 0 Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt + 2 π ) (cm) Chu kì dao động T = 2,0 10 22 == π π ω π (s) Năng lượng E = 72,0) 012. (,100. 2 1 2 1 22 ==KA