Mục lục Mở đầu 5 1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG 6 1.1 Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) . . . . . . . . . . 11 1.3 Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Giá của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Không gian hàm suy rộng với giá compact E  (R n ) . . . . . . . . . 15 1.6 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm S  (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy rộng với giá compact E  (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 28 2.1 Dáng điệu của dãy các đạo hàm trong không gian L p (R) . . . . . 28 2.2 Dáng điệu của dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn trong không gian L p (π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Dáng điệu của dãy P - đạo hàm trong không gian L p (R n ) . . . . . 34 2.4 Nghiên cứu tính chất phổ của dãy P - đạo hàm và bất đẳng thức tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 4 Mở đầu Biến đổi Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học nói chung và của Giải tích nói riêng. Phép biến đổi Fourier là một trong lớp những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất. Luận văn này đề cập tới nghiên cứu một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi Fourier (gọi là phổ). Vấn đề này có ý nghĩa rất lớn đối với ứng dụng vào giải quyết những bài toán khó khác nhau trong Giải tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Các không gian hàm cơ bản và không gian hàm suy rộng. Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về không gian các hàm cơ bản, không gian các hàm suy rộng, tích chập của hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier của một hàm cơ bản, của hàm suy rộng, các định lý và kết quả liên quan đến luận văn làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo. Chương 2: Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi Fourier. Chương này là phần chính của luận văn, trình bày tính chất của hàm số qua hình học của phổ cho toán tử vi phân, mô tả dáng điệu của dãy các đạo hàm, dãy các đạo hàm của hàm tuần hoàn, dãy các P - đạo hàm hình thành từ toán tử vi phân trực tiếp thông qua giá của biến đổi Fourier, bất đẳng thức tích chập của hai hàm nhiều biến. 5 Chương 1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng và phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [6]). Chúng tôi chỉ rõ những khái niệm và kết quả chính được sử dụng ở chương sau. 1.1 Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) Trước khi nghiên cứu về không gian các hàm giảm nhanh S (R n ), chúng ta chỉ ra một số ký hiệu được trình bày trong luận văn. Cho N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, Z + = {0, 1, 2, . . . } là tập các số nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức. Đơn vị ảo √ −1 = i. Với mỗi số tự nhiên n ∈ N tập Z n + = {α = (α 1 , , α n ) | α j ∈ Z + , j = 1, 2, , n}, R n là không gian Euclid n chiều x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n với chuẩn Euclid x = ( n  j=1 x 2 j ) 1/2 , tích vô hướng xξ = n  j=1 x j ξ j . Với mỗi k ∈ Z + ký hiệu các tập như sau C k (R) = {u : R → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C k 0 (R) = {u : R → C|u ∈ C k (R), suppu là tập compact}, C ∞ (R) = ∩ ∞ k=1 C k (R), C ∞ 0 (R) = ∩ ∞ k=1 C k 0 (R), 6 trong đó suppu = {x ∈ R| u(x) = 0}. Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu L p (R n ) = {u : R n → C|u p =   R n |u (x) | p dx  1/p < +∞}. Với p = ∞, ký hiệu L ∞ (R n ) = {u : R n → C|u ∞ = ess sup x∈R n |u (x)| < +∞}, trong đó ess sup x∈R n |u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ R n ||u (x)| > M} = 0}. Ký hiệu F là phép biến đổi Fourier,  f (hay Ff) là ảnh Fourier của hàm f, supp  f là giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàm f. Các giới hạn lim m→∞ a m , lim m→∞ a m , lim m→∞ a m tương ứng là giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy hàm {a m } ∞ m=1 . Bây giờ là lúc ta có thể phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ra các ví dụ minh họa để làm rõ về không gian các hàm giảm nhanh S (R n ). Định nghĩa 1.1. Không gian S (R n ) là tập hợp S (R n ) = {ϕ ∈ C ∞ (R n ) : sup x∈R n   x α D β ϕ (x)   < ∞ ∀α, β ∈ Z n + }. Cho hàm ϕ ∈ S (R n ), khi đó lim x→∞ x α D β ϕ (x) = 0 ∀α, β ∈ Z n + . Điều này dẫn đến hàm ϕ (x) là hàm giảm về 0 khi x → ∞ nhanh hơn bất kỳ hàm có dạng như sau 1/P (x) , x ∈ R n . Vì vậy, chúng ta gọi S (R n ) là không gian các hàm giảm nhanh. Ví dụ 1.1. Không gian C ∞ 0 (R n ) là không gian con của không gian các hàm giảm nhanh S(R n ). Chứng minh. Xét hàm ϕ ∈ C ∞ 0 (R n ). Khi đó, ta đặt suppϕ = K, K là tập compact trong R n . Với mọi x /∈ K, suy ra D β ϕ (x) = 0 ∀β ∈ Z n + . 7 Do đó sup x∈R n   x α D β ϕ (x)   = sup x∈K   x α D β ϕ (x)   < ∞ ∀α, β ∈ Z n + . Ta có điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S (R n ), từ đây suy ra được C ∞ 0 (R n ) là không gian con của không gian các hàm giảm nhanh S (R n ). Chứng minh được hoàn thành. Ví dụ 1.2. Cho hàm số ϕ (x) = e −x 2 , x ∈ R n . Khi đó ϕ là hàm số thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (R n ). Chứng minh. Theo giả thiết, ta có x 2 = x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n nên e −x 2 = e −x 2 1 .e −x 2 2 e −x 2 n , x ∈ R n . Mặt khác D β ϕ (x) =  D β 1 e −x 2 1  D β 2 e −x 2 2   D β n e −x 2 n  = e −x 2 1 .e −x 2 2 e −x 2 n Q (x 1 , x 2 , , x n ) = e −x 2 Q (x 1 , x 2 , , x n ) ∀β ∈ Z n + , x ∈ R n , trong đó Q (x 1 , x 2 , , x n ) là hàm chứa các lũy thừa của x 1 , x 2 , , x n . Do đó x α D β ϕ (x) = x α Q(x 1 , x 2 , , x n )e −x 2 ∀α, β ∈ Z n + . Ta thấy rằng lim t→∞ t a e −|t| 2 = 0 với mọi a ∈ R. Từ đây, suy ra lim x→∞ x α Q (x 1 , x 2 , , x n ) e −x 2 = 0 ∀α ∈ Z n + . Vậy nên, ta có sup x∈R n   x α D β ϕ (x)   < ∞ ∀α, β ∈ Z n + , do đó dẫn đến ϕ là hàm thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh S(R n ). Chứng minh được hoàn thành. Định nghĩa 1.2. (Định nghĩa về sự hội tụ trong không gian S (R n )) Dãy hàm {ϕ k } ∞ k=1 trong không gian S (R n ) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S (R n ) nếu lim k→∞ sup x∈R n   x α (D β ϕ k (x) −D β ϕ (x))   = 0 ∀α, β ∈ Z n + . Khi đó, ta viết S_ lim k→∞ ϕ k = ϕ. 8 Chú ý 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là không gian con của không gian L p (R n ) với 1 ≤ p ≤ ∞. Chứng minh. Ta chọn hàm ϕ ∈ S (R n ). Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L ∞ (R n ). Nên ta chỉ cần xét 1 ≤ p < ∞. Theo định nghĩa, ta có  R n |ϕ (x 1 , x 2 , , x n )| p dx 1 dx n =  R n |ϕ (x 1 , x 2 , , x n ) | p  1 + x 2 1   1 + x 2 n  1  1 + x 2 1  (1 + x 2 n ) dx 1 dx n ≤ sup x∈R n |ϕ (x 1 , x 2 , , x n ) | p  1 + x 2 1  1 + x 2 2   1 + x 2 n   R n    1  1 + x 2 1  (1 + x 2 n )    dx 1 dx n . (1.1) Mặt khác  R n 1  1 + x 2 1  1 + x 2 2  (1 + x 2 n ) dx 1 dx n =  +∞ −∞ dx 1  1 + x 2 1   +∞ −∞ dx 2  1 + x 2 2   +∞ −∞ dx n (1 + x 2 n ) = π n . (1.2) Kết hợp (1.1) và (1.2), ta suy ra được  R n    ϕ (x 1 , x 2 , , x n )    p dx 1 dx n ≤ π n sup x∈R n |ϕ (x 1 , x 2 , , x n ) | p  1 + x 2 1  1 + x 2 2   1 + x 2 n  . Do hàm ϕ ∈ S (R n ) nên dẫn đến sup x∈R n |ϕ (x 1 , x 2 , , x n ) | p  1 + x 2 1  1 + x 2 2   1 + x 2 n  < ∞. Vì thế, ta nhận được   R n |ϕ (x 1 , x 2 , , x n ) | p dx 1 dx n  1/p < ∞, điều này cho ta hàm ϕ ∈ L p (R n ). Chứng minh được hoàn thành. Chú ý 1.2. Nếu hàm a (.) ∈ C ∞ (R n ) sao cho với mỗi α ∈ Z n + có một số thực m = m (α), và một số dương c = c (α) có |D α a (x)| < c(1 + x) m , khi đó ánh xạ biến mỗi hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian các hàm giảm nhanh S(R n ) vào chính nó. 9 Định lý 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là không gian đầy đủ. Chứng minh. Lấy dãy hàm {ϕ m } ∞ m=1 là một dãy Cauchy trong không gian S (R n ), nghĩa là dãy hàm  x α D β ϕ m (x)  ∞ m=1 ∀α, β ∈ Z n + hội tụ đều trên từng tập com- pact trong R n đến một hàm ψ ∈ C ∞ (R n ). Thật vậy, cho α = (0, , 0) , β = (0, , 0) cho nên dãy hàm {ϕ m } ∞ m=1 hội tụ trong R n . Khi đó, tồn tại hàm ϕ 0 ∈ C ∞ (R n ) thỏa mãn lim m→∞ ϕ m (x) = ϕ 0 (x) , và tồn tại hàm ψ ∈ C ∞ (R n ) thỏa mãn lim m→∞ D β ϕ m (x) = ψ (x) ∀β ∈ Z n + . Với mọi β ∈ Z n + do đó dãy hàm  D β ϕ m (x)  ∞ m=1 liên tục trong R n , nên hàm ψ (x) liên tục trong R n . Như vậy, ta nhận được  ϕ m (x) → ϕ 0 (x) trong R n D β ϕ m (x) → ψ (x) trong R n điều này dẫn đến, hàm ϕ 0 (x) khả vi cấpβ và D β ϕ 0 (x) = ψ (x) ∀β ∈ Z n + . Nói cách khác là hàm ϕ 0 ∈ C ∞ (R n ) và lim m→∞ D β ϕ m (x) = D β ϕ 0 ∀β ∈ Z n + , trong R n . Bây giờ ta cần phải chứng minh hàm ϕ 0 ∈ S (R n ), tức là phải chứng minh sup x∈R n   x α D β ϕ 0 (x)   < ∞ ∀α, β ∈ Z n + . Thật vậy, lim m,p→∞ sup x∈R n   x α (D β ϕ m (x) −D β ϕ p (x))   = 0 ∀α, β ∈ Z n + , (1.3) ta thấy rằng lim p→∞ D β ϕ p (x) = D β ϕ 0 (x) ∀β ∈ Z n + . (1.4) Từ (1.3) và (1.4), ta nhận thấy lim m→∞ sup x∈R n   x α (D β ϕ m (x) −D β ϕ 0 (x))   = 0 ∀α, β ∈ Z n + . 10 Khi đó, tồn tại m 0 thỏa mãn sup x∈R n   x α (D β ϕ m 0 (x) −D β ϕ 0 (x))   < 1 ∀α, β ∈ Z n + . (1.5) Rõ ràng, sup x∈R n   x α D β ϕ m 0 (x)   ≤ C αβ m 0 ∀α, β ∈ Z n + . (1.6) Kết hợp (1.5) và (1.6), ta nhận được sup x∈R n   x α D β ϕ 0 (x)   ≤ sup x∈R n   x α D β ϕ m 0 (x)   + sup x∈R n   x α (D β ϕ m 0 (x) −D β ϕ 0 (x))   ≤ C αβ m 0 + 1 < ∞ ∀α, β ∈ Z n + . Như vậy, ta đã chỉ ra rằng hàm ϕ 0 ∈ S (R n ) . Vậy không gian các hàm giảm nhanh S (R n ) là không gian đầy đủ. Định lý được chứng minh. 1.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) Định nghĩa 1.3. Ta nói rằng f là hàm suy rộng tăng chậm nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (R n ). Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S(R n ) được viết là  f, ϕ  . Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) là tập hợp tất cả các hàm suy rộng tăng chậm. Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S  (R n ) có thể xây dựng một cấu trúc không gian vectơ trên R n , nghĩa là ta có thể định nghĩa các phép toán tuyến tính như sau. •Phép cộng : với các hàm f 1 , f 2 ∈ S  (R n ) tổng các hàm f 1 + f 2 được xác định như sau (f 1 + f 2 ) : ϕ → f 1 + f 2 , ϕ = f 1 , ϕ+ f 2 , ϕ ∀ϕ ∈ S (R n ) . •Phép nhân với số thực : với hàmf ∈ S  (R n ) , λ ∈ R n tích λf được xác định như sau λf : ϕ → λf, ϕ = λf, ϕ ∀ϕ ∈ S (R n ) . Hơn thế, ta có thể định nghĩa phép nhân của hàm suy rộng tăng chậm f với một đa thức P (x) như sau P (x)f : ϕ →  f, P ϕ  ∀ϕ ∈ S (R n ) . Khi đó P (x)f ∈ S  (R n ) . 11 Ví dụ 1.3. Với 1 ≤ p ≤ ∞, không gian L p (R n ) là không gian con của không gian các hàm tăng chậm S  (R n ), tức là với mỗi hàm f ∈ L p (R n ) thì hàm suy rộng f : ϕ → f, ϕ =  R n f (x)ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S (R n ) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (R n ). Ví dụ 1.4. Hàm δ a Dirac tại a là phiếm hàm xác định như sau δ, ϕ = ϕ (−a) ∀ϕ ∈ S (R n ) . Khi đó δ a là hàm suy rộng tăng chậm. Chứng minh. Hiển nhiên ta thấy hàm Dirac tại a là một phiếm hàm tuyến tính, vì với mọi α, β ∈ R thì δ a , αϕ + βψ = (αϕ + βψ) (−a) = αϕ (−a) + βψ (−a) = α δ a , ϕ+ β δ a , ψ ∀ϕ, ψ ∈ S (R n ) . Xét {ϕ k } ∞ k=1 là dãy hàm trong không gian các hàm giảm nhanh S(R n ) hội tụ đến hàm ϕ ∈ S(R n ). Do đó lim k→∞ sup x∈R n |ϕ k (x) −ϕ (x)| = 0 ∀ϕ ∈ S (R n ) . Nên lim k→∞ |ϕ k (−a) −ϕ (−a)| = 0 ∀ϕ ∈ S (R n ) . Theo định nghĩa hàm Dirac tại a, ta có δ a , ϕ = ϕ (−a) ϕ ∈ S (R n ) , δ a , ϕ k  = ϕ k (−a) ∀ϕ ∈ S (R n ) , k = 1, 2, Nên ta nhận được lim k→∞ δ a , ϕ k  = δ a , ϕ ∀ϕ ∈ S (R n ) . Vậy nên δ a là hàm suy rộng tăng chậm. Chứng minh được hoàn thành. 12 [...]... (ξ)| ≤ CR|α| eR nên Fψ (ξ) là hàm giải tích trên không gian Cn Định lý được chứng minh 27 ξ ∀ξ ∈ Cn , α ∈ Zn + Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu các tính chất của hàm số trực tiếp thông qua giá của ảnh Fourier (hay gọi là phổ) của chính hàm số đó Cụ thể, mô tả dáng điệu của dãy các đạo hàm trong các không gian Lp (R)... chính nó 1.7 Phép biến đổi Fourier Đối tượng chính của chúng ta nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổi Fourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ), không gian các hàm tăng chậm S (Rn ), không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 17 1.7.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) Định nghĩa 1.10 Cho hàm f ∈ S (Rn ) Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu... về phép biến đổi Fourier ngược cho hàm suy rộng tăng chậm trong không gian S (Rn ), ta có δ0 , ϕ = δ0 , ϕ , mà δ0 , ϕ = ϕ (0) = (2π)−n/2 eix0 ϕ(x)dx Rn = (2π)−n/2 ϕ)(x)dx = (2π)−n/2 1, ϕ ∀ϕ ∈ S (Rn ) Rn Vậy dẫn đến δ0 = (2π)−n/2 1 Khi đó biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0 đều là hàm hằng (2π)−n/2 Chứng minh được hoàn thành 25 1.7.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian hàm suy... (2π)−n/2 fx , e−ixξ Hàm suy rộng Ff (ξ) có thể thác triển lên thành một hàm nguyên xác định trên không gian Cn như sau ξ → (2π)−n/2 fx , e−ixξ , ξ ∈ Cn Sau đây ta trình bày điều kiện cần để một hàm giải tích ψ là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng có giá chứa trong hình cầu đóng (xem [3]) Định lý 1.4 Cho ψ : Cn → C là hàm giải tích Khi đó, điều kiện cần để có một số R > 0, một hàm suy rộng f ∈ E... ∈ S (Rn ) Định nghĩa 1.13 Với hàm f ∈ S (Rn ) Ảnh Fourier ngược của hàm suy rộng tăng chậm f , ký hiệu f hay F −1 (f ) là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi ∀ϕ ∈ S (Rn ) f , ϕ = f, ϕ Ví dụ 1.8 Cho δ0 là hàm Dirac tại điểm 0 Tìm biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0 Chứng minh Áp dụng định nghĩa về phép biến đổi Fourier cho hàm suy rộng tăng chậm trong không gian S (Rn ), ta... lý được chứng minh 37 sup ξ∈suppFf |P (ξ)| (2.25) 2.4 Nghiên cứu tính chất phổ của dãy P - đạo hàm và bất đẳng thức tích chập Trong phần này, ta bắt đầu nghiên cứu kỹ hơn về tính chất phổ của dãy P đạo hàm hình thành từ toán tử vi phân, trực tiếp thông qua giá của biến đổi Fourier (xem [6]) Định lý 2.5 Cho 1 ≤ p < ∞, P (x) là đa thức n biến, f ∈ Lp (Rn ) Khi đó, với mọi m ∈ Z+ ta có ˆ ¯ suppf = suppP... đạo hàm của hàm suy rộng θ chính là hàm Dirac δ0 Chứng minh được hoàn thành 1.4 Giá của hàm suy rộng Trước hết, ta định nghĩa thế nào là hai hàm suy rộng tăng chậm bằng nhau tại một điểm trong Rn Cùng với đó ta sẽ định nghĩa giá của hàm suy rộng trong không gian các hàm tăng chậm S (Rn ) 13 Định nghĩa 1.5 Cho x ∈ Rn , các hàm suy rộng f, g ∈ S (Rn ) Ta nói rằng hàm suy rộng f = g tại x nếu tồn tại một. .. đo không) và hàm khả tích địa phương trên Rn biến x thành Rn f (x − y) g (y)dy được gọi là tích chập của hàm f và hàm g , ký hiệu là f ∗ g Như vậy (f ∗ g) (x) = f (x − y) g (y)dy = Rn f (y) g (x − y)dy Rn Ta gọi f ∗ g là tích chập của hàm f và hàm g Rõ ràng trong trường hợp này tích chập của hàm f và hàm g , và tích chập của hàm g và hàm f là như nhau Điều này có nghĩa là tích chập có tính giao hoán... hoàn thành Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier, trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) Mệnh đề 1.7 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ) Khi đó i) Fϕ (ξ − h) = F eihx ϕ (x) (ξ) , ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−ihξ Fϕ (ξ) , iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t−n Fϕ (ξ/t) , ξ, h ∈ Rn ξ, h ∈ Rn t = 0, ξ ∈ Rn 23 Chứng minh i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có Fϕ (ξ − h) = (2π)−n/2... hàm suy rộng tăng chậm Nói cách khác, đạo hàm suy rộng Dα f là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ không gian S (Rn ) vào không gian C Do đó, đạo hàm Dα f là một hàm suy rộng trong không gian các hàm tăng chậm S (Rn ) Ví dụ 1.5 Cho hàm θ (x) được xác định sau 1 với x > 0 0 θ (x) = với x ≤ 0 Tìm đạo hàm của hàm suy rộng θ (x) Chứng minh Theo định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng, ta có θ , ϕ = − θ, ϕ ∀ϕ ∈ . 26 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 28 2.1 Dáng điệu của dãy các đạo hàm trong không gian L p (R) . . . . . 28 2.2 Dáng điệu của dãy các đạo hàm của hàm. phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất. Luận văn này đề cập tới nghiên cứu một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi Fourier (gọi là phổ). Vấn. đổi Fourier của một hàm cơ bản, của hàm suy rộng, các định lý và kết quả liên quan đến luận văn làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo. Chương 2: Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua